陕西省榆林市府谷县府谷中学、府谷县第一中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题

这是一份陕西省榆林市府谷县府谷中学、府谷县第一中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题，共11页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知函数，则其图象大致是，已知，则等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5.本卷主要考查内容：集合、常用逻辑用语与不等式、函数的概念与性质、一元函数的导数及其应用、三角函数与解三角形、数列。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知为整数集，，则（ ）
A.B.
C.D.
2.已知命题：“，使得”，则命题的否定是（ ）
A.，使得B.，使得
C.，D.，
3.已知，则的最大值为（ ）
A.B.C.D.3
4.函数的减区间为（ ）
A.B.C.D.
5.等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A.12B.10C.5D.
6.已知函数，则其图象大致是（ ）
A.B.C.D.
7.已知，则（ ）
A.B.C.D.
8.已知定义在上的函数满足，，当时，，若，其中，，则当取最小值时，（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，对任意实数都有，则下列结论正确的是（ ）
A.的最小正周期为B.
C.函数的图象关于对称D.在区间上有一个零点
10.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.当时，
C.在上单调递增
D.不等式的解集为
11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.当时，在上单调递增
B.若的图象在处的切线与直线垂直，则实数
C.当时，不存在极值
D.当时，有且仅有两个零点，，且
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.桃湖公园有一扇形花园，扇形的圆心角为，半径为，现要在该花园的周围围一圈护栏，则护栏的总长度为（结果保留）______.
13.已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为______.
14.对给定的数列，记，则称数列为数列的一阶商数列；记，则称数列为数列的二阶商数列；以此类推，可得数列的阶商数列，已知数列的二阶商数列的各项均为，且，，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为.
（1）求；
（2）若，且的周长为5，设为边中点，求.
16.（本小题满分15分）
已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前项和.
17.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）讨论函数的单调性.
18.（本小题满分17分）
设函数的定义域为，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“区间”.性质1：对任意，均有；性质2：对任意，均有.
（1）分别判断说明区间是否为下列两函数的“区间”；
①；②.
（2）若是函数的“区间”，求的取值范围.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：.
2024年秋季学期高三年级第二次月考・数学
参考答案、提示及评分细则
1.D 因为，故选D.
2.C 命题：，使得，则命题的否定是，，故选C.
3.B ，当且仅当，即，或，时等号成立.故选B.
4.A 令，解得或，则的定义域为，令，在定义域上单调递减，又在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递减，故选A.
5.B因为是各项均为正数的等比数列，，
所以，即，则
记，则，
两式相加得
，
所以，即.故选B.
6.B ，是奇函数，当时，，综合分析，故选B.
7.A 设，则，，.故选A.
8.D 根据可得的图象关于对称，，，的周期为4，，，，，，，，，当且仅当，即，时，等号成立，.故选D.
9.ABD 选项A，，故A正确；
选项B，易知为最大值或最小值，是的一条对称轴的方程.
，，，，，故B正确；
选项C，，不是最值，故C错误；
选项D，当时，，此区间上有1个零点.故选ABD.
10.BD ，故A错误；
当时，，所以，故B正确；
因为时，，又，，所以C错误；
当时，，解得；当时，，无解；当时，.故D正确.故选BD.
11.ABD 当时，在上恒成立，所以在上单调递增，故A正确；
，解得，故B正确；
当时，，令，设，为的两个零点，又，所以故存在极值，故C错误；
当时，在，上恒成立，所以在，上单调递增.
当时，，所以存在，使得；
当时，，所以存在，使得，又在上单调递增，所以存在，使得，又，所以，即.故D正确.故选ABD.
12. 圆心角为，即，所以扇形的弧长为，周长.
13. 令，根据题意得，的取值范围为.
14. 由数列的二阶商数列的各项均为，可知，而，
故数列是以1为首项，为公比的等比数列，即，
即，
即，，，…，.
累乘得，故.
15.解：（1）依题意，，
所以，
由正弦定理可得，，
由余弦定理，，解得，
因为，所以；
（2）依题意，，
因为，解得，
因为，
所以，
所以.
16.解：（1）当时，即，，
时，，
所以，即，
，，所以是以1为首项公比为的等比数列，
所以；
（2），
则；
，
两式相减
，
.
17.解：（1）若，，则，
令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以在处取得极小值，无极大值；
（2），
当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减.
18.（1）解：①中，函数，当时，可得，所以区间是函数的一个“区间”；
②中，函数，当时，可得，此时不满足，也不满足，
所以区间不是函数的一个“区间”；
所以①是（满足性质1）.②不是
（2）解：记，，可得，故若为的“区间”，
则不满足性质②，必满足性质①，即；
由，
当时，在上单调递增，且，
即，所以，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，所以，不合题意；
综上可知，，即实数的取值范围是.
19.（1）解：当时，的定义域为，求导得，
当时，，当时，，则在上递减，在上递增，
所以有极小值，无极大值；
（2）解：由恒成，得，，令，，求导得，
当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，
因此，则，
所以实数的取值范围是；
（3）证明：由（2）知，当时，即
于是，，…，，
因此，
所以.