高一预习-专题强化1 与指数函数、对数函数有关的复合函数（教师版）-初升高数学暑假衔接（人教版）

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指数函数、对数函数有关的复合函数，主要是指数函数、对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数．
【题型目录】
一、判断复合函数的单调性
二、已知复合函数单调性求参数范围
三、求复合函数的值域/最值
四、与复合函数有关的不等式问题
五、判断复合函数的奇偶性
【例题详解】
一、判断复合函数的单调性
1．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数、二次函数的单调性结合复合函数单调性的“同增异减”求解.
【详解】令，
则是单调递增函数，
当时，是增函数；当时，是减函数，
由复合函数单调性可知，
当时，单调递增，
故选：B
2．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果
【详解】由，得，
令，则，
在上递增，在上递减，
因为在定义域内为增函数，
所以的单调递减区间为，
故选：A
3．关于函数的单调性的说法正确的是（ ）
A．在上是增函数B．在上是减函数
C．在区间上是增函数D．在区间上是减函数
【答案】C
【分析】先求出函数定义域，再结合复合函数单调性性质进行判断即可.
【详解】由函数的解析式知定义域为，
设，
显然在上是增函数，在上是增函数，
由复合函数的单调性可知在上是增函数，
故选：C
4．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先由函数解析式，求其定义域，根据复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性，可得答案.
【详解】由，则，，解得，即函数的定义域，
由题意，令，，则，
易知在其定义域上单调递减，要求函数的单调递减区间，需求在上二次函数的递增区间，
由，则在上二次函数的递增区间为，
故选：C.
5．函数的单调减区间是_______．
【答案】
【分析】令，则，分别判断函数和的单调性，然后利用复合函数单调性的判断方法即可求出原函数的单调区间.
【详解】令，则
∵，∴在上单调递减
作出的图象
由图象可以在上单调递减，在上单调递增
∴在上单调递增，在上单调递减
故答案为：.
二、已知复合函数单调性求参数范围
1．已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用复合函数的单调性即可求解.
【详解】令，则，
因为在上是减函数，由复合函数的单调性知，
函数与的单调性相反；
又因为单调递减，
所以需在上单调递增.
函数的对称轴为，所以只需要，
故选:A.
2．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，则函数在内递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求得a的取值范围
【详解】解：令，
∵ 在上单调递减，
∴ 在内递增，且恒大于0，
且，
．
故选：C．
3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据指数函数与二次函数的单调性，以及复合函数的单调性的判定方法，求得在上单调递增，在区间上单调递减，再结合题意，即可求解.
【详解】令，可得抛物线的开口向上，且对称轴为，
所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，
又由函数，
根据复合函数的单调性的判定方法，
可得函数在上单调递增，在区间上单调递减，
因为函数在上单调递减，则，
可得实数的取值范围是.
故答案为：.
4．已知函数 (为常数)，若在区间上是增函数，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先根据题意得到，从而得到当时，函数为增函数，再根据题意即可得到答案.
【详解】因为函数，
当时，函数为增函数，
而已知函数在区间上是增函数，所以，即的取值范围为．
故答案为：
5．已知函数在区间(－∞，eq \r(2))上是增函数，求实数a的取值范围．
【详解】令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(a,2)))上是减函数，∵0∴只要g(x)在(－∞，eq \r(2))上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，eq \r(2))上恒成立，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(2)≤\f(a,2)，,g\r(2)＝\r(2)2－\r(2)a＋a≥0，))
∴2eq \r(2)≤a≤2(eq \r(2)＋1)，
故所求a的取值范围是[2eq \r(2)，2eq \r(2)＋2]．
三、求复合函数的值域/最值
1．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，求出的值域，结合指数函数的性质，即可求出函数的值域.
【详解】令，由，则，所以，所以，又，所以函数的值域为.
故选：B
2．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法和对数函数的性质即可求得函数的值域．
【详解】令，则，
又在上单调递增，
所以，
故函数的值域为．
故选：B．
3．已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对数的运算性质化简，从而得出值域．
【详解】．故的值域为．
故选：B．
4．函数的值域是__________.
【答案】
【分析】由对数的真数大于0得定义域，结合对数函数的单调性求函数值域．
【详解】由题意可得，即，所以函数的定义域为(－3， 3)．
因为，所以，故函数的值域为．
故答案为：.
5．函数的值域为________.
【答案】
【分析】利用换元法结合对数函数和指数函数的性质求解即可.
【详解】函数的定义域为，
令，则，
因为，所以，即，
所以，即，
所以函数的值域为，
故答案为：
6．函数的最小值是______．
【答案】－2
【分析】首先求真数部分的值域，再根据函数的单调性求函数的最小值.
【详解】设，
所以，
是单调递减函数，
所以当时，函数取得最小值，最小值是.
故答案为：
7．函数的值域为__________．
【答案】/
【分析】分别求出各段函数的值域再求并集即可
【详解】当时，在上单调递减，
所以；
当时，在上单调递减，
所以；
所以函数的值域为，
故答案为：
8．设，若函数在上的最大值是，则在上的最小值是______.
【答案】
【分析】令，利用二次函数性质先求b，然后可解.
【详解】
令，则
因为，所以，
所以当时函数有最大值，故，解得，
当时，函数有最小值.
故答案为：
9．函数的最大值是_____
【答案】
【分析】由对数函数的单调性和二次函数的知识可得答案.
【详解】由对数函数的单调性可得当取得最小值时，函数取得最大值，
所以当时，.
故答案为：
10．函数的最大值为________.
【答案】
【分析】根据对数的运算可得,配方，根据二次函数的性质即可求最大值.
【详解】
，
故当时，.
故答案为:.
11．已知函数，求函数的最大值与最小值.
【答案】函数的最大值为，最小值为.
【分析】利用换元法将函数转化为关于的二次函数，然后利用二次函数的图象和性质即可求解.
【详解】令，因为，所以，
所以函数可化为，
因为，由二次函数的图象和性质可知：
当，也即时，函数取最小值；
当，也即时，函数取最大值；
所以函数的最大值为，最小值为.
12．已知函数.
(1)求的值域；
(2)当时，的最大值为7，求的值.
【答案】(1)；(2)或
【分析】（1）利用换元法，设，则，然后利用二次函数的性质可求得函数的值域，
（2）分和两种情况求解即可
【详解】（1）设，则.
因为，所以，所以，
所以，即的值域为.
（2）函数图象的对称轴为直线.
当时，，
所以在上单调递增，
则，解得或（舍去），所以；
当时，，所以在上单调递增，
则，解得或（舍去），
因为，所以.
综上，或.
13．设函数．
(1)求函数的定义域；
(2)设函数，求在区间上的值域．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）对数的真数大于零列不等式组解决.
(2)代入化简得到对数型函数求值域.
【详解】（1）由题知解得．
函数的定义域为．
（2）．
当时，，
又是增函数，
，
，
函数在区间上的值域为．
四、与复合函数有关的不等式问题
1．已知，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对数以及指数函数的单调性即可由和分类讨论求解.
【详解】当时，，即，即，
又，即，故，即，
当时，由，无解，
综上，实数a的取值范围是．故选:A．
2．已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为_______．
【答案】
【分析】令，将原指数度等式的问题可转化成二次函数的问题进行处理.
【详解】，令，由于，根据指数函数性质，，
于是问题转化为：时，恒成立，下只需求时的最大值.
根据二次函数性质可知，当时递减，上递增，而端点和相比距离对称轴更远，
故，于是.
故答案为：
3．已知不等式对于恒成立，则实数的取值范围是__．
【答案】
【分析】设，，则题目转化为在恒成立，求的最小值即可.
【详解】设，因为，则，
不等式对于恒成立，
等价于，即在恒成立，
设，，令，（负舍），
则根据对勾函数的性质可知：
在上为单调减函数，则，
所以，故实数的取值范围是，
故答案为：.
4．已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)求满足的实数的取值范围．
【答案】(1)或；(2).
【分析】（1）由函数的解析式可得，解一元二次不等式，求出的范围．
（2）依题意可得，即，由此解一元二次不等式组，求得实数的取值范围．
【详解】（1）解：对于函数，所以，即，解得或，
所以函数的定义域为或．
（2）解：不等式，即，，
即，解得或，
即实数的取值范围为．
5．已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据对数函数的单调性，结合因式分解法进行求解即可；
（2）利用换元法，结合常变量分离法、基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）当时，，
由
，所以不等式的解集为；
（2）令，因为，所以，
，因为，
所以由，
因为，所以，当且仅当时取等号，即时，取等号，
因此当时，恒成立，
只需，所以实数的取值范围为.
五、判断复合函数的奇偶性
1．函数是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．奇函数也是偶函数D．非奇非偶函数
【答案】B
【分析】求出定义域，根据函数奇偶性的定义判断即可.
【详解】由函数可知，定义域为关于原点对称，又，故函数为内的偶函数.
故选：B
2．下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.
【详解】对于A，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上不是单调递减，不符合题意；故A错误；
对于B，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上单调递减，符合题意；故B正确；
对于C，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上单调递增；不符合题意；故C错误；
对于D，的定义域为，不是偶函数，不符合题意；故D错误；
故选：B.
3．已知函数，则（ ）
A．是偶函数且是增函数B．是偶函数且是减函数
C．是奇函数且是增函数D．是奇函数且是减函数
【答案】C
【分析】根据给定的函数，利用奇偶性定义及复合函数单词性判断作答.
【详解】函数的定义域为R，，即函数是奇函数，AB错误，
因为函数在R上递增，则函数在R上递减，所以函数是增函数，D错误，C正确.
故选：C
4．函数的奇偶性是（ ）
A．是奇函数，不是偶函数
B．是偶函数，不是奇函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．非奇非偶函数
【答案】A
【分析】由奇偶性定义直接判断即可.
【详解】的定义域为，，
是奇函数，不是偶函数.
故选：A.
5．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别求出每个选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可得选项.
【详解】由题意可得，
对于A，，定义域为，不关于原点对称，故A错误；
对于B，，定义域为，不关于原点对称，故B错误；
对于C，，定义域为，关于原点对称，
令，，所以不是奇函数，故C错误；
对于D，，定义域为，关于原点对称，
令，，所以是奇函数，故D正确.
故选：D.
6．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，则f（x）（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增
B．是奇函数，且在 单调递增
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在 单调递增
【答案】B
【分析】先求出的定义域结合奇偶函数的定义判断的奇偶性，设t＝||，则y＝lnt，由复合函数的单调性判断的单调性，即可求出答案.
【详解】解：由，得x≠±．
又f（﹣x）＝|﹣2x+1|﹣|﹣2x﹣1|＝﹣（|2x+1|﹣|2x﹣1|）＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，
由f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|＝||，
∵11．
可得内层函数t＝||的图象如图，
在（﹣∞，），（，+∞）上单调递减，在（，）上单调递增，
又对数式y＝是定义域内的增函数，
由复合函数的单调性可得，f（x）在（，）上单调递增，
在（﹣∞，），（，+∞）上单调递减．
故选：B．
7．若是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性确定正确答案.
【详解】依题意，是定义在R上的奇函数，，
A选项，对于函数，
，所以函数不是奇函数.
B选项，对于函数，
，所以函数不是奇函数.
C选项，对于函数，
，所以函数是奇函数.
D选项，对于函数，
，所以函数不是奇函数.
故选：C