湖北省云学部分重高中联盟2025届高三上学期10月联考（一模）数学试卷

这是一份湖北省云学部分重高中联盟2025届高三上学期10月联考（一模）数学试卷，共14页。试卷主要包含了已知集合，集合，则，若，则，已知，且，则等内容，欢迎下载使用。

命题学校：孝感高中 命题人：柴全中 王燕霞 张翔 李丽 审题人：褚卫战
考试时间：2024年10月8日15：00-17：00 时长：120分钟 满分：150分
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若，则（ ）
A. B. C. D.
3.数列是公差不为零的等差数列，它的前项和为，若且成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.2
4.已知函数，对任意的，都有成立，则的可能取值是（ ）
A. B. C. D.
5.对于平面凸四边形，若，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.大小不确定
6.已知函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上一点，连接交轴于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A.若与互斥，则
B.若与相互独立，则
C.若，则与相互独立
D.若发生时一定发生，则
10.已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
11.设是锐角三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的有（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若复数满足，则__________.
13.若是偶函数，则实数的值为__________.
14.在如图所示的直角梯形中，为梯形内一动点，且，若，则的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知数列的前项和为且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，数列的前项和为.求.
16.（15分）在中，三个内角所对的边分别为.设向量，且.
（1）求角的大小；
（2）设是边上的一点，使得的面积是面积的2倍，且，求线段的长.
17.（15分）已知为实数，函数（其中是自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的佰成立，求的最小值.
18.（17分）如图，在四棱锥中，底面，，平面与平面的交线为.
（1）求证：平面；
（2）设为内一动点，且，求线段长度的最小值；
（3）在（2）的条件下，当线段的长最小时，求直线与平面所成角的正弦值.
19.（17分）在信息论中，熵（entrpy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵.若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量的所有取值为，定义信息熵：
（1）若，且，求随机变量的信息熵；
（2）若，求随机变量的信息熵；
（3）设和是两个独立的随机变量，求证：.
参考答案：
12. 13.3 14.9
6.解析：面且是外心，
7.解析：四边形面积，，
单增，
又，
8.解析：，则，
所以有
9.解析：函数的定义域为，有，即函数是偶函数，
又，则是函数的一个周期，也是最小正周期，A正确
当时，，显然函数在上递增，在上递减，时，由偶函数的性质知，函数在上递增，在上递减，即当时，即函数在的取值集合为，
从而函数在的取值集合为，即在上的值域为，因此函数在上的值域为，B正确；
如图：
不关于直线对称，所以不关于直线对称，故C错
在上单调性同，所以递减，故D对.
11.解析：对两边求导得
即，故A对
，即恒成立，
（舍），故B错.
是奇函数，是偶函数，
为增函数，为增函数，
又，故C错.
，
，
为增函数，
，故D对.
14.解析：如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度.
设，则.
过作垂直内侧墙壁于，作BD垂直内侧墙壁于，则
.
在直角三角形中，，
所以.
同理：.
所以.
因为
（当且仅当且时等号成立）.
所以.因为走廊的宽度与高度都是3米，
所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为
15.解析：（1）在中，，
由余弦定理得，
则，有，
又平面平面，
平面平面，
平面，
则平面，直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，
则，
由，得，
解得，即，所以当时，点为线段的中点.
（2）由（1）可得，
设平面的法向量为，
则，取，得，
平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
16.解析：（1）易知函数的定义域为.所以，
当时，由，得，由，得.所以的单调增
区间为，单调减区间为；
当时，由，得，由，得.所以的单调增区间为，单调减区间为.
（2）即在上恒成立，
令，易知函数的定义域为.所以当时，
，故；（11分）当时，，
故.（13分）所以在上单调递增，在上单调递减，所以时，
在上取得最大值.所以，所以实数的取值范围是.
17.解析：（1）由可得，，由正弦定理该式化为，整理得：，即：，
即，因为为三角形的内角，所以.
（2）令，由题意：，平方得：，由正弦定理
，
则：，代入上式得：
因为三角形是锐角三角形，所以
，
，即，
，
因此，的取值范围为.
18.解析：（1）由题意，有，解得即椭圆标准方程为：
（2）设过点的切线方程为
联立，有
由于想切，令，
即求得
（3）设延长线交轴于点，
两点处切线斜率分别是和，有，
设椭圆上或两点切线方程为联立有，
要证明，需证明
即要证，
其中，显然，即证（17分）
19.（1）①
②处于位置时，得3分，，
处于位置时，得1分，，
处于位置时，得分1分，，
所以最终得分的分布列为：
得分的期望.
（2）将棋盘按如图所示编号：
将棋子可以去的区域用箭头连接起来，如从3可以连接4或8，记做：；从8可以连接3或1，记做：；然后将他们串联起来：.依次类推，可以串联出环状回路：，如下图所示：
则棋子等价于在这个环状回路中运动，问题（2）可以转化为将两个棋子放在环形回路中的3号､7号位置，每回合3号､7号棋子有四种运动模式：（顺，顺），（顺，逆），（逆，顺），（逆，逆），发生概率各为
为了转化问题，现规定“两棋子之间的最短节点数”，例如：
特别规定两棋子重合时，.并统计四种运动模式下会如何改变
假设3号棋子顺时针走过个节点可以与7号棋子重合；或逆时针走过个节点也可以与之重合.为了简化问题，不妨假设，于是有下表：
设“回合后，的概率”，
“回合后，的概率”，
“回合后，的概率”，
则有
显然，，所以，
所以解得：.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
D
A
D
A
B
B
AB
ABD
AD
1
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
3
4
5
6
7
8
9
（顺，顺）
（顺，逆）
（逆，顺）
（逆，逆）