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    命题人、审题人:高三数学备课组
    时量:120 分钟 满分:150 分
    一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
    符合题目要求的.
    A. 2 B. 4 C. 3 D. 1
    5. 如图,圆柱的母线长为 4, AB,CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径,且 AB ⊥ CD ,三棱锥
    司1. 复数
    1
    z =
    1+ i 的虚部是( )
    A. 1 B.
    1
    2
    C.
    1
    − D. −1
    2

    2. 已知 a 是单位向量,向量b 满足 a −b = 3
    ,则 b 的最大值为( )
    3. 已知角θ 的终边在直线 y = 2x 上,则 cs
    θ
    的值为( )
    sinθ + csθ
    2 1 2 − C.
    A.
    − B.
    3 3 3
    D.
    1
    3
    4. 已知函数 ( )
    f x
     x + − a x <
    e 3 3 , 0
    =  对任意的 x1, x2 ∈R ,且
    x a, x 0
    2 + ≥

    x ≠ x ,总满足以下不等关系:
    1 2
    f x − f x ( ) ( )
    ( ) ( )
    1 2
    x − x
    1 2
    >
    0,则实数 a 的取值范围为( )
    A
    a ≤ 3 B. 3
    a ≥ C. a ≤1 D. a ≥1
    4 4
    A− BCD 的体积为
    8
    3
    ,则圆柱的表面积为( )
    6. 已知抛物线 ( )
    C y2 = px p > 的焦点 F 到准线的距离为 2 ,过焦点 F 的直线l 与抛物线交于 A, B 两
    : 2 0
    点,则 2 AF + 3 BF 的最小值为( )
    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
    8. 已知定义域为 R 的函数 f (x), g (x)满足: g (0) ≠ 0, f (x)g (y)− f (y)⋅ g (x) = f (x − y),且
    g x g y − f x f y = g x − y ,则下列说法正确的是( )
    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
    A. f (0) =1
    B. f (x)是偶函数
    1
    C. 若 f ( )+ g ( )= ,则 ( ) ( )
    1 1 2024 2024 2
    2
    f − g = −
    2024
    D. 若 g (1)− f (1) =1,则 f (2024)+ g (2024) = 2
    二、多选题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
    要求.全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
    9. 下列说法中正确的是( )
    C. 数据13, 27, 24,12,14, 30,15,17,19, 23的第 70 百分位数是 23
    D. 若一个样本容量为 8 的样本的平均数为 5,方差为 2,现样本中又加入一个新数据 5,此时样本容量为
    9,平均数不变,方差变小
    f x = ax3 −bx + 2 ,则( ) 10. 已知函数 ( )
    A. f (x)的值域为 R
    B. f (x)图象的对称中心为(0, 2)
    司A. 10π B.
    9
    2
    π
    C. 4π D. 8π
    A.
    6
    5
    + B. 2 6 + 5 C. 4 6 +10 D. 11
    2
    7. 设函数 f (x)= cs(x +ϕ),其中 π
    ϕ < .若∀x∈R ,都有
    2
    f  π + x = f  π − x
     4   4 
    .则 y = f (x)的图
    象与直线
    1
    y = x −1的交点个数为( )
    4
    1
    A. 一个样本的方差 ( ) ( ) ( )
    s =  x − 2 + x − 2 ++ x − 2 
    2
    3 3 3
    1 2 20
    20
    ,则这组样本数据的总和等于 60
    B. 若样本数据 x1, x2 ,, x10 标准差为 8,则数据 2x1 −1, 2x2 −1,,

    2x −1的标准差为 16
    10
    C. 当b −3a > 0 时, f (x)在区间(−1, 1)内单调递减
    D. 当 ab > 0 时, f (x)有两个极值点
    11. 我国古代太极图是一种优美的对称图.定义:能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为
    圆O 的一个“太极函数”,则下列命题中正确的是( )
    A. 函数 f (x)= sinx +1是圆
    O : x + (y −1) =1的一个太极函数
    2 2
    B. 对于圆O : x2 + y2 =1的所有非常数函数的太极函数中,都不能为偶函数
    C. 对于圆O : x2 + y2 =1的所有非常数函数的太极函数中,均为中心对称图形
    D. 若函数 f (x)= kx − kx(k ∈R)是圆O : x2 + y2 =1的太极函数,则 k ∈(−2, 2)
    3
    三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
    c
    PF ⊥ F F PF F 的内切圆的半径为
    1 1 2 , 1 2 ,则椭圆C 的离心率为______.
    3 x
    f x = ax + x > ,若 a 是从1, 2,3, 4 四个数中任取一个,b 是从 4, 8,12,16, 20, 24 六
    x − 4
    14. 设函数 ( ) ( 4)
    个数中任取一个,则 f (x)> b 恒成立的概率为__________.
    四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15. 在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知(b + c)(sinB −sinC)= (a − c)sinA .
    (1)求 B ;
    司12. 曲线 y = 2x − lnx 在点(1,2)处的切线与抛物线
    y = ax − ax + 相切,则 a =__________.
    2 2
    13. 已知椭圆 :
    2
    2 +
    2
    2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 F1, F2 ,若 P 为椭圆C 上一点,
    (2)若ABC 的面积为 3 3
    4
    ,且 AD = 2DC ,求 BD的最小值.
    16. 已知双曲线 E 的焦点在 x 轴上,离心率为 2 3
    3
    ,点(3, 2)在双曲线 E 上,点
    F F 分别为双曲线的
    1, 2
    左、右焦点.
    (1)求 E 的方程;
    (2)过 F2 作两条相互垂直 直线l1 和l2 ,与双曲线的右支分别交于 A ,C 两点和 B, D两点,求四边形

    ABCD 面积的最小值.
    上的动点.
    存在,请说明理由.
    18. 若无穷正项数列{ } a < M n∈N ;②{ }
    a 同时满足下列两个性质:①存在 M > 0 ,使得 , * a 为单调
    n n n
    数列,则称数列{ }
    a 具有性质 P .
    n
    (i)判断数列{ },{ }
    a b 是否具有性质 P ,并说明理由;
    n n
    (ii)记 Sn = a1b1 + a2b2 ++ anbn ,判断数列{ }
    S 是否具有性质 P ,并说明理由;
    n
    1
    (2)已知离散型随机变量 X 服从二项分布 B(n p) < p < ,记 X 为奇数的概率为
    , ,0 c .证明:数列
    n
    2
    { }
    c 具有性质 P .
    n
    x−2 4e
    19 已知函数 ( )= − , ( )
    f x 2x
    g x = −x2 + 3ax − a2 −3a ( a∈R 且 a < 2).
    x
    (1)令ϕ (x) = f (x)− g (x),h(x)是ϕ (x)的导函数,判断 h(x)的单调性;
    司17. 如图,侧面 BCC1B1 水平放置的正三棱台 ABC − A1B1C1, AB = 2A1B1 = 4,侧棱长为 2, P 为棱
    A B
    1 1
    (1)求证: AA1 ⊥ 平面
    BCC B ;
    1 1
    (2)是否存在点 P ,使得平面 APC 与平面 A1B1C1 的夹角的余弦值为 5 33
    33
    ?若存在,求出点 P ;若不
    n
    a = n − b =  
    2 1,
    1
    (1)若
    n n
     
    3

    (2)若 f (x)≥ g (x)对任意的 x∈(1,+∞)恒成立,求 a 的取值范围.
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