天域全国名校协作体2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题

这是一份天域全国名校协作体2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题，共11页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，已知曲线等内容，欢迎下载使用。

高三年级数学学科 试题
命题审题：石家庄市第二中学 厦门市双十中学 长沙市雅礼中学
主办学校；石家庄市第二中学 厦门市双十中学 长沙市雅礼中学
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量．，若，则实数（ ）
A．B．C．11D．4
3．已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，其图象无限接近直线但又不与该直线相交，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知等差数列的前n项和为，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线l与抛物线C交于异于原点O的A，B两点，若在直线上存在点，使得四边形是平行四边形，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．某游乐场一段滑水道的示意图如下所示，A点、B点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为40．两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分（该三次函数在A，B两点处取得极值），考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成的夹角，则A，B两点在水平方向的距离约为（ ）
A．B．C．D．
8．研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量x，y，z若x，y的样本相关系数为，y，z的样本相关系数为，则x、z的样本相关系数的最大值为（ ）
附：相关系数
A．B．C．D．1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（ ）
A．估计该年级学生成绩的众数为75
B．
C．估计该年级学生成绩的75百分位数约为85
D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
10．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）
A．曲线C关于原点对称
B．曲线C存在点P，使得
C．直线与曲线C没有交点
D．点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则
11．已知，，…，，为1，2，…，5，6的任意排列，设，．则（ ）
A．任意交换的顺序，不影响X的取值
B．满足及的排列有20个
C．的概率为
D．的概率为
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，，则______．
13．已知正三棱柱的体积与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为______．
14．定义在上的函数满足：①；②；③，则______，______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，且
（1）求角A；
（2）若为锐角三角形，且，求a的取值范围．
16．（15分）已知函数，
（1）当时，求在上的最大值；
（2）求的零点个数．
17．（15分）如图，四棱锥中，，，，，平面平面，且平面，平面平面．
（1）求四棱锥的体积；
（2）设Q为上一点，若，求二面角的大小．
18．（17分）已知椭圆的右焦点为F，点在C上，且轴，过点M且与椭圆C有且只有一个公共点的直线与x轴交于点P．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点R是椭圆C上异于M的一点，且三角形的面积为24，求直线的方程；
（3）过点P的直线交椭圆C于D，E两点（D在E的左侧），若N为线段的中点，直线交直线于点Q，T为线段的中点，求线段的最大值．
19．（17分）黎曼函数与数论中的素数分布定理和黎曼猜想密切相关．是这样定义的：记为复数s的实部，当时，有，故对的研究具有重要意义．
（1）已知对任意正整数n，都存在唯一的整数和，使得，其中为奇数，为自然数，求；
（2）试判断是否存在正整数k，使得，并证明你的结论；
（3）求证：．
绝密★考试结束前
2024-2025学年第一学期天域全国名校协作体联考
高三年级数学学科参考答案
1．B 2．B 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．B
【答案】
【解析】设，，
，
，
，
设与夹角为，与夹角为，
则与夹角余弦值最大值为，此时x与z样本相关系数最大．
由，，
从而
故选：B
9．ACD10．CD11．ABD
11．【详解】对于A，注意到当被确定后，的取值也被固定，因此满足条件的条件组数即满足条件的的组数，即从1，2，…，5，6中任选3个数的数目，即．
注意到任意交换的顺序，不影响X，Y的取值，任意交换的顺序，不影响X，Y的取值，A正确，B正确；因此不妨设及．
注意到，整体交换和也不影响X，Y的取值，因此不妨设，即，
将满足以上条件的排列列举如下：
总情况数共10种，除第一种外均满足．因此，
12．13．214．1，（第一空2分，第二空3分）
14．【解析】
在①中，令，得，
在②中，令，得，
在①中，令，得，所以；
在①中，令，得，令，则有，所以是奇函数，C选项正确；
在②中，令，得，
由③知，在上非严格单调递增，又因为，所以均有．
注意到，因此，
于是
15．【解析】（1），则
，即，，
或（舍）
（2）由正弦定理得，即，
且，，所以
因为为锐角三角形，，，所以，
所以，即．
可得，即a的取值范围为．
16．【解析】（1），，
令，则单调递减，且
从而，，单调递增；，，单调递减．
（2）令，则由，
令，则
从而在上单调递减，在上单调递减．
若，当时，，若，当时，；
若，当时，，当时，．
从而当时，与有一个交点时，与有两个交点
故时，有一个零点；时有两个零点．
17．【解析】
（1）因为平面，平面，平面平面，
所以．
同理，．
所以．
因为，，，
所以．
所以底面的面积．
在中，，，，所以，所以
由平面平面，平面平面，，平面，
所以平面．
因为，
所以．
所以四棱锥的体积．
（2）因为，，，所以，所以，，两两垂直，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，．
所以，
设，
所以，
因为
所以高
解得．
所以．
因此，，
设为平面的法向量，则，
取，则，，即．
因为平面所以平面的法向量为
设二面角为，则
即二面角的大小为
18．【解析】（1）由题意得，，
从而，，椭圆C方程为
（2）设，与椭圆联立，
得，由椭圆与直线只有一个交点，
令，即①
又过，则②
联立①②可得即点P为．
设原点由，故，
从而R到l的距离为O到l距离的2倍，即R在l关于O对称的直线上，
又R在椭圆上，从而M，R关于O对称
故直线方程为
（3）设，，，
则，即①，
又由可得
②
结合①②可得，，
，，，，
则直线的方程为，
轴，直线与交于Q，
则，故，
故轴，从而．
19．【解析】（1）由，，，，，
'，，，，
知
（2）证明：设，为奇数，为自然数，
设，
设，，则．
否则，当时，，与r的定义矛盾，故，
则
，其中为奇数，时为偶数，
从而分子为奇数，分母为偶数，分式不可能为2024，故不存在这样的k．
（3）证明：对任意正整数n，当时，，
故
又，故，
从而
则X
Y
X
Y
123
456
3
4
135
246
5
2
124
356
4
3
136
245
5
2
125
346
5
3
145
236
5
2
126
345
5
3
146
235
5
2
134
256
4
2
156
234
4
2