2025届河南省南阳市卧龙区九年级数学第一学期开学监测模拟试题【含答案】

这是一份2025届河南省南阳市卧龙区九年级数学第一学期开学监测模拟试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）一元二次方程配方后可化为( )
A．B．C．D．
2、（4分）如果多项式能用公式法分解因式，那么k的值是( )
A．3B．6C．D．
3、（4分）如果一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么k、b应满足的条件是（ ）
A．k＞0，且b＞0B．k＜0，且b＞0C．k＞0，且b＜0D．k＜0，且b＜0
4、（4分）如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，则FC等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
5、（4分）计算×的结果是( )
A．B．8C．4D．±4
6、（4分）某商品的价格为元，连续两次降后的价格是元，则为（ ）
A．9B．10C．19D．8
7、（4分）为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S（米）与所用的时间t（秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第（ ）秒
A．80B．105C．120D．150
8、（4分）若a＜+2＜b，其中a，b是两个连续整数，则a+b＝（ ）
A．20B．21C．22D．23
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知，则的值为_____.
10、（4分）一组数据5，7，2，5，6的中位数是_____．
11、（4分）一组数据2，x，4，6，7，已知这组数据的众数是6，那么这组数据的方差是________．
12、（4分）_____．
13、（4分）甲、乙两同学参加学校运动员铅球项目选拔赛，各投掷6次，记录成绩，计算平均数和方差的结果为：，则成绩较稳定的是_______（填“甲”或“乙”）．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）已知x=+1 , y=－1 , 求x2+xy+y2的值．
15、（8分）计算：
（小题1）解不等式组
16、（8分）如图，点在等边三角形的边上，将绕点旋转，使得旋转后点的对应点为点，点的对应点为点，请完成下列问题：
(1)画出旋转后的图形；
(2)判断与的位置关系并说明理由.
17、（10分）为了推动我区教育教学发展，加快教师的成长与提升，学年度某名师工作室开展了多次送教下乡活动.在某次研讨课活动中,为了分析某节复习课的教学效果，课前,张老师让八()班每位同学做道类似题目(与这节课内容相关)析某节复至少容对,解题情况如图所示:课后，再让学生做道类似的题目.结果如表所示.已知每位学生至少答对题.
（1）根据图表信息填空： ； .
（2）该班课前解题时答对题数的众数是 ；课后答对题数的中位数是 .
（3）通过计算课前，课后学生答对题数的平均数，评价这节复习课的教学效果.
18、（10分）在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x（张），总费用为y（元）．现有两种购买方案：
方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；
（总费用＝广告赞助费+门票费）
方案二：购买门票方式如图所示．
解答下列问题：
（1）方案一中，y与x的函数关系式为 ；
方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为 ，当x＞100时，y与x的函数关系式为 ；
（2）如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由；
（3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在反比例函数的图像上有点它们的横坐标依次为1，2，3，……，n，n+1，分别过点作x轴，y轴的垂线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，则Sn=__________。（用含n的代数式表示）
20、（4分）把容量是64的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是5，7，11，13，第5组到第7组的频率都是0.125，那么第8组的频率是______.
21、（4分）如图，把正方形纸片对折得到矩形ABCD，点E在BC上，把△ECD沿ED折叠，使点C恰好落在AD上点C′处，点M、N分别是线段AC′与线段BE上的点，把四边形ABNM沿NM向下翻折，点A落在DE的中点A′处．若原正方形的边长为12，则线段MN的长为_____．
22、（4分）如图，在正方形ABCD的外侧作等边△DEC，则∠AEB=_________度．
23、（4分）菱形的两条对角线相交于，若，，则菱形的周长是___．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC=15，csA=．
（1）求线段CD的长；
（2）求sin∠DBE的值．
25、（10分）下图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况．应用你所学的统计知识，写一份简短的报告，让交警知道这个时段路口来往车辆的车速情况．
26、（12分）如图，正方形，点在边上，为等腰直角三角形.
（1）如图1，当，求证；
（2）如图2，当，取的中点，连接，求证：
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【详解】
解：x2＋4x＝−1，
x2＋4x＋4＝1，
（x＋2）2＝1．
故选：C．
本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成（x＋m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
2、D
【解析】
由于可以利用公式法分解因式，所以它是一个完全平方式，所以.
故选D.
3、B
【解析】
试题分析：∵一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
故选B．
考点：一次函数的性质和图象
4、B
【解析】
试题分析：由四边形ABCD是矩形与AB=6，△ABF的面积是14，易求得BF的长，然后由勾股定理，求得AF的长，根据折叠的性质，即可求得AD，BC的长，继而求得答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC，
∵AB=6，
∴S△ABF=AB•BF=×6×BF=14，
∴BF=8，
∴AF===10，
由折叠的性质：AD=AF=10，
∴BC=AD=10，
∴FC=BC﹣BF=10﹣8=1．
故选B．
考点：翻折变换（折叠问题）．
5、C
【解析】
根据二次根式乘法法则进行计算即可.
【详解】
原式=
=
=4，
故选C.
本题考查了二次根式的乘法，正确把握二次根式乘法的运算法则是解题的关键.
6、B
【解析】
第一次降价后的价格为100(1-x%)，第二次降价后的价格为100(1-x%)(1-x%).
【详解】
由题意列出方程：100(1-x%)2=81
(1-x%)2=0.81
1-x%=±0.9
x=10或190
根据题意，舍弃x=190，则x=10，
故选择B.
要理解本题中“连续两次降价”的含义是，第二次降价前的基础价格是第一次降价后的价格.
7、C
【解析】
如图，分别求出OA、BC的解析式，然后联立方程，解方程就可以求出第一次相遇时间．
【详解】
设直线OA的解析式为y=kx，
代入A（200，800）得800=200k，
解得k=4，
故直线OA的解析式为y=4x，
设BC的解析式为y1=k1x+b，由题意，得
，
解得：，
∴BC的解析式为y1=2x+240，
当y=y1时，4x=2x+240，
解得：x=120，
则她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒，
故选C.
本题考查了一次函数的运用，一次函数的图象的意义的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答时认真分析求出一次函数图象的数据意义是关键．
8、B
【解析】
直接利用8＜＜9，进而得出a，b的值即可得出答案．
【详解】
解∵8＜＜9，
∴8+2＜+2＜9+2，
∵a＜+2＜b，其中a，b是两个连续整数，
∴a＝10，b＝11，
∴a+b＝10+11＝1．
故选：B．
此题主要考查了估算无理数的大小，得出a，b的值是解题关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，即可求得x的值，进而求得y的值，然后代入求解即可．
【详解】
解：根据题意得：，解得：，
∴，
∴，
故答案为.
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥1）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为1，这几个非负数都为1．
10、1
【解析】
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】
解：将数据从小到大排列2，1，1，6，7，
因此中位数为1．
故答案为1
本题考查了中位数，正确理解中位数的意义是解题的关键．
11、3.1
【解析】
根据众数的定义先求出x的值，然后再根据方差的公式进行计算即可得．
【详解】
解：已知一组数据1，x，4，6，7的众数是6，说明x=6，
则平均数=（1+6+4+6+7）÷5=15÷5=5，
则这组数据的方差==3.1，
故答案为3.1．
本题考查了众数、方差等，熟练掌握众数的定义、方差的计算公式是解题的关键．
12、
【解析】
原式化为最简二次根式，合并即可得到结果．
【详解】
解：原式＝+2＝3．
故答案为3
此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13、乙．
【解析】
方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定．
【详解】
解：∵S甲2=1．61＞S乙2=1．51，∴成绩较稳定的是是乙．
本题考查方差的意义．方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、7
【解析】
根据二次根式的加减法法则、平方差公式求出x+y、xy，利用完全平方公式把所求的代数式变形，代入计算即可．
【详解】
∵x=+1 , y=－1 ,
∴x+y=（+1）+（－1）=2，
xy=（+1）（－1）=1，
∴x2+xy+y2 = x2+2xy+－xy=-xy=-1=7.
故答案为：7.
本题考查二次根式的化简求值，灵活运用平方差公式是解题的关键.
15、-2＜x≤-6
【解析】
解不等式（1）得：x-6≥2x
x-2x≥6
-x≥6
x≤-6
解不等式（2）得：1-3x+3＜8-x
-3x+x＜8-1-3
-2x＜4
x＞-2
∴这个不等式的解是-2＜x≤-6
16、 (1)见解析；(2)AB//CE，理由见解析.
【解析】
（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据“同旁内角互补，两直线平行”进行证明即可.
【详解】
(1)旋转后的图形如下：
①作
②截取
③连接
(2)与的位置关系是平行，
理由：由等边三角形得：
由于绕点旋转到
∴
∴即
∴
此题主要考查了旋转变换以及平行线的判定，正确应用等边三角形的性质是解题关键．
17、（1）；；（2）题，题；（3）这节复习课的教学效果明显.，
【解析】
求得频数之和即可得出b的值，再利用总数b求出a的值
根据众数和中位数的定义求得答案
求出答对题数的平均数即可.
【详解】
解：（1）b=4+7+10+9+7+3=40(人),a=40-2-3-3-9-13=10（人）
（2）根据众数和中位数的定义，求得众数为题，中位线为题
（3）课前答对题数的平均数为（题），
课后答对题数的平均数为（题），
从答对题数的平均数知，这节复习课的教学效果明显.，
本题考查频率分布表，熟练掌握计算法则是解题关键.
18、解：(1) 方案一:y=60x+10000；
当0≤x≤100时，y=100x；
当x＞100时，y=80x+2000；
(2)当60x+10000＞80x+2000时，即x＜400时，选方案二进行购买，
当60x+10000=80x+2000时，即x=400时，两种方案都可以，
当60x+10000＜80x+2000时，即x＞400时，选方案一进行购买；
(3) 甲、乙单位购买本次足球赛门票分别为500张、200张.
【解析】
（1）根据题意可直接写出用x表示的总费用表达式；
（2）根据方案一与方案二的函数关系式分类讨论；
（3）假设乙单位购买了a张门票，那么甲单位的购买的就是700-a张门票，分别就乙单位按照方案二：①a不超过100；②a超过100两种情况讨论a取值的合理性．从而确定求甲、乙两单位各购买门票数．
【详解】
解：(1) 方案一:y=60x+10000；
当0≤x≤100时，y=100x；
当x＞100时，y=80x+2000；
(2)因为方案一y与x的函数关系式为y=60x+10000，
∵x＞100，方案二的y与x的函数关系式为y=80x+2000；
当60x+10000＞80x+2000时，即x＜400时，选方案二进行购买，
当60x+10000=80x+2000时，即x=400时，两种方案都可以，
当60x+10000＜80x+2000时，即x＞400时，选方案一进行购买；
(3) 设甲、乙单位购买本次足球赛门票数分别为a张、b张；
∵甲、乙单位分别采用方案一和方案二购买本次足球比赛门票，
∴乙公司购买本次足球赛门票有两种情况：b≤100或b＞100.
① b≤100时，乙公司购买本次足球赛门票费为100b，
解得不符合题意，舍去；
② 当b＞100时，乙公司购买本次足球赛门票费为80b+2000，
解得符合题意
答：甲、乙单位购买本次足球赛门票分别为500张、200张.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
由题意可知，每个小矩形的宽度为1，第个小矩形的长为 ，故将 代入，可求。
【详解】
解：依题意得




故答案为：
掌握反比例函数与面积的关系是解题的关键。
20、0.1
【解析】
利用频率与频数的关系得出第1组到第4组的频率，进而得出第8组的频率．
【详解】
解：∵把容量是64的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是5，7，11，13，
∴第1组到第4组的频率是：（5+7+11+13）0.5625
∵第5组到第7组的频率是0.125，
第8组的频率是：1- 0.5625-0.125= 0.1
故答案为： 0.1．
此题主要考查了频数与频率，正确求出第5组到第7组的频数是解题关键．
21、2
【解析】
作A′G⊥AD于G，A′H⊥AB于H，交MN于O，连接AA′交MN于K．想办法求出MK，再证明MN＝4MK即可解决问题；
【详解】
解：如图，作A′G⊥AD于G，A′H⊥AB于H，交MN于O，连接AA′交MN于K．
由题意四边形DCEC′是正方形，△DGA′是等腰直角三角形，
∴DG＝GA′＝3，AG＝AD﹣DG＝9，设AM＝MA′＝x，
在Rt△MGA′中，x2＝（9﹣x）2+32，
∴x＝5，AA′＝，
∵sin∠MAK＝，
∴ ，
∴MK＝，
∵AM∥OA′，AK＝KA′，
∴MK＝KO，
∵BN∥HA′∥AD，DA′＝EA′，
∴MO＝ON，
∴MN＝4MK＝2，
故答案为2．
本题考查翻折变换、正方形的性质．矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
22、1
【解析】
根据正方形和等边三角形的性质证明△ADE是等腰三角形，由此可以求出∠DEA，同理求出∠CEB即可解决问题．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AD，
∵△DCE是正三角形，
∴DE＝DC＝AD，∠CDE＝∠DEC＝60°，
∴△ADE是等腰三角形，∠ADE＝90°＋60°＝150°，
∴∠DAE＝∠DEA＝＝15°，
同理可得：∠CBE＝∠CEB＝15°，
∴∠AEB＝∠DEC―∠DEA―∠CEB＝60°－15°－15°＝1°，
故答案为：1．
此题主要考查了正方形和等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，灵活运用相关性质定理是解题的关键．
23、
【解析】
根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．
【详解】
∵菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=8，BD=6，由菱形对角线互相垂直平分，
∴BO=OD=3，AO=OC=4，
∴AB==5，
故菱形的周长为1，
故答案为：1．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，以及菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）CD=；
（2）.
【解析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出AB的长，即可求出CD的长；
（2）由于D为AB上的中点，求出AD=BD=CD=，设DE=x，EB=y，利用勾股定理即可求出x的值，据此解答即可.
【详解】
解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=15，csA=，∴AB=25.
∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，∴CD=.
（2）在Rt△ABC中，.
又AD=BD=CD=，设DE=x，EB=y，则
在Rt△BDE中，①，
在Rt△BCE中，②，
联立①②，解得x=.
∴.
25、见解析
【解析】
根据图形中的信息可得出最高速度与最低速度，其中速度最多的车辆有多少等等，最后组织语言交代清楚即可.
【详解】
由图可得：此处车辆速度平均在51千米/小时以上，大多以53千米/小时或54千米/小时速度行驶，最高速度为53千米/小时，有超过一半的速度在52千米/小时以上，行驶速度众数为53.
本题主要考查了统计图的认识，熟练掌握相关概念是解题关键.
26、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）可证，易知三角形FCG为等腰直角三角形，即，再求出；
（2）添加辅助线，连接，在上截取，使得，连接，先求证，继而可证，在中，利用勾股定理即可求证.
【详解】
解：作
四边形是正方形
是等腰直角三角形
连接，在上截取，使得，连接
为等腰直角三角形，
四边形是正方形
三点共线
为的中点，
在中，
即
本题是正方形与三角形的综合，主要考查了三角形全等、正方形的性质、勾股定理，辅助线的添加难度较大.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分