云南省祥云县第一中学2024-2025学年高三上学期开学见面考数学试卷

这是一份云南省祥云县第一中学2024-2025学年高三上学期开学见面考数学试卷，共13页。试卷主要包含了已知，则在上的投影向量为，关于函数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题，共58分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，为虚数单位，则复数的共轭复数（ ）
A. B.
C. D.
3.已知双曲线的左､右焦点依次为，且，若点在双曲线的右支上，则（ ）
A. B.6 C.8 D.10
4.已知，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5.从甲队30人､乙队20人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（ ）
A.0.8
6.已知，直线过函数图象的对称中心，则的最小值为（ ）
A.9 B.8 C.6 D.5
7.如图甲，一个长为､宽为2的长方形，取这个长方形的四条边的中点依次为，依次沿折叠，使得这个长方形的四个顶点都重合而得到的四面体，称为“萨默维尔四面体”，如图乙，则这个四面体的体积为（ ）
A. B. C.1 D.2
8.设函数若存在最小值，则的最大值为（ ）
A.1 B. C. D.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.关于函数，下列说法正确的是（ ）
A.最小正周期为 B.关于点中心对称
C.最大值为 D.在区间上单调递减
10.已知函数，则（ ）
A.在上单调递增 B.是的零点
C.的极小值为0 D.是奇函数
11.抛物线的焦点为，经过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，分别过点､点作抛物线的切线，两切线相交于点，则（ ）
A.当时，
B.面积的最小值为2
C.点在一条定直线上
D.设直线的倾斜角为为定值
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知数列为等差数列，构成等比数列，则的值是__________.（任写出一个即可）
13.已知，且，则__________.
14.已知为中不同数字的种类，如与视为不同的排列，则的不同排列有__________个（用数字作答）；所有的排列所得的平均值为__________.（第一空2分，第二空3分）
四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
在中，角的对边分别为.
（1）求角；
（2）若的面积为边上的高为1，求的周长.
16.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）当时，求的极值.
17.（本小题满分15分）
如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，平面平面分别为的中点，且在棱上，满足.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18.（本小题满分17分）
甲､乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲､乙两人各积1分的概率为.记甲､乙两人的答题总次数为.
（1）求；
（2）当时，求甲得分的分布列及数学期望.
19.（本小题满分17分）
已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知，点为椭圆上一点.
（i）若点在第一象限内，延长线交轴于点与的面积之比为，求点坐标；
（ii）设直线与椭圆的另一个交点为点，直线与椭圆的另一个交点为点.设，求证：当点在椭圆上运动时，为定值.
祥云县第一中学2025届高三年级上学期见面考
数学参考答案
第I卷（选择题，共58分）
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
【解析】
1.因为，所以，故选A.
2.因为，所以，故选D.
3.由题意得的方程为，点在双曲线的右支上，由双曲线的定义得，故选B.
4.由，得，又，所以，所以在上的投影向量为，故选B.
5.由分层抽样的定义可知，甲队抽取人，乙队抽取人，所以这10人答对题目的平均数为，所以这10人答对题目的方差为，故选C.
6.因为为奇函数，所以函数图象关于中心对称，函数图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得函数的图象，所以的对称中心为，所以，所以，当且仅当，
即时，等号成立，所以的最小值为9，故选A.
7.如图，设折叠后的中点为，则
根据折叠前后关系可得，
且
平面，又易知，
，
为直角三角形，所求四面体的体积为，故选B.
8.当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意；当时，
当时，；又时，存
在最小值0，满足题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，若存在最小值，则，解得；当时，在上单调递减，在上单调递增，若存在最小值，则，不等式无解；综上所述，实数的取值范围为，则的最大值为1，故选A.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
【解析】
9.因为.对于A，
的最小正周期为，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，的最大值为，故C正确；对于D，，，则在区间上单调递增，故D错误，故选BC.
10.由题意得的定义域为，当时，单
调递增，当时，单调递减，所以的极小值为，故A错误，C正确；因为，所以是的零点，故B正确；因为的定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故D错误，故选BC.
11.易知抛物线的方程为，直线的方程为，将代入，整理得，设，则，所以，由，得，所以，所以或，所以A不正确；因为，当且仅当时，的面积有最小值2，故B正确；抛物线的方程为，求导得，切线的方程为，切线的方程为，联立可得点的坐标为，故点在一条定直线上，所以C正确；当时，显然；当时，因为，所以，这说明直线与直线互相垂直，所以，所以D正确，故选BCD.
第II卷（非选择题，共92分）
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【解析】
12.设等差数列的公差为，因为构成等比数列，所以，即，解得或，当时，，所以；当时，，所以.
13.由，得，即，又，所以，从而.
14.由题意可知，的不同排列有个；当时，，当时，，当时，，当时，，综上所述，所有的256个的排列所得的的平均值为：.
四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
解：（1）因为
由正弦定理，得，
即
因为在中，，所以，
又因为，所以.
（2）因为的面积为边上的高为1，
所以，得，
即，所以.
由余弦定理，得
即，化简得
所以，即，
所以的周长为.
16.（本小题满分15分）
解：（1）由得，，
，
，
又，
在处的切线方程为.
（2）由得，可知函数的定义域为，
，
设，
在上单调递减，
当时，，此时，
故在上单调递增；
当时，，此时，
故在上单调递减，
又，
在处有极大值，函数无极小值.
17.（本小题满分15分）
（1）证明：在中，因为分别为的中点，，
所以为的重心，所以，
又，所以.
平面平面，
平面.
（2）解：因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
连接，则，以为正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，
，
所以，
设平面的一个法向量为，
则取，则，
所以平面的一个法向量为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为
18.（本小题满分17分）
解：（1）记“第次答题时为甲”，“甲积1分”，
则，
，
所以，
则，解得.
（2）由题意可知当时，可能的取值为，
则由（1）可知：，
，
的分布列为：
随机变量的数学期望为.
19.（本小题满分17分）
（1）解：由题意知，
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）解：由题意知，直线的斜率一定存在，如图，
设其方程为，
令，则，即，
设点到直线的距离为，
因为是的中点，所以点到直线的距离为，
又与的面积之比为，
所以，所以，即点是的中点，
所以，
因为点在椭圆上，
所以，
解得（舍正），
所以.
（ii）证明：设，
直线的方程为，其中，
联立得，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
设直线的方程为，其中，
同理可得，，
所以
，为定值.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
B
C
A
B
A
题号
9
10
11
答案
BC
BC
BCD
题号
12
13
14
答案
1或（任写一个即正确）
3
；
0
1
2