高考数学考点题型归纳与方法总结(新高考)素养拓展19等差数列中Sn的最值问题(精讲+精练)学生版+解析

这是一份高考数学考点题型归纳与方法总结(新高考)素养拓展19等差数列中Sn的最值问题(精讲+精练)学生版+解析，共41页。试卷主要包含了知识点梳理，等差数列的前n项和的最值，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、知识点梳理
一、等差数列的通项公式和前n项和公式
1.等差数列的通项公式
如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
2.等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和．
注：数列是等差数列⇔（为常数）．
二、等差数列的前n项和的最值
1.公差为递增等差数列，有最小值；
公差为递减等差数列，有最大值；
公差为常数列．
2.在等差数列中
（1）若，则满足的项数使得取得最大值；
（2）若，则满足的项数使得取得最小值．
即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；
若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．
二、题型精讲精练
【典例1】（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
【题型训练-刷模拟】
一、单选题
1．（2029·四川泸州·统考三模）记为等差数列的前n项和，已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2029·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
9．（2029·全国·高三专题练习）已知无穷等差数列的前n项和为，公差为，若 ，则不正确的（ ）
A．数列单调递减B．数列没有最小值
C．数列{}单调递减D．数列{}有最大值
4．（2029·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（ ）
A．10B．11C．12D．19
5．（2029·河南·开封高中校考模拟预测）已知为等差数列的前项和．若，，则当取最大值时，的值为（ ）
A．9B．4C．5D．6
6．（2029·全国·高三专题练习）设数列为等差数列，是其前n项和，且，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．与均为的最大值
7．（2029·四川成都·成都外国语学校校考模拟预测）已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最大值时的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2029·全国·高三专题练习）设为等差数列的前项和，且，都有，若，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
9．（2029·四川自贡·统考三模）等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（ ）①为的最小值 ② ③， ④为的最小值
A．1B．2C．9D．4
10．（2029·全国·高三专题练习）数列是递增的整数数列，若，，则的最大值为（ ）
A．25B．22C．24D．29
11．（2029·四川成都·石室中学校考模拟预测）设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
12．（2029·全国·高三专题练习）在等差数列中，前n项和为，若，，则在，，…，中最大的是（ ）
A．B．C．D．
19．（2029·全国·高三专题练习）已知各项为正的等比数列的公比为q，前n项的积为，且，若，数列的前n项的和为，则当取得最大值时，n等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
14．（2029·全国·高三专题练习）等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（ ）
A．若有最大值，则数列的公差小于0
B．若，则使的最大的n为18
C．若，，则中最大
D．若，，则数列中的最小项是第9项
15．（2029·全国·高三专题练习）对于数列，定义为的“优值”．现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值为
16．（2029·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且.若存在实数，，使得，且，当时，取得最大值，则的值为（ ）
A．12或19B．11或12
C．10或11D．9或10
二、多选题
17．（2029·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ）
A．B．
C．当时，是的最大值D．当时，是的最小值
18．（2029春·河南·高三阶段练习）等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ）
A．B．
C．当时，取得最大值D．当时，取得最大值
19．（2029·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）数列是等差数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值B．若，则时最大
C．若，使为负值的n值有9个D．若，则
20．（2029春·安徽亳州·高三校考阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递减数列B．
C．当时，D．
21．（2029秋·山东济南·高三统考期中）已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最大值为
C．的最小值为D．
22．（2029·江苏盐城·校考模拟预测）等差数列的前项和为，公差为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则最小
C．D．
29．（2029·全国·高三专题练习）设是等差数列的前项和，若，且，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．和均为的最大值
C．存在正整数，使得D．存在正整数，使得
三、填空题
24．（2029秋·辽宁·高三校联考期末）已知数列的通项公式为，为前项和，则最小值时， .
25．（2029春·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知为等差数列的前项和.若，，则当取最小值时，的值为 .
26．（2029·全国·高三专题练习）是数列的前n项和，当时，取得最小值，写出一个符合条件的数列的通项公式，an= .
27．（2029·全国·高三专题练习）首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，现有下列4个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则中最大；
④若，则使的的最大值为11．
其中所有真命题的序号是 ．
28．（2029春·江西宜春·高三校考开学考试）设等差数列的前n项和为且，当取最大值时，的值为 ．
29．（2029·福建泉州·校联考模拟预测）已知是等差数列{}的前n项和，若仅当时取到最小值，且，则满足的n的最小值为 .
90．（2029·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，且，，则的最小值是 .
91．（2029秋·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知等差数列的前n项和为，并且，若对恒成立，则正整数的值为 .
四、解答题
92．（2029·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值.
99．（2029·海南·校联考模拟预测）已知等差数列是递减数列，设其前项和为，且满足，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求的最大值及相应的的值．
94．（2029春·青海西宁·高三校考开学考试）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
95．（2029·辽宁丹东·统考二模）记为数列的前项和，已知，．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：．
96．（2029·贵州贵阳·校联考三模）设数列的前项和为，当时，有．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，求的最大值．
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展19 等差数列中Sn的最值问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、等差数列的通项公式和前n项和公式
1.等差数列的通项公式
如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
2.等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和．
注：数列是等差数列⇔（为常数）．
二、等差数列的前n项和的最值
1.公差为递增等差数列，有最小值；
公差为递减等差数列，有最大值；
公差为常数列．
2.在等差数列中
（1）若，则满足的项数使得取得最大值；
（2）若，则满足的项数使得取得最小值．
即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；
若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．
二、题型精讲精练
【典例1】（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
【题型训练-刷模拟】
一、单选题
1．（2029·四川泸州·统考三模）记为等差数列的前n项和，已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知求得公差，得等差数列前项和，结合二次函数知识得最小值．
【详解】设公差为，
则，，
，
所以时，取得最小值．
故选：A．
2．（2029·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式列方程组求得和公差，写出前项和，由二次函数性质得结论．
【详解】等差数列中，，
则，，
∴，
解得，．
∴，
∴当时，取得最小值．
故选：B．
9．（2029·全国·高三专题练习）已知无穷等差数列的前n项和为，公差为，若 ，则不正确的（ ）
A．数列单调递减B．数列没有最小值
C．数列{}单调递减D．数列{}有最大值
【答案】C
【分析】根据等差数列的公差即可判断AB,根据的函数特征即可结合二次函数的性质求解CD.
【详解】由于公差，所以单调递减，故A正确，由于为无穷的递减等差数列，所以B正确，由，故为开口向下关于 的二次函数，且对称轴为，由于对称轴与1的关系不明确，所以无法确定单调性，但是由于开口向下，故有最大值，故C错误，D正确，
故选：C
4．（2029·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（ ）
A．10B．11C．12D．19
【答案】A
【分析】利用等差数列的性质得出即可求解.
【详解】等差数列，，，
，，则取最大值时，.
故选：A.
5．（2029·河南·开封高中校考模拟预测）已知为等差数列的前项和．若，，则当取最大值时，的值为（ ）
A．9B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】由已知结合等差数列的性质和前项和公式，可推得，，从而得解．
【详解】因为等差数列中，，即，
所以，
因为，即，
所以，
由为等差数列，得时，；时，，
所以当时，取得最大值．
故选：D.
6．（2029·全国·高三专题练习）设数列为等差数列，是其前n项和，且，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．与均为的最大值
【答案】C
【分析】由可判断B；由，分析可判断A；由可判断C；由，可判断D.
【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：
是等差数列，若，则，故B正确；
又由得，则有，故A正确；
而C选项，，即，可得，
又由且，则，必有，显然C选项是错误的.
∵，，∴与均为的最大值，故D正确；
故选：C
7．（2029·四川成都·成都外国语学校校考模拟预测）已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最大值时的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意判断出，即可得到答案.
【详解】由等差数列的公差，知，，所以，故，则数列的前项和取得最大值时的值为.
故选：B
8．（2029·全国·高三专题练习）设为等差数列的前项和，且，都有，若，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
【答案】C
【分析】通过分析得数列为递减的等差数列，根据得，，即可得到有最大值，为.
【详解】由得，∴数列为递减的等差数列，
∵，∴，，
∴当且时，，当且时，，
∴有最大值，最大值为.
故选：C.
9．（2029·四川自贡·统考三模）等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（ ）①为的最小值 ② ③， ④为的最小值
A．1B．2C．9D．4
【答案】C
【分析】根据等差数列的前n项和公式以及等差数列的性质，即可得，，从而确定，即可逐项判断得答案.
【详解】等差数列中，，则，故②正确；
又，所以，故，则，故③正确；
于是可得等差数列满足，其为递增数列，则，又，所以为的最小值，故①正确，④不正确；
则四个命题正确个数为.
故选：C.
10．（2029·全国·高三专题练习）数列是递增的整数数列，若，，则的最大值为（ ）
A．25B．22C．24D．29
【答案】D
【分析】数列是递增的整数数列，要取最大值，则递增幅度要尽可能为小的整数，所以，可得是首项为2，公差为1的等差数列，再利用等差数列的前项和公式即可求解.
【详解】数列是递增的整数数列，要取最大值，则递增幅度要尽可能为小的整数.
假设递增的幅度为，，，
，解得，
当时，，不满足题意.
当时，，满足，所以的最大值为29.
故选：D.
11．（2029·四川成都·石室中学校考模拟预测）设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
【答案】A
【分析】由结合等差数列的前n项和公式可知数列为递增的等差数列，由可得，，即可求出，有最小值，且最小值为.
【详解】由，得，即，
所以数列为递增的等差数列.
因为，所以，即，
则，，所以当且时，；
当且时，.因此，有最小值，且最小值为.
故选：A.
12．（2029·全国·高三专题练习）在等差数列中，前n项和为，若，，则在，，…，中最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，，知，得最大值是，从而判断结果．
【详解】∵等差数列前n项和，
由，，得，
∴，
故为递减数列，当时，；当时，，所以最大值是，
则当时，且单调递增，当时，，∴最大．
故选：B．
19．（2029·全国·高三专题练习）已知各项为正的等比数列的公比为q，前n项的积为，且，若，数列的前n项的和为，则当取得最大值时，n等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】设首项为，由题可知，则数列为等差数列，后由，
可得，即可得答案.
【详解】设首项为，因等比数列各项为正，则，，则数列为等差数列.
，又由题可得，则
，即数列为递减等差数列.
则数列前7项为正数，则当取得最大值时，n等于7.
故选：B
14．（2029·全国·高三专题练习）等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（ ）
A．若有最大值，则数列的公差小于0
B．若，则使的最大的n为18
C．若，，则中最大
D．若，，则数列中的最小项是第9项
【答案】B
【分析】由有最大值可判断A；由，可得，，利用可判断BC； ，得，，
可判断D.
【详解】对于选项A，∵有最大值，∴ 等差数列一定有负数项，
∴等差数列为递减数列，故公差小于0，故选项A正确；
对于选项B，∵，且，
∴，，
∴，，
则使的最大的n为17，故选项B错误；
对于选项C，∵，，
∴，，
故中最大，故选项C正确；
对于选项D，∵，，
∴，，
故数列中的最小项是第9项，故选项D正确.
故选：B.
15．（2029·全国·高三专题练习）对于数列，定义为的“优值”．现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值为
【答案】B
【分析】A选项，根据条件得到，求出；利用等差数列求和公式及分组求和得到；先得到，解不等式，得到时，且；并利用等差数列求和公式求出最小值.
【详解】由题意可知，，则①，
当时，，
当时，②，
①-②得，，解得，当时也成立，
，A正确；
，B错误；
，令，解得：，且，
故当或9时，的前项和取最小值，
最小值为，CD正确．
故选：B
16．（2029·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且.若存在实数，，使得，且，当时，取得最大值，则的值为（ ）
A．12或19B．11或12
C．10或11D．9或10
【答案】B
【分析】根据变形为，令，则，由此可设函数，利用其导数推得，结合可得，即，从而推得，，结合等差数列的单调性即可求得答案.
【详解】由等差数列中， ，即 ,
而，即有,
令 ，则有 ，
令函数 ，则 ,
当 时， ， 单调递减；当 时，，单调递增,
故,从而有 ，则有 ,当且仅当时，等号成立;
同理 ，即 ，当且仅当时，等号成立，
则，当且仅当时，等号成立,
又，所以，故有，所以, ,
则 ,从而 ,得 ,
又，，所以，故等差数列是单调递减数列，
当或时，取得最大值，所以或 ，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查的是等差数列的前n项和最大值问题，思路是不难，大，即确定数列是递减数列，判断前多少项为非负项即可，但关键点在于如何求得正负项分界的项，即求得，，所以这里的关键是利用，构造函数，利用导数判断函数单调性，结合最值解决这一问题.
二、多选题
17．（2029·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ）
A．B．
C．当时，是的最大值D．当时，是的最小值
【答案】ACD
【分析】根据等比中项的性质得到方程，即可得到，再根据等差数列的通项公式、求和公式及单调性判断即可.
【详解】因为，，成等比数列，所以，即，
整理得，因为，所以，
所以，则，故A正确、B错误；
当时单调递减，此时，
所以当或时取得最大值，即，故C正确；
当时单调递增，此时，
所以当或时取得最小值，即，故D正确；
故选：ACD
18．（2029春·河南·高三阶段练习）等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ）
A．B．
C．当时，取得最大值D．当时，取得最大值
【答案】BC
【分析】根据等差数列的性质可得，即可结合选项判断.
【详解】，所以，故，
当时，取得最大值.故BC正确，AD错误.
故选：BC
19．（2029·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）数列是等差数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值B．若，则时最大
C．若，使为负值的n值有9个D．若，则
【答案】AD
【分析】根据题意利用等差数列前n项和公式，可判断A；利用结合，解得公差，判断数列的单调性，可判断B；求得等差数列前n项和公式，解不等式可判断C；求出数列公差和首项，即可求得，判断D.
【详解】由数列是等差数列，，有，即，
由等差数列性质得为定值，选项A正确．
当时，，公差，则数列是递减数列，
则，，故时，最大，选项B错误．
当时，由于，则，，
令得，又，
故为负值的值有2个，选项C错误．
当时，设公差为d，即，结合,即,
解得，，故，选项D正确．
故选：AD
20．（2029春·安徽亳州·高三校考阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递减数列B．
C．当时，D．
【答案】ABC
【分析】由得，即可判断AB；结合等差数列前n项求和公式与等差数列的性质即可判断CD.
【详解】A：由，得，
，，则数列为递减数列，故A正确；
B：由选项A的分析可知，，故B正确；
C：因为，所以，
因为，所以，
因为数列是递减数列，所以当时，，故C正确；
D：，故D错误；
故选：ABC.
21．（2029秋·山东济南·高三统考期中）已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最大值为
C．的最小值为D．
【答案】ACD
【分析】先由数列为等差数列，得再由等差数列通项公式和求和公式对选项逐一分析即可.
【详解】对于A,数列为等差数列，，
数列为递减的等差数列，
故A正确，
对于B, 数列为递减的等差数列，
的最大值为，
故B错，
对于C,
由得
的最小值为,即，
故C正确，
对于D,
故D正确.
故选：ACD
22．（2029·江苏盐城·校考模拟预测）等差数列的前项和为，公差为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则最小
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据题意得，再分和两种情况讨论求解即可.
【详解】解：因为，即，
因为，
所以，
所以当，，所以，即，所以，所以，最小，此时；
当，，所以，即，所以，即所以，，此时；
故ACD满足题意.
故选：ACD
29．（2029·全国·高三专题练习）设是等差数列的前项和，若，且，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．和均为的最大值
C．存在正整数，使得D．存在正整数，使得
【答案】ACD
【分析】设数列公差为d，根据已知条件和判断公差正负，求出和d关系，逐项验证即可.
【详解】设等差数列公差为d，由得，化简得；
∵，
∴，即，∴，
∴，，∴d＜0，故数列为减数列，故A正确；
，，，故为的最大值，故B错误；
，故，故C正确；
时，，即，
又由得，
∴，解得，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
24．（2029秋·辽宁·高三校联考期末）已知数列的通项公式为，为前项和，则最小值时， .
【答案】或
【分析】求出时的范围即可得答案.
【详解】令得，
即当时，，
当时，
当时，
最小值时，或
故答案为：或.
25．（2029春·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知为等差数列的前项和.若，，则当取最小值时，的值为 .
【答案】
【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质得到，，即可判断.
【详解】因为，所以，
又，所以，则
所以为递增的等差数列，且，
所以，即当取最小值时，的值为.
故答案为：
26．（2029·全国·高三专题练习）是数列的前n项和，当时，取得最小值，写出一个符合条件的数列的通项公式，an= .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意，找一个符合题意的等差数列即可得到正确答案.
【详解】由题意，我们可以取一个等差数列：
当时，时，，所以当时，取得最小值.
所以符合题意.
故答案为：（答案不唯一）
27．（2029·全国·高三专题练习）首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，现有下列4个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则中最大；
④若，则使的的最大值为11．
其中所有真命题的序号是 ．
【答案】②③④
【分析】①由题意可以推出，不能推出，判断①错误；②由题意可得，判断出②正确；③由题意可得，判断出③正确；④由题意可得，进而，判断出④正确．
【详解】若，则，不能推出，即不能推出，故①错误；
若，则，即，则，故②正确；
若，则，
所以，则中最大，故③正确；
若，则，
即，
因为首项为正数，则公差小于0，则，
则，，
则使的的最大值为11，故④正确．
故答案为：②③④．
28．（2029春·江西宜春·高三校考开学考试）设等差数列的前n项和为且，当取最大值时，的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，用首项表示公差，代入前项和公式，化简得到为关于开口向下的二次函数，进而求出其最大值时对应的的值.
【详解】因为，所以，即，化简后可得．
，由二次函数性质可知，当时，取得最大值．
故答案为：.
29．（2029·福建泉州·校联考模拟预测）已知是等差数列{}的前n项和，若仅当时取到最小值，且，则满足的n的最小值为 .
【答案】11
【分析】由前n项和有最小值可知，得出，所以，再由即可求出n的最小值.
【详解】因为，当时取到最小值，
所以，所以，
因为，所以，即，所以.
，则，因为，
所以，解之得：,因为，所以n的最小值为11.
故答案为：11.
90．（2029·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，且，，则的最小值是 .
【答案】
【分析】根据 的关系可得，进而由等差数列求和公式求解，由二次函数的性质即可求解最值.
【详解】当时，，即，解得或.因为，所以.
当时，，所以，即，即.因为，所以，所以，即，则，从而，故，当或时，取得最小值，最小值是.
故答案为：
91．（2029秋·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知等差数列的前n项和为，并且，若对恒成立，则正整数的值为 .
【答案】
【分析】根据已知条件将恒成立问题转化为求最值问题，再利用等差数列的下角标性质及等差数列前项和公式即可求解.
【详解】由题意可知，所以，
同理得，所以.
结合，可得.
当时，取得最大值为，
要使对恒成立，只需要，即可，
所以,，即.
所以正整数的值为.
故答案为：.
四、解答题
92．（2029·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值.
【答案】(1)；
(2)，最小值为．
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列前项和公式由列出方程即可解出，从而可得数列的通项公式；
（2）根据二次函数的性质或者邻项变号法即可判断何时取最小值，并根据等差数列前项和公式求出以及其最小值．
【详解】（1）设等差数列的公差为，由等差数列前项和公式可得
因为，所以，解得，
故.
（2）由等差数列前项和公式可得.
因为，所以，则当或时，取得最小值.
99．（2029·海南·校联考模拟预测）已知等差数列是递减数列，设其前项和为，且满足，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求的最大值及相应的的值．
【答案】(1)
(2)25，或5
【分析】（1）利用数列前项和的定义及等差数列的通项公式，结合等差数列的性质即可求解；
（2）根据（1）的结论及等差数列的前项和公式，结合等差数列的性质即可求解.
【详解】（1）设等差数列公差为，则
由，得，
将代入上式解得或（舍），
所以的通项公式为．
（2）由（1）得，
所以，
故数列是以10为首项，为公差的等差数列，
令，解得，
故，
即当或5时，取得最大值25．
94．（2029春·青海西宁·高三校考开学考试）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
95．（2029·辽宁丹东·统考二模）记为数列的前项和，已知，．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的定义，结合数列前项和与第项的关系进行求解即可；
（2）根据等差数列的单调性进行求解证明即可.
【详解】（1）当时，
由，两式相减，得
．所以数列从第三项起，每一项与前一项的差为，
因为，所以，
所以当时，，显然不适合，
故；
（2）因为，，数列从第三项起，每一项与前一项的差为，
所以当时，数列是单调递减数列，
当，所以当时，有最大值，
最大值为，所以.
96．（2029·贵州贵阳·校联考三模）设数列的前项和为，当时，有．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)60
【分析】（1）由及的关系求得，可得数列是等差数列．
（2）求得,后用二次函数求最大值.
【详解】（1）因为当时，有①，
所以当时，②，
由①−②，整理可得，所以数列是等差数列．
（2）由（1）可知是等差数列，所以
可得
所以数列的公差，
所以，
所以，
又，所以当或时，取到最大值为60．