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人教版八年级数学上册重难考点微专题03等边三角形的手拉手模型通关专练特训(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册重难考点微专题03等边三角形的手拉手模型通关专练特训(原卷版+解析)，共43页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,∠A=20°．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得△A'B'C，且点B在A'B'上，CA'交AB于点D，则∠BDC的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③∠BOE=120°．其中结论正确的（ ）
A．①B．①③C．②③D．①②③
3．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=23，∠BAC=120°，D为线段BC边上的动点，以BD为边向上作等边△BED，连接CE、AD，则AD+CE的最小值为（ ）
A．43B．23+6C．3+3D．63
4．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB，AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连结DE，若AB=3，AC=5，则ED=（ ）
A．22B．23C．4D．32
5．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，正△ABC和正△CDE中，B、C、D共线，且BC=3CD，连接AD和BE相交于点F，以下结论中正确的有（ ）个
①∠AFB=60° ②连接FC，则CF平分∠BFD ③BF=3DF ④BF=AF+FC
A．4B．3C．2D．1
6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、F是射线BC上两点，且AD⊥AF，若AE=AD，∠BAD=∠CAF=15°；则下列结论中正确的有（ ）
①CE⊥BF；②△ABD≌△ACE；③S△ABC=S四边形ADCE；④BC−12EF=2AD−CF
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：
①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO平分∠BMC．
其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．（2023春·广东梅州·八年级校联考开学考试）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．①B．①②C．①②③D．①②④
9．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝2，BD＝3，则CD的长为（ ）
A．5B．4C．3D．32
10．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，则下列结论①△ACD≌△BCE ②∠AGB＝60° ③BF＝AH ④△CFH是等边三角形 ⑤连CG，则∠BGC＝∠DGC．其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、解答题
11．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE、DE．
(1)判断△CDE是什么特殊的三角形并证明；
(2)求证：AC平分∠BAE；
(3)若S△ACDS△ACE=32，求ADDB的值．
12．（2023春·安徽宿州·七年级统考期末）在△ABC中，若最大内角是最小内角的n倍（n为大于1的整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如：在△ABC中，∠A=20°，∠B=40°，∠C=120°，则称△ABC为6倍角三角形．
(1)在△ABC中，∠A=35°，∠B=40°，则△ABC为______倍角三角形；
(2)若一个等腰三角形是2倍角三角形，求最小内角的度数；
(3)如图，点E在DF上，BE交AD于点C，AB=AD，∠BAD=∠EAF，∠B=∠D=25°，∠F=75°．找出图中所有的n倍角三角形，并写出它是几倍角三角形．
13．（2023春·安徽安庆·八年级统考期末）在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE=32°，求∠ACF度数．
14．（2023春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE=AB．将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
(1)求证：EF=BC
(2)若∠ABC=63°，∠ACB=25°，则∠FGC的度数 ．
15．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，C为线段AE上一动点（点C不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O．
(1)求证：AD=BE；
(2)求∠AOB．
16．（2023春·陕西西安·七年级西安市第八十三中学校考阶段练习）如图，点A，B，C在一条直线上，分别以AB，BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，连接AE，DC，则AE与DC相等吗？请说明理由．
17．（2023·全国·八年级专题练习）如图，以△ABC的边AB、AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，相交于点F．
(1)求证：△DAC≌△BAE；
(2)求证：BE=DC；
(3)求∠DFE的度数．
18．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠CAB+∠CBA=120°，点D，E分别在边AC，BC上，且AD=BE，以DE为边作等边△DEF，连接AF，BF．求证：△FAB是等边三角形．
19．（2023·江苏·八年级假期作业）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= °．
(2)如图2，设∠BAC=α，∠BCE=β．当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC=60°，D点为△ABC中BC边上的一个动点（D与B、C均不重合），当点D运动到什么位置时，△DCE的周长最小？请探求点D的位置，并求出此时∠EDC的度数，直接写出你的结论．
三、填空题
20．（2023春·广东广州·八年级广州市真光中学校考开学考试）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．
恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上）
21．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，△ABC是边长为5的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°．E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=60°，则三角形AEF的周长为 ．
22．（2023春·七年级课时练习）如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE= ．
23．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，∠DAB=∠EAC=600，AB=AD，AC=AE，BE和CD相交于O，AB和CD相交于P，则∠DOE的度数是 °.
24．（2023春·全国·七年级专题练习）（2016育才周测）如图，正三角形ΔABC和ΔCDE，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有 ．并写出3对全等三角形 ．
25．（2019春·安徽蚌埠·八年级统考期中）如图，△ABD、△CDE是两个等边三角形，连接BC、BE．若∠DBC=30°，BD=6，BC=8，则BE= ．
微专题03 等腰（等边）手拉手模型通关专练
一、单选题
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,∠A=20°．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得△A'B'C，且点B在A'B'上，CA'交AB于点D，则∠BDC的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】C
【分析】根据旋转的性质得到∠CB'B=∠CBA，CB'=CB，∠A=∠A'，再根据补角的定义及外角的性质即可解答．
【详解】解：由旋转的性质可得：∠CB'A'=∠CBA，CB'=CB，∠A=∠A'，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，
∴∠CB'A'=∠CBA=90°−20°=70°，∠A'=20°
∵CB’=CB，
∴∠CBB'=∠CB'A'=70°
∴∠ABA'=180°−∠CBB'−∠CBA=180°−70°−70°=40°，
∴∠BDC=∠ABA'+∠A'=60°；
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，补角的定义，外角的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③∠BOE=120°．其中结论正确的（ ）
A．①B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】首先根据等边三角形的性质，得到BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠BCD=60°，然后由SAS判定△BCD≅△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；由全三角形的对应角相等，得到∠CBD=∠CAE，根据ASA证得△BCF≅△ACG，即可得到②正确；根据三角形外角性质即可得出③正确．
【详解】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中
BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE
∴△BCD≅△ACE，
∴AE=BD，∴①正确；
∴∠CBD=∠CAE，
∵∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACD=60°,
∴在△BCF和△ACG中
∠CBF=∠CAGBC=AC∠BCF=∠ACG
∴△BCF≅△ACGASA，
∴AG=BF，∴②正确；
∵△BCD≅△ACE,
∴∠CDB=∠AEC，
∵∠DCE=60°，
∴∠AOB=∠CBD+∠CEA=∠CBD+∠CDB=∠DCE=60°，
∴∠BOE=120°，
∴③正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，合理应用数形结合思想．
3．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=23，∠BAC=120°，D为线段BC边上的动点，以BD为边向上作等边△BED，连接CE、AD，则AD+CE的最小值为（ ）
A．43B．23+6C．3+3D．63
【答案】A
【分析】以AB为边，在AB的左侧作等边△ABF，连接EF，先根据“SAS”证明△FBE≅△ABD，从而得出FE=AD，然后根据∠FAB=60°，∠BAC=120°可证F，A，C在同一条直线上，根据“两点之间，线段最短”可得AD+CE的最小值为CF，即可求解．
【详解】解：以AB为边，在AB的左侧作等边△ABF，连接EF，
∵△BED和△ABF都是等边三角形，
∴∠ABF=∠EBD=60°=∠FAB，BE=BD，BF=AB=AF，
∴∠FBE=∠ABD，
∴△FBE≅△ABD（SAS），
∴FE=AD，
∵∠FAB=60°，∠BAC=120°，
∴∠FAB+∠BAC=180°
∴F，A，C在同一条直线上，
∵FE=AD，
∴AD+CE=FE+CE≥CF，
当C，E，F在同一直线上时，AD+CE取最小值，最小值为CF，
∵AB=AC=23，AB=AF，
∴AF=23，
∴CF=43，
即AD+CE的最小值为43．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间，线段最短等知识，构造△FBE≅△ABD，从而把求AD+CE的最小值转化为EF+CE的最小值的解题的关键．
4．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB，AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连结DE，若AB=3，AC=5，则ED=（ ）
A．22B．23C．4D．32
【答案】C
【分析】在Rt△ABC中可直接运用勾股定理求出BC，然后结合“手拉手”模型证得△ABC≌△ADE，即可得到DE=BC，从而求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB=3，AC=5，
∴由勾股定理得：BC=4，
∵△ABD和△ACE均为等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD，
即：∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴DE=BC=4，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定与性质，熟练运用勾股定理解三角形是解题关键．
5．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，正△ABC和正△CDE中，B、C、D共线，且BC=3CD，连接AD和BE相交于点F，以下结论中正确的有（ ）个
①∠AFB=60° ②连接FC，则CF平分∠BFD ③BF=3DF ④BF=AF+FC
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】根据“手拉手”模型证明△BCE≌△ACD，从而得到∠CBE=∠CAD，再结合三角形的外角性质即可求解∠AFB=∠ACB=60°，即可证明①；作CM⊥BE于M点，CN⊥AD于N点，证明△CEM≌△CDN，结合角平分线的判定定理即可证明②；利用面积法表示△BCF和△DCF的面积，然后利用比值即可证明③；利用“截长补短”的思想，在AD上取点Q，使得FC=FQ，首先判断出△FCQ为等边三角形，再结合“手拉手”模型推出△BCF≌△ACQ即可证明④．
【详解】解：①∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC，EC=DC，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
BC=AC∠BCE=∠ACDEC=DC
∴△BCE≌△ACDSAS，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠AFB=∠CBE+∠CDA，∠ACB=∠CDA+∠CAD，
∴∠AFB=∠ACB=60°，故①正确；
②如图所示，作CM⊥BE于M点，CN⊥AD于N点，
则∠CME=∠CND=90°，
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CEM=∠CDN，
在△CEM和△CDN中，
∠CME=∠CND∠CEM=∠CDNCE=CD
∴△CEM≌△CDNAAS，
∴CM=CN，
∴CF平分∠BFD，故②正确；
③如图所示，作FP⊥BD于P点，
∵S△BCF=12BF·CM=12BC·FP，S△DCF=12DF·CN=12CD·FP，
∴S△BCFS△DCF=12BF·CM12DF·CN=12BC·FP12CD·FP，
∵CM=CN，
∴整理得：BFDF=BCCD，
∵BC=3CD，
∴BFDF=3CDCD=3，
∴BF=3DF，故③正确；
④如图所示，在AD上取点Q，使得FC=FQ，
∵∠AFB=∠ACB=60°，CF平分∠BFD，
∴∠BFD=120°，∠CFD=12∠BFD=60°，
∴△FCQ为等边三角形，
∴∠FCQ=60°，CF=CQ，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACB+∠ACF=∠FCQ+∠ACF，
∴∠BCF=∠ACQ，
在△BCF和△ACQ中，
BC=AC∠BCF=∠ACQCF=CQ
∴△BCF≌△ACQSAS，
∴BF=AQ，
∵AQ=AF+FQ，FQ=FC，
∴BF=AF+FC，故④正确；
综上，①②③④均正确；
故选：A．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等边三角形的基本性质，掌握全等三角形中的辅助线的基本模型，包括“手拉手”模型，截长补短的思想等是解题关键．
6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、F是射线BC上两点，且AD⊥AF，若AE=AD，∠BAD=∠CAF=15°；则下列结论中正确的有（ ）
①CE⊥BF；②△ABD≌△ACE；③S△ABC=S四边形ADCE；④BC−12EF=2AD−CF
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】由AD⊥AF，∠BAD=∠CAF，得出∠BAC=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠B=∠ACB=45°，由SAS证得△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，∠B=∠ACE=45°，S△ABC=S四边形ADCE，则∠ECB=90°，即EC⊥BF，易证∠ADF=60°，∠F=30°，由含30°直角三角形的性质得出EF=2CE=2BD，DF=2AD，则BD=12EF，由BC-BD=DF-CF，得出BC-12EF=2AD-CF，即可得出结果．
【详解】∵AD⊥AF，∠BAD=∠CAF，
∴∠BAC=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
在△ABD和△ACE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE ，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°，S△ABC=S四边形ADCE，
∴∠ECB=90°，
∴EC⊥BF，
∵∠B=45°，∠BAD=15°，
∴∠ADF=60°，
∴∠F=30°，
∴EF=2CE=2BD，DF=2AD，
∴BD=12EF，
∵BC-BD=DF-CF，
∴BC-12EF=2AD-CF，
∴①、②、③、④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含30°角直角三角形的性质、外角的定义等知识，熟练掌握直角三角形的性质、证明三角形全等是解题的关键．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：
①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO平分∠BMC．
其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】由题意易得∠AOC=∠BOD，然后根据三角形全等的性质及角平分线的判定定理可进行求解．
【详解】解：∵∠AOB=∠COD=40°，∠AOD是公共角，
∴∠COD+∠AOD=∠BOA+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，
∵OA=OB，OC=OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∠ODB=∠OCA，故①②正确；
过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，BD与OA相交于点H，如图所示：
∵∠AHM=∠OHB，∠AMB=180°-∠AHM-∠OAC，∠BOA=180°-∠OHB-∠OBD，
∴∠AMB=∠BOA=40°，
∴∠OEC=∠OFD=90°，
∵OC=OD，∠OCA=∠ODB，
∴△OEC≌△OFD（AAS），
∴OE=OF，
∴OM平分∠BMC，故③④正确；
所以正确的个数有4个；
故选A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的判定定理是解题的关键．
8．（2023春·广东梅州·八年级校联考开学考试）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．①B．①②C．①②③D．①②④
【答案】D
【分析】由SAS证明ΔAOC≅ΔBOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明ΔOCG≅ΔODH(AAS)，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；
由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，由ΔAOC≅ΔBOD得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出ΔCOM≅ΔBOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC，而OA>OC，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠AOC=∠BOD，
在ΔAOC和ΔBOD中，
{OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴ΔAOC≅ΔBOD(SAS)，
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；
∴∠OAC=∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：
则∠OGC=∠OHD=90°，
在ΔOCG和ΔODH中，
{∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHDOC=OD，
∴ΔOCG≅ΔODH(AAS)，
∴OG=OH，
∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB=∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM=∠AOM
∵ΔAOC≅ΔBOD，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在ΔCOM和ΔBOM中，
{∠COM=∠BOMOM=OM∠CMO=∠BMO，
∴ΔCOM≅ΔBOM(ASA)，
∴OB=OC，
∵OA=OB
∴OA=OC
与OA>OC矛盾，
∴③错误；
综上所述，正确的是①②④；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
9．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝2，BD＝3，则CD的长为（ ）
A．5B．4C．3D．32
【答案】A
【分析】在CD外侧作等边△CDE，连接AE，易证∠ACE=∠BCD，进而可以证明△ACE≌△BCD，可得AE=BD，在Rt△ADE中根据勾股定理可以求得DE的长，即可解题．
【详解】解：在CD外侧作等边△CDE，连接AE，则∠ADE=90°，DE=DC，∠DCE=60°，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
CD=CE∠BCD=∠ACEAC=BC，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD，
∵在Rt△ADE中，DE2=AE2−AD2=BD2−AD2=5，
∴DE=5，
∴CD=5，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACE≌△BCD是解题的关键．
10．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，则下列结论①△ACD≌△BCE ②∠AGB＝60° ③BF＝AH ④△CFH是等边三角形 ⑤连CG，则∠BGC＝∠DGC．其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【详解】试题分析：∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，
∵BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；故①正确；
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH．
∵∠BFC=∠AFG，
∴∠AGB=∠ACB=60°，故②正确；
在△BCF和△ACH中，∠CBF=∠CAH，BC=AC，∠BCF=∠ACH，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF=CH，BF=AH；故③正确；
∵CF=CH，∠ACH=60°，
∴△CFH是等边三角形；故④正确；
连接CG，过C点作CM⊥BE，作CN⊥AD，
∵△BCE≌△ACD，CM⊥BE，CN⊥AD，
∴CM=CN，
∴GC平分∠BGD，
∴∠BGC=∠DGC，故⑤正确．
故选：D．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质．
二、解答题
11．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE、DE．
(1)判断△CDE是什么特殊的三角形并证明；
(2)求证：AC平分∠BAE；
(3)若S△ACDS△ACE=32，求ADDB的值．
【答案】(1)△CDE是等边三角形，理由见解析
(2)证明见解析
(3)32
【分析】（1）根据旋转的性质得到将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，求得∠ECD=60°，CE=CD，根据等边三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠B=∠ACB=60°，AC=BC，根据全等三角形的性质得到∠EAC=∠B=60°，根据角平分线的定义即可得到结论；
（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：△CDE是等边三角形，
证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，
∴∠ECD=60°，CE=CD，
∴△CDE是等边三角形；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ECD=∠ACB=60°，
∴∠ECD−∠ACD=∠ACB−∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
CE=CD∠ACE=∠BCDAC=BC，
∴△ACE≌△BCDSAS，
∴∠EAC=∠B=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠EAC=∠CAD，
∴AC平分∠BAE；
（3）解：∵S△ACDS△ACE=32，
又∵△ACE≌△BCD，
∴S△ACE=S△BCD，
∴S△ACDS△BCD=32，
∴ADBD=32，
∴ADDB的值为32．
【点睛】本题是综合题，考查了旋转变换的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积公式．解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
12．（2023春·安徽宿州·七年级统考期末）在△ABC中，若最大内角是最小内角的n倍（n为大于1的整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如：在△ABC中，∠A=20°，∠B=40°，∠C=120°，则称△ABC为6倍角三角形．
(1)在△ABC中，∠A=35°，∠B=40°，则△ABC为______倍角三角形；
(2)若一个等腰三角形是2倍角三角形，求最小内角的度数；
(3)如图，点E在DF上，BE交AD于点C，AB=AD，∠BAD=∠EAF，∠B=∠D=25°，∠F=75°．找出图中所有的n倍角三角形，并写出它是几倍角三角形．
【答案】(1)3
(2)36°或45°
(3)图中的n倍角三角形有△ABC和△DEC，它们都是5倍角三角形
【分析】（1）根据三角形的内角和求出∠C，再利用n倍角三角形的定义即可求解．
（2）设最小内角的度数为x，则最大内角为2x，分两种情况：一是当最小内角为等腰三角形的顶角时，二是当最小内角为等腰三角形的底角时，利用三角形内角和即可求解．
（3）利用ASA证明△BAE≌△DAF，得到AE=AF，求得∠EAF=180°−75°×2=30°，进而得到∠ACB，即可得到△ABC为5倍角三角形，同理可得△DEC为5倍角三角形．
【详解】（1）解：在△ABC中，∠A=35°，∠B=40°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−35°−40°=105°，
∵105°÷35°=3，
∴△ABC为3倍角三角形，
故答案为：3．
（2）设最小内角的度数为x，则最大内角为2x，
当最小内角为等腰三角形的顶角时，则底角为2x，得：
x+2x+2x=180°，解得x=36°，
当最小内角为等腰三角形的底角时，则顶角为2x，得：
x+x+2x=180°，解得x=45°，
∴最小内角的度数为36°或45°．
（3）∵∠BAD=∠EAF，
∴∠BAE=∠DAF，
在△BAE和△DAF中，
∠BAE=∠DAFAB=AD∠B=∠D，
∴△BAE≌△DAFASA，
∴AE=AF，
∵∠F=75°，
∴∠EAF=180°−75°×2=30°，
∴∠BAD=∠EAF=30°，
∵∠B=25°，
∴∠ACB=180°−∠B−∠BAD=125°，
∵125°÷25°=5，
∴△ABC为5倍角三角形，
∵∠D=25°，∠DCE=∠ACB=125°，
∴∠CED=180°−∠D−∠DCE=30°，
∵125°÷25°=5，
∴△DEC为5倍角三角形，
∴图中的n倍角三角形有△ABC和△DEC，它们都是5倍角三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形内角和，解题的关键是理解n倍角三角形的定义．
13．（2023春·安徽安庆·八年级统考期末）在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE=32°，求∠ACF度数．
【答案】(1)见解析
(2)58°
【分析】（1）根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△CBF即可；
（2）根据AB=BC，∠ABC=90°，得出∠CAB=∠ACB=45°，求出∠BAE=∠CAB−∠CAE=45°−32°=13°，根据全等三角形的性质求出∠BCF=∠BAE=13°，根据∠ACF=∠BCF+∠ACB求出最后结果即可．
【详解】（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵AE=CF，AB=BC，
∴Rt△ABE≌Rt△CBFHL．
（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵∠BAE=∠CAB−∠CAE=45°−32°=13°，
由（1）知Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=13°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+13°=58°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握等腰三角形的判定方法，证明Rt△ABE≌Rt△CBF．
14．（2023春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE=AB．将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
(1)求证：EF=BC
(2)若∠ABC=63°，∠ACB=25°，则∠FGC的度数 ．
【答案】(1)见解析
(2)79°
【分析】（1）根据“边角边”证明△ABC≌△AEF即可求证；
（2）根据等腰三角形的性质，（1）中的全等可得∠ABC=∠AEB=∠AEF，进而可求∠FEC=54°，再根据三角形的外角性质即可求解．
【详解】（1）解：由旋转可得AC=AF，
∵∠CAF=∠BAE，
∴∠CAF+∠EAC=∠BAE+∠EAC，即∠BAC=∠EAF，
∴在△ABC和△AEF中，
AB=AE∠BAC=∠EAFAC=AF，
∴△ABC≌△AEF(SAS)，
∴BC=EF，即EF=BC．
（2）解：在△ABC中，∠ABC=63°，∠ACB=25°，
∴∠ABC=∠AEB=63°，
由（1）中，△ABC≌△AEF(SAS)，可知∠ABC=∠AEF，
∴∠AEF=63°，
∵∠AEB+∠AEF+∠FEC=180°，
∴∠FEC=180°−∠AEB−∠AEF=180°−63−63°=54°，
∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=54°+24°=79°，
故答案为：79°．
【点睛】本题主要考查三角形的全等与判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
15．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，C为线段AE上一动点（点C不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O．
(1)求证：AD=BE；
(2)求∠AOB．
【答案】(1)见解析
(2)60°
【分析】（1）利用SAS证明△ACD≅△BCE，得AD=BE；
（2）结合（1）可得∠CBE=∠CAD，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵△ABC、△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≅△BCESAS，
∴AD=BE；
（2）解：∵△ACD≅△BCE，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠APC=∠BPO，
∴∠AOB=∠ACB=60°．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明△ACD≅△BCE是解题的关键．
16．（2023春·陕西西安·七年级西安市第八十三中学校考阶段练习）如图，点A，B，C在一条直线上，分别以AB，BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，连接AE，DC，则AE与DC相等吗？请说明理由．
【答案】相等，证明见解析
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，推得∠ABE=∠CBD，根据全等三角形的判定可得△ABE≌△DBCSAS，即可证明AE=DC．
【详解】∵△ABD、△BCE都是等边三角形
∴AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△DBC中，
AB=BD∠ABE=∠CBEBE=EC，
∴△ABE≌△DBCSAS，
∴AE=DC．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
17．（2023·全国·八年级专题练习）如图，以△ABC的边AB、AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，相交于点F．
(1)求证：△DAC≌△BAE；
(2)求证：BE=DC；
(3)求∠DFE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)120°
【分析】（1）由三角形ABD与三角形ACE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为60°，利用等式的性质得到∠DAC=∠BAE，利用SAS可得出△DAC≌△BAE，得证；
（2）由△DAC≌△BAE，利用全等三角形的对应边相等即可得到BE=DC；
（3）由△DAC≌△BAE，利用全等三角形的对应角相等得到∠ACD=∠AEB，而∠DFE为三角形EFC的外角，利用外角的性质列出关系式，等量代换后即可求出其度数．
【详解】（1）解：证明：∵△ABD和△ACE都为等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE，
∴△DAC≌△BAESAS；
（2）∵△DAC≌△BAE，
∴BE=DC；
（3）∵△DAC≌△BAE，
∴∠ACD=∠AEB，
则∠DFE=∠FEC+∠FCE=∠FEC+∠ACD+∠ACE=∠FEC+∠AEB+∠ACE=∠AEC+∠ACE=120°．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．
18．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠CAB+∠CBA=120°，点D，E分别在边AC，BC上，且AD=BE，以DE为边作等边△DEF，连接AF，BF．求证：△FAB是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】设AC、BF相交于点O，根据三角形的内角和定理求出∠C=60°，根据等边三角形的性质可得DF=EF，∠DFE=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ADF=∠BEF，然后利用“边角边”证明△ADF和△BEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=BF，全等三角形对应角相等可得∠AFD=∠BFE，再求出∠AFB=∠DFE=60°，然后根据等边三角形的判定方法证明即可．
【详解】解：证明：如图，设AC、BF相交于点O，
∵∠CAB+∠CBA=120°，
∴∠C=60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DF=EF，∠DFE=60°，
由三角形的外角性质得，∠ADF=∠DFE+∠DOF，
∠BEF=∠C+∠COE，
∵∠DFE=∠C=60°，∠DOF=∠COE，
∴∠ADF=∠BEF，
在△ADF和△BEF中，
AD=BE∠ADF=∠BEFDF=EF，
∴△ADF≌△BEF(SAS)，
∴AF=BF，∠AFD=∠BFE，
∴∠AFB=∠DFE=60°，
∴△FAB是等边三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质与三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于求出∠ADF=∠BEF．
19．（2023·江苏·八年级假期作业）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= °．
(2)如图2，设∠BAC=α，∠BCE=β．当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC=60°，D点为△ABC中BC边上的一个动点（D与B、C均不重合），当点D运动到什么位置时，△DCE的周长最小？请探求点D的位置，并求出此时∠EDC的度数，直接写出你的结论．
【答案】(1)90
(2)α+β=180°，见解析
(3)当点D运动到BC的中点时，△DEC是周长最小，此时∠EDC=30°
【分析】（1）由等腰直角△ABC、△ADE易证△CAE≌△BADSAS，即可得出∠B=∠ACE=45°，进而求出答案；
（2）证明△CAE≌△BADSAS推出∠B=∠ACE，则可得出结论；
（3）由全等三角形的性质可得出BD=CE，可推出BD+CD=CE+CD=BC由△DCE的周长＝DE+CD+CE=DE+BC，BC为定值，推出DE定值最小时，△DCE得到周长最小，根据此线段最短即可解决问题．
【详解】（1）解：∵AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠DAC+∠CAE，∠BAC=∠DAC+∠BAD，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE≌△BADSAS，
∴∠B=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90° ；
（2）解：α+β=180°；
∵AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠DAE=∠DAC+∠CAE，∠BAC=∠DAC+∠BAD，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE≌△BADSAS，
∴∠B=∠ACE，
∴β=∠ABC+∠ACB，
∴α+β=180°；
（3）解：∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵AD=AE，∠DAE=∠BAC，
∴△DCE是等边三角形，
∵△CAE≌△BADSAS，
∴BD=CE
∴BD+CD=CE+CD=BC，
∵△DCE的周长=DE+CD+CE=DE+BC，
∵BC为定值，
∴DE最小时，△DCE得到周长最小，
∵DE=AD，
∴AD⊥BC时，AD定值最小，此时BD=CD=CE，
∴∠EDC=12180°−120°=30°，
∴当点D运动到BC的中点时，△DCE是周长最小，此时∠EDC=30°．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
三、填空题
20．（2023春·广东广州·八年级广州市真光中学校考开学考试）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．
恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上）
【答案】①②③⑤
【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，和∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA(ASA)，再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③同②得：△ACP≌△BCQ，即可得出结论；④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．
【详解】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE ，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，①正确；
②∠DCP=180°−2×60°=60°=∠ECQ，
在△CDP和△CEQ中，∠ADC=∠BECCD=CE∠DCP=∠ECQ ，
∴△CDP≌△CEQ(ASA)．
∴CP=CQ，
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
∴∠QPC=∠BCA，
∴PQ∥AE，②正确；
③同②得：△ACP≌△BCQ，
∴AP=BQ，③正确；
④∵DE>QE，且DP=QE，
∴DE>DP，故④错误；
⑤∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵△DCE是等边三角形，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
∴⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
21．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，△ABC是边长为5的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°．E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=60°，则三角形AEF的周长为 ．
【答案】10
【分析】延长AB到N，使BN=CF，连接DN，求出∠FCD=∠EBD=∠NBD=90°，根据SAS证△NBD≌△FCD，推出DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，根据SAS证△EDF≌△EDN，推出EF=EN，易得△AEF的周长等于AB+AC．
【详解】解：延长AB到N，使BN=CF，连接DN，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，
∵在△NBD和△FCD中，
BD=DC∠NBD=∠FCDBN=CF，
∴△NBD≌△FCD（SAS），
∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠EDB+∠FDC=60°，
∴∠EDB+∠BDN=60°，
即∠EDF=∠EDN，
在△EDN和△EDF中，
DE=DE∠EDF=∠EDNDN=DF，
∴△EDN≌△EDF（SAS），
∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，
即BE+CF=EF．
∵△ABC是边长为5的等边三角形，
∴AB=AC=5，
∵BE+CF=EF，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的综合运用．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
22．（2023春·七年级课时练习）如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE= ．
【答案】65°
【分析】先判断出ΔACD≅ΔBCE，再判断出ΔACM≅ΔBCN即可得到CH平分∠AHE，即可得出结论．
【详解】解：如图，∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在ΔACD和ΔBCE中，CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE
∴ΔACD≅ΔBCE(SAS)；
过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，
∵ΔACD≅ΔBCE，
∴∠CAM=∠CBN，
在ΔACM和ΔBCN中，∠CAM=∠CBN∠AMC=∠BNC=90°AC=BC
∴ΔACM≅ΔBCN，
∴CM=CN，
在RtΔCMH与RtΔCNH中CM=CNCH=CH
∴RtΔCMH≅RtΔCNH(HL)，
∴∠MCH=∠NCH，
∴CH平分∠AHE；
∵ΔACD≅ΔBCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠AFC=∠BFH，
∴∠AHB=∠ACB=50°，
∴∠AHE=180°−50°=130°，
∴∠CHE=12∠AHE=12×130°=65°，
故答案为：65°．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
23．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，∠DAB=∠EAC=600，AB=AD，AC=AE，BE和CD相交于O，AB和CD相交于P，则∠DOE的度数是 °.
【答案】120
【分析】先得出∠DAC=∠EAB，进而利用ASA得出△ADC≌△AEB，进而得出∠E=∠ACD，再利用三角形内角和定理得出∠EAF=∠COF=60°，即可得出答案．
【详解】如图所示：
∵∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠BAC+∠EAC，
∴∠DAC=∠EAB，
在△ADC和△AEB中，
AD＝AB∠DAC＝∠EABAC＝AE ,
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴∠E=∠ACD，
又∵∠AFE=∠OFC，
∴∠EAF=∠COF=60°，
∴∠DOE=120°．
故答案是：120．
【点睛】考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理等知识，根据已知得出△ADC≌△AEB是解题关键．
24．（2023春·全国·七年级专题练习）（2016育才周测）如图，正三角形ΔABC和ΔCDE，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有 ．并写出3对全等三角形 ．
【答案】 ①②③⑤ △ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ
【分析】①可证明△ACD≌△BCE,从而得出AD=BE；
②可通过证明△BCQ≌△ACP，从而可证明△PCQ为等边三角形，再根据内错角相等两直线平行可证明PQ∥AE．
③由②中△BCQ≌△ACP，可证AP=BQ；
④通过证明△CDP≌△CEQ可得DP=EQ，又由图可知DE＞QE，从而④错误；
⑤通过三角形外角定理和前面△ACD≌△BCE可得该结论．
由前面的证明过程可得出三个全等三角形．
【详解】解：①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，
∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE，故本选项正确；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBQ=∠CAP，
又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，
∴△BCQ≌△ACP，
∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠QPC=60°=∠ACB，
∴PQ∥AE，故本选项正确；
③由②△BCQ≌△ACP可得AP=BQ，故本选项正确；
④∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴DP=EQ，
∵DE＞QE
∴DE＞DP，故本选项错误；
⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，故本选项正确；
∴正确的有：①②③⑤．
由上面证明过程可知△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ．
故答案为：①②③⑤；△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定定理，并能依据等边三角形三边相等，三角相等都是60°的特征判断三角形全等是解题关键．
25．（2019春·安徽蚌埠·八年级统考期中）如图，△ABD、△CDE是两个等边三角形，连接BC、BE．若∠DBC=30°，BD=6，BC=8，则BE= ．
【答案】BE=10
【分析】连接AC，根据题意易证△ACD≌△BED(SAS)，根据全等三角形的性质可得AC=BE，再根据勾股定理求出AC的值即可得出结论．
【详解】如图，连接AC，
∵△ABD、△CDE是两个等边三角形，
∴AB=BD=AD=2，CD=DE，∠ABD=∠ADB=∠CDE=60，
∴∠ADB+∠BDC=∠CDE+∠BDC，
∴∠ADC=∠BDE，
在△ACD与△BDE中{AD=BD∠ADC=∠BDECD=DE，
∴△ACD≌△BED（SAS），
∴AC=BE，
∵∠DBC=30°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°+30°=90°，
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC=AB2+BC2=62+82=10，
∴BE=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，孰练的掌握知识点是解题关键．
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,∠A=20°．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得△A'B'C，且点B在A'B'上，CA'交AB于点D，则∠BDC的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③∠BOE=120°．其中结论正确的（ ）
A．①B．①③C．②③D．①②③
3．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=23，∠BAC=120°，D为线段BC边上的动点，以BD为边向上作等边△BED，连接CE、AD，则AD+CE的最小值为（ ）
A．43B．23+6C．3+3D．63
4．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB，AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连结DE，若AB=3，AC=5，则ED=（ ）
A．22B．23C．4D．32
5．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，正△ABC和正△CDE中，B、C、D共线，且BC=3CD，连接AD和BE相交于点F，以下结论中正确的有（ ）个
①∠AFB=60° ②连接FC，则CF平分∠BFD ③BF=3DF ④BF=AF+FC
A．4B．3C．2D．1
6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、F是射线BC上两点，且AD⊥AF，若AE=AD，∠BAD=∠CAF=15°；则下列结论中正确的有（ ）
①CE⊥BF；②△ABD≌△ACE；③S△ABC=S四边形ADCE；④BC−12EF=2AD−CF
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：
①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO平分∠BMC．
其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．（2023春·广东梅州·八年级校联考开学考试）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．①B．①②C．①②③D．①②④
9．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝2，BD＝3，则CD的长为（ ）
A．5B．4C．3D．32
10．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，则下列结论①△ACD≌△BCE ②∠AGB＝60° ③BF＝AH ④△CFH是等边三角形 ⑤连CG，则∠BGC＝∠DGC．其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、解答题
11．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE、DE．
(1)判断△CDE是什么特殊的三角形并证明；
(2)求证：AC平分∠BAE；
(3)若S△ACDS△ACE=32，求ADDB的值．
12．（2023春·安徽宿州·七年级统考期末）在△ABC中，若最大内角是最小内角的n倍（n为大于1的整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如：在△ABC中，∠A=20°，∠B=40°，∠C=120°，则称△ABC为6倍角三角形．
(1)在△ABC中，∠A=35°，∠B=40°，则△ABC为______倍角三角形；
(2)若一个等腰三角形是2倍角三角形，求最小内角的度数；
(3)如图，点E在DF上，BE交AD于点C，AB=AD，∠BAD=∠EAF，∠B=∠D=25°，∠F=75°．找出图中所有的n倍角三角形，并写出它是几倍角三角形．
13．（2023春·安徽安庆·八年级统考期末）在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE=32°，求∠ACF度数．
14．（2023春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE=AB．将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
(1)求证：EF=BC
(2)若∠ABC=63°，∠ACB=25°，则∠FGC的度数 ．
15．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，C为线段AE上一动点（点C不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O．
(1)求证：AD=BE；
(2)求∠AOB．
16．（2023春·陕西西安·七年级西安市第八十三中学校考阶段练习）如图，点A，B，C在一条直线上，分别以AB，BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，连接AE，DC，则AE与DC相等吗？请说明理由．
17．（2023·全国·八年级专题练习）如图，以△ABC的边AB、AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，相交于点F．
(1)求证：△DAC≌△BAE；
(2)求证：BE=DC；
(3)求∠DFE的度数．
18．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠CAB+∠CBA=120°，点D，E分别在边AC，BC上，且AD=BE，以DE为边作等边△DEF，连接AF，BF．求证：△FAB是等边三角形．
19．（2023·江苏·八年级假期作业）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= °．
(2)如图2，设∠BAC=α，∠BCE=β．当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC=60°，D点为△ABC中BC边上的一个动点（D与B、C均不重合），当点D运动到什么位置时，△DCE的周长最小？请探求点D的位置，并求出此时∠EDC的度数，直接写出你的结论．
三、填空题
20．（2023春·广东广州·八年级广州市真光中学校考开学考试）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．
恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上）
21．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，△ABC是边长为5的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°．E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=60°，则三角形AEF的周长为 ．
22．（2023春·七年级课时练习）如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE= ．
23．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，∠DAB=∠EAC=600，AB=AD，AC=AE，BE和CD相交于O，AB和CD相交于P，则∠DOE的度数是 °.
24．（2023春·全国·七年级专题练习）（2016育才周测）如图，正三角形ΔABC和ΔCDE，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有 ．并写出3对全等三角形 ．
25．（2019春·安徽蚌埠·八年级统考期中）如图，△ABD、△CDE是两个等边三角形，连接BC、BE．若∠DBC=30°，BD=6，BC=8，则BE= ．
微专题03 等腰（等边）手拉手模型通关专练
一、单选题
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,∠A=20°．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得△A'B'C，且点B在A'B'上，CA'交AB于点D，则∠BDC的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】C
【分析】根据旋转的性质得到∠CB'B=∠CBA，CB'=CB，∠A=∠A'，再根据补角的定义及外角的性质即可解答．
【详解】解：由旋转的性质可得：∠CB'A'=∠CBA，CB'=CB，∠A=∠A'，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，
∴∠CB'A'=∠CBA=90°−20°=70°，∠A'=20°
∵CB’=CB，
∴∠CBB'=∠CB'A'=70°
∴∠ABA'=180°−∠CBB'−∠CBA=180°−70°−70°=40°，
∴∠BDC=∠ABA'+∠A'=60°；
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，补角的定义，外角的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③∠BOE=120°．其中结论正确的（ ）
A．①B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】首先根据等边三角形的性质，得到BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠BCD=60°，然后由SAS判定△BCD≅△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；由全三角形的对应角相等，得到∠CBD=∠CAE，根据ASA证得△BCF≅△ACG，即可得到②正确；根据三角形外角性质即可得出③正确．
【详解】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中
BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE
∴△BCD≅△ACE，
∴AE=BD，∴①正确；
∴∠CBD=∠CAE，
∵∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACD=60°,
∴在△BCF和△ACG中
∠CBF=∠CAGBC=AC∠BCF=∠ACG
∴△BCF≅△ACGASA，
∴AG=BF，∴②正确；
∵△BCD≅△ACE,
∴∠CDB=∠AEC，
∵∠DCE=60°，
∴∠AOB=∠CBD+∠CEA=∠CBD+∠CDB=∠DCE=60°，
∴∠BOE=120°，
∴③正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，合理应用数形结合思想．
3．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=23，∠BAC=120°，D为线段BC边上的动点，以BD为边向上作等边△BED，连接CE、AD，则AD+CE的最小值为（ ）
A．43B．23+6C．3+3D．63
【答案】A
【分析】以AB为边，在AB的左侧作等边△ABF，连接EF，先根据“SAS”证明△FBE≅△ABD，从而得出FE=AD，然后根据∠FAB=60°，∠BAC=120°可证F，A，C在同一条直线上，根据“两点之间，线段最短”可得AD+CE的最小值为CF，即可求解．
【详解】解：以AB为边，在AB的左侧作等边△ABF，连接EF，
∵△BED和△ABF都是等边三角形，
∴∠ABF=∠EBD=60°=∠FAB，BE=BD，BF=AB=AF，
∴∠FBE=∠ABD，
∴△FBE≅△ABD（SAS），
∴FE=AD，
∵∠FAB=60°，∠BAC=120°，
∴∠FAB+∠BAC=180°
∴F，A，C在同一条直线上，
∵FE=AD，
∴AD+CE=FE+CE≥CF，
当C，E，F在同一直线上时，AD+CE取最小值，最小值为CF，
∵AB=AC=23，AB=AF，
∴AF=23，
∴CF=43，
即AD+CE的最小值为43．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间，线段最短等知识，构造△FBE≅△ABD，从而把求AD+CE的最小值转化为EF+CE的最小值的解题的关键．
4．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB，AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连结DE，若AB=3，AC=5，则ED=（ ）
A．22B．23C．4D．32
【答案】C
【分析】在Rt△ABC中可直接运用勾股定理求出BC，然后结合“手拉手”模型证得△ABC≌△ADE，即可得到DE=BC，从而求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB=3，AC=5，
∴由勾股定理得：BC=4，
∵△ABD和△ACE均为等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD，
即：∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴DE=BC=4，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定与性质，熟练运用勾股定理解三角形是解题关键．
5．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，正△ABC和正△CDE中，B、C、D共线，且BC=3CD，连接AD和BE相交于点F，以下结论中正确的有（ ）个
①∠AFB=60° ②连接FC，则CF平分∠BFD ③BF=3DF ④BF=AF+FC
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】根据“手拉手”模型证明△BCE≌△ACD，从而得到∠CBE=∠CAD，再结合三角形的外角性质即可求解∠AFB=∠ACB=60°，即可证明①；作CM⊥BE于M点，CN⊥AD于N点，证明△CEM≌△CDN，结合角平分线的判定定理即可证明②；利用面积法表示△BCF和△DCF的面积，然后利用比值即可证明③；利用“截长补短”的思想，在AD上取点Q，使得FC=FQ，首先判断出△FCQ为等边三角形，再结合“手拉手”模型推出△BCF≌△ACQ即可证明④．
【详解】解：①∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC，EC=DC，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
BC=AC∠BCE=∠ACDEC=DC
∴△BCE≌△ACDSAS，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠AFB=∠CBE+∠CDA，∠ACB=∠CDA+∠CAD，
∴∠AFB=∠ACB=60°，故①正确；
②如图所示，作CM⊥BE于M点，CN⊥AD于N点，
则∠CME=∠CND=90°，
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CEM=∠CDN，
在△CEM和△CDN中，
∠CME=∠CND∠CEM=∠CDNCE=CD
∴△CEM≌△CDNAAS，
∴CM=CN，
∴CF平分∠BFD，故②正确；
③如图所示，作FP⊥BD于P点，
∵S△BCF=12BF·CM=12BC·FP，S△DCF=12DF·CN=12CD·FP，
∴S△BCFS△DCF=12BF·CM12DF·CN=12BC·FP12CD·FP，
∵CM=CN，
∴整理得：BFDF=BCCD，
∵BC=3CD，
∴BFDF=3CDCD=3，
∴BF=3DF，故③正确；
④如图所示，在AD上取点Q，使得FC=FQ，
∵∠AFB=∠ACB=60°，CF平分∠BFD，
∴∠BFD=120°，∠CFD=12∠BFD=60°，
∴△FCQ为等边三角形，
∴∠FCQ=60°，CF=CQ，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACB+∠ACF=∠FCQ+∠ACF，
∴∠BCF=∠ACQ，
在△BCF和△ACQ中，
BC=AC∠BCF=∠ACQCF=CQ
∴△BCF≌△ACQSAS，
∴BF=AQ，
∵AQ=AF+FQ，FQ=FC，
∴BF=AF+FC，故④正确；
综上，①②③④均正确；
故选：A．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等边三角形的基本性质，掌握全等三角形中的辅助线的基本模型，包括“手拉手”模型，截长补短的思想等是解题关键．
6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、F是射线BC上两点，且AD⊥AF，若AE=AD，∠BAD=∠CAF=15°；则下列结论中正确的有（ ）
①CE⊥BF；②△ABD≌△ACE；③S△ABC=S四边形ADCE；④BC−12EF=2AD−CF
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】由AD⊥AF，∠BAD=∠CAF，得出∠BAC=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠B=∠ACB=45°，由SAS证得△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，∠B=∠ACE=45°，S△ABC=S四边形ADCE，则∠ECB=90°，即EC⊥BF，易证∠ADF=60°，∠F=30°，由含30°直角三角形的性质得出EF=2CE=2BD，DF=2AD，则BD=12EF，由BC-BD=DF-CF，得出BC-12EF=2AD-CF，即可得出结果．
【详解】∵AD⊥AF，∠BAD=∠CAF，
∴∠BAC=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
在△ABD和△ACE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE ，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°，S△ABC=S四边形ADCE，
∴∠ECB=90°，
∴EC⊥BF，
∵∠B=45°，∠BAD=15°，
∴∠ADF=60°，
∴∠F=30°，
∴EF=2CE=2BD，DF=2AD，
∴BD=12EF，
∵BC-BD=DF-CF，
∴BC-12EF=2AD-CF，
∴①、②、③、④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含30°角直角三角形的性质、外角的定义等知识，熟练掌握直角三角形的性质、证明三角形全等是解题的关键．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：
①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO平分∠BMC．
其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】由题意易得∠AOC=∠BOD，然后根据三角形全等的性质及角平分线的判定定理可进行求解．
【详解】解：∵∠AOB=∠COD=40°，∠AOD是公共角，
∴∠COD+∠AOD=∠BOA+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，
∵OA=OB，OC=OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∠ODB=∠OCA，故①②正确；
过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，BD与OA相交于点H，如图所示：
∵∠AHM=∠OHB，∠AMB=180°-∠AHM-∠OAC，∠BOA=180°-∠OHB-∠OBD，
∴∠AMB=∠BOA=40°，
∴∠OEC=∠OFD=90°，
∵OC=OD，∠OCA=∠ODB，
∴△OEC≌△OFD（AAS），
∴OE=OF，
∴OM平分∠BMC，故③④正确；
所以正确的个数有4个；
故选A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的判定定理是解题的关键．
8．（2023春·广东梅州·八年级校联考开学考试）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．①B．①②C．①②③D．①②④
【答案】D
【分析】由SAS证明ΔAOC≅ΔBOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明ΔOCG≅ΔODH(AAS)，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；
由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，由ΔAOC≅ΔBOD得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出ΔCOM≅ΔBOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC，而OA>OC，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠AOC=∠BOD，
在ΔAOC和ΔBOD中，
{OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴ΔAOC≅ΔBOD(SAS)，
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；
∴∠OAC=∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：
则∠OGC=∠OHD=90°，
在ΔOCG和ΔODH中，
{∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHDOC=OD，
∴ΔOCG≅ΔODH(AAS)，
∴OG=OH，
∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB=∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM=∠AOM
∵ΔAOC≅ΔBOD，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在ΔCOM和ΔBOM中，
{∠COM=∠BOMOM=OM∠CMO=∠BMO，
∴ΔCOM≅ΔBOM(ASA)，
∴OB=OC，
∵OA=OB
∴OA=OC
与OA>OC矛盾，
∴③错误；
综上所述，正确的是①②④；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
9．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝2，BD＝3，则CD的长为（ ）
A．5B．4C．3D．32
【答案】A
【分析】在CD外侧作等边△CDE，连接AE，易证∠ACE=∠BCD，进而可以证明△ACE≌△BCD，可得AE=BD，在Rt△ADE中根据勾股定理可以求得DE的长，即可解题．
【详解】解：在CD外侧作等边△CDE，连接AE，则∠ADE=90°，DE=DC，∠DCE=60°，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
CD=CE∠BCD=∠ACEAC=BC，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD，
∵在Rt△ADE中，DE2=AE2−AD2=BD2−AD2=5，
∴DE=5，
∴CD=5，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACE≌△BCD是解题的关键．
10．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，则下列结论①△ACD≌△BCE ②∠AGB＝60° ③BF＝AH ④△CFH是等边三角形 ⑤连CG，则∠BGC＝∠DGC．其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【详解】试题分析：∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，
∵BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；故①正确；
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH．
∵∠BFC=∠AFG，
∴∠AGB=∠ACB=60°，故②正确；
在△BCF和△ACH中，∠CBF=∠CAH，BC=AC，∠BCF=∠ACH，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF=CH，BF=AH；故③正确；
∵CF=CH，∠ACH=60°，
∴△CFH是等边三角形；故④正确；
连接CG，过C点作CM⊥BE，作CN⊥AD，
∵△BCE≌△ACD，CM⊥BE，CN⊥AD，
∴CM=CN，
∴GC平分∠BGD，
∴∠BGC=∠DGC，故⑤正确．
故选：D．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质．
二、解答题
11．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE、DE．
(1)判断△CDE是什么特殊的三角形并证明；
(2)求证：AC平分∠BAE；
(3)若S△ACDS△ACE=32，求ADDB的值．
【答案】(1)△CDE是等边三角形，理由见解析
(2)证明见解析
(3)32
【分析】（1）根据旋转的性质得到将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，求得∠ECD=60°，CE=CD，根据等边三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠B=∠ACB=60°，AC=BC，根据全等三角形的性质得到∠EAC=∠B=60°，根据角平分线的定义即可得到结论；
（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：△CDE是等边三角形，
证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，
∴∠ECD=60°，CE=CD，
∴△CDE是等边三角形；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ECD=∠ACB=60°，
∴∠ECD−∠ACD=∠ACB−∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
CE=CD∠ACE=∠BCDAC=BC，
∴△ACE≌△BCDSAS，
∴∠EAC=∠B=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠EAC=∠CAD，
∴AC平分∠BAE；
（3）解：∵S△ACDS△ACE=32，
又∵△ACE≌△BCD，
∴S△ACE=S△BCD，
∴S△ACDS△BCD=32，
∴ADBD=32，
∴ADDB的值为32．
【点睛】本题是综合题，考查了旋转变换的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积公式．解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
12．（2023春·安徽宿州·七年级统考期末）在△ABC中，若最大内角是最小内角的n倍（n为大于1的整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如：在△ABC中，∠A=20°，∠B=40°，∠C=120°，则称△ABC为6倍角三角形．
(1)在△ABC中，∠A=35°，∠B=40°，则△ABC为______倍角三角形；
(2)若一个等腰三角形是2倍角三角形，求最小内角的度数；
(3)如图，点E在DF上，BE交AD于点C，AB=AD，∠BAD=∠EAF，∠B=∠D=25°，∠F=75°．找出图中所有的n倍角三角形，并写出它是几倍角三角形．
【答案】(1)3
(2)36°或45°
(3)图中的n倍角三角形有△ABC和△DEC，它们都是5倍角三角形
【分析】（1）根据三角形的内角和求出∠C，再利用n倍角三角形的定义即可求解．
（2）设最小内角的度数为x，则最大内角为2x，分两种情况：一是当最小内角为等腰三角形的顶角时，二是当最小内角为等腰三角形的底角时，利用三角形内角和即可求解．
（3）利用ASA证明△BAE≌△DAF，得到AE=AF，求得∠EAF=180°−75°×2=30°，进而得到∠ACB，即可得到△ABC为5倍角三角形，同理可得△DEC为5倍角三角形．
【详解】（1）解：在△ABC中，∠A=35°，∠B=40°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−35°−40°=105°，
∵105°÷35°=3，
∴△ABC为3倍角三角形，
故答案为：3．
（2）设最小内角的度数为x，则最大内角为2x，
当最小内角为等腰三角形的顶角时，则底角为2x，得：
x+2x+2x=180°，解得x=36°，
当最小内角为等腰三角形的底角时，则顶角为2x，得：
x+x+2x=180°，解得x=45°，
∴最小内角的度数为36°或45°．
（3）∵∠BAD=∠EAF，
∴∠BAE=∠DAF，
在△BAE和△DAF中，
∠BAE=∠DAFAB=AD∠B=∠D，
∴△BAE≌△DAFASA，
∴AE=AF，
∵∠F=75°，
∴∠EAF=180°−75°×2=30°，
∴∠BAD=∠EAF=30°，
∵∠B=25°，
∴∠ACB=180°−∠B−∠BAD=125°，
∵125°÷25°=5，
∴△ABC为5倍角三角形，
∵∠D=25°，∠DCE=∠ACB=125°，
∴∠CED=180°−∠D−∠DCE=30°，
∵125°÷25°=5，
∴△DEC为5倍角三角形，
∴图中的n倍角三角形有△ABC和△DEC，它们都是5倍角三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形内角和，解题的关键是理解n倍角三角形的定义．
13．（2023春·安徽安庆·八年级统考期末）在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE=32°，求∠ACF度数．
【答案】(1)见解析
(2)58°
【分析】（1）根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△CBF即可；
（2）根据AB=BC，∠ABC=90°，得出∠CAB=∠ACB=45°，求出∠BAE=∠CAB−∠CAE=45°−32°=13°，根据全等三角形的性质求出∠BCF=∠BAE=13°，根据∠ACF=∠BCF+∠ACB求出最后结果即可．
【详解】（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵AE=CF，AB=BC，
∴Rt△ABE≌Rt△CBFHL．
（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵∠BAE=∠CAB−∠CAE=45°−32°=13°，
由（1）知Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=13°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+13°=58°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握等腰三角形的判定方法，证明Rt△ABE≌Rt△CBF．
14．（2023春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE=AB．将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
(1)求证：EF=BC
(2)若∠ABC=63°，∠ACB=25°，则∠FGC的度数 ．
【答案】(1)见解析
(2)79°
【分析】（1）根据“边角边”证明△ABC≌△AEF即可求证；
（2）根据等腰三角形的性质，（1）中的全等可得∠ABC=∠AEB=∠AEF，进而可求∠FEC=54°，再根据三角形的外角性质即可求解．
【详解】（1）解：由旋转可得AC=AF，
∵∠CAF=∠BAE，
∴∠CAF+∠EAC=∠BAE+∠EAC，即∠BAC=∠EAF，
∴在△ABC和△AEF中，
AB=AE∠BAC=∠EAFAC=AF，
∴△ABC≌△AEF(SAS)，
∴BC=EF，即EF=BC．
（2）解：在△ABC中，∠ABC=63°，∠ACB=25°，
∴∠ABC=∠AEB=63°，
由（1）中，△ABC≌△AEF(SAS)，可知∠ABC=∠AEF，
∴∠AEF=63°，
∵∠AEB+∠AEF+∠FEC=180°，
∴∠FEC=180°−∠AEB−∠AEF=180°−63−63°=54°，
∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=54°+24°=79°，
故答案为：79°．
【点睛】本题主要考查三角形的全等与判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
15．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，C为线段AE上一动点（点C不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O．
(1)求证：AD=BE；
(2)求∠AOB．
【答案】(1)见解析
(2)60°
【分析】（1）利用SAS证明△ACD≅△BCE，得AD=BE；
（2）结合（1）可得∠CBE=∠CAD，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵△ABC、△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≅△BCESAS，
∴AD=BE；
（2）解：∵△ACD≅△BCE，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠APC=∠BPO，
∴∠AOB=∠ACB=60°．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明△ACD≅△BCE是解题的关键．
16．（2023春·陕西西安·七年级西安市第八十三中学校考阶段练习）如图，点A，B，C在一条直线上，分别以AB，BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，连接AE，DC，则AE与DC相等吗？请说明理由．
【答案】相等，证明见解析
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，推得∠ABE=∠CBD，根据全等三角形的判定可得△ABE≌△DBCSAS，即可证明AE=DC．
【详解】∵△ABD、△BCE都是等边三角形
∴AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△DBC中，
AB=BD∠ABE=∠CBEBE=EC，
∴△ABE≌△DBCSAS，
∴AE=DC．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
17．（2023·全国·八年级专题练习）如图，以△ABC的边AB、AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，相交于点F．
(1)求证：△DAC≌△BAE；
(2)求证：BE=DC；
(3)求∠DFE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)120°
【分析】（1）由三角形ABD与三角形ACE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为60°，利用等式的性质得到∠DAC=∠BAE，利用SAS可得出△DAC≌△BAE，得证；
（2）由△DAC≌△BAE，利用全等三角形的对应边相等即可得到BE=DC；
（3）由△DAC≌△BAE，利用全等三角形的对应角相等得到∠ACD=∠AEB，而∠DFE为三角形EFC的外角，利用外角的性质列出关系式，等量代换后即可求出其度数．
【详解】（1）解：证明：∵△ABD和△ACE都为等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE，
∴△DAC≌△BAESAS；
（2）∵△DAC≌△BAE，
∴BE=DC；
（3）∵△DAC≌△BAE，
∴∠ACD=∠AEB，
则∠DFE=∠FEC+∠FCE=∠FEC+∠ACD+∠ACE=∠FEC+∠AEB+∠ACE=∠AEC+∠ACE=120°．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．
18．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠CAB+∠CBA=120°，点D，E分别在边AC，BC上，且AD=BE，以DE为边作等边△DEF，连接AF，BF．求证：△FAB是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】设AC、BF相交于点O，根据三角形的内角和定理求出∠C=60°，根据等边三角形的性质可得DF=EF，∠DFE=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ADF=∠BEF，然后利用“边角边”证明△ADF和△BEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=BF，全等三角形对应角相等可得∠AFD=∠BFE，再求出∠AFB=∠DFE=60°，然后根据等边三角形的判定方法证明即可．
【详解】解：证明：如图，设AC、BF相交于点O，
∵∠CAB+∠CBA=120°，
∴∠C=60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DF=EF，∠DFE=60°，
由三角形的外角性质得，∠ADF=∠DFE+∠DOF，
∠BEF=∠C+∠COE，
∵∠DFE=∠C=60°，∠DOF=∠COE，
∴∠ADF=∠BEF，
在△ADF和△BEF中，
AD=BE∠ADF=∠BEFDF=EF，
∴△ADF≌△BEF(SAS)，
∴AF=BF，∠AFD=∠BFE，
∴∠AFB=∠DFE=60°，
∴△FAB是等边三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质与三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于求出∠ADF=∠BEF．
19．（2023·江苏·八年级假期作业）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= °．
(2)如图2，设∠BAC=α，∠BCE=β．当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC=60°，D点为△ABC中BC边上的一个动点（D与B、C均不重合），当点D运动到什么位置时，△DCE的周长最小？请探求点D的位置，并求出此时∠EDC的度数，直接写出你的结论．
【答案】(1)90
(2)α+β=180°，见解析
(3)当点D运动到BC的中点时，△DEC是周长最小，此时∠EDC=30°
【分析】（1）由等腰直角△ABC、△ADE易证△CAE≌△BADSAS，即可得出∠B=∠ACE=45°，进而求出答案；
（2）证明△CAE≌△BADSAS推出∠B=∠ACE，则可得出结论；
（3）由全等三角形的性质可得出BD=CE，可推出BD+CD=CE+CD=BC由△DCE的周长＝DE+CD+CE=DE+BC，BC为定值，推出DE定值最小时，△DCE得到周长最小，根据此线段最短即可解决问题．
【详解】（1）解：∵AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠DAC+∠CAE，∠BAC=∠DAC+∠BAD，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE≌△BADSAS，
∴∠B=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90° ；
（2）解：α+β=180°；
∵AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠DAE=∠DAC+∠CAE，∠BAC=∠DAC+∠BAD，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE≌△BADSAS，
∴∠B=∠ACE，
∴β=∠ABC+∠ACB，
∴α+β=180°；
（3）解：∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵AD=AE，∠DAE=∠BAC，
∴△DCE是等边三角形，
∵△CAE≌△BADSAS，
∴BD=CE
∴BD+CD=CE+CD=BC，
∵△DCE的周长=DE+CD+CE=DE+BC，
∵BC为定值，
∴DE最小时，△DCE得到周长最小，
∵DE=AD，
∴AD⊥BC时，AD定值最小，此时BD=CD=CE，
∴∠EDC=12180°−120°=30°，
∴当点D运动到BC的中点时，△DCE是周长最小，此时∠EDC=30°．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
三、填空题
20．（2023春·广东广州·八年级广州市真光中学校考开学考试）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．
恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上）
【答案】①②③⑤
【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，和∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA(ASA)，再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③同②得：△ACP≌△BCQ，即可得出结论；④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．
【详解】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE ，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，①正确；
②∠DCP=180°−2×60°=60°=∠ECQ，
在△CDP和△CEQ中，∠ADC=∠BECCD=CE∠DCP=∠ECQ ，
∴△CDP≌△CEQ(ASA)．
∴CP=CQ，
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
∴∠QPC=∠BCA，
∴PQ∥AE，②正确；
③同②得：△ACP≌△BCQ，
∴AP=BQ，③正确；
④∵DE>QE，且DP=QE，
∴DE>DP，故④错误；
⑤∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵△DCE是等边三角形，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
∴⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
21．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，△ABC是边长为5的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°．E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=60°，则三角形AEF的周长为 ．
【答案】10
【分析】延长AB到N，使BN=CF，连接DN，求出∠FCD=∠EBD=∠NBD=90°，根据SAS证△NBD≌△FCD，推出DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，根据SAS证△EDF≌△EDN，推出EF=EN，易得△AEF的周长等于AB+AC．
【详解】解：延长AB到N，使BN=CF，连接DN，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，
∵在△NBD和△FCD中，
BD=DC∠NBD=∠FCDBN=CF，
∴△NBD≌△FCD（SAS），
∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠EDB+∠FDC=60°，
∴∠EDB+∠BDN=60°，
即∠EDF=∠EDN，
在△EDN和△EDF中，
DE=DE∠EDF=∠EDNDN=DF，
∴△EDN≌△EDF（SAS），
∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，
即BE+CF=EF．
∵△ABC是边长为5的等边三角形，
∴AB=AC=5，
∵BE+CF=EF，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的综合运用．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
22．（2023春·七年级课时练习）如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE= ．
【答案】65°
【分析】先判断出ΔACD≅ΔBCE，再判断出ΔACM≅ΔBCN即可得到CH平分∠AHE，即可得出结论．
【详解】解：如图，∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在ΔACD和ΔBCE中，CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE
∴ΔACD≅ΔBCE(SAS)；
过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，
∵ΔACD≅ΔBCE，
∴∠CAM=∠CBN，
在ΔACM和ΔBCN中，∠CAM=∠CBN∠AMC=∠BNC=90°AC=BC
∴ΔACM≅ΔBCN，
∴CM=CN，
在RtΔCMH与RtΔCNH中CM=CNCH=CH
∴RtΔCMH≅RtΔCNH(HL)，
∴∠MCH=∠NCH，
∴CH平分∠AHE；
∵ΔACD≅ΔBCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠AFC=∠BFH，
∴∠AHB=∠ACB=50°，
∴∠AHE=180°−50°=130°，
∴∠CHE=12∠AHE=12×130°=65°，
故答案为：65°．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
23．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，∠DAB=∠EAC=600，AB=AD，AC=AE，BE和CD相交于O，AB和CD相交于P，则∠DOE的度数是 °.
【答案】120
【分析】先得出∠DAC=∠EAB，进而利用ASA得出△ADC≌△AEB，进而得出∠E=∠ACD，再利用三角形内角和定理得出∠EAF=∠COF=60°，即可得出答案．
【详解】如图所示：
∵∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠BAC+∠EAC，
∴∠DAC=∠EAB，
在△ADC和△AEB中，
AD＝AB∠DAC＝∠EABAC＝AE ,
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴∠E=∠ACD，
又∵∠AFE=∠OFC，
∴∠EAF=∠COF=60°，
∴∠DOE=120°．
故答案是：120．
【点睛】考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理等知识，根据已知得出△ADC≌△AEB是解题关键．
24．（2023春·全国·七年级专题练习）（2016育才周测）如图，正三角形ΔABC和ΔCDE，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有 ．并写出3对全等三角形 ．
【答案】 ①②③⑤ △ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ
【分析】①可证明△ACD≌△BCE,从而得出AD=BE；
②可通过证明△BCQ≌△ACP，从而可证明△PCQ为等边三角形，再根据内错角相等两直线平行可证明PQ∥AE．
③由②中△BCQ≌△ACP，可证AP=BQ；
④通过证明△CDP≌△CEQ可得DP=EQ，又由图可知DE＞QE，从而④错误；
⑤通过三角形外角定理和前面△ACD≌△BCE可得该结论．
由前面的证明过程可得出三个全等三角形．
【详解】解：①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，
∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE，故本选项正确；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBQ=∠CAP，
又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，
∴△BCQ≌△ACP，
∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠QPC=60°=∠ACB，
∴PQ∥AE，故本选项正确；
③由②△BCQ≌△ACP可得AP=BQ，故本选项正确；
④∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴DP=EQ，
∵DE＞QE
∴DE＞DP，故本选项错误；
⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，故本选项正确；
∴正确的有：①②③⑤．
由上面证明过程可知△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ．
故答案为：①②③⑤；△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定定理，并能依据等边三角形三边相等，三角相等都是60°的特征判断三角形全等是解题关键．
25．（2019春·安徽蚌埠·八年级统考期中）如图，△ABD、△CDE是两个等边三角形，连接BC、BE．若∠DBC=30°，BD=6，BC=8，则BE= ．
【答案】BE=10
【分析】连接AC，根据题意易证△ACD≌△BED(SAS)，根据全等三角形的性质可得AC=BE，再根据勾股定理求出AC的值即可得出结论．
【详解】如图，连接AC，
∵△ABD、△CDE是两个等边三角形，
∴AB=BD=AD=2，CD=DE，∠ABD=∠ADB=∠CDE=60，
∴∠ADB+∠BDC=∠CDE+∠BDC，
∴∠ADC=∠BDE，
在△ACD与△BDE中{AD=BD∠ADC=∠BDECD=DE，
∴△ACD≌△BED（SAS），
∴AC=BE，
∵∠DBC=30°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°+30°=90°，
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC=AB2+BC2=62+82=10，
∴BE=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，孰练的掌握知识点是解题关键．
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