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第5周 简便运算 练习（教师版）-2024-2025学年度小学六年级奥数
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这是一份第5周 简便运算 练习（教师版）-2024-2025学年度小学六年级奥数，共3页。
前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。
运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般地，形如 EQ \F(1,a×(a+1)) 的分数可以拆成 EQ \F(1,a) － EQ \F(1,a+1) ；形如 EQ \F(1,a×（a+n）) 的分数可以拆成 EQ \F(1,n) ×（ EQ \F(1,a) － EQ \F(1,a+n) ），形如 EQ \F(a+b,a×b) 的分数可以拆成 EQ \F(1,a) + EQ \F(1,b) 等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。
例题1。
计算： EQ \F(1,1×2) + EQ \F(1,2×3) + EQ \F(1,3×4) +…..+ EQ \F(1,99×100)
原式＝（1－ EQ \F(1,2) ）+（ EQ \F(1,2) － EQ \F(1,3) ）+（ EQ \F(1,3) － EQ \F(1,4) ）+…..+ （ EQ \F(1,99) － EQ \F(1,100) ）
＝1－ EQ \F(1,2) + EQ \F(1,2) － EQ \F(1,3) + EQ \F(1,3) － EQ \F(1,4) +…..+ EQ \F(1,99) － EQ \F(1,100)
＝1－ EQ \F(1,100)
＝ EQ \F(99,100)
练习1
计算下面各题：
1. EQ \F(1,4×5) + EQ \F(1,5×6) + EQ \F(1,6×7) +…..+ EQ \F(1,39×40)
2. EQ \F(1,10×11) + EQ \F(1,11×12) + EQ \F(1,12×13) + EQ \F(1,13×14) + EQ \F(1,14×15)
3. EQ \F(1,2) + EQ \F(1,6) + EQ \F(1,12) + EQ \F(1,20) + EQ \F(1,30) + EQ \F(1,42)
4. 1－ EQ \F(1,6) + EQ \F(1,42) + EQ \F(1,56) + EQ \F(1,72)
例题2。
计算： EQ \F(1,2×4) + EQ \F(1,4×6) + EQ \F(1,6×8) +…..+ EQ \F(1,48×50)
原式＝（ EQ \F(2,2×4) + EQ \F(2,4×6) + EQ \F(2,6×8) +…..+ EQ \F(2,48×50) ）× EQ \F(1,2)
＝【（ EQ \F(1,2) － EQ \F(1,4) ）+（ EQ \F(1,4) － EQ \F(1,6) ）+（ EQ \F(1,6) － EQ \F(1,8) ）…..+ （ EQ \F(1,48) － EQ \F(1,50) ）】× EQ \F(1,2)
＝【 EQ \F(1,2) － EQ \F(1,50) 】× EQ \F(1,2)
＝ EQ \F(6,25)
练习2
计算下面各题：
1. EQ \F(1,3×5) + EQ \F(1,5×7) + EQ \F(1,7×9) +…..+ EQ \F(1,97×99)
2. EQ \F(1,1×4) + EQ \F(1,4×7) + EQ \F(1,7×10) +…..+ EQ \F(1,97×100)
3. EQ \F(1,1×5) + EQ \F(1,5×9) + EQ \F(1,9×13) +…..+ EQ \F(1,33×37)
4. EQ \F(1,4) + EQ \F(1,28) + EQ \F(1,70) + EQ \F(1,130) + EQ \F(1,208)
例题3。
计算：1 EQ \F(1,3) － EQ \F(7,12) + EQ \F(9,20) － EQ \F(11,30) + EQ \F(13,42) － EQ \F(15,56)
原式＝1 EQ \F(1,3) －（ EQ \F(1,3) + EQ \F(1,4) ）+（ EQ \F(1,4) + EQ \F(1,5) ）－（ EQ \F(1,5) + EQ \F(1,6) ）+（ EQ \F(1,6) + EQ \F(1,7) ）－（ EQ \F(1,7) + EQ \F(1,8) ）
＝1 EQ \F(1,3) － EQ \F(1,3) － EQ \F(1,4) + EQ \F(1,4) + EQ \F(1,5) － EQ \F(1,5) － EQ \F(1,6) + EQ \F(1,6) + EQ \F(1,7) － EQ \F(1,7) － EQ \F(1,8)
＝1－ EQ \F(1,8)
＝ EQ \F(7,8)
练习3
计算下面各题：
1 EQ \F(1,2) + EQ \F(5,6) － EQ \F(7,12) + EQ \F(9,20) － EQ \F(11,30)
1 EQ \F(1,4) － EQ \F(9,20) + EQ \F(11,30) － EQ \F(13,42) + EQ \F(15,56)
EQ \F(1998,1×2) + EQ \F(1998,2×3) + EQ \F(1998,3×4) + EQ \F(1998,4×5) + EQ \F(1998,5×6)
6× EQ \F(7,12) － EQ \F(9,20) ×6+ EQ \F(11,30) ×6
例题4。
计算： EQ \F(1,2) + EQ \F(1,4) + EQ \F(1,8) + EQ \F(1,16) + EQ \F(1,32) + EQ \F(1,64)
原式＝（ EQ \F(1,2) + EQ \F(1,4) + EQ \F(1,8) + EQ \F(1,16) + EQ \F(1,32) + EQ \F(1,64) + EQ \F(1,64) ）－ EQ \F(1,64)
＝1－ EQ \F(1,64)
＝ EQ \F(63,64)
练习4
计算下面各题：
1. EQ \F(1,2) + EQ \F(1,4) + EQ \F(1,8) +………+ EQ \F(1,256)
2. EQ \F(2,3) + EQ \F(2,9) + EQ \F(2,27) + EQ \F(2,81) + EQ \F(2,243)
3. 9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6
例题5。
计算：（1+ EQ \F(1,2) + EQ \F(1,3) + EQ \F(1,4) ）×（ EQ \F(1,2) + EQ \F(1,3) + EQ \F(1,4) + EQ \F(1,5) ）－（1+ EQ \F(1,2) + EQ \F(1,3) + EQ \F(1,4) + EQ \F(1,5) ）×（ EQ \F(1,2) + EQ \F(1,3) + EQ \F(1,4) ）
设1+ EQ \F(1,2) + EQ \F(1,3) + EQ \F(1,4) ＝a EQ \F(1,2) + EQ \F(1,3) + EQ \F(1,4) ＝b
原式＝a×（b+ EQ \F(1,5) ）－（a+ EQ \F(1,5) ）×b
＝ab+ EQ \F(1,5) a－ab－ EQ \F(1,5) b
＝ EQ \F(1,5) （a－b）
＝ EQ \F(1,5)
练习5
（ EQ \F(1,2) + EQ \F(1,3) + EQ \F(1,4) + EQ \F(1,5) ）×（ EQ \F(1,3) + EQ \F(1,4) + EQ \F(1,5) + EQ \F(1,6) ）－（ EQ \F(1,2) + EQ \F(1,3) + EQ \F(1,4) + EQ \F(1,5) + EQ \F(1,6) ）×（ EQ \F(1,3) + EQ \F(1,4) + EQ \F(1,5) ）
（ EQ \F(1,8) + EQ \F(1,9) + EQ \F(1,10) + EQ \F(1,11) ）×（ EQ \F(1,9) + EQ \F(1,10) + EQ \F(1,11) + EQ \F(1,12) ）－（ EQ \F(1,8) + EQ \F(1,9) + EQ \F(1,10) + EQ \F(1,11) + EQ \F(1,12) ）×（ EQ \F(1,9) + EQ \F(1,10) + EQ \F(1,11) ）
（1+ EQ \F(1,1999) + EQ \F(1,2000) + EQ \F(1,2001) ）×（ EQ \F(1,1999) + EQ \F(1,2000) + EQ \F(1,2001) + EQ \F(1,2002) ）－（1+ EQ \F(1,1999) + EQ \F(1,2000) + EQ \F(1,2001) + EQ \F(1,2002) ）×（ EQ \F(1,1999) + EQ \F(1,2000) + EQ \F(1,2001) ）
答案：
练1 1、 ＝ EQ \F(9,40) 2、 ＝ EQ \F(1,30) 3、 ＝ EQ \F(6,7) 4、 ＝ EQ \F(8,9)
练2 1、 ＝ EQ \F(16,99) 2、 ＝ EQ \F(33,100) 3、 ＝ EQ \F(9,37) 4、 ＝ EQ \F(5,16)
练3 1、 ＝1 EQ \F(5,6) 2、 ＝1 EQ \F(1,8) 3、 ＝1665 4、 ＝3
练4 1、 ＝ EQ \F(255,256) 2、 ＝ EQ \F(242,243) 3、 ＝111108
练5 1、 ＝ EQ \F(1,12) 2、 ＝ EQ \F(1,96) 3、 ＝ EQ \F(1,2002)
前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。
运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般地，形如 EQ \F(1,a×(a+1)) 的分数可以拆成 EQ \F(1,a) － EQ \F(1,a+1) ；形如 EQ \F(1,a×（a+n）) 的分数可以拆成 EQ \F(1,n) ×（ EQ \F(1,a) － EQ \F(1,a+n) ），形如 EQ \F(a+b,a×b) 的分数可以拆成 EQ \F(1,a) + EQ \F(1,b) 等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。
例题1。
计算： EQ \F(1,1×2) + EQ \F(1,2×3) + EQ \F(1,3×4) +…..+ EQ \F(1,99×100)
原式＝（1－ EQ \F(1,2) ）+（ EQ \F(1,2) － EQ \F(1,3) ）+（ EQ \F(1,3) － EQ \F(1,4) ）+…..+ （ EQ \F(1,99) － EQ \F(1,100) ）
＝1－ EQ \F(1,2) + EQ \F(1,2) － EQ \F(1,3) + EQ \F(1,3) － EQ \F(1,4) +…..+ EQ \F(1,99) － EQ \F(1,100)
＝1－ EQ \F(1,100)
＝ EQ \F(99,100)
练习1
计算下面各题：
1. EQ \F(1,4×5) + EQ \F(1,5×6) + EQ \F(1,6×7) +…..+ EQ \F(1,39×40)
2. EQ \F(1,10×11) + EQ \F(1,11×12) + EQ \F(1,12×13) + EQ \F(1,13×14) + EQ \F(1,14×15)
3. EQ \F(1,2) + EQ \F(1,6) + EQ \F(1,12) + EQ \F(1,20) + EQ \F(1,30) + EQ \F(1,42)
4. 1－ EQ \F(1,6) + EQ \F(1,42) + EQ \F(1,56) + EQ \F(1,72)
例题2。
计算： EQ \F(1,2×4) + EQ \F(1,4×6) + EQ \F(1,6×8) +…..+ EQ \F(1,48×50)
原式＝（ EQ \F(2,2×4) + EQ \F(2,4×6) + EQ \F(2,6×8) +…..+ EQ \F(2,48×50) ）× EQ \F(1,2)
＝【（ EQ \F(1,2) － EQ \F(1,4) ）+（ EQ \F(1,4) － EQ \F(1,6) ）+（ EQ \F(1,6) － EQ \F(1,8) ）…..+ （ EQ \F(1,48) － EQ \F(1,50) ）】× EQ \F(1,2)
＝【 EQ \F(1,2) － EQ \F(1,50) 】× EQ \F(1,2)
＝ EQ \F(6,25)
练习2
计算下面各题：
1. EQ \F(1,3×5) + EQ \F(1,5×7) + EQ \F(1,7×9) +…..+ EQ \F(1,97×99)
2. EQ \F(1,1×4) + EQ \F(1,4×7) + EQ \F(1,7×10) +…..+ EQ \F(1,97×100)
3. EQ \F(1,1×5) + EQ \F(1,5×9) + EQ \F(1,9×13) +…..+ EQ \F(1,33×37)
4. EQ \F(1,4) + EQ \F(1,28) + EQ \F(1,70) + EQ \F(1,130) + EQ \F(1,208)
例题3。
计算：1 EQ \F(1,3) － EQ \F(7,12) + EQ \F(9,20) － EQ \F(11,30) + EQ \F(13,42) － EQ \F(15,56)
原式＝1 EQ \F(1,3) －（ EQ \F(1,3) + EQ \F(1,4) ）+（ EQ \F(1,4) + EQ \F(1,5) ）－（ EQ \F(1,5) + EQ \F(1,6) ）+（ EQ \F(1,6) + EQ \F(1,7) ）－（ EQ \F(1,7) + EQ \F(1,8) ）
＝1 EQ \F(1,3) － EQ \F(1,3) － EQ \F(1,4) + EQ \F(1,4) + EQ \F(1,5) － EQ \F(1,5) － EQ \F(1,6) + EQ \F(1,6) + EQ \F(1,7) － EQ \F(1,7) － EQ \F(1,8)
＝1－ EQ \F(1,8)
＝ EQ \F(7,8)
练习3
计算下面各题：
1 EQ \F(1,2) + EQ \F(5,6) － EQ \F(7,12) + EQ \F(9,20) － EQ \F(11,30)
1 EQ \F(1,4) － EQ \F(9,20) + EQ \F(11,30) － EQ \F(13,42) + EQ \F(15,56)
EQ \F(1998,1×2) + EQ \F(1998,2×3) + EQ \F(1998,3×4) + EQ \F(1998,4×5) + EQ \F(1998,5×6)
6× EQ \F(7,12) － EQ \F(9,20) ×6+ EQ \F(11,30) ×6
例题4。
计算： EQ \F(1,2) + EQ \F(1,4) + EQ \F(1,8) + EQ \F(1,16) + EQ \F(1,32) + EQ \F(1,64)
原式＝（ EQ \F(1,2) + EQ \F(1,4) + EQ \F(1,8) + EQ \F(1,16) + EQ \F(1,32) + EQ \F(1,64) + EQ \F(1,64) ）－ EQ \F(1,64)
＝1－ EQ \F(1,64)
＝ EQ \F(63,64)
练习4
计算下面各题：
1. EQ \F(1,2) + EQ \F(1,4) + EQ \F(1,8) +………+ EQ \F(1,256)
2. EQ \F(2,3) + EQ \F(2,9) + EQ \F(2,27) + EQ \F(2,81) + EQ \F(2,243)
3. 9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6
例题5。
计算：（1+ EQ \F(1,2) + EQ \F(1,3) + EQ \F(1,4) ）×（ EQ \F(1,2) + EQ \F(1,3) + EQ \F(1,4) + EQ \F(1,5) ）－（1+ EQ \F(1,2) + EQ \F(1,3) + EQ \F(1,4) + EQ \F(1,5) ）×（ EQ \F(1,2) + EQ \F(1,3) + EQ \F(1,4) ）
设1+ EQ \F(1,2) + EQ \F(1,3) + EQ \F(1,4) ＝a EQ \F(1,2) + EQ \F(1,3) + EQ \F(1,4) ＝b
原式＝a×（b+ EQ \F(1,5) ）－（a+ EQ \F(1,5) ）×b
＝ab+ EQ \F(1,5) a－ab－ EQ \F(1,5) b
＝ EQ \F(1,5) （a－b）
＝ EQ \F(1,5)
练习5
（ EQ \F(1,2) + EQ \F(1,3) + EQ \F(1,4) + EQ \F(1,5) ）×（ EQ \F(1,3) + EQ \F(1,4) + EQ \F(1,5) + EQ \F(1,6) ）－（ EQ \F(1,2) + EQ \F(1,3) + EQ \F(1,4) + EQ \F(1,5) + EQ \F(1,6) ）×（ EQ \F(1,3) + EQ \F(1,4) + EQ \F(1,5) ）
（ EQ \F(1,8) + EQ \F(1,9) + EQ \F(1,10) + EQ \F(1,11) ）×（ EQ \F(1,9) + EQ \F(1,10) + EQ \F(1,11) + EQ \F(1,12) ）－（ EQ \F(1,8) + EQ \F(1,9) + EQ \F(1,10) + EQ \F(1,11) + EQ \F(1,12) ）×（ EQ \F(1,9) + EQ \F(1,10) + EQ \F(1,11) ）
（1+ EQ \F(1,1999) + EQ \F(1,2000) + EQ \F(1,2001) ）×（ EQ \F(1,1999) + EQ \F(1,2000) + EQ \F(1,2001) + EQ \F(1,2002) ）－（1+ EQ \F(1,1999) + EQ \F(1,2000) + EQ \F(1,2001) + EQ \F(1,2002) ）×（ EQ \F(1,1999) + EQ \F(1,2000) + EQ \F(1,2001) ）
答案：
练1 1、 ＝ EQ \F(9,40) 2、 ＝ EQ \F(1,30) 3、 ＝ EQ \F(6,7) 4、 ＝ EQ \F(8,9)
练2 1、 ＝ EQ \F(16,99) 2、 ＝ EQ \F(33,100) 3、 ＝ EQ \F(9,37) 4、 ＝ EQ \F(5,16)
练3 1、 ＝1 EQ \F(5,6) 2、 ＝1 EQ \F(1,8) 3、 ＝1665 4、 ＝3
练4 1、 ＝ EQ \F(255,256) 2、 ＝ EQ \F(242,243) 3、 ＝111108
练5 1、 ＝ EQ \F(1,12) 2、 ＝ EQ \F(1,96) 3、 ＝ EQ \F(1,2002)
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