2024年南京市秦淮区四校数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】

这是一份2024年南京市秦淮区四校数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定成立的是
A．
B．
C．
D．
2、（4分）如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是OB、OC的中点，连接AO．若AO＝3cm，BC＝4cm，则四边形DEFG的周长是( )
A．7cmB．9 cmC．12cmD．14cm
3、（4分）如果点在正比例函数的图像上，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）下列分解因式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5、（4分）如图，过平行四边形ABCD对角线交点O的直线交AD于E，交BC于F，若AB=5，BC=6，OE=2，那么四边形EFCD周长是（ ）
A．16B．15C．14D．13
6、（4分）某汽车制造厂为了使顾客了解一种新车的耗油量，公布了调查20辆该车每辆行驶100千米的耗油量，在这个问题中总体是（ ）
A．所有该种新车的100千米耗油量B．20辆该种新车的100千米耗油量
C．所有该种新车D．20辆汽车
7、（4分）使式子有意义的x的取值范围是（ ）.
A．x≤1B．x≤1且x≠﹣2
C．x≠﹣2D．x＜1且x≠﹣2
8、（4分）矩形ABCD中，AD＝AB，AF平分∠BAD，DF⊥AF于点F，BF交CD于点H．若AB＝6，则CH＝（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）请你写出一个一次函数，使它经过二、三、四象限_____．
10、（4分）如图所示，点A（﹣3，4）在一次函数y＝﹣3x+b的图象上，该一次函数的图象与y轴的交点为B，那么△AOB的面积为_____．
11、（4分）2x-3>- 5的解集是_________.
12、（4分）若点、在双曲线上，则和的大小关系为______.
13、（4分）如图，已知函数y=2x和函数y=的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则k=_____，满足条件的P点坐标是_________________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝DE，连接AF，DC．求证：四边形ADCF是菱形．
15、（8分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，已知点，点和直线．
（1）在直线上求作一点，使最短；
（2）请在直线上任取一点（点与点不重合），连接和，试说明．
16、（8分）已知三角形纸片ABC的面积为41，BC的长为1．按下列步骤将三角形纸片ABC进行裁剪和拼图：
第一步：如图1，沿三角形ABC的中位线DE将纸片剪成两部分．在线段DE上任意取一点F，在线段BC上任意取一点H，沿FH将四边形纸片DBCE剪成两部分；
第二步：如图2，将FH左侧纸片绕点D旋转110°，使线段DB与DA重合；将FH右侧纸片绕点E旋转110°，使线段EC与EA重合，再与三角形纸片ADE拼成一个与三角形纸片ABC面积相等的四边形纸片．

图1 图2
（1）当点F，H在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形；
（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为_________．
17、（10分）如图，在平行四边形中，，于点，试求的度数.
18、（10分）某项工程由甲乙两队分别单独完成，则甲队用时是乙队的1.5倍：若甲乙两队合作，则需12天完成，请问：
（1）甲，乙两队单独完成各需多少天；
（2）若施工方案是甲队先单独施工天，剩下工程甲乙两队合作完成，若甲队施工费用为每天1.5万元，乙队施工费为每天3.5万元求施工总费用（万元）关于施工时间（天）的函数关系式
（3）在（2）的方案下，若施工期定为15~18天内完成（含15和18天），如何安排施工方案使费用最少，最少费用为多少万元？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知反比例函数y=（k为常数，k≠2）的图像有一支在第二象限，那么k的取值范围是_______.
20、（4分）已知反比例函数的图象与一次函数y＝k（x﹣3）+2（k＞0）的图象在第一象限交于点P，则点P的横坐标a的取值范围为___．
21、（4分）在一个不透明的布袋中装有8个白球和4个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同.从中随机摸出一个球，投到红球的概率是__________.
22、（4分）已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是_____________.
23、（4分）如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点（1，2）处．则①OA的长为 ；②点B的坐标为 （直接写结果）；
（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰Rt△ACB如图放置，直角顶点
C(-1,0)，点A(0，4)，试求直线AB的函数表达式；
（3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，点B（4；3），过点B作BAy轴，垂足为点A；作BCx轴，垂足为点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线上一动点．问是否存在以点P为直角顶点的等腰Rt△APQ，若存在，请求出此时P的坐标，若不存在，请说明理由．
25、（10分）已知，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点．
（1）求，的值；
（2）求一次函数的图象与，围成的三角形的面积．
26、（12分）已知：如图，平面直角坐标系中，，，点C是x轴上一点，点D为OC的中点．
（1）求证：BD∥AC；
（2）若点C在x轴正半轴上，且BD与AC的距离等于2，求点C的坐标；
（3）如果于点E，当四边形ABDE为平行四边形时，求直线AC的解析式．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据矩形性质进行判断：矩形的两条对角线相等，4个角是直角等.
【详解】
根据矩形性质， ，，只有D说法不正确的.
故选D
本题考核知识点：矩形性质. 解题关键点：熟记矩形性质.
2、A
【解析】
根据三角形中位线定理分别求出DE、EF、FG、DG，计算即可．
【详解】
解：∵BD、CE是△ABC的中线，
∴DE=BC=2，
同理，FG=BC=2，EF=OA=1.5，DG=OA=1.5，
∴四边形DEFG的周长=DE+EF+FG+DG=7（cm），
故选：A．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
3、D
【解析】
由函数图象与函数表达式的关系可知，点A满足函数表达式，可将点A的坐标代入函数表达式，得到关于a、b的等式；再根据等式性质将关于a、b的等式进行适当的变形即可得出正确选项.
【详解】
∵点A（a，b）是正比例函数图象上的一点，
∴，
∴.
故选D.
此题考查正比例函数，解题关键在于将点A的坐标代入函数表达式.
4、C
【解析】
【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．
【详解】A. ，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项正确；
D. =（x-2）2，故D选项错误，
故选C.
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．
5、B
【解析】
根据平行四边形性质得出AD=BC=6，AB=CD=5，OA=OC，AD∥BC，推出∠EAO=∠FCO，证△AEO≌△CFO，推出AE=CF，OE=OF=2，求出DE+CF=DE+AE=AD=6，即可求出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，AB=CD=5，OA=OC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴AE=CF，OE=OF=2，
∴DE+CF=DE+AE=AD=6，
∴四边形EFCD的周长是EF+FC+CD+DE=2+2+6+5=1．
故选B．
本题考查平行四边形性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是求出DE+CF的长和求出OF长．
6、A
【解析】
首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量.
【详解】
解：在这个问题中总体是：所有该种新车的100千米耗油量；
样本是：20辆该种新车的100千米耗油量；
样本容量为：20
个体为：每辆该种新车的100千米耗油量；
故选：A.
本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义,解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象.总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小.样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位.
7、B
【解析】
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】
解：由题意得，1﹣x≥0且1+x≠0，解得x≤1且x≠﹣1．
故选B．
考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
8、D
【解析】
过作，交于，交于，则，证是等腰直角三角形，得出，证，为的中位线，进而得出答案．
【详解】
解：如图，过作，交于，交于，则，
四边形是矩形，
，，，
，，
平分，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
点是的中点，
，为的中位线，
，，
；
故选：．
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质是解本题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、答案不唯一：如y＝﹣x﹣1．
【解析】
根据已知可画出此函数的简图，再设此一次函数的解析式为：y＝kx+b，然后可知：k＜0，b＜0，即可求得答案．
【详解】
∵图象经过第二、三、四象限，∴如图所示．
设此一次函数的解析式为：y＝kx+b，∴k＜0，b＜0，∴此题答案不唯一：如y＝﹣x﹣1．
故答案为：答案不唯一：如y＝﹣x﹣1．
本题考查了一次函数的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
10、
【解析】
把点A（﹣3，4）代入y＝﹣3x+b求出点B的坐标，然后得到OB=5,利用A的坐标即可求出△AOB的面积.
【详解】
解: ∵点A（﹣3，4）在一次函数y＝﹣3x+b的图象上，
∴9+b=4，
∴b=-5，
∵一次函数图象与y轴的交点的纵坐标就是一次函数的常数项上的数,
∴点B的坐标为:（0，-5）,
∴OB=5,而A（﹣3，4）,
S△AOB= .
故答案为: .
本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数与坐标轴的交点，以及三角形的面积，解决本题的关键是找到所求三角形面积的底边以及底边上的高的长度.
11、x>-1．
【解析】
先移项，再合并同类项，化系数为1即可．
【详解】
移项得，2x>-5+3，
合并同类项得，2x>-2，
化系数为1得，x>-1．
故答案为：x>-1．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
12、
【解析】
根据反比例函数的增减性解答即可．
【详解】
将A(7,y1),B(5,y2)分别代入双曲线上,得y1=;y2=,则y1与y2的大小关系是.
故答案为.
此题考查反比例函数的性质，解题关键在于掌握其性质.
13、8 P1（0，-4），P2（-4，-4），P3（4，4）
【解析】
解：如图
∵△AOE的面积为4，函数y=的图象过一、三象限，
∴S△AOE=•OE•AE=4，
∴OE•AE=8，
∴xy=8，
∴k=8，
∵函数y=2x和函数y=的图象交于A、B两点，
∴2x=，
∴x=±2，
当x=2时，y=4，当x=-2时，y=-4，
∴A、B两点的坐标是：（2，4）（-2，-4），
∵以点B、O、E、P为顶点的平行四边形共有3个，
∴满足条件的P点有3个，分别为：
P1（0，-4），P2（-4，-4），P3（4，4）．
故答案为：8；P1（0，-4），P2（-4，-4），P3（4，4）．
本题考查反比例函数综合题．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、证明见解析.
【解析】
试题分析：先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明DE是△ABC的中位线，得出DE∥BC，证出AC⊥DF，即可得出结论.
试题解析：证明：∵E是AC的中点，∴AE＝CE．
∵EF＝DE，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC．
∴∠AED＝∠ACB．
∵∠ACB＝90°，
∴∠AED＝90°，即AC⊥DF．
∴□ADCF是菱形．
15、（1）作图见解析；（2）证明见解析
【解析】
（1）根据题意，做点A关于直线的对称点，连接交直线与点P即可；
（2）根据两点之间线段最短，结合三角形两边之和大于第三边即可证得．
【详解】
（1）作点关于直线的对称点，连接交直线于，
则点即为所求，作图如下：
（2）在直线上任取另一点，连接、、，
∵点与关于直线成轴对称，点在直线上，
∴，，
∵，
∴
即，
∴，
∴最小．
本题考查了点对称的性质，“将军饮马”模型求同侧线段之和最短，三角形三边关系的应用，掌握点的对称性和两点之间线段最短是解题的关键．
16、21
【解析】
（1）利用旋转的旋转即可作出图形；
（2）先求出的边长边上的高为，进而求出与间的距离为，再判断出最小时，拼成的四边形的周长最小，即可得出结论.
【详解】
（1）∵DE是△ABC的中位线，
∴四边形BDFH绕点D顺时针旋转，点B和点A重合，
四边形CEFH绕点E逆时针旋转，点C和点A重合，
∴补全图形如图1所示，
（2）∵△ABC的面积是41，BC=1，
∴点A到BC的距离为12，
∵DE是△ABC的中位线，
∴平行线DE与BC间的距离为6，
由旋转知，∠DAH''=∠B，∠CAH'=∠C，
∴∠DAH''+∠BAC+∠CAH'=110°，
∴点H''，A，H'在同一条直线上，
由旋转知，∠AEF'=∠CEF，
∴∠AEF'+∠CEF'=∠CEF+∠CEF'=110°，
∴点F，E，F'在同一条直线上，
同理：点F，D，F''在同一条直线上，
即：点F'，F''在直线DE上，
由旋转知，AH''=BH，AH'=CH，DF''=DF，EF'=EF，F''H''=FH=F'H'，
∴F'F''=2DE=BC=H'H''，
∴四边形F'H'H''F''是平行四边形，
∴▱F'H'H''F''的周长为2F'F''+2F'H'=4DE+2FH=2BC+2FH=16+2FH，
∵拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小时，FH最小，
即：FH⊥BC，
∴FH=6，
∴周长的最小值为16+2×6=21，
故答案为21．
此题是四边形综合题，主要考查了旋转的旋转和作图，判断三点共线的方法，平行四边形的判断和性质，判断出四边形是平行四边形是解本题的关键.
17、.
【解析】
由BD=CD可得∠DBC=∠C=70°，由平行四边形的性质可得AD∥BC，从而有∠ADB=∠DBC=70°，继而在直角△AED中，根据直角三角形两锐角互余即可求得答案.
【详解】
，
，
在中，，
，
于点，
，
.
本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余等知，熟练掌握相关知识是解题的关键.
18、（1）甲、乙两队单独完成分别需30天，20天；（2）y=0.5x+60;（3）甲队先施工10天，再甲乙合作8天，费用最低为55万元
【解析】
（1）设乙队单独完成需a天，则甲队单独完成需1.5a天，根据题意列出方程即可求解；
（2）设甲乙合作完成余下部分所需时间为w天，根据题意得到w与x的关系，根据题意即可写出y与x的关系式；
（3）根据施工期定为15~18天内完成得到x的取值范围，再根据一次函数的性质求出y的最小值.
【详解】
（1）设乙队单独完成需a天，则甲队单独完成需1.5a天，
根据题意列：，
解得，a=20，经检验：a=20是所列方程的根，且符合题意，所以1.5a=30，
答：甲、乙两队单独完成分别需30天，20天；
（2）设甲乙合作完成余下部分所需时间为w天，
依题意得，
解得，w=x+12
∴y=1.5x+（1.5+3.5）（x+12）=-0.5x+60；
（3）由题可得15≤xx+12≤18，
解得5≤x≤10，
∵y=-0.5x+60中k<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=10时，y最小=-0.5×10+60=55，
此时，甲队先施工10天，再甲乙合作8天，费用最低为55万元.
此题主要考查分式方程的应用和解法，一次函数的性质等知识，正确的列出分式方程、求出费用与时间之间的函数关系式是解决问题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、k＜2.
【解析】
由于反比例函数y=（k为常数，k≠3）的图像有一支在第二象限，故k-2＜0，求出k的取值范围即可.
【详解】
∵反比例函数y=（k为常数，k≠3）的图像有一支在第二象限，
∴k-2＜0，
解得k＜2，
故答案为k＜2.
此题考查反比例函数的性质,解题关键在于掌握利用其经过的象限进行解答.
20、2＜a＜1．
【解析】
先确定一次函数图象必过点(1，2)，根据k＞0得出直线必过一、三象限，继而结合图象利用数形结合思想即可得出答案.
【详解】
当x＝1时，y＝k(1﹣1)+2＝2，
即一次函数过点(1，2)，
∵k＞0，
∴一次函数的图象必过一、三象限，
把y=2代入y＝，得x=2，
观察图象可知一次函数的图象和反比例函数y＝图象的交点的横坐标大于2且小于1，
∴2＜a＜1，
故答案为：2＜a＜1．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关知识并正确运用数形结合思想是解题的关键.
21、
【解析】
由在一个不透明的布袋中装有8个白球和4个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
∵在一个不透明的布袋中装有8个白球和4个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．
∴从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是：
故答案为：
此题考查概率公式，掌握运算法则是解题关键
22、（-3，-1）
【解析】
根据关于y轴对称的点的坐标为，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可解答.
【详解】
解：∵点Q与点P（3，﹣1）关于y轴对称，
∴Q（-3，-1）.
故答案为：（-3，-1）.
本题主要考查关于对称轴对称的点的坐标特征，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
23、
【解析】
连接AW，如图所示：
根据旋转的性质得：AD=AB′，∠DAB′=60°，
在Rt△ADW和Rt△AB′W中，
,
∴Rt△ADW≌Rt△AB′W（HL），
∴∠B′AW=∠DAW=
又AD=AB′=1，
在RT△ADW中，tan∠DAW=，即tan30°=WD
解得：WD=
∴,
则公共部分的面积为：，
故答案为.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1），（2）（3），
【解析】
由可得，，，，易证≌，，，因此；
同可证≌，，，，求得最后代入求出一次函数解析式即可；
分两种情况讨论当点Q在x轴下方时，当点Q在x轴上方时根据等腰构建一线三直角，从而求解．
【详解】
如图1，作轴，轴．
，
，，
，
≌，
，，
．
故答案为，；
如图2，过点B作轴．
，
≌，
，，
．
设直线AB的表达式为
将和代入，得
，
解得，
直线AB的函数表达式．
如图3，设，分两种情况：
当点Q在x轴下方时，轴，与BP的延长线交于点．
，
，
在与中
≌
，
，，
，
解得
此时点P与点C重合，
；
当点Q在x轴上方时，轴，与PB的延长线交于点．
同理可证≌．
同理求得
综上，P的坐标为：，
本题考查了一次函数与三角形的全等，熟练掌握一次函数的性质与三角形全等判定是解题的关键．
25、（1），；（2）40.5
【解析】
（1）把交点的坐标代入两个函数解析式计算即可得解；
（2）设直线与交于点，则，一次函数与，分别交于点、，求出、两点的坐标，再根据三角形的面积公式列式计算即可．
【详解】
解：（1）正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
，，
解得，；
（2）如图，设直线与交于点，则．
一次函数的解析式为．
设直线与，分别交于点、，
当时，，
．
当时，，解得，
．
．
本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
26、（1）BD∥AC；（2）；（3）
【解析】
（1）由A与B的坐标求出OA与OB的长，进而得到B为OA的中点，而D为OC的中点，利用中位线定理即可得证；
（2）如图1，作BF⊥AC于点F，取AB的中点G，确定出G坐标，由平行线间的距离相等求出BF的长，在直角三角形ABF中，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出FG的长，进而确定出三角形BFG为等边三角形，即∠BAC=30°，设OC=x，则有AC=2x，利用勾股定理表示出OA，根据OA的长求出x的值，即可确定出C坐标；
（3）如图2，当四边形ABDE为平行四边形时，AB∥DE，进而得到DE垂直于OC，再由D为OC中点，得到OE=CE，再由OE垂直于AC，得到三角形AOC为等腰直角三角形，求出OC的长，确定出C坐标，设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出AC解析式．
【详解】
（1），，
，，点B为线段OA的中点，
点D为OC的中点，即BD为的中位线，
；
（2）如图1，作于点F，取AB的中点G，则，
，BD与AC的距离等于2，
，
在中，，，点G为AB的中点，
，
是等边三角形，.
，
设，则，
根据勾股定理得：，
，
，
点C在x轴的正半轴上，
点C的坐标为；
（3）如图2，当四边形ABDE为平行四边形时，，
，
点D为OC的中点，
，
，
，
，
点C在x轴的正半轴上，
点C的坐标为，
设直线AC的解析式为.
将，得
，
解得：.
直线AC的解析式为.
此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：三角形中位线定理，坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分