2024-2025学年北京市海淀区北京理工大学附属中学高二上学期回归练习数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市海淀区北京理工大学附属中学高二上学期回归练习数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1, 3)，则z的共轭复数z=( )
A. 1+ 3iB. 1− 3iC. −1+ 3iD. −1− 3i
2.若sinθ>0，tanθ<0，则θ是( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
3.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为( )
A. 8B. 16C. 8 3D. 16 3
4.在▵ABC中，a=2，∠A=π3，∠B=5π12，则c=( )
A. 2 23B. 2C. 2 63D. 6
5.在平面直角坐标系xOy中，已知Pcsθ,sinθ,θ∈0,π2,A1,1，则OA⋅OP的取值范围是( )
A. 1, 2B. 0,2C. − 2, 2D. 2,2
6.函数y=Asinωx−φA>0,ω>0,0<φ<π的部分图象如图所示，则其解析式为( )
A. y=2sin2x−π6B. y=2sin2x−π3
C. y=2sinx−π3D. y=2sin2x+π6
7.已知函数fx=sinωx+π6ω>0，“存在m,n∈0,π2，函数fx的图象既关于直线x=m对称，又关于点n,0对称”是“ω≥2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若m⊥α，α⊥β，则m//βB. 若α∩β=l，l//m，则m//β
C. 若m⊂α，α⊥β，则m⊥βD. 若m⊥α，α//β，则m⊥β
9.在梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BD，∠BDC=π3，AB=2，DC=6，则AD与BC夹角的余弦值为( )
A. 714B. 2 77C. 2114D. 217
10.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，其中E，F，G，H，I，J，K分别为棱A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AA1，BB1，CC1的中点，那么三棱柱B1FJ−A1HI与三棱柱B1EJ−C1GK在正方体内部的公共部分的体积为( )
A. 16B. 14C. 13D. 12
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知纯虚数z满足z−2i=1，则z可以是 ．
12.已知csπ4−α=35，则sin2α= ．
13.有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为 ；表面积为 ．
14.在▵ABC中，∠A=60∘,AC=6,AB=4，则AC⋅AB= ，|CA→+CB→|= − ．
15.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M为AD的中点，点N是侧面DCC1D1上(包括边界)的动点，点P是线段B1D上的动点，给出下列四个结论：
①任意点P，都有CD1⊥MP；
②存在点P，使得B1D⊥平面MPC；
③存在无数组点N和点P，使得C1P//MN；
④点P到直线CD1的距离最小值是 63．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题，共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.在▵ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，bsinA−acsB2=0．
(1)求∠B的大小；
(2)若c=1，且AB边上的高是BC边上的高的2倍，求b及▵ABC的面积．
17.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，CC1=4，E为CC1的中点．
(1)求证：AC1//平面EDB；
(2)求证：平面EDB⊥平面ACC1；
(3)求点C到平面EDB的距离．
18.设函数fx=sinωx+ 3csωx(ω>0).从下列三个条作中选择两个作为已知，使得函数fx存在．
(1)求fx的最小正周期及单调递减区间；
(2)若对于任意的x∈π2,π，都有fx≤c，求实数c的取值范围．
条件①：函数fx的图象经过点−π6,2；
条件②：fx在区间−5π12,π12上单调递增；
条件③：x=π12足fx的一条对称轴．
19.设n为正整数，集合An=αα=t1,t2,...,tn,tk∈0,1,k=1,2,...,n.对于集合An中的任意元素α=x1,x2,...,xn和β=y1,y2,...,yn，定义α∗β=x1⋅y1,x2⋅y2,...,xn⋅yn，α⊙β=x1−y1,x2−y2,...,xn−yn，以及α=x1+x2+...+xn．
(1)若n=5，α=1,1,1,0,1，α∗β=0,1,1,0,1，β=4，求β；
(2)若n=9，α1,α2,...,αkk≥2均为An中的元素，且αi=31≤i≤k，αi∗αj=01≤i(3)若α0,α1,α2,...,αkk≥2均为Ann≥5中的元素，其中α0=0，αk=n，且满足αi⊙αi+1=n−20≤i≤k−1，求k的最小值．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.C
5.A
6.B
7.B
8.D
9.D
10.C
11.3i(答案不唯一)
12.−725
13.33π；54π．
14.12；4 7
15.①③④
16.(1)由正弦定理asinA=bsinB=csinC可得，sinB⋅sinA−sinA⋅csB2=0.
因为A∈(0,π)，所以sinA≠0．
所以sinB=csB2.
所以2sinB2⋅csB2=csB2.
因为B∈(0,π)，所以B2∈0,π2，csB2≠0，
所以sinB2=12，所以B2=π6，即B=π3．
(2)因为AB边上的高是BC边上的高的2倍，c=1，
所以由等面积法知a=2c=2，
所以b2=a2+c2−2ac⋅csB=3，
所以b= 3，
所以S▵ABC=12acsinB= 32.
17.(1)在长方体ABCD−A1B1C1D1中，令AC∩BD=F，则F为AC中点，连接EF，
由E为CC1的中点，得EF//AC1，而AC1⊄平面EDB，EF⊂平面EDB，
所以AC1//平面EDB．
(2)由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，得CC1⊥BD，
矩形ABCD中，AB=BC，则矩形ABCD为正方形，AC⊥BD，
而AC∩CC1=C,AC,CC1⊂平面ACC1，则BD⊥平面ACC1，又BD⊂平面EDB，
所以平面EDB⊥平面ACC1．
(3)在▵EFC中，过C作CG⊥EF于G，由平面EDB⊥平面ACC1，平面EDB∩平面ACC1=EF，
CG⊂平面ACC1，因此CG⊥平面EDB，显然FC= 2，EF= FC2+EC2= 6，
在Rt▵EFC中，CG=FC⋅ECEF=2 33，
所以点C到平面EDB的距离为2 33．
18.(1)因为fx=sinωx+ 3csωx=212sinωx+ 32csωx=2sinωx+π3，
若选①②：由①函数f(x)的图象经过点−π6,2，
则−πω6+π3=π2+2kπ，k∈Z，即ω=−1−12k，k∈Z，
由②f(x)在区间−5π12,π12上单调递增，有π12−−5π12≤T2，即T≥π，
又ω>0且T=2πω，即2πω≥π，所以0<ω≤2，此时ω不存在；
选条件②③：由②f(x)在区间−5π12,π12上单调递增，有π12−−5π12≤T2，即T≥π，
又ω>0且T=2πω，即2πω≥π，所以0<ω≤2，
由③x=π12是f(x)的一条对称轴，则π12ω+π3=π2+kπ，k∈Z，
所以ω=2+12k，k∈Z，所以ω=2，
所以f(x)=2sin2x+π3，则fx的最小正周期T=2π2=π，
由π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ(k∈Z)，解得π12+kπ≤x≤7π12+kπ(k∈Z)，
所以f(x)的单调递减区间为π12+kπ,7π12+kπ(k∈Z)；
若选①③：由①函数f(x)的图象经过点−π6,2，
则−πω6+π3=π2+2kπ，k∈Z，即ω=−1−12k，k∈Z，
由③x=π12是f(x)的一条对称轴，则π12ω+π3=π2+kπ，k∈Z，所以ω=2+12k，k∈Z，
此时ω不存在；
(2)由(1)可知f(x)=2sin2x+π3，
因为x∈π2,π，所以2x+π3∈4π3,7π3，
所以sin2x+π3∈−1, 32，f(x)∈−2, 3，
因为对于任意的x∈π2,π，都有f(x)≤c，所以c≥ 3，
即c的取值范围为 3,+∞．
19.(1)设β=y1,y2,y3,y4,y5，则由α=1,1,1,0,1，α∗β=0,1,1,0,1，知1⋅y1,1⋅y2,1⋅y3,0⋅y4,1⋅y5=0,1,1,0,1．
所以y1,y2,y3,0,y5=0,1,1,0,1，得β=0,1,1,y4,1．
而β=4，故0+1+1+y4+1=4，从而y4=1．
所以β=0,1,1,1,1．
(2)由已知有αi=31≤i≤k，αi∗αj=01≤i这些条件的含义是，α1,α2,...,αk都恰有3个分量等于1，且任意两个不同向量没有同时为1的分量．
由于n=9，故一共只有9个分量，这表明全体α1,α2,...,αk的所有分量中，至多有9个1．
而显然一共有3k个1，故3k≤9，得k≤3．
显然α1=1,1,1,0,0,0,0,0,0，α2=0,0,0,1,1,1,0,0,0，α3=0,0,0,0,0,0,1,1,1满足条件，此时k=3．
这就说明k的最大值是3．
(3)由α0=0，αk=n，知α0=0,0,0,...,0,0，αk=1,1,1,...,1,1．
而条件αi⊙αi+1=n−20≤i≤k−1的含义是，在序列α0,α1,α2,...,αk中，任意一对相邻的向量αi,αi+10≤i≤k−1都恰有n−2个分量不相等．
根据题目内容，已有k≥2．
若k=2，则α0=0,0,0,...,0,0，α2=1,1,1,...,1,1，且α0,α1恰有n−2个分量不相等，α1,α2恰有n−2个分量不相等．
换言之，α0,α1恰有2个分量相等，α1,α2恰有2个分量相等．
而n≥5，故一定存在1≤t≤n，使得α0,α1的第t个分量不相等，α1,α2的第t个分量也不相等．
这就表明α0,α2的第t个分量相等，但α0=0,0,0,...,0,0，α2=1,1,1,...,1,1，它们没有相等的分量，矛盾；
这就表明k≥3．
注意到α0=0,0,0,0,0,0,...,0,0,0,0，α1=0,1,0,1,1,1,...,1,1,1,1，α2=1,1,0,0,0,0,...,0,0,0,0，α3=1,1,1,1,1,1,...,1,1,1,1满足全部条件，此时k=3．
所以k的最小值是3．