2024年北京市中考数学模拟押题预测试卷

这是一份2024年北京市中考数学模拟押题预测试卷，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．中国向大海要水喝已成为现实．到目前为止我国已建成海水淡化工程123个，海水淡化能力每天超过1600000吨．数据1600000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
2．如图中几何体的左视图为（ ）．

A． B． C． D．
3．已知直线，将含有的直角三角板在这两条平行线中按如图所示的方式摆放，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则，，，中最小的数是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，五边形是正五边形，若，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
6．有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4 随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，则第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．已知方程有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．B．C．D．不存在
8．如图，正方形中，点为对角线的中点，矩形两边分别交、边于、两点，连接，下列结论正确的有（ ）个．
（1）；（2）；（3）；（4）若，则以为斜边的直角三角形面积的最大值为8．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
9．式子有意义的条件是 ．
10．因式分解结果是 ．
11．分式方程的解是 ．
12．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交直角梯形的边于点D，交边于点C，且D是边的中点，若四边形的面积为10， ．
13．下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表：
从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查，则抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为 ．
14．如图，是的直径，过上的点作的切线，交的延长线于点，若，则的度数是 ．
15．如图，在正方形中，，点在对角线上运动，连接，点在上运动，且，连接，则的最小值为 ．
16．某校航模小组的同学正在为即将开始的航模比赛做最后的准备．已知准备工作共有A，B，C，D，E，F，G，H，M，N十项工序，准备工作完成过程需要满足以下要求：
（1）H只能在A、B、C工序均完成后才能完成；
（2）M只能在C、D、E工序均完成后才能完成；
（3）其余每项工序相互独立，之间没有干扰；
（4）一项工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序．
各项工序所需时间如下表所示：
在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成准备工作，则至少需要 分钟才能全部完成；若要在最短的时间内合作完成准备工作，则最少需要 名学生共同参与．
三、解答题
17．计算：（﹣1）3+|1|﹣（）﹣2+2cs45°．
四、单选题
18．解不等式组：．
五、解答题
19．先化简再求值：，然后从中选取一个你认为合适的整数a的值代入求值．
20．华为手机自带测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法．如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与浮雕像垂直于地面，若手机显示，，，求浮雕像的高度．（结果精确到，参考数据，，，）
21．在平面直角坐标系中，一次函数的图象平行于直线，且经过点．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
22．已知：如图，四边形中，，垂足分别为E、F，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)联结交于点O，联结，求证：．
23．如图，以为直径作，点C在上，连接，，过点C作于点E，交于点D，点F是上一点，过点F作的切线交的延长线于点G，若．
(1)求证：；
(2)若，的半径为8，求的长．
24．某中学九年级学生进行了五次体育模拟测试，甲同学的成绩如表１所示，乙同学的成绩如折线统计图所示
表1

表2
(1)请根据甲、乙两同学五次体育模拟测试的成绩填写表2；
(2)在图中用虚线画出甲测试成绩的折线统计图；
(3)甲、乙两位同学在这五次体育模拟测试中，谁的成绩较为稳定？谁的成绩一直呈上升趋势．
25．小明骑自行车上学，当他骑了一段路时，想起今天要学习轨迹，需要用到圆规，于是又折回到刚经过的文具店，买到圆规后继续去学校．以下是他本次上学途中离家距离和所用时间的关系示意图．
根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小明家到学校的路程是__________米．
(2)小明在文具店停留了__________分钟．
(3)小明一共行驶了__________米．
(4)我们认为骑车的速度超过300米/分就超过了安全限度．问：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车的速度最快，速度在安全限度内吗？
26．小颖家附近广场中央计划新建造个圆形的喷水池．在水池中央垂直于地面处安装个柱子，在柱子顶端A处安装一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图所示．已知柱子在水面以上部分的高度为，要求设计水流在距离柱子处达到距离水平面最高，且最高为．

(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求水流抛物线在第一象限内对应的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）；
(2)若不计其他因素，则水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落到池外？
27．如图1，点E是四边形的边上一点，分别连接，，把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么我们把点E叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，那么我们把点E叫做四边形的边上的“强相似点”．
(1)任务一：如图1，，试判断点E是否是四边形的边上的“相似点”，并说明理由；
(2)任务二：如图2，矩形的四个顶点A，B，C，D均在正方形网格的格点上，试在图中画出矩形的边上的“强相似点”；
(3)任务三：如图3，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在边上的点F处，若点F是四边形的边上“强相似点”，求．
28．在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点和的弦，给出如下定义：若，则称弦是点的“关联弦”．
(1)如图1，已知点，点，，，，，，在弦，，中，点的“关联弦”是 ；
(2)如图2，已知点，在上，弦是点的“关联弦”，直接写出长度的最大值；
(3)如图3，已知点，，对于线段上一点，存在的弦，使得弦是点的“关联弦”，若对于每一个点，将其对应的“关联弦”长度的最大值记为，则当点在线段上运动时，直接写出的取值范围．
月户用电量x（千瓦时/户．月）
户数（户）
5
22
27
31
15
工序
A
B
C
D
E
F
G
H
M
N
所需时间/分钟
18
15
16
6
7
5
8
3
2
3
次数
一
二
三
四
五
分数
46
47
48
49
50
中位数
平均数
方差
甲
______
48
______
乙
48
______
______
参考答案：
1．C
【分析】本题考查的是科学记数法，根据科学记数法表示较大数的方法求解即可．熟知科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值是解题的关键．
【详解】解：
故选：．
2．C
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左面看到图形，可得左视图中间有一条虚线，即可解答．熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，题中几何体的左视图为 ，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查平行线的性质，角的和差运算，根据题意得，由平角的定义得，再根据平行线的性质即可得解．掌握平行线的性质（两直线平行，同位角相等）、角的和差运算是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵是一块含有的直角三角板，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
4．D
【分析】此题考查了实数比较大小，正数大于0，负数小于0，绝对值大的负数反而小，再根据进行判断即可.
【详解】解：∵，
∴，
即，，，中最小的数是，
故选：D．
5．C
【分析】此题考查了多边形的内角及平行线的性质，熟记多边形内角和公式及平行线的性质是解题的关键．
过点B作交于点F，根据多边形的内角和及平行线的性质求解即可．
【详解】解：过点B作交于点F，

又
，
，
五边形是正五边形，
，
，
，
，
故选：C
6．D
【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，先画树状图得到所有等可能的结果，再找出符合题意的结果数，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
共有16种等可能的结果，其中第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的有8种，
∴第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的概率为，
故选：D．
7．A
【分析】根据方程有两个相等的实数根，，进行求解即可．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，即：，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查判别式与一元二次方程根的情况．熟练掌握判别式大于0，方程有两个不相等的实数根，判别式等于0，方程有两个相等的实数根，判别式小于0，方程没有实数根，是解题的关键．
8．B
【分析】由正方形的性质和已知条件得出，可得，得出，得出（1）正确；可得四边形的面积的面积正方形的面积，得出（2）错误，进而可得，可得（3）正确，结合完全平方公式可得，得出（4）错误．从而可得答案．
【详解】解：∵正方形，
∴，，，，
∴，
，
，
在和中，
，
；
同理：；
，
；故（1）符合题意；
∵，
∴，故（2）不符合题意；
∵正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，故（3）符合题意；
∵，，
∴
∵，
∴，即，
∴，
∴，则以为斜边的直角三角形面积的最大值为4．故（4）不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，完全平方公式的应用，以及勾股定理等．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．且
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件和零指数次方有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的分母不等于，零指数次方的底数不为．
【详解】解：由题可知：，
解得：且，
故答案为：且．
10．
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．
【详解】
．
故答案为：．
11．
【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：，
方程两边同乘，得，
去括号，得
移项得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
12．
【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形面积的计算，反比例函数k值意义，连接，延长交x轴于点E，根据反比例函数k的意义，得出，D是边的中点，得出，求出，再得出，根据四边形的面积为12，列出关于k的方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：连接，延长交x轴于点E，如图所示：
∵四边形为直角梯形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴轴，
∴，
∵D是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴，
∴．
故答案为：．
13．0.8．
【分析】根据用电量大于240小于等于400为第二档，即可得出结论．
【详解】由表格可知这100户中，
有户为第二档人，
∴，
故答案为：0.8．
【点睛】本题考查了概率问题，正确读懂表格是解题的关键．
14．/40度
【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，三角形内角和定理．连接常用的辅助线是解答本题的关键．根据圆周角定理可求出的大小，再根据切线的性质，可得出，最后利用三角形内角和定理即可求出的大小．
【详解】解：∵，
∴，
∵CD是切线，
∴，即，
∴．
故答案为：．
15．/
【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，求一点到圆上的距离的最值问题，根据题意得出，进而可得在为直径的一段弧上运动，勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：∵，，
即
∴
∴在为直径的一段弧上运动，
如图所示，设为的中点，连接，则,
∴当在上时，取得最小值，最小值为，
故答案为：．
16． 21 4
【分析】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．
将所有工序需要的时间最少时间由最长工序时间决定，完成过程需要满足条件可知：可知需要先完成A，再完成H；然后再合理安排其他时间即可．
【详解】解：由题意得：可知需要先完成A，再完成H，完成时长为（分钟）；若要在最短的时间内合作完成准备工作，需要四名学生，具体安排如下
图：
故答案为：21，4．
17．-6
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘方运算以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．
18．
【分析】此题考查了一元一次不等式组，求出每个不等式的解集，找到公共部分即可熟练掌握一元一次不等式的解法和不等式组解集的确定方法是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，
∴不等式组的解集是．
19．；当时，原式
【分析】本题考查了分式的化简求值；根据异分母分式的减法法则计算括号内的运算，同时把除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，约分后即可得到最简结果，然后选取使分式有意义的整数a的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
∵，，
∴，，
∴从中选取代入得：原式．
20．浮雕像的高度约为2.0米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，将解直角三角形与实际问题结合，需要构造合适的直角三角形．过点于F点，在中，求出，即可得到，再利用勾股定理即可求出．
【详解】.解：过点于F点，
在中，，，
，，
，
∴在中，
.
答：浮雕像的高度约为．
21．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据一次函数图象平移时k不变可知，再把点代入求出b的值，进而可得出结论；
（2）由函数解析式可知其经过点，由题意可得临界值为当，两条直线都过点，将点代入到一次函数，可求出m的值，结合函数图象的性质即可得出m的取值范围．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与函数的图象平行，
∴，
∵一次函数的图象过点，
∴，
∴，
∴这个一次函数的表达式为；
（2）解：对于一次函数，当时，有，可知其经过点．
当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于一次函数的值，即一次函数图象在函数的图象上方，由下图可知：

临界值为当时，两条直线都过点，
将点代入到函数中，
可得，解得，
结合函数图象及性质可知，当，时，一次函数的值大于一次函数的值，
又∵如下图，当时，根据一次函数的图象可知，不符合题意．

∴m的取值范围为：．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换、待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质，学会运用数形结合的思想思考问题是解题关键．
22．(1)见详解
(2)见详解
【分析】该题主要考查了菱形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再证明，根据全等三角形的性质得出，即可证明四边形是菱形；
（2）根据四边形是菱形，得出，再根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质即可证明；
【详解】（1），
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23．(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，可得，根据三角形内角和可得，根据切线的性质可得，根据三角形内角和可得，根据平行线的性质可得，即可证明；
（2）根据垂径定理可得，根据正切的定义可得，由（1）得，故，即可求得．
【详解】（1）证明：∵为直径作，点C在上
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
（2）∵
∴
∴
又∵
∴
∴
【点睛】本题考查了半圆（或直径）所对的圆周角是直角，三角形内角和，切线的性质，平行线的性质，垂径定理，正切的定义等，熟练掌握以上性质是解题的关键．
24．(1)见详解
(2)见详解
(3)乙的成绩较为稳定，甲的成绩一直呈上升趋势
【分析】（1）根据中位数，平均数，方差的定义进行计算即可得出答案；
（2）按题意画折线图即可；
（3）根据方差的定义进行判定即可得出答案．
【详解】（1）解：甲同学成绩为：46、47、48、49、50；
乙同学成绩为：47、48、47、49、49；
由题意可得，甲同学的中位数为48，
甲同学成绩方差：
乙同学平均数为，
乙同学成绩方差：.
填表如下：
（2）折线图如下：

（3）乙的成绩较为稳定，甲的成绩一直呈上升趋势．
因为乙的方差小于甲的方差，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
通过折线图可知：甲的成绩一直呈上升趋势，
即乙的成绩较为稳定，甲的成绩一直呈上升趋势．
【点睛】本题主要考查了折线统计图、中位数，平均数、方差，熟练应用折线统计图、中位数，平均数、方差的定义进行求解是解决本题的关键．
25．(1)米
(2)分钟
(3)米
(4)在分钟时间段小明的骑车速度最快，不在安全限度内．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以得到小明家到学校的路程和在书店停留的时间；
（2）根据函数图象中的数据可以得到小明在书店停留的时间；
（3）根据函数图象中的数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程；
（4）根据题意和函数图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：由图象可得，小明家到学校的路程是1500米；
（2）小明在书店停留了（分钟）；
（3）本次上学途中，小明一共行驶了：


（米），
（4）解：当时间在分钟内时，速度为：米分钟，
当时间在分钟内时，速度为：米分钟，
当时间在分钟内时，速度为：米分钟，
，
在分钟时间段小明的骑车速度最快，不在安全限度内．
【点睛】本题考查从函数的图象中获取信息，解答本题的关键是明确点的横纵坐标的含义，利用数形结合的思想解答．
26．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的实际应用：
（1）根据已知得出二次函数的顶点坐标，即可利用顶点式得出二次函数解析式；
（2）令，求出x的值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知抛物线顶点为，
可设解析式为，过点，即，
解得．
抛物线的解析式为：．
（2）解：由（1）可知：，
令，
．
解得或（舍去）．
花坛半径至少为．
27．(1)是，见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用两角相等的两个三角形相似求解；
（2）取，连接，，根据勾股定理求得各线段的长度，再利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再利用相似三角形的判定求解即可；
（3）根据矩形和折叠的性质可得，，，由点是四边形的边上的“强相似点”，可得，由全等的性质可得，由直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求得，根据勾股定理即可求得的长．
【详解】（1）解：点E是四边形的边上的“相似点”，
理由：∵，
∴，
即：，
∴，
∴．
∴点E是四边形的边上的“相似点”
（2）如图：取，连接，，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，，
∵，
∴是直角三角形且，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴，，
即，
∴点是矩形的边上的“强相似点”．
∴点即为所求．
（3）∵矩形中，，将矩形沿折叠，点落在边上的点处，
∴，
，，
∵点是四边形的边上的“强相似点”，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的长为．
【点睛】本题考查作图和折叠，考查了三角形外角的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理及逆定理，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半等知识点．理解和掌握矩形的性质，折叠的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
28．(1)，
(2)长度的最大值为
(3)
【分析】（1）根据题意判断角是否为即可；
（2）根据直径所对的圆周角为，找出的运动轨迹后求解即可；
（3）分类讨论的长度，求出关联弦的取值范围，再根据的取值范围求解即可．
【详解】（1）连接，，，，，，如图所示：
解：∵点，点，，，，
∴，，和是点的关联点；
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
综上点的“关联弦”是和；
（2）解：∵，，
∴，
设的中点为，则，
∵，的长为定值，
∴点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆上，如图所示：
∴当在轴上时最大，此时，，
∴；
（3）解：设是点的关联弦，，
当点在圆心上时，即，如图所示：
此时为等腰直角三角形，，
∴，
当点在圆上时，即时，如图所示：
此时为等腰直角三角形，，
∴当时，设的中点为连接，，如图所示：
∴，
∴当越大，越小时越大，即，
∴此时得到最大值，如图：
∴，
∵当点在圆外且与相切时，如图所示：
此时四边形为正方形，此时，
∴当时，设的中点为连接，，如图所示：
∴，
∴当越大，越小时越大，即，
所以此时得到最大值，如图：
∴，
综上所述；
又∵连接，，当时，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵时关联弦的取值为：，
∴．
【点睛】本题为圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，点与圆的位置关系，几何变换等知识点，根据所给的信息合理分类讨论弦的长度是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
18

答案
C
C
D
D
C
D
A
B
−1<x≤2

中位数
平均数
方差
甲
48
48
2
乙
48
48