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01 第58讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 【答案】听课 高考数学二轮复习练习
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这是一份01 第58讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 【答案】听课 高考数学二轮复习练习，共4页。
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
m+n m×n
【对点演练】
1.120 [解析] 根据分步乘法计数原理可知,可选择的不同的方案有10×12=120(种).
2.21 [解析] 依题意知共有10+8+3=21(种)不同的选法.
3.32 1024 [解析] 若每位同学限报其中一个小组,则每位同学都有2种报名方法,由分步乘法计数原理知,不同的报名方法共有2×2×2×2×2=32(种).若没有任何限制,则每位同学可以都不报,可以报一个,也可以都报,则每位同学有1+2+1=4(种)报名方法,由分步乘法计数原理知,不同的报名方法共有4×4×4×4×4=1024(种).
4.15 120 [解析] 从书架上任取1本书,有三类方案:第1类,从第1层取1本语文书,有6种方法;第2类,从第2层取1本数学书,有5种方法;第3类,从第3层取1本外语书,有4种方法.根据分类加法计数原理,不同取法的种数为6+5+4=15.
从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书,可以分三步完成:第1步,从第1层取1本语文书,有6种方法;第2步,从第2层取1本数学书,有5种方法;第3步,从第3层取1本外语书,有4种方法.根据分步乘法计数原理,不同取法的种数为6×5×4=120.
5.20 [解析] 由三位“凸数”的特点知,中间的数字只能是3,4,5,即分三类.第一类,当中间数字为“3”时,此时有2个“凸数”,即132,231;第二类,当中间数字为“4”时,个位数字有3种选择,百位数字有2种选择,则“凸数”有2×3=6(个);第三类,当中间数字为“5”时,个位数字有4种选择,百位数字有3种选择,则“凸数”有4×3=12(个).由分类加法计数原理得,由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是2+6+12=20.
6.(1)60 (2)125 [解析] (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列,因此不同送法的种数是5×4×3=60.
(2)由于有5种不同的书(每种不少于3本),故每名同学都有5种不同的送法,因此送给3名同学,每人各1本书的不同送法的种数是5×5×5=125.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)由题意,分为4类:十位1根,个位3根;十位2根,个位2根;十位3根,个位1根;十位4根,个位0根.根据分类加法计数原理求解.(2)利用圆的对称性,将等边三角形分两类:相邻2个点和圆心构成的等边三角形、相间隔的3个点构成的等边三角形.根据分类加法计数原理即可求出结果.
(1)C (2)8 [解析] (1)由题意知,共有4根算筹,分为4类讨论:当十位1根,个位3根时,可表示2个两位数;当十位2根,个位2根时,可表示4个两位数;当十位3根,个位1根时,可表示2个两位数;当十位4根,个位0根时,可表示2个两位数.根据分类加法计数原理可得,共可表示2+4+2+2=10(个)两位数.故选C.
(2)根据圆的对称性,分两类讨论.如图①,由圆上相邻2个点和圆心可构成等边三角形,这样的等边三角形有6个;如图②,由圆上相间隔的3个点可构成等边三角形,这样的等边三角形有2个.由分类加法计数原理可得,共能构成不同的等边三角形的个数为6+2=8.
变式题 (1)A (2)B [解析] (1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以m>n.以m的值为标准分类,可分为四类:第一类,当m=5时,使m>n,n有4种选择;第二类,当m=4时,使m>n,n有3种选择;第三类,当m=3时,使m>n,n有2种选择;第四类,当m=2时,使m>n,n有1种选择.故符合条件的椭圆共有4+3+2+1=10(个).故选A.
(2)符合题目要求的分类方法有甲3张乙1张,甲2张乙2张,甲1张乙3张三类.①若甲3张乙1张,则有4种分法;②若甲2张乙2张,则有6种分法;③若甲1张乙3张,则有4种分法.所以不同分法的种数为4+6+4=14.故选B.
例2 [思路点拨] (1)根据题意,先排男生再排女生,由分步乘法计数原理可得答案.(2)先安排男生,再安排女生,在安排女生时,利用间接法分析运算,根据分步乘法计数原理,即可求解.
(1)C (2)C [解析] (1)第一步:排男生,第一个男生在第一行选一个位置有3个位置可选,第二个男生在第二行有2个位置可选,由于2名男生可以互换位置,故男生的排法有3×2×2=12(种).第二步:排女生,则女生的排法有2×(1+2)=6(种).根据分步乘法计数原理可得,共有12×6=72(种)坐法,故选C.
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(进群送往届全部资料)(2)先安排2名男生,保证每个小组都有男生,则有2种分配方案;再安排5名女生,若将每名女生随机安排,则有25=32(种)分配方案,若5名女生都在同一小组,则有2种分配方案,因为每个小组都有女生,所以女生共有25-2=30(种)分配方案.所以共有2×30=60(种)分配方案,故选C.
变式题 (1)B (2)B [解析] (1)完成这个事情需要三步:第1步,在第二、三、四笔选一笔写卧钩,有3种方法;第2步,在前四笔剩下的三笔中写左点、上点、撇,有3×2×1=6(种)方法;第3步,最后一笔写右点,有1种方法.根据分步乘法计数原理可知,共有3×6×1=18(种)笔顺.故选B.
(2)第一步,给①③⑤着色,因为①③⑤着相同的颜色,所以有3种方案;第二步,给②④⑥着色,②④⑥各有2种着色方案,故有2×2×2=8(种)方案.所以共有3×8=24(种)方案.故选B.
例3 [思路点拨] (1)由于0不能为百位数字,故分2种情况讨论:0在个位和0不在个位,再由分类加法计数原理计算可得答案.(2)利用分类加法计数原理求解,按2与4两区域种植果树是否相同进行分类即可.
(1)C (2)C [解析] (1)根据题意,分2种情况讨论:①若0在个位,此时只需从1,2,3,4,5中任取2个数字,作为十位和百位数字即可,有5×4=20(个)没有重复数字的三位偶数;②若0不在个位,此时必须从2和4中任取1个数字作为个位数字,有2种取法,0不能作为百位数字,则百位数字有4种取法,十位数字也有4种取法,此时有2×4×4=32(个)没有重复数字的三位偶数.综上可得,共有20+32=52(个)没有重复数字的三位偶数.故选C.
(2)分两类情况:第一类,2与4区域种同一种果树.第一步种1区域,有5种方法,第二步种2与4区域,有4种方法,第三步种3区域,有3种方法,最后一步种5区域,有3种方法.由分步乘法计数原理得共有5×4×3×3=180(种)方法.第二类,2与4区域种不同果树.第一步种1区域,有5种方法,第二步种2区域,有4种方法,第三步种3区域,有3种方法,第4步种4区域,有2种方法,第五步种5区域,有2种方法.由分步乘法计数原理得共有5×4×3×2×2=240(种)方法.综上,由分类加法计数原理得,共有180+240=420(种)不同的种植方法.故选C.
变式题 (1)C (2)C [解析] (1)若从集合A中取出元素4,则4不能作为千位上的数字,有C53C31A33=180(个)满足题意的自然数;若从集合A中取出的元素不是4,则有C31C43A44=288(个)满足题意的自然数.综上,满足题意的自然数共有180+288=468(个),故选C.
(2)由题意可得,只需确定区域1,2,3,4所涂的颜色,即可确定整个伞面的涂色.第一步,涂区域1,有7种选择.第二步,涂区域2,有6种选择.第三步,涂区域3,4.当区域3与区域1涂的颜色不同时,区域3有5种选择,区域4有5种选择;当区域3与区域1涂的颜色相同时,区域4有6种选择.故不同的涂色方案有7×6×(5×5+6)=1302(种).故选C.
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1.120 [解析] 根据分步乘法计数原理可知,可选择的不同的方案有10×12=120(种).
2.21 [解析] 依题意知共有10+8+3=21(种)不同的选法.
3.32 1024 [解析] 若每位同学限报其中一个小组,则每位同学都有2种报名方法,由分步乘法计数原理知,不同的报名方法共有2×2×2×2×2=32(种).若没有任何限制,则每位同学可以都不报,可以报一个,也可以都报,则每位同学有1+2+1=4(种)报名方法,由分步乘法计数原理知,不同的报名方法共有4×4×4×4×4=1024(种).
4.15 120 [解析] 从书架上任取1本书,有三类方案:第1类,从第1层取1本语文书,有6种方法;第2类,从第2层取1本数学书,有5种方法;第3类,从第3层取1本外语书,有4种方法.根据分类加法计数原理,不同取法的种数为6+5+4=15.
从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书,可以分三步完成:第1步,从第1层取1本语文书,有6种方法;第2步,从第2层取1本数学书,有5种方法;第3步,从第3层取1本外语书,有4种方法.根据分步乘法计数原理,不同取法的种数为6×5×4=120.
5.20 [解析] 由三位“凸数”的特点知,中间的数字只能是3,4,5,即分三类.第一类,当中间数字为“3”时,此时有2个“凸数”,即132,231;第二类,当中间数字为“4”时,个位数字有3种选择,百位数字有2种选择,则“凸数”有2×3=6(个);第三类,当中间数字为“5”时,个位数字有4种选择,百位数字有3种选择,则“凸数”有4×3=12(个).由分类加法计数原理得,由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是2+6+12=20.
6.(1)60 (2)125 [解析] (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列,因此不同送法的种数是5×4×3=60.
(2)由于有5种不同的书(每种不少于3本),故每名同学都有5种不同的送法,因此送给3名同学,每人各1本书的不同送法的种数是5×5×5=125.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)由题意,分为4类:十位1根,个位3根;十位2根,个位2根;十位3根,个位1根;十位4根,个位0根.根据分类加法计数原理求解.(2)利用圆的对称性,将等边三角形分两类:相邻2个点和圆心构成的等边三角形、相间隔的3个点构成的等边三角形.根据分类加法计数原理即可求出结果.
(1)C (2)8 [解析] (1)由题意知,共有4根算筹,分为4类讨论:当十位1根,个位3根时,可表示2个两位数;当十位2根,个位2根时,可表示4个两位数;当十位3根,个位1根时,可表示2个两位数;当十位4根,个位0根时,可表示2个两位数.根据分类加法计数原理可得,共可表示2+4+2+2=10(个)两位数.故选C.
(2)根据圆的对称性,分两类讨论.如图①,由圆上相邻2个点和圆心可构成等边三角形,这样的等边三角形有6个;如图②,由圆上相间隔的3个点可构成等边三角形,这样的等边三角形有2个.由分类加法计数原理可得,共能构成不同的等边三角形的个数为6+2=8.
变式题 (1)A (2)B [解析] (1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以m>n.以m的值为标准分类,可分为四类:第一类,当m=5时,使m>n,n有4种选择;第二类,当m=4时,使m>n,n有3种选择;第三类,当m=3时,使m>n,n有2种选择;第四类,当m=2时,使m>n,n有1种选择.故符合条件的椭圆共有4+3+2+1=10(个).故选A.
(2)符合题目要求的分类方法有甲3张乙1张,甲2张乙2张,甲1张乙3张三类.①若甲3张乙1张,则有4种分法;②若甲2张乙2张,则有6种分法;③若甲1张乙3张,则有4种分法.所以不同分法的种数为4+6+4=14.故选B.
例2 [思路点拨] (1)根据题意,先排男生再排女生,由分步乘法计数原理可得答案.(2)先安排男生,再安排女生,在安排女生时,利用间接法分析运算,根据分步乘法计数原理,即可求解.
(1)C (2)C [解析] (1)第一步:排男生,第一个男生在第一行选一个位置有3个位置可选,第二个男生在第二行有2个位置可选,由于2名男生可以互换位置,故男生的排法有3×2×2=12(种).第二步:排女生,则女生的排法有2×(1+2)=6(种).根据分步乘法计数原理可得,共有12×6=72(种)坐法,故选C.
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变式题 (1)B (2)B [解析] (1)完成这个事情需要三步:第1步,在第二、三、四笔选一笔写卧钩,有3种方法;第2步,在前四笔剩下的三笔中写左点、上点、撇,有3×2×1=6(种)方法;第3步,最后一笔写右点,有1种方法.根据分步乘法计数原理可知,共有3×6×1=18(种)笔顺.故选B.
(2)第一步,给①③⑤着色,因为①③⑤着相同的颜色,所以有3种方案;第二步,给②④⑥着色,②④⑥各有2种着色方案,故有2×2×2=8(种)方案.所以共有3×8=24(种)方案.故选B.
例3 [思路点拨] (1)由于0不能为百位数字,故分2种情况讨论:0在个位和0不在个位,再由分类加法计数原理计算可得答案.(2)利用分类加法计数原理求解,按2与4两区域种植果树是否相同进行分类即可.
(1)C (2)C [解析] (1)根据题意,分2种情况讨论:①若0在个位,此时只需从1,2,3,4,5中任取2个数字,作为十位和百位数字即可,有5×4=20(个)没有重复数字的三位偶数;②若0不在个位,此时必须从2和4中任取1个数字作为个位数字,有2种取法,0不能作为百位数字,则百位数字有4种取法,十位数字也有4种取法,此时有2×4×4=32(个)没有重复数字的三位偶数.综上可得,共有20+32=52(个)没有重复数字的三位偶数.故选C.
(2)分两类情况:第一类,2与4区域种同一种果树.第一步种1区域,有5种方法,第二步种2与4区域,有4种方法,第三步种3区域,有3种方法,最后一步种5区域,有3种方法.由分步乘法计数原理得共有5×4×3×3=180(种)方法.第二类,2与4区域种不同果树.第一步种1区域,有5种方法,第二步种2区域,有4种方法,第三步种3区域,有3种方法,第4步种4区域,有2种方法,第五步种5区域,有2种方法.由分步乘法计数原理得共有5×4×3×2×2=240(种)方法.综上,由分类加法计数原理得,共有180+240=420(种)不同的种植方法.故选C.
变式题 (1)C (2)C [解析] (1)若从集合A中取出元素4,则4不能作为千位上的数字,有C53C31A33=180(个)满足题意的自然数;若从集合A中取出的元素不是4,则有C31C43A44=288(个)满足题意的自然数.综上,满足题意的自然数共有180+288=468(个),故选C.
(2)由题意可得,只需确定区域1,2,3,4所涂的颜色,即可确定整个伞面的涂色.第一步,涂区域1,有7种选择.第二步,涂区域2,有6种选择.第三步,涂区域3,4.当区域3与区域1涂的颜色不同时,区域3有5种选择,区域4有5种选择;当区域3与区域1涂的颜色相同时,区域4有6种选择.故不同的涂色方案有7×6×(5×5+6)=1302(种).故选C.
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