07 第53讲　抛物线 【答案】听课 高考数学二轮复习练习

这是一份07 第53讲　抛物线 【答案】听课 高考数学二轮复习练习，共6页。
【知识聚焦】
1.相等 焦点 准线
2.p2,0 -p2,0 0,p2 0,-p2 1 x=-p2
x=p2 y=-p2 y=p2 x0+p2 -x0+p2 y0+p2-y0+p2
【对点演练】
1.18 [解析] 抛物线的标准方程为x2=14y,所以2p=14,所以焦点到其准线的距离为p=18.
2.97 [解析] 以拱顶为坐标原点,水平向右的方向为x轴的正方向,竖直向上的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系.设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),设A32,t,B(2,t-1),则94=-2pt,4=-2p(t-1),解得t=-97,p=78,所以暴雨后的水面离桥拱顶的距离为97 m.
3.3116 [解析] 抛物线的标准方程为x2=14y,则焦点为F0,116,准线方程为y=-116.因为点P(x0,y0)在抛物线上,且|PF|=2,所以y0+116=2,即y0=2-116=3116.
4.y2=8x或x2=y [解析] 设抛物线的方程为y2=kx(k≠0)或x2=my(m≠0),将P(2,4)的坐标代入,可得k=8,m=1,故所求抛物线的方程为y2=8x或x2=y.
5.3 [解析] ①当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则当k=0时,直线l的方程为y=2,满足直线l与抛物线y2=2x有且只有一个公共点;当k≠0时,直线l是抛物线的切线,设直线l的方程为y=kx+2,代入抛物线的方程可得k2x2+(4k-2)x+4=0,由Δ=(4k-2)2-4k2·4=0,得k=14,故切线方程为y=14x+2.②当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,满足直线l与抛物线y2=2x有且只有一个公共点.综上,满足题意的直线l共有3条.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)先确定M到抛物线准线的距离,再利用抛物线的定义求解即可.(2)由抛物线的焦点坐标可求出p的值,从而可得抛物线的方程,再结合抛物线的定义及点P与抛物线的位置关系即可得解.
(1)D (2)C [解析] (1)因为抛物线C:y2=8x的准线方程为x=-2,M到直线x=-3的距离为5,所以M到准线x=-2的距离为4,又点M在C上,所以根据抛物线的定义知|MF|=4.故选D.
(2)由已知可得p2=4,解得p=8,则抛物线C的方程为x2=16y.由抛物线的定义知,点M到点F(0,4)的距离等于点M到准线y=-4的距离,结合点P(2,3)与抛物线C的位置关系可知,|MF|+|MP|的最小值是点P(2,3)到准线y=-4的距离,故|MF|+|MP|的最小值为7.故选C.
变式题 (1)B (2)94 (3)4 [解析] (1)由题设知,Fp2,0,又OB=5OF,所以B5p2,0.因为线段AB的中垂线经过点F,所以|AF|=|BF|=2p.不妨设A(x0,y0)且y0>0,则|AF|=x0+p2=2p,可得x0=3p2,故y0=3p,所以|AB|=5p2-3p22+3p2=2p,所以|AB||AF|=1.故选B.
(2)由题意可得(5)2=2p×1,则2p=5,所以抛物线C的方程为y2=5x,其准线方程为x=-54,故A到C的准线的距离为1--54=94.
(3)过点M作MA⊥y轴,垂足为A,MA的延长线交抛物线的准线于点B,由题意得Fp2,0,设Mn22p,n,由抛物线的定义可知,|MF|=|MB|=n22p+p2=3.因为M为线段FN的中点,所以|AM|=12|OF|(O为坐标原点),所以n22p=p4,将其代入n22p+p2=3,可得p4+p2=3,解得p=4.
例2 [思路点拨] (1)设直线的方程为y=kx,根据直线与圆相切求出k,结合圆(x+2)2+y2=3和抛物线y2=2px(p>0)均关于x轴对称,不妨取k>0,根据直线与抛物线的位置关系求出P的坐标,结合|OP|=8即可求出p的值.(2)①将双曲线的方程化为标准方程,得到双曲线的左顶点,即可得到抛物线的焦点坐标,进而求解;②分情况设出抛物线的方程,求出A的横坐标,再根据焦半径公式代入求解.
(1)6 [解析] 根据题意设直线的方程为y=kx,∵直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切,∴圆心C(-2,0)到直线y=kx的距离d=|-2k|1+k2=3,解得k=±3,不妨令k=3.由y=3x,y2=2px,得P23p,233p,∴|OP|=23p2+233p2=8,可得p=6.
(2)解:①双曲线方程16x2-9y2=144化为标准方程为x29-y216=1,双曲线的左顶点为(-3,0),
所以抛物线的焦点为(-3,0),抛物线的开口方向向左,可设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则p2=3,解得p=6,所以所求抛物线的方程是y2=-12x.
②当焦点在x轴的正半轴上时,设抛物线的方程为y2=2px(p>0),当y=-3时,x=92p,
由|AF|=92p+p2=5,得p2-10p+9=0,解得p=1或p=9,所以抛物线的方程为y2=2x或y2=18x.
当焦点在x轴的负半轴上时,设抛物线的方程为y2=-2mx(m>0),当y=-3时,x=-92m,由|AF|=92m+m2=5,得m2-10m+9=0,解得m=1或m=9,
所以抛物线的方程为y2=-2x或y2=-18x.
综上可知,所求抛物线的方程为y2=±2x或y2=±18x.
变式题 (1)y2=233x (2)y2=6x [解析] (1)根据抛物线的对称性,可知AB⊥x轴.因为正三角形OAB的面积是43,所以34|AB|2=43,故|AB|=4.设AB与x轴交于点C,则|OC|=23,故可设点A的坐标为(23,2),代入抛物线方程得4=43p,解得p=33,故所求抛物线的方程为y2=233x.
(2)因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,所以|MF|=|MH|=2,又∠HFM=30°,所以△MHF是顶角为120°的等腰三角形,所以|HF|=23.记准线l与x轴交于点Q,则∠QHF=60°,所以p=|QF|=|HF|sin∠QHF=23sin 60°=3,所以抛物线C的方程为y2=6x.
例3 [思路点拨] (1)求出抛物线的焦点坐标,可得p=2,即可判断A;联立直线与抛物线的方程,得到A,B的坐标,可得|AB|,即可判断B;确定M,N的坐标,可计算kNF·kMF,即可判断C;求出线段AB的中点的坐标,即可判断D.(2)由抛物线的性质知A,B两点关于x轴对称,设出坐标,结合斜率之积为-1即可求解.
(1)BD (2)x=5p2 [解析] (1)由题意,不妨设点A在第一象限内,直线l:3x-y-3=0与x轴的交点为(1,0),又l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,所以F(1,0),可得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x,故A中说法正确.由3x-y-3=0,y2=4x,可得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=13,可得A(3,23),B13,-233,所以|AB|=3-132+23+2332=163,故B中说法错误.易知M(-1,23),N-1,-233,F(1,0),可得kNF·kMF=2332×-232=-1,则MF⊥NF,即∠MFN=90°,故C中说法正确.因为A(3,23),B13,-233,所以线段AB的中点为53,233,则线段AB的中点到y轴的距离为53,故D中说法错误.故选BD.
(2)由抛物线的性质知A,B两点关于x轴对称,设A(x0,y0),则B(x0,-y0).由题意知AF⊥OB,Fp2,0,所以kAF·kOB=y0x0-p2·-y0x0=-1,所以y02=x0x0-p2,即2px0=x0x0-p2.因为x0≠0,所以2p=x0-p2,即x0=5p2,所以直线AB的方程为x=5p2.
变式题 (1)A (2)x=-32 [解析] (1)不妨设Py024,y0y01,由抛物线的对称性及正方形的性质可得-y0=y024-1,可得y0=-(2+22),∴|PF|=y024+1=4+22.故选A.
(2)不妨设P在第一象限,则Pp2,p,kOP=pp2=2,故kPQ=-12,因此直线PQ的方程为y-p=-12x-p2,令y=0,得x=52p,因此|FQ|=52p-p2=2p=6,解得p=3,所以C的准线方程为x=-p2=-32.
例4 [思路点拨] (1)思路一:设出直线l的方程并与抛物线方程联立,解方程组,根据抛物线的定义计算即可;思路二:设直线l的倾斜角为θ,分情况用cs θ表示|AF|,|BF|,根据直线l的斜率求出cs θ,结合λ=|AF||BF|求解即可.
(2)根据点A在抛物线C上,求出p,即可判断A;利用导数的几何意义求出抛物线C在点A处的切线方程,即可判断B;设出直线PQ的方程,联立直线PQ的方程与抛物线C的方程,利用根与系数的关系及弦长公式即可判断C,D.
(1)C (2)BCD [解析] (1)方法一:由题意可知Fp2,0,所以直线l的方程为y=22x-p2,由y2=2px,y=22x-p2,可得4x2-5px+p2=0,解得x=p或x=p4,所以λ=|AF||BF|=p+p2p4+p2=2或λ=|AF||BF|=p4+p2p+p2=12.故选C.
方法二:设直线l的倾斜角为θ,则|AF|=p1-csθ,|BF|=p1+csθ或|AF|=p1+csθ,|BF|=p1-csθ.因为直线l的斜率为22,所以tan θ=22,可得cs θ=13,则λ=|AF||BF|=1+csθ1-csθ=2或λ=|AF||BF|=1-csθ1+csθ=12.故选C.
(2)因为点A(1,1)在抛物线C上,所以2p=1,所以抛物线C的方程为x2=y,其准线方程为y=-14,故A选项错误;由y'=2x,知抛物线C在点A处的切线的斜率为2,则切线方程为y=2x-1,恰过点B,故B选项正确;由题意知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为y=kx-1,代入x2=y并整理得x2-kx+1=0,则Δ=k2-4>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1≠x2),则x1+x2=k,x1x2=1,所以|OP|·|OQ|=(x12+y12)·(x22+y22)=(x12+x14)·(x22+x24)=x12x22(1+x12)·(1+x22)=(1+x12)·(1+x22)=
x12x22+x12+x22+1=x12+x22+2>2x1x2+2=2=|OA|2,故C选项正确;|BP|·|BQ|=
[x12+(y1+1)2]·[x22+(y2+1)2]=
(x12+k2x12)·(x22+k2x22)=x12x22(1+k2)·(1+k2)=(1+k2)·(1+k2)=1+k2>5=|BA|2,故D选项正确.故选BCD.
关注公众号《全元高考》
微信搜索微信公众号「全元高考」
后台回复「网盘群」获取最新最全初高中网盘资源（4000 G+）
扫码加微信查看朋友圈最新资源
备用联系方式QQ：2352064664
群文件全套无水印资料+更多精品网课在网盘群，高考路上必备!
最新最全高一高二高三试卷&九科全新一手网课&学科资料专辑&名校独家资料
更新速度极快!
进群了就不用到处找资料了，一网打尽!
(进群送往届全部资料)变式题1 (1)C (2)12 [解析] (1)抛物线E:y2=3x的焦点为F34,0,设直线AB的方程为x=my+n,n≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),由y2=3x,x=my+n,可得y2-3my-3n=0,则y1+y2=3m,y1y2=-3n.由OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,即(y1y2)29+y1y2=0,即n2-3n=0,可得n=3,则直线AB:x=my+3过定点P(3,0).由OC⊥AB,可得C的轨迹为以OP为直径的圆(除去原点),其轨迹方程为x-322+y2=94(x≠0),所以|CF|的取值范围为34,34+32,即34,94.故选C.
(2)由题可设直线AB的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由y2=2px,x=ty+1得y2-2pty-2p=0,Δ>0恒成立,所以y1+y2=2pt①,y1y2=-2p②.因为AM=2MB,所以y1=-2y2③.由①②③可得t=-y22p,y22=p,所以x2=ty2+1=-y22p·y2+1=-12+1=12,即点B的横坐标为12.
变式题2 解:(1)设A(xA,yA),B(xB,yB),由x-2y+1=0,y2=2px,
可得y2-4py+2p=0,所以yA+yB=4p,yAyB=2p,
所以|AB|=(xA-xB)2+(yA-yB)2=5|yA-yB|=5×(yA+yB)2-4yAyB=415,
即2p2-p-6=0,又p>0,所以p=2.
(2)由(1)可得F(1,0),因为直线MN的斜率不可能为零,
所以设直线MN:x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),
由y2=4x,x=my+n,可得y2-4my-4n=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4n,由Δ=16m2+16n>0,得m2+n>0.
因为FM·FN=0,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,
即(my1+n-1)(my2+n-1)+y1y2=0,
即(m2+1)y1y2+m(n-1)(y1+y2)+(n-1)2=0,
将y1+y2=4m,y1y2=-4n代入上式得4m2=n2-6n+1,故4(m2+n)=(n-1)2>0,所以n≠1,由n2-6n+1≥0,解得n≥3+22或n≤3-22.
设点F到直线MN的距离为d,则d=|n-1|1+m2,
又|MN|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+m2|y1-y2|=1+m216m2+16n=
1+m24(n2-6n+1)+16n=21+m2|n-1|,
所以△MFN的面积S=12×d×|MN|=12×|n-1|1+m2×21+m2|n-1|=(n-1)2,又n≥3+22或n≤3-22,所以当n=3-22时,△MFN的面积取到最小值(2-22)2=12-82.