圆锥曲线计算专题练习 高中数学一轮复习

这是一份圆锥曲线计算专题练习 高中数学一轮复习，共13页。试卷主要包含了填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于两点，则 ．
2．若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围．
3．若直线与椭圆有唯一公共点，则实数 ．
4．已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为
5．过点与抛物线只有一个公共点的直线有 条．
6．直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数 ．
7．抛物线：与直线交于，两点，且的中点为，则的斜率为 .
8．如果直线l：与椭圆C：总有公共点，则实数a的取值范围是 .
9．抛物线截直线所得弦长等于 .
10．已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 .
二、双空题
11．双曲线的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则B点坐标为 ，△AFB的面积为 .
12．已知双曲线的离心率为，则 ，若直线与该双曲线有且仅有一个公共点，则 .
13．抛物线C：的焦点F，其准线过（-3，3），过焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则p= ；弦AB的长为 .
14．若直线过点且与直线平行，是抛物线上的任意一点，则点到直线的最短距离是 ，此时点的坐标为 .
15．双曲线的渐近线为 ；若直线与双曲线仅有一个公共点，则 ．
三、解答题
16．已知点和抛物线，求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程．
判断直线与双曲线是否有公共点．如果有，求出公共点的坐标．
已知直线与椭圆，分别求直线l与椭圆C有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时m的取值范围．
判断直线与椭圆是否有公共点．如有两个公共点，求出公共点的坐标，并求出以这两个公共点为端点的线段长．
20．已知x，y满足，求的最值．
圆锥曲线计算过关答案
一、填空题
1．经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于两点，则 ．
【答案】/
【分析】将直线方程与椭圆方程联立后可得韦达定理的结论，结合韦达定理可求得结果.
【详解】由椭圆方程得：右焦点，则直线方程为：，
由得：，则，
，，
.
故答案为：.
2．若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】由直线恒过定点，根据题意得到满足点在椭圆上或在椭圆的内部，列出不等式，结合椭圆标准方程的形式，即可求解.
【详解】由题意，直线恒过定点，
要使得直线与椭圆恒有公共点，
则满足点在椭圆上或在椭圆的内部，即，解得，
又由椭圆的方程，满足，
所以实数的取值范围为.
3．若直线与椭圆有唯一公共点，则实数 ．
【答案】
【分析】把直线的方程与椭圆的方程联立，有且只有一个公共点，由解出m的范围.
【详解】直线的方程与椭圆的方程联立，
消去，得 ①.
方程①的判别式.
因为直线l与椭圆C有唯一公共点．
则，解得.
故答案为：.
4．已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为
【答案】
【分析】设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】设点、，由中点坐标公式可得，所以，
因为，两式作差得，即，
即，所以，，
因此，直线的方程为，即.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.
5．过点与抛物线只有一个公共点的直线有 条．
【答案】3
【分析】根据斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时直线方程联立抛物线方程消元，对二次系数讨论，结合判别式求解可得.
【详解】①当斜率不存在时，过点的直线为y轴，显然符合题意．
②当斜率存在时，设直线方程为．
联立得，
当时，解得，此时方程有唯一实数解，符合题意；
当时，由解得，此时方程有唯一实数解，符合题意．
综上共有3条直线．
故答案为：3

6．直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数 ．
【答案】或
【分析】由消去y，对二次系数是否为0分类讨论可得.
【详解】由消去y，整理得，
当时，由得；
又注意到直线恒过点，且渐近线的斜率为时，直线与渐近线平行时也成立．
故答案为：或

7．抛物线：与直线交于，两点，且的中点为，则的斜率为 .
【答案】
【分析】设，两点坐标分别为，，由，可得，进而结合中点坐标公式即两点间的斜率公式求解即可.
【详解】已知的中点为，设，两点坐标分别为，，
则，可得，
即，
即
又，
所以.
故答案为：.
8．如果直线l：与椭圆C：总有公共点，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据直线所过的定点与椭圆的位置关系进行求解即可.
【详解】直线l：过定点，
因为直线l：与椭圆C：总有公共点，
所以点在椭圆内部或椭圆上，
则有，
故答案为：
9．抛物线截直线所得弦长等于 .
【答案】24
【分析】由题意可得直线过抛物线的焦点，联立直线与抛物线的方程，可得两根之和，由抛物线的性质求出弦长的大小．
【详解】设直线与抛物线的交点为、，
由抛物线的方程可得焦点，可得直线过焦点，
联立，消去，得，
可得，则，
由抛物线的性质可得．
故答案为：24．
10．已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 .
【答案】/2.25
【分析】利用点差法和两点坐标求直线斜率公式化简计算即可.
【详解】设，
则
两式相减得，
由线段的中点坐标为，
即，
.
故答案为：
二、双空题
11．双曲线的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则B点坐标为 ，△AFB的面积为 .
【答案】 . /
【分析】首先表示过点于双曲线的渐近线平行的直线，并与双曲线方程联立，求得点的坐标，并根据几何关系表示的面积.
【详解】双曲线的右顶点，右焦点，渐近线方程为.
不妨设直线FB的方程为，代入双曲线方程整理，得，
解得，；
同理，若直线的方程为，则，；
所以.
所以.

故答案为：；
12．已知双曲线的离心率为，则 ，若直线与该双曲线有且仅有一个公共点，则 .
【答案】 1 /
【分析】空1：根据双曲线的方程和离心率列式求解即可；空2：联立方程结合判别式分析运算，注意分和两种情况讨论.
【详解】空1：由题意可得：，解得，故；
空2：∵双曲线的方程为，
联立方程，消去y得，
当，即时，则，即，故直线与该双曲线有且仅有一个公共点，符合题意；
当时，则，故直线与该双曲线有且仅有两个公共点，不符合题意；
综上所述：，又，则.
故答案为：1；.
13．抛物线C：的焦点F，其准线过（-3，3），过焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则p= ；弦AB的长为 .
【答案】 6； 48.
【分析】先通过准线求出p，写出抛物线方程和直线方程，联立得出，进而求出弦AB的长.
【详解】由知准线方程为，又准线过（-3，3），可得，；
焦点坐标为，故直线方程为，和抛物线方程联立，，得，故，又.
故答案为：6；48.
14．若直线过点且与直线平行，是抛物线上的任意一点，则点到直线的最短距离是 ，此时点的坐标为 .
【答案】
【分析】根据直线平行，可求出直线的方程，再设点坐标为，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质，即可求出结果.
【详解】设直线的方程是，代入点，得，
所以直线的方程是.
设点坐标为，
点到直线的距离，
所以当时，取最小值，此时点坐标为.
故答案为：，.
15．双曲线的渐近线为 ；若直线与双曲线仅有一个公共点，则 ．
【答案】
【分析】根据双曲线标准方程可得，结合渐近线的概念计算即可；
将直线方程联立双曲线方程，消y得到关于x的方程，分类讨论二次项的系数，当系数为0，方程为一元一次方程；当系数不为0，方程为一元二次方程，结合根的判别式计算即可.
【详解】由双曲线的方程，得，
所以其渐近线方程为：；
由，消y，得，
因为直线与双曲线仅有一个交点，
当即时，方程有一个解，
当即时，，方程无解.
所以
故答案为：；
三、解答题
16．已知点和抛物线，求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程．
【答案】或
【分析】根据直线l是否存在斜率进行分类讨论，结合一元二次方程的判别式进行求解即可.
【详解】当直线l的斜率不存在时，由直线l过点可知，直线l就是y轴，其方程为．
由消去未知数x得．这是一个一元二次方程且只有唯一的实数解，所以直线与抛物线C相切．
如果直线l的斜率存在，则设直线l的方程为．
由方程组
消去x，整理得．为了使得这个方程是一元二次方程且只有一个实数解，必须有且，
因此可解得．
此时直线l的方程为，即．
综上可知，直线l的方程为或．
17．判断直线与双曲线是否有公共点．如果有，求出公共点的坐标．
【答案】有，坐标为
【分析】将直线方程与双曲线方程联立，消去一个未知数，通过一元二次方程的解的情况进行求解判断即可.
【详解】联立直线与双曲线的方程，可得方程组
消去y，可得，由此可解得．此时，．
因此直线与双曲线有一个公共点，且公共点的坐标为．
18．已知直线与椭圆，分别求直线l与椭圆C有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时m的取值范围．
【答案】答案见解析
【分析】联立直线l的方程与椭圆C的方程，消去y，得到一元二次方程，根据该一元二次方程根的判别式进行求解即可.
【详解】联立直线l的方程与椭圆C的方程得方程组
消去y，整理得， ①
因为①的判别式为
，
所以：
当即时，方程①有两个不同的实数解，此时原方程组的实数解集中有两个元素，直线l与椭圆C有两个公共点；
当即时，方程①有两个相等的实数解，此时原方程组的实数解集中只有一个元素，直线l与椭圆C有且只有一个公共点；
当即或时，方程①无实数解，此时原方程组的实数解集为空集，直线l与椭圆C没有公共点．
19．判断直线与椭圆是否有公共点．如有两个公共点，求出公共点的坐标，并求出以这两个公共点为端点的线段长．
【答案】有两个公共点，坐标为，；线段长为．
【分析】联立直线与椭圆方程，公共点的问题转化为方程组解的问题. 求出直线与椭圆有两个公共点，利用两点间距离公式可得线段长.
【详解】联立直线与椭圆的方程，可得方程组，
消化简得，，解得，或，
故方程组的解为或
因此直线与椭圆有两个公共点，且公共点的坐标为，．
从而可知所求线段长为．
20．已知x，y满足，求的最值．
【答案】最大值为13，最小值为．
【分析】利用直线截距的几何意义，联立方程，利用与椭圆相切判别式为0即可求解.
【详解】等价于（它表示斜率为3的平行直线系方程），则z为直线在y轴上的截距，又表示椭圆及其内部区域，
所以当直线与椭圆相切时，z可取到最大或最小值．
将代入，得．
令得．故z的最大值为13，最小值为．