数学八年级上册13.3.1 等腰三角形精品练习题

这是一份数学八年级上册13.3.1 等腰三角形精品练习题，文件包含专题1315等腰三角形八大几何模型与九类题型模型梳理与题型分类讲解人教版原卷版docx、专题1315等腰三角形八大几何模型与九类题型模型梳理与题型分类讲解人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
模型1:角平分线+平行线→等腰三角形
模型2:角平分线+垂线→等腰三角形

模型3:三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形
模型4:直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形
模型5:等边三角形中含定角问题
模型6:等边三角形中含“手拉手”
模型7:倍半角+角平分线→等腰三角形
模型8:倍长中线构造等腰三角形
题型目录
【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形
【题型2】角平分线+垂线（中线）→等腰三角形
【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形
【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形
【题型5】等边三角形中含定角问题
【题型6】等边三角形中含“手拉手”
【题型7】倍半角+角平分线→等腰三角形
【题型8】倍长中线构造等腰三角形
【题型9】拓展延伸
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形
【例1】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，平分，于点，交于点，若，则 ．

【答案】4
【分析】根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，然后根据等角的余角相等求出，根据等角对等边可得，从而得到．
解：是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，以及等角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图，准确找出图中相等的角是解题的关键．
【变式1】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，平分，．若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义和等腰三角形的性质以及三角形外角的性质等知识，根据角平分线定义求出根据平行线的性质得出，由得出，由三角形外角性质得出，从而得出．
解：∵平分，且，
∴
∴
∵，
∴
∵，
∴,
∴，
∴
故选：C．
【变式2】（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在中，的平分线交于点，平分，且交于点，若，则 cm．
【答案】10
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义、平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，
故答案为：10．
【题型2】角平分线+垂线→等腰三角形
【例2】（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，平分，，垂足为，，若，则的长为（）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【分析】该题主要考查了等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定；延长长于点，根据平分，，证明证出再证明，即可求解；
解：延长长于点，
则，
平分，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，先证，推出，根据等腰三角形“三线合一”可得，根据，可得，通过等量代换即可求解．
解：平分，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
故选C．
【变式2】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，平分且于E，，若，的周长为20，则的长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查角平分线定义，等腰三角形判定，全等三角形判定及性质，解二元一次方程组．根据题意设，再证明为等腰三角形，利用题干线段周长数据列出二元一次方程组即可得到本题答案．
解：设，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∵，的周长为20，
∴，解得：，
∴，
故答案为：8．
【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形
【例3】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，．在上取一点C，延长到点，使，连结；在上取一点D，延长到点，使，连结；……，按此操作进行下去，在以点为顶角顶点的等腰三角形的底角的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意知，，，，……均为等腰三角形，
∴由三角形内角和定理，三角形外角的性质可得，，，，
，，，然后作答即可．
解：由题意知，，，，……均为等腰三角形，
∴由三角形内角和定理，三角形外角的性质可得，，，，
，，，
故选：D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
【变式1】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，则的大小为 ．

【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设，则，根据等边对等角得出．然后在中，利用三角形内角和定理列出方程，解方程即可求出的大小．
解：设，，则，．
∵，
∴，
∵，
∴．
在中，∵，
∴＝180°，
解得，
∴．
故答案为：．
【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，交于点，则图中等腰三角形共有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论．
解：∵，，
∴为等腰三角形，，
∵
∴，
∴，为等腰三角形，
∵BD平分，
∴，
∴，，
∴为等腰三角形，为等腰三角形，
同理可得：为等腰三角形，为等腰三角形，为等腰三角形．
综上所述：共有七个等腰三角形．
故选C．
【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形
【例4】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，高与角平分线相交于点．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长度．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，对顶角相等，等边三角形的判定和性质．
（1）根据直角三角形两个锐角互余可得，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线求出，根据直角三角形两个锐角互余可得，，结合对顶角相等得出，即可证明；
（2）根据直角三角形两个锐角互余可得，根据等角对等边可得，根据等边三角形的三条边相等可得，根据根据直角三角形中所对的边是斜边的一半求得，即可求解．
解：（1）证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）知是等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
故．
【变式1】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，是边上的高，是的角平分线，与交于点F，求证：是等腰三角形．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形来那个锐角互余，三角形外角性质，角平分线的定义等知识，首先根据直角三角形两锐角互余求得，然后根据三角形外角的性质求得，根据等角对等边求得，从而求得是等腰三角形．
证明：在中，，
，
是边上的高，
，
，
是的角平分线，
，
，即，
，
是等腰三角形．
【变式2】（22-23八年级下·湖南永州·期末）如图，中，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．正确结论有（ ）个.
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质．根据同角的余角相等求出，再根据等角的余角相等可以求出；根据等腰三角形三线合一的性质求出．
解：∵，
∴，
∴，故①正确；
∵是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵（对顶角相等），
∴，故②正确；
假设，
∵，
∴，
∴，
∴只有时，故③错误；
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∵平分，
∴，故④正确．
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
∴,故⑤正确．
综上所述，正确的结论是①②④⑤．
故选：C．
【题型5】等边三角形中含定角问题
【例5】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，等边中，，和相交于，垂足为，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据定理得出，故可得出，再由三角形外角的性质得到，，再根据可知，根据直角三角形的性质即可得出结论．
解：是等边三角形，
，，
在与中，
，
，
，
∴，
，
，
．
【变式1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）已知：如图，点D，E 分别是等边三角形的两边上的点，且.
(1)求证：； (2)求的度数.
【答案】(1)见解析(2)
【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键.
（1）根据等边三角形的性质和已知即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得到．利用三角形内角和定理进行解答即可.
解：（1）证明：∵是等边三角形，
∴，．
又∵，
∴．
（2）∵
∴．
∴．
【变式2】（2024·浙江杭州·二模）如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①；②；
A．①B．②C．①②D．都错
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．由“”可证，根据全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可求．
解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
故①②正确，符合题意；
故选：C
【题型6】等边三角形中含“手拉手”
【例6】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，A、C、B三点共线，与都是等边三角形，相交于点P，且分别与交于点M，N．
(1)求证： (2)求的度数
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法，关键是根据等边三角形的性质解答．
（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）根据三角形的内角和相等，对顶角相等，即可求解；
解：（1）证明：与都是等边三角形，
，
,
,
在和中
，
（2）解：，
，
在和中，
，
又，
【变式1】（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，都是等边三角形，将绕点旋转，使得点在同一直线上，连接．若，则的长是 ．

【答案】3
【分析】根据等边三角形的性质，,解答即可．
本题考查了等边三角形性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
解：∵是等边三角形，
∴，，
，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
答案为：3．
【变式2】（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，和都是等边三角形，点E，F分别在边和上，且，若的周长最小时，则的大小是 ．
【答案】30°/30度
【分析】本题考查了等边三角形的性质以及垂线段最短，全等三角形的性质与判定：先通过等边三角形的性质证明，得，因为，所以是等边三角形，则当时，的周长最小，此时，即可作答．
解：∵和都是等边三角形，且，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
则的周长，
∴当时，有最小值，
∵等边三角形的三线合一，
∴．
故答案为：30°．
【题型7】倍半角→等腰三角形
【例7】（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，，为上一个动点．
(1)已知，求证：．
下面是两位同学分享的思路：
小快同学：从求证目标出发，倍长到，即，又，则只需证．
小乐同学：从已知条件角的关系出发，发现若将关于直线对称得到，则可证为等腰三角形．
请你选择一种思路，完成证明
(2)已知，，请直接写出的大小（用含式子表示）．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）延长到，使，连接．证得等腰，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可；
（2）延长到E，使，连接CE，证得等腰和等腰，然后利用等三角形的性质与三角形外角的性质、三角形内角和定理即可求解．
解：（1）证明：延长到，使，连接．

∵，
∴为线段的中垂线，
∴，
∴．
在中，．
又，
∴．
在中，，
∴．
∴
∴．
即．
（2）解：延长到E，使，连接CE，

∵，
∴为线段的中垂线，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴ ，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，通过作辅助线构造等腰三角形是解题的关键．
【变式】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，中，，分别为的高，角平分线，下列四个结论：
①；②；③；④．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
在上取一点F，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，再由三角形外角的性质及等量代换即可判断③；在DB上截取，利用全等三角形的判定和性质及等量代换可判断②③；设，则，分别表示出各个角即可判断④．
解：如图所示，在上取一点F，使得，连接，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
如图在DB上截取，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确，
∵，
∴，故②错误；
设，则，
∴，，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故答案为：①③④．
【题型8】倍长中线构造等腰三角形模型
【例8】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，AD是的中线，是AD上一点，交于，若，，，则的长度为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质,延长AD到使得，连接，证明，根据全等三角形的性质可得到，等量代换得到，再由已知条件即可解决问题；
解：如图，延长AD到使得，连接，

∵AD是的中线，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
又∵
∴
∴
∴，
∴，
∵，
∴
∴
故选：D．
【变式】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F，若，，则求的度数为 ．

【答案】/32度
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长到G使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，即可得到，进而利用三角形内角和解答即可．
解：如图，延长到G使，连接，

在与中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：
第三部分【拓展延伸】
【题型9】拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·北京·期末）如图，中，分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论：
①；
②为等腰三角形；
③的周长等于的周长；
④．其中正确的是

【答案】①②④
【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形的三边关系等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．
①根据角平分线的定义、平行线的性质，借助于等量代换可求出；
②同理可得②的结论；③用特殊值法，当为等边三角形时，连接，根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便可得出，
进而得，便可得出：的周长不等于的周长；
④利用两次三角形的内角和定理，以及角平分线的定义，进行等量代换，可求的和之间的关系式．
解：①∵是的角平分线，
∴，
又，
，
，故①正确；
②同理，
，
为等腰三角形，故②正确；
③假设为等边三角形，则，如图，连接，
∵，
，
的周长，
∵F是的平分线的交点，
∴第三条平分线必过其点，即平分，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
即的周长的周长，故③错误；
④在中，（1），
在中，，
即（2），
得，故④正确；
故答案为：①②④
【例2】（23-24八年级上·上海普陀·期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系．
如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F．
（1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明；
【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究：
（2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由；
（3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形PMN为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）见解析
【模型】综合模型
【分析】本题考查垂直平分线性质及画法，角平分线性质，中线定义
（1）利用角平分线性质及垂直的定义得到，即为等腰三角形，再根据中线定义即可得到本题答案；
（2）根据（1）中结论即角平分线性质即可得到本题答案；
（3）画出线段的垂直平分线找出点，根据垂直平分线性质写出真命题即可．
解：（1）解：，证明如下：
∵BD是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵AE是的中线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：可以，证明如下：
当，
∵，
∴，
∴，
∵BD是的角平分线，
∴，
∴；
（3）解：存在，
∵根据题意描述，点在线段的垂直平分线上，作图如下：
真命题：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．