初中人教版（2024）第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形优秀一课一练

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题型目录
【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明
【题型2】遇到中点作中线求值或证明
【题型3】过一腰上的某一已知点作另一腰的平行线
【题型4】过一腰上的某一已知点作底边的平行线
【题型5】倍长中线构造等腰三角形
【题型6】截长补短构造等腰三角形
【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明
【例1】（2024·浙江·模拟预测）如图，是等腰三角形，．设．
(1)如图1，点D在线段上，若，求的度数（用含的代数式表示）．
(2)如图2，已知．若，过点B作于点H，求证：．
【答案】(1) (2)见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，
（1）根据等腰三角形的性质可得，设，，解出方程组，即可求解；
（2）延长，交于点F，过点A作于点E．根据，可得 ．再由等腰三角形的性质可得 ，从而得到，，进而得到，然后根据角平分线的性质定理，可得，即可求证．
解：（1）∵，
∴．
设，，则
解得：，
即；
（2）如图，延长，交于点F，过点A作于点E．
∵，．
∴．
又∵，
∴
∵，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点，是上一点，且．求证：．

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．
作于点，根据等腰三角形的性质得出，再证明即可得出结论．
证明：如图，作于点．

，
．
，
．
平分，
．
在和中，
，
，
，
．
【变式2】（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．
(1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示）
(2)如图 2，当点 E 与点 C 不重合时，连接 ，
①若，求 的度数；
②用等式表示与直间的数量关系，并证明．
【答案】(1)互相垂直； (2)①；②
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得与的位置关系是互相垂直，过点A作于点M，根据等腰三角形性质得到，利用证明，根据全等三角形性质即可得出；
（2）当点E与点C不重合时，①求解，可得，由，可得，可得；②过点A作于点M、于点N，利用证明，根据全等三角形性质即可得到；
解：（1）当点E与点C重合时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即与的位置关系是互相垂直，
若，过点A作于点M，如图：

则，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴，
即的长为，
（2）解：①∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当点E与点C不重合时，用等式表示与之间的数量关系是：，证明如下：
过点A作于点M、于点N，如图：

则，
∴，
∵，
即，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
【点拨】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
【题型2】遇到中点作中线求值或证明
【例3】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在中，，且的顶点E在边上移动，在移动过程中，边，分别与，交于点M，N，
(1)当且M与A重合时，求证：
(2)当E为中点时，连接，求证：
【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，
（1）根据等腰直角三角形的性质可得，利用三角形外角的性质与等量代换可得，在根据全等三角形的判定即可证明；
（2）连接，在上截取，根据等腰直角三角形的性质可得，，证得，可得，，利用等量代换可得，证得，可得，即可得证．
解：（1）证明：∵，，
∴，
∵，
又∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：连接，在上截取，
∵，，E为中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，，是的中点，、分别是、上的点，且，求证：．

【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．
连接，根据等腰三角形的性质可得，然后即可证明，进而可得结论．
证明：连接，
，是的中点，
∴，
在和中，
，
，
．

【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，过的中点D作，，垂足分别为点E，F．
(1)求证：； (2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析；(2)。
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．
（1）通过证明，即可求证；
（2）连接，易得，则AD平分，，根据．推出，即可解答．
（1）证明：∵，，
∴．
∵D是的中点，
∴．
在和中，
∴．
∴．
（2）解：连接．
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴AD平分，，
∴．
∴．
∴．
【题型3】过一腰上的某一已知点作另一腰的平行线
【例3】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，是等边三角形，是的中点，点在上，点在直线上，
(1)当点与重合时，判断的形状，并说明理由?
(2)当点在的延长线上时，求证：．
【答案】(1)等边三角形，证明见详解 (2)证明过程见详解
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）根据，得，从而证明，即可证明是等边三角形；
（2）过点作交于点，证明，即可求解；
解：（1）根据题意作图如下：
，
为等边三角形
，
，
为等边三角形．
（2）证明：过点作交于点，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
又，
为等边三角形
，，
，
，
即，
点是的中点，
，
，
在和中，
，
．
【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，点D、E分别在和边上，以为边作等边，连接．若，．则的长是 ．
【答案】2
【分析】本题考查的是的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
过D点作于M，证明为等边三角形，再证明，结合全等三角形的性质可得答案．
解：∵等边，
∴，，
过D点作于M，
∴，，
∴为等边三角形，
∴， ，
∴，

∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，．
∴．
∴．
故答案为：2．
【变式2】（22-23八年级下·广西南宁·开学考试）如图，等边三角形中，D为上一点，E为延长线上一点，交于点F，且．若，则的长为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，作，交于M，得为等边三角形，再证得到；根据，，可得，由此得出，最后根据即可求得的长．
解：如图，作，交于M，
∴，，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴.
∴，，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：4．
【题型4】过一腰上的某一已知点作底边的平行线
【例4】（23-24八年级上·湖南怀化·期末）如图，在等边中，点M为上任意一点，延长至点N，使，连接交于点P．
(1)求证：；
(2)作于点H，设，请用含的式子表示的长度．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定及性质，
（1）在等边中过点作与交于，先根据平行线的性质得出，，再根据等边三角形的性质得出，然后利用证明，最后根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据等腰三角形的三线合一得出是的中点，再利用全等三角形的性质得出，然后利用线段的和与差即可得出答案．
解：（1）证明：如图，在等边中过点作与交于，

∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
在与中，
，
，
；
（2）∵于点，且是等边三角形，
∴是的中点，
又∵由（1）知，
∴ ，
∴，
∵，
∴．
【变式1】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．如图，已知E是的中点，点A在上，且．求证：．
(1)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长到点F，使，连接；
②如图2，过点B作，交的延长线于点F，过点C作，垂足为G．
请你在图3中添加不同于（1）中的辅助线，并对原题进行证明．

【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）①证明，则，由得到，则，即可证明结论；②证明，则，再证明，即可得到结论；
（2）过点C作，交的延长线于点M，则，证明，则，由，得到，则，即可证明结论．
解：（1）证明：①如图1，延长到点F，使，连接
∵E是的中点，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴；
②如图2，过点B作，交的延长线于点F，过点C作，垂足为G．
∵E是的中点，
∴
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
（2）如图，过点C作，交的延长线于点M，则，
∵E是的中点，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
【变式2】（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等边三角形中，点D在上，延长至点E，使于点F．
(1)如图①，若点D是的中点，求证：；
(2)如图②，若点D是上任意一点，是否仍然成立？请证明你的结论；
(3)如图③，若点D是延长线上的任意一点，其他条件不变，（2）中的结论是否仍然成立？画图并写出你的结论，不必证明．
【答案】(1)见解析 (2)仍然成立，证明见解析 (3)（2）中的结论仍然成立，图见解析
【分析】此题考查了等边三角形的性质，三线合一，全等三角形的判定和性质，
（1）根据等边三角形得到，，三线合一推出，证得，，而证得，利用三线合一证得；
（2）过点D作，交于点M，得到是等边三角形，由此证明，得到，根据三线合一证得；
（3）过点E作，交的延长线于点N，得到等边三角形，证明，得到，根据三线合一证得．
解：（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵点D是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴；
（2）仍然成立，
证明：过点D作，交于点M，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）（2）中的结论仍然成立，
证明：如图，过点E作，交的延长线于点N，
∴，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【题型5】倍长中线构造等腰三角形
【例5】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F，若，，则求的度数为 ．

【答案】/32度
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长到G使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，即可得到，进而利用三角形内角和解答即可．
解：如图，延长到G使，连接，

在与中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：
【变式1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图在四边形中，是的中点，连接，平分，，，则线段的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长、交于点，证明，得到，，结合角平分线的定义，得到，进而得到，求出的长即可求解．
解：如图，延长、交于点，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题．
(1)如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________．
(2)如图（2），在中，点在上，且，过作，且．求证：平分．
【答案】(1)；(2)见解析.
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键．
（1）根据全等三角形的判定方法，进行作答即可；
（2）延长至，使得，连接，先证明，得到，，平行线的性质，得到，等量代换结合等边对等角，得到，再利用等量代换，得到，即可．
解：（1）∵是的中线，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图，延长至，使得，连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵．
∴，
∴，
∴，
∴平分
【题型6】截长补短构造等腰三角形
【例6】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，三角形内有一点，连接，，，若平分，，则 ．

【答案】/度
【分析】如图所示，延长到H使得，连接，先求出，再由等边对等角和三角形内角和定理得到，则，可推出，证明，得到，再求出，，进而证明是等边三角形，推出，则．
解：如图所示，延长到H使得，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴ ，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，通过作出辅助线证明是解题的关键．
【变式1】（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，平分交于点D，点E在的延长线上，，若，则线段的长为 ．
【答案】4
【分析】如图，在上截取，使，连接，证明，则，，，由，可得，则，计算求解即可．
解：如图，在上截取，使，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键．
【变式2】（2024·陕西西安·三模）如图，是等边三角形，D为外一点，且，连接，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的的判定与性质、等边三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．在上截取，连接，根据等边三角形的判定与性质可得，再利用全等三角形的判定与性质可得结论．
解：证明：在上截取，连接，如图所示，
，
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形
【例7】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，动点在射线上，交于，的平分线交于．则当时， ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，全等三角形的判定和性质，延长交于点，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，得到，即得，进而得到，再证明，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
解：延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，为外一点，，BD平分的一个外角，若，，，则AD的长为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握等角对等边是解题的关键．
延长交于点，根据角平分线的性质，垂直的性质可证，可得，根据三角形内角和定理可得，，由此即可求解．
解：如图所示，延长交于点，
∵BD平分，，
∴，，BD是公共边，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【变式2】（23-24九年级下·山东临沂·期中）如图，，，点E为的中点，若，，，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，如图所示，延长交于F，证明，得到，，再证明是等边三角形，得到，则．
解：如图所示，延长交于F，
∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：3．