河南省许昌市长葛市第三实验高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

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单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．在空间直角坐标系Oxyz中，与点(－1,2,1)关于平面Oxz对称的点为( )
A．(－1，－2,1) B．(－1,2,1)
C．(－1，－2，－1) D．(1，－2，－1)
2．已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是( )
A．若a∥n，则a∥α
B．若a⊥n，则a⊥α
C．若a∥n，则a⊥α
D．若a⊥n，则a∥α
3.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，则eq \(BM,\s\up6(→))等于( )
eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c B. eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c D．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
4．在四面体ABCD中，AC＝AD＝2AB＝2，∠BAD＝60°，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝2，则∠BAC等于( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
5．已知x，y∈R，向量a＝(x,1,1)，b＝(1，y,1)，c＝(2，－4,2)，且a⊥c，b∥c，则x＋y的值为( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
6．空间A，B，C，D四点共面，但任意三点不共线，若P为该平面外一点，且eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(5,3)eq \(PB,\s\up6(→))－xeq \(PC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(PD,\s\up6(→))，则实数x的值为( )
A．－eq \f(4,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(4,3)
7．已知A(1，－2,1)，B(1，－5,4)，C(2,3,4)，则eq \(AC,\s\up6(→))在eq \(AB,\s\up6(→))上的投影向量为( )
A．(0，－1,1) B．(0,1，－1)
C．(0，eq \r(2)，－eq \r(2)) D．(0，－eq \r(2)，eq \r(2))
8.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，M为PC上一动点，PM＝tPC，若∠BMD为钝角，则实数t可能为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知a，b，c是空间的三个单位向量，下列说法正确的是( )
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若a，b，c两两共面，则a，b，c共面
C．若eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b，c))是空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间的一个基底
D．对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc
10.已知空间向量a＝(1,1，－1)，b＝(－2,2,1)，则下列结论正确的是( )
A．(b－2a)∥a B.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝eq \r(3)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))
C．a与b夹角的余弦值为－eq \f(\r(3),9) D．a⊥(a＋3b)
11.已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则下列说法正确的是( )
A． eq \(AB,\s\up18(→))与 eq \(AC,\s\up18(→))是共线向量
B．与 eq \(AB,\s\up18(→))同向的单位向量是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)，0))
C． eq \(AB,\s\up18(→))和 eq \(BC,\s\up18(→))夹角的余弦值是 eq \f(\r(55),11)
D．平面ABC的一个法向量是(1，－2，5)
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝eq \r(2)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(DC1,\s\up6(—→))＝_______.
13.已知a＝(3,2，－1)，b＝(2,1,2)，则(a－b)·(a＋2b)＝________.
若A(0,1,0)，B(－4，y0,2)，C(2,3，－1)三点共线，则y0＝________.
四、解答题(本大题共5大题，共77分)
15.（13分）已知a＝(3,4，x)，b＝(2，y，－2)．
(1)若(a＋2b)∥(a－b)，求x，y的值；
(2)若(a＋b)⊥(a－b)，且|b|＝5，求x的值．
16.(15分)如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c.
(1)用a，b，c表示eq \(EF,\s\up6(→))，并求EF的长；
(2)求eq \(EF,\s\up6(→))与eq \(GH,\s\up6(→))夹角的大小．
17.（15分）如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．
(1)证明：AD⊥D1F；
(2)求AE与D1F所成的角；
18.（17分）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长均为eq \r(2).
(1)若侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)若AB1与BC1所成的角为eq \f(π,3)，求侧棱的长．
19．(17分)如图所示，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)求证：平面QMN∥平面PAD.