2024-2025学年四川成都石室外语学校高一新生入学分班质量检测数学试题【含答案】

这是一份2024-2025学年四川成都石室外语学校高一新生入学分班质量检测数学试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>1B．x≠1C．x<1D．x≠-1．
2、（4分）如果，那么代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（ ）
A．66°B．104°C．114°D．124°
4、（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=4，点P是AB边上的一个动点，点E、F分别是DP、BP的中点，则线段EF的长为( )
A．2B．4C．D．
5、（4分）下列函数中，一次函数的是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝x﹣1D．y＝2x2+4
6、（4分）若a＞b，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．a-1＞b-1B．C．D．-2a＜-2b
7、（4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠4B．x≠﹣1C．x＝4D．x＝﹣1
8、（4分）点P（-4，2）关于原点对称点的坐标P’（-2，-2）则等于 （ ）
A．6B．-6C．2D．-2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）每张电影票的售价为10元，某日共售出x张票，票房收入为y元，在这一问题中，_____是常量，_____是变量．
10、（4分）如图，把正方形纸片对折得到矩形ABCD，点E在BC上，把△ECD沿ED折叠，使点C恰好落在AD上点C′处，点M、N分别是线段AC′与线段BE上的点，把四边形ABNM沿NM向下翻折，点A落在DE的中点A′处．若原正方形的边长为12，则线段MN的长为_____．
11、（4分）如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF=_____度．
12、（4分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为_____．
13、（4分）如图1，平行四边形纸片的面积为120，，.沿两对角线将四边形剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片.若将甲、丙合并(、重合)形成对称图形戊，如图2所示，则图形戊的两条对角线长度之和是 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）已知：如图，在矩形中，、的平分线、分别交、于点，，求证：.
15、（8分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣1）．B（3，2），C（1，﹣2）．
（1）判断△ABC的形状，请说明理由．
（2）求△ABC的周长和面积．
16、（8分）某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：
（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？
（2）该公司如何建房获得利润最大？
（3）根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元(a>0)，且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？
（注：利润=售价-成本）
17、（10分）（1）解不等式组：3x﹣2＜≤ 2x+1
（2）解分式方程：
18、（10分）暑假期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游.出发前，汽车油箱内储油45升；当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升.
(1)已知油箱内余油量y(升)是行驶路程x(千米)的一次函数，求y与x的函数关系式；
(2)当油箱中余油量少于3升时，汽车将自动报警.如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家?请说明理由.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距米的图书馆还书．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家，小明在图书馆停留了分钟后沿原路按原速返回．设他们出发后经过（分）时，小明与家之间的距离为（米），小明爸爸与家之间的距离为（米），图中折线、线段分别表示、与之间的函数关系的图象．小明从家出发，经过___分钟在返回途中追上爸爸．
20、（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣4x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线y＝上；将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在双曲线在第一象限的分支上，则a的值是_____．
21、（4分）一件商品的进价是500元,标价为600元,打折销售后要保证获利不低于8%，则此商品最少打___折.
22、（4分）如图P(3,4)是直角坐标系中一点，则P到原点的距离是________．
23、（4分）如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为__________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=16，BC=12，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AB、EC的长．
25、（10分）如图，在平行四边形 中，、 的平分线 分别与线段 交于点 ， 与 交于点 ．
(1) 求证：，；
(2) 若 ，，，求 和 的长度．
26、（12分）如图，，，垂足为E，，求的度数．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据分式有意义的条件即可解答.
【详解】
根据题意可知，x-1≠0，即x≠1.
故选B.
本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为0是解决问题的关键.
2、D
【解析】
先把分母因式分解，再约分得到原式=，然后把x=3y代入计算即可．
【详解】
原式=•（x-y）=，
∵x-3y=0，
∴x=3y，
∴原式==．
故选：D．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
3、C
【解析】
根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1，再根据三角形内角和定理可得.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°；
故选C．
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．
4、A
【解析】
【分析】连接BD，利用菱形性质和三角形中位线性质可解得.
【详解】连接BD，
因为,四边形ABCD是菱形，
所以，AB=AD=4,
又因为∠A=60°，
所以，三角形ABD是等边三角形.
所以，BD=AB=AD=4
因为，E,F是DP、BP的中点，
所以，EF是三角形ABD的中位线，
所以，EF=BD=2
故选A
【点睛】本题考核知识点：菱形，三角形中位线.解题关键点：理解菱形，三角形中位线性质.
5、C
【解析】
根据一次函数的定义逐项判断即可.
【详解】
A、y＝是反比例函数，不是一次函数；
B、y＝不是函数；
C、y＝x﹣1是一次函数；
D、y＝2x2+4是二次函数，不是一次函数；
故选：C．
本题考查了一次函数的定义，一般地，形如y=kx+b,（k为常数，k≠0）的函数叫做一次函数
6、C
【解析】
不等式两边同时加减一个数，或同时乘除一个不为0的数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘除一个不为0的数，不等号改变方向，根据不等式的性质判断即可．
【详解】
A．不等式a＞b两边同时减1，a-1＞b-1一定成立；
B．不等式a＞b两边同时除以3，一定成立；
C．不等式a＞b两边同时平方，不一定不成立，可举反例：，但是；
D．不等式a＞b两边同时乘以-2，-2a＜-2b一定成立．
故选C．
本题考查不等式的性质，熟记不等式两边同时加减一个数，或同时乘除一个不为0的数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘除一个不为0的数，不等号改变方向，是解题的关键．
7、A
【解析】
根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】
由题意知x-4≠0，
解得：x≠4，
故选：A．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
8、A
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标特点进行求解.
【详解】
解：∵点P（a－4，2）关于原点对称的点的坐标P′（－2，－2），
∴a－4＝2，
∴a＝6，
故选：A.
本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是熟记关于原点对称的点的横纵坐标都变为相反数.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、电影票的售价 电影票的张数，票房收入．
【解析】
根据常量，变量的定义进行填空即可．
【详解】
解：常量是电影票的售价，变量是电影票的张数，票房收入，
故答案为：电影票的售价；电影票的张数，票房收入．
本题考查了常量和变量，掌握常量和变量的定义是解题的关键．
10、2
【解析】
作A′G⊥AD于G，A′H⊥AB于H，交MN于O，连接AA′交MN于K．想办法求出MK，再证明MN＝4MK即可解决问题；
【详解】
解：如图，作A′G⊥AD于G，A′H⊥AB于H，交MN于O，连接AA′交MN于K．
由题意四边形DCEC′是正方形，△DGA′是等腰直角三角形，
∴DG＝GA′＝3，AG＝AD﹣DG＝9，设AM＝MA′＝x，
在Rt△MGA′中，x2＝（9﹣x）2+32，
∴x＝5，AA′＝，
∵sin∠MAK＝，
∴ ，
∴MK＝，
∵AM∥OA′，AK＝KA′，
∴MK＝KO，
∵BN∥HA′∥AD，DA′＝EA′，
∴MO＝ON，
∴MN＝4MK＝2，
故答案为2．
本题考查翻折变换、正方形的性质．矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
11、1
【解析】
先设∠BAE=x°，根据正方形性质推出AB=AE=AD，∠BAD=90°，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．
【详解】
解：设∠BAE=x°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD．
∵AE=AB，
∴AB=AE=AD，
∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣∠BAE）=90°﹣x°，∠DAE=90°﹣x°，
∠AED=∠ADE=（180°﹣∠DAE）=[180°﹣（90°﹣x°）]=1°+x°，
∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED=180°﹣（90°﹣x°）﹣（1°+x°）=1°．
故答案为1．
点睛：本题考查了三角形的内角和定理的运用，等腰三角形的性质的运用，正方形性质的应用，解答此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是难度较大．
12、3或-1
【解析】
据题意得，∵（x+2）*5=（x+2）2-52∴x2+4x-21=0，∴（x-3）（x+1）=0，∴x=3或x=-1．
13、26
【解析】
如图，则可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等．
∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD=20，
∴EF="120/20" =6，
又BC=20，
∴对角线之和为20+6=26，
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、证明过程见解析
【解析】
求证BE=DF，即求证△ABE△CDF.
【详解】
证明：∵、的平分线、分别交、于点，
∴∠ABE=∠EBD，∠BDF=∠FDC
又四边形ABCD为矩形
∴∠ABD=∠CDB，AB=CD
∴∠ABE=∠EBD=∠BDF=∠FDC
在△ABE和△CDF中
∴△ABE△CDF
∴BE=DF
本题主要考查了平行线以及全等三角形的性质，全等三角形的判定是解决本题的关键.
15、（1）△ABC是直角三角形（2）5
【解析】
（1）根据点A、B、C的坐标求出AB、AC、BC的长，然后利用勾股定理逆定理判断为直角三角形；
（2）根据三角形的周长和面积公式解答即可．
【详解】
（1）△ABC是直角三角形，
由勾股定理可得：，
，
，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
（2）△ABC的周长为：AC+BC+AB＝，
△ABC的面积为：．
本题考查勾股定理逆定理，解题的关键是掌握勾股定理逆定理.
16、（1）三种建房方案（2）A型住房48套，B型住房32套获得利润最大（3）当O<a<l时， x=48，W最大，当a=l时，a-1=O，三种建房方案获得利润相等，当a>1时，x=1，W最大.
【解析】
解：（1）设公司建A户型x套，则建B户型（80-x）套，
由题意得： 209025x+28(80-x )2096
解得：48x1 经检验，符合题意．
x取整数，x=48、49、1．
该公司有以下三种建房方案：
①A户型：48套，B户型32套；② A户型：49套，B户型31套；
③A户型：1套，B户型30套．
（2）每套A户型获利：30—25=5万元，
每套B户型获利：34—28=6万元．
每套B户型获利﹥每套A户型获利，方案一获利最大．
即建48套A户型，32套B户型时获利最大．
（3）由题意得：A户型住房的售价提高a万元后：
每套A户型获利（5+a）万元，每套B户型仍获利6万元．
当5+a﹤6，即a﹤1时，方案一获利最大；
当5+a=6， 即a=1时，三种方案获利一样多；
当5+a﹥6，即a﹥1时，方案三获利最大．
（1）首先设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建（80-x）套，然后根据题意列方程组，解方程组可求得x的取值范围，又由x取非负整数，即可求得x的可能取值，则可得到三种建房方案；
（2）求出每套户型的获利，进行比较
（3）因为a是不确定的值了，所以要根据a的取值判断该公司又将如何建房获得利润最大．
17、（1）-2≤x＜0；（2）x=-3
【解析】
（1）不等式组整理后，求出解集即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：（1）不等式组整理得：，
由①得：x＜0，
由②得：x≥-2，
则不等式组的解集为：-2≤x＜0；
（2）去分母得：x2+x=x2-1-2，
解得：x=-3，
经检验：x=-3是分式方程的解．
此题考查了解一元一次不等式组和解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18、（1）设y=kx+b,当x=0时，y=2,当x=150时，y=1．
∴ 150k+b=1 b="2"
解得
∴y=x+2．
（2）当x=400时，y=×400+2=5＞3．
∴他们能在汽车报警前回到家．
【解析】
（1）先设出一次函数关系式，再根据待定系数法即可求得函数关系式；
（2）把x=400代入一次函数关系式计算出y的值即可得到结果．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1.
【解析】
用路程除以时间就是小亮骑自行车的速度；设小亮从家出发，经过x分钟，在返回途中追上爸爸，再由题意得出等量关系除了小亮在图书馆停留2分钟，即x-2分钟所走的路程减去小亮从家到图书馆相距的2400米，就是小亮在返回途中追上爸爸时，爸爸所走的路程，列出方程即可解答出来
【详解】
解：小亮骑自行车的速度是2400÷10=240m/min；
先设小亮从家出发，经过x分钟，在返回途中追上爸爸，由题意可得：
（x-2）×240-2400=96x
240x-240×2-2400=96x
144x=2880
x=1．
答：小亮从家出发，经过1分钟，在返回途中追上爸爸．
此题考查一次函数的实际运用，根据图象，找出题目蕴含的数量关系，根据速度、时间、路程之间关系解决问题．
20、1
【解析】
根据直线的关系式可以求出A、B的坐标，由正方形可以通过作辅助线，构造全等三角形，进而求出C、D的坐标，求出反比例函数的关系式，进而求出C点 平移后落在反比例函数图象上的点G的坐标，进而得出平移的距离．
【详解】
当x＝0时，y＝4，∴B（0，4），当y＝0时，x＝1，
∴A（1，0），
∴OA＝1，OB＝4，
∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
过点D、C作DM⊥x轴，CN⊥y轴，垂足为M、N，
∴∠ABO＝∠BCN＝∠DAM，
∵∠AOB＝∠BNC＝∠AMD＝90°，
∴△AOB≌△BNC≌△DMA （AAS），
∴OA＝DM＝BN＝1，AM＝OB＝CN＝4
∴OM＝1+4＝5，ON＝4+1＝5，
∴C（4，5），D（5，1），
把D（5，1）代入y＝得：k＝5，
∴y＝，
当y＝5时，x＝1，
∴E（1，5），
点C向左平移到E时，平移距离为4﹣1＝1，即：a＝1，
故答案为：1．
考查反比例函数的图象和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及平移的性质等知识，确定平移前后对应点C、E的坐标是解决问题的关键．
21、九
【解析】
打折销售后要保证获利不低于8%，因而可以得到不等关系为：利润率≥8%，设可以打x折，根据不等关系就可以列出不等式．
【详解】
解：设可以打x折．
那么（600×-500）÷500≥8%
解得x≥1．
故答案为1．
本题考查一元一次不等式的应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式．
22、5
【解析】
根据勾股定理，可得答案．
【详解】
解： PO==5，
故选： C．
本题考查了点的坐标，利用勾股定理是解题关键．
23、x≤1.
【解析】
将点P（m，3）代入y=x+2，求出点P的坐标；结合函数图象可知当x≤1时x+2≤ax+c，即可求解；
【详解】
解：点P（m，3）代入y=x+2，
∴m=1，
∴P（1，3），
结合图象可知x+2≤ax+c的解为x≤1，
故答案为：x≤1．
本题考查一次函数的交点坐标与一元一次不等式的关系；运用数形结合思想把一元一次不等式的解转化为一次函数图象的关系是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、AB=20，EC=
【解析】
根据勾股定理即可求出AB的长；连接BE，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，然后设CE=x，由勾股定理可得关于x的方程，继而求得答案．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=16，BC=12，∴AB==20；
连接BE，如图，∵AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，∴AE=BE，
设EC=x，则BE=AE=16－x，
在Rt△EBC中，∵∠C=90°，BC=12，
∴，解得：x=，即EC=．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理，难度不大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
25、 (1)证明见解析；(2) 的长度为 2，的长度为 ．
【解析】
（1）由在平行四边形 中，、 的平分线 分别与线段交于点 ，易求得 ，即可得，证得 ，易证得与 是等腰三角形，即可得 ，，又由 ，即可证得；
（2）由（1）易求得 ，，即可求得 的长；过点 作 交 的延长线于点 ，易证得四边形 为平行四边形，即可得是直角三角形，然后利用勾股定理，即可求得 的长．
【详解】
(1) 证明：∵ 平分，
∴．
∵平分，
∴．
∵ 四边形 平行四边形，
∴，，，
∴，
∴．
∴．
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵．
∴；
(2) 解：∵，
∴．
∴，
∵四边形 平行四边形，
∴．
∴，
∴，
过点 作 交 的延长线于点 ．
∴．
∵，
∴四边形 为平行四边形．
∴，．
∴，
∴在 中：．
∴ 的长度为 2，的长度为 ．
故答案为：(1)证明见解析；(2) 的长度为 2，的长度为 ．
本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、垂直的定义以及 勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
26、
【解析】
直接利用平行线的性质得出∠A+∠C=180°，进而得出∠C的度数，再利用垂直的定义得出∠C+∠D=90°，即可得出答案．
【详解】
，已知
两直线平行，同旁内角互补，
，已知
等量代换
又，已知
，垂直定义
直角三角形的两个锐角互余
等量代换
本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，得出∠C的度数是解题关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
A
B
成本(万元/套)
25
28
售价(万元/套)
30
34