2024-2025学年初中上学期九年级数学第一次月考卷（华东师大版）（解析版）【测试范围：第二十一章~第二十二章】

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
考前须知：
1．本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题。
2．测试范围：第二十一章~第二十二章（华东师大版）。
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）若代数式x-1x-2有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x≥1且x≠2C．x＞1且x≠2D．x≥1
【分析】直接利用二次根式的定义结合分式的性质得出答案．
【解答】解：∵代数式x-1x-2有意义，
∴x﹣1≥0，且x﹣2≠0，
解得：x≥1且x≠2．
故选：B．
2．（4分）在下列方程中，一元二次方程是（ ）
A．3x2-2x=1B．ax2+bx+c＝0
C．3x2+7＝0D．（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为一元二次方程．
【解答】解：A、3x2-2x=1是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意；
B、当a＝0时，原方程ax2+bx+c＝0无二次项，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意；
C、原方程3x2+7＝0，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D、原方程（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1化简后得到3x﹣9＝0，二次项抵消，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．（4分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．16aB．a2+b2C．baD．45
【分析】根据最简二次根式的意义进行判断即可．
【解答】解：A、16a=4a，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、a2+b2是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、ba=aba，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、45=35，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．（4分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A．(x-32)2=134B．(x-34)2=12
C．(x-34)2=1716D．(x-32)2=114
【分析】移项，系数化成1，再配方，即可得出选项．
【解答】解：2x2﹣3x﹣1＝0，
2x2﹣3x＝1，
x2-32x=12，
x2-32x+916=12+916，
（x-34）2=1716，
故选：C．
5．（4分）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．﹣11B．13C．11或8D．11和13
【分析】先用因式分解求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三角形的周长．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝4．
因为三角形两边的长分别为3和6，所以第三边的长必须大于3，
故周长＝3+6+4＝13．
故选：B．
6．（4分）如果关于x的方程（m﹣2）x2﹣（2m﹣1）x+m＝0只有一个实数根，那么方程mx2﹣（m+2）x+（4﹣m）＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．只有一个实数根
【分析】由关于x的方程（m﹣2）x2﹣2（m﹣1）x+m＝0只有一个实数根，则它为一元一次方程，所以m﹣2＝0，即m＝2；把m＝2代入方程mx2﹣（m+2）x+（4﹣m）＝0得2x2﹣4x+2＝0，并且可计算出Δ＝0，由此可判断根的情况．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2（m﹣1）x+m＝0只有一个实数根，
∴m﹣2＝0，即m＝2，
则方程mx2﹣（m+2）x+（4﹣m）＝0变为：2x2﹣4x+2＝0，
Δ＝42﹣4×2×2＝0，
所以方程有两个相等的实数根．
故选：C．
7．（4分）已知﹣1＜a＜4，则化简1+2a+a2-a2-8a+16的结果是（ ）
A．﹣3B．3C．2a﹣3D．3﹣2a
【分析】先根据完全平方公式化简，再由a2=|a|，进行化简．
【解答】解：∵﹣1＜a＜4，
原式=(a+1)2-(a-4)2，
＝|a+1|﹣|a﹣4|，
＝a+1+a﹣4，
＝2a﹣3，
故选：C．
8．（4分）“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．100（1+x）2＝121
B．100（1+x%）2＝121
C．100（1+2x）＝121
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝121
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意即可列出方程求解．
【解答】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，
根据题意得100（1+x）2＝121．
故选：A．
9．（4分）已知xy＜0，化简二次根式x-yx2的正确结果为 （ ）
A．yB．-yC．-yD．--y
【分析】先根据xy＜0，考虑有两种情况，再根据所给二次根式可确定x、y的取值，最后再化简即可．
【解答】解：∵xy＜0，
∴x＞0，y＜0或x＜0，y＞0，
又∵x-yx2有意义，
∴y＜0，
∴x＞0，y＜0，
当x＞0，y＜0时，x-yx2=-y，
故选：B．
10．（4分）若实数a，b满足a2+3a＝2，b2+3b＝2，且a≠b，则（1+a2）（1+b2）＝（ ）
A．18B．12C．9D．6
【分析】先利用已知等式可把a、b看作方程x2+3x﹣2＝0的两个不同实根，则根据根与系数的关系得到a+b＝﹣3，ab＝﹣2，然后利用完全平方公式把（1+a2）（1+b2）变形为1+（a+b）2﹣2ab+a2b2，再利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a2+3a﹣2＝0，b2+3b﹣2＝0，
∴a，b为方程x2+3x﹣2＝0的两个不同实根．
∴a+b＝﹣3，ab＝﹣2，
∴（1+a2）（1+b2）＝1+a2+b2+a2b2＝1+（a+b）2﹣2ab+a2b2＝1+9+4+4＝18．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）计算27-313的结果是 23 ．
【分析】先把各二次根式化为最减二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝33-3
＝23．
故答案为：23．
12．（4分）若最简二次根式2b-4与211-b是同类二次根式，则b＝ 5 ．
【分析】根据同类二次根式的定义可得2b﹣4＝11﹣b，解之即可求解，
【解答】解：∵最简二次根式2b-4与211-b是同类二次根式，
∴2b﹣4＝11﹣b，
解得b＝5，
故答案为：5．
13．（4分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a＝ ﹣1 ．
【分析】把x＝1代入一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0得a﹣1+a2﹣a＝0，再解方程，然后利用一元二次方程的定义得到满足条件的a的值．
【解答】解：把x＝1代入方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0得a﹣1+a2﹣a＝0，
解得a1＝1，a2＝﹣1，
因为a﹣1≠0，
所以a的值为﹣1．
故答案为：﹣1．
14．（4分）设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则x12+3x2+x1x2= 11 ．
【分析】根据根与系数的关系得x1+x2＝3，根据方程解的定义得x12-3x1+1＝0，即x12=3x1﹣1，代入所求的式子计算即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，
∴x1+x2＝3，x12-3x1+1＝0，x1x2＝1，
∴x12=3x1﹣1，
∴x12+3x2+x1x2
＝3x1﹣1+3x2+1
＝3（x1+x2）
＝3×3
＝9．
故填空答案：9．
15．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 x＝2021 ．
【分析】结合已知条件得到x+2＝2022，求得x即可．
【解答】解：a（x+2）2+bx+2b+c＝0整理得a（x+2）2+b（x+2）+c＝0，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，
∴关于x的方程a（x+2）2+b（x+2）+c＝0，其中一根为x+2＝2023，
解得x＝2021．
故答案为：x＝2021．
16．（4分）已知方程：x2﹣4x+a＝0的一个根大于3，另一个根小于3，则a的取值范围 a＜3 ．
【分析】令方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4，x1⋅x2＝a，根据题意，知（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，于是a﹣3×4+9＜0，解得a＜3．
【解答】解：令方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4，x1⋅x2＝a，
根据题意，若x1＜3，x2＞3，则x1﹣3＜0，x2﹣3＞0，
∴（x1﹣3）（x2﹣3）＜0．
∴x1⋅x2﹣3（x1+x2）+9＜0，
a﹣3×4+9＜0，
解得a＜3，
故答案为：a＜3．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算：
（1）(2023-π)0+|3-1|-38+12；
（2）(3+2)(3-2)+6×23．
【分析】（1）利用零指数幂、绝对值、立方根和算术平方根计算即可；
（2）利用平方差公式和二次根式的乘法进行计算，再进行加减法即可．
【解答】解：（1）原式=1+3-1-2+23=33-2；
（2）原式=(3)2-(2)2+6×23
＝3﹣2+2
＝3．
18．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣7＝0；
（2）3x（x﹣1）＝1﹣x．
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）移项后，提取公因式分解因式解方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣7＝0，
移项，得x2﹣2x＝7，
配方，得x2﹣2x+1＝7+1，
即（x﹣1）2＝8，
∴x-1=±22，
解得x1=1+22，x2=1-22．
（2）3x（x﹣1）＝1﹣x，
移项，得3x（x﹣1）+（x﹣1）＝0，
因式分解，得（x﹣1）（3x+1）＝0，
∴x﹣1＝0或3x+1＝0，
解得x1＝1，x2=-13．
19．（6分）先化简，再求值：（2m+1m-1）÷m2-1m，其中m=3+1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入即可解答本题．
【解答】解：（2m+1m-1）÷m2-1m
=2m+1-mm⋅m(m+1)(m-1)
=m+1m⋅m(m+1)(m-1)
=1m-1，
当m=3+1时，原式=13+1-1=13=33．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x+2＝0．
（1）若x＝2是该方程mx2﹣3x+2＝0的一个根，求m的值；
（2）若一元二次方程mx2﹣3x+2＝0有实数根，求m的取值范围．
【分析】（1）把x＝2代入方程得到4m﹣6+2＝0，然后解一次方程即可；
（2）根据根的判别式的意义得到m≠0且Δ＝（﹣3）2﹣8m≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：（1）把x＝2代入方程得到4m﹣6+2＝0，
解得m＝1，
即m的值为1；
（2）根据题意得m≠0且Δ＝（﹣3）2﹣8m≥0，
解得m≤98且m≠0，
即m的取值范围为m≤98且m≠0．
21．（10分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根恰好构成以3为直角边的直角三角形，求k值．
【分析】（1）根据根的判别式的符号来证明；
（2）先带字母解一元二次方程，得，x1＝k，x2＝k+1，然后根据勾股定理列出方程即可．
【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+k）＝1＞0，
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，
∴（x﹣k）（x﹣k﹣1）＝0
解得x1＝k，x2＝k+1，则x1＜x2，
由勾股定理得，（k+1）2＝k2+9，
解得k＝4．
22．（10分）温州某百货商场购进一批单价为5元的日用商品．如果以单价7元销售，每天可售出160件，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量每天就相应减少20件，设这种商品的销售单价为x元（x≥7）．
（1）若该商场当天销售这种商品所获得的利润为480元，求x的值．
（2）当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？此时最大利润为多少？
【分析】（1）根据“利润值＝（销售单价﹣购进单价）×销售量”，列出一元二次方程，即可求解；
（2）设销售的总利润为y元，根据题意列出函数关系式，再利用配方法求得结果．
【解答】解：（1）根据题意得，（x﹣5）[160﹣20（x﹣7）]＝480，
解得x1＝11，x2＝9；
∴x的值为11或9．
（2）设销售的总利润为y元，根据题意得，
y＝（x﹣5）[160﹣20（x﹣7）]＝﹣20（x﹣10）2+500，
∵﹣20（x﹣10）2≤0，
∴﹣20（x﹣10）2+500≤500，
∴当x＝10时，y有最大值500，
答：当商品的销售单价定为10元时，该商店销售这种商品获得的利润最大，最大利润为500元．
23．（10分）根据平方差公式：(2+1)(2-1)=(2)2-1=1，由此得到12+1=2-1，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题：
第1式12+1=2-1，第2式13+2=3-2，第3式14+3=4-3，
第4式15+4=5-4．…
（1）根据规律填空：第5式16+5= 6-5 ；
（2）若12+1+13+2+14+3+⋅⋅⋅+1n+1+n=8，求n的值；
【分析】（1）根据题意得出第5个式子即可；
（2）先总结出规律，再求出n的值即可．
【解答】解：（1）第1式：12+1=2-1，
第2式：13+2=3-2，
第3式：14+3=4-3，
第4式：15+4=5-4，
所以，第5个式子为：16+5=6-5，
故答案为：6-5；
（2）由（1）可得：1n+1+n=n+1-n，
∴12+1+13+2+14+3+⋅⋅⋅+1n+1+n
=2-1+3-2+4-3+⋯+n+1-n
=n+1-1，
∴n+1-1=8
解得，n＝80．
24．（12分）阅读理解：若a、b都是非负实数，则a+b≥2ab，当且仅当a＝b时，“＝”成立．
证明：∵(a+b)2≥0，
∴a-2ab+b≥0，
∴a+b≥2ab，当且仅当a＝b时，“＝”成立．
（1）已知x＞0，求5x+15x的最小值；
（2）求代数式：m2-2m+5m-1(m＞1)的最小值；
（3）问题解决：如图，某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道（阴影部分）组成，已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4m和10m，则要使公园占地面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计？
【分析】（1）根据5x+15x≥25x⋅15x，可得答案；
（2）先化简，得m2-2m+5m-1=(m-1)2+4m-1=m-1+4m-1，再根据（1）讨论即可；
（3）设休闲区的长为x m，进而表示出宽，再表示出面积，然后根据材料提示可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，得5x+15x≥25x⋅15x=2，
当5x=15x时，解得x=15时，
所以，当x=15时，原式的最小值为2；
（2）由m2-2m+5m-1=(m-1)2+4m-1=m-1+4m-1，
可知m-1+4m-1≥2(m-1)×4m-1=4，
当m-1=4m-1时，
解的m＝3，
所以当m＝3时，原式的最小值为4；
（3）设休闲区的长为x m，则宽为4000x，根据题意，得：
公园的面积=(x+20)(4000x+8)
=4000+8x+80000x+160
=4160+8x+80000x≥4160+28x⋅80000x=4160+1600=5760．
当8x=80000x时，
解得x＝100，
所以当x＝100时，面积最小为5760m2．
则4000100=40，
所以休闲区的长为100m，宽为40m．
25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．
（1）填空，OP＝ 2t ，OQ＝ 2t （用含t的代数式表示）；
（2）设△OPQ的面积为S1，△BQC的面积为S2，当t为何值时，S1+S2的值为30．
（3）求当t为何值时，△PQB为直角三角形．
【分析】（1）利用路程，速度，时间自己的关系求解即可；
（2）分两种情形：点Q在线段OC上或在OC的延长线上，分别构建方程求解；
（3）设移动时间为t秒，并作PG⊥OC于点G，易得∠POG＝45°，结合P、Q的运动速度表示出t s时P、Q的坐标，根据A、C两点的坐标易得点B的坐标，则利用两点之间的距离公式可求得PQ、PB、BQ的长度，要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB＝90°或∠PBQ＝90°，接下来利用勾股定理列式求解即可．
【解答】解：（1）由题意，OP=2t，OQ＝2t，
故答案为：2t，2t；
（2）当点Q在线段OC上时，12×2t×22×2t+12×（6﹣2t）×2＝30，
解得t＝6或﹣4，
t＝6或﹣4都不符合题意，舍去．
当点Q在OC的延长线上时，12×2t×22×2t+12×（2t﹣6）×2＝30，
整理得t2+2t﹣36＝0，
解得t＝﹣1+37或﹣1-37（舍去），
∴t＝﹣1+37时，S1+S2的值为30；
（3）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB＝90°或∠PBQ＝90°．
设移动时间为t秒．如图，作PG⊥OC于点G，
在Rt△POG中，∠POQ＝45°，
∴∠OPG＝45°．
∵OP=2t，
∴OG＝PG＝t，
∴点P（t，t）．
又∵Q（2t，0），B（6，2），
根据勾股定理可得：PB2＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2＝（6﹣2t）2+22，PQ2＝（2t﹣t）2+t2＝2t2，
①若∠PQB＝90°，则有PQ2+BQ2＝PB2，
即：2t2+[（6﹣2t）2+22]＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，
整理得：4t2﹣8t＝0，
解得：t1＝0（舍去），t2＝2，
∴t＝2，
②若∠PBQ＝90°，则有PB2+QB2＝PQ2，
∴[（6﹣t）2+（2﹣t）2]+[（6﹣2t）2+22]＝2t2，
整理得：t2﹣10t+20＝0，
解得：t＝5±5．
∴当t＝2或t＝5+5或t＝5-5时，△PQB为直角三角形．