2024-2025学年陕西省西安工业大学附属中学高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年陕西省西安工业大学附属中学高二上学期第一次月考数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=1,2,3,4,5,9,B=x x∈A，则∁AA∩B=( )
A. 1,4,9B. 3,4,9C. 1,2,3D. 2,3,5
2.已知函数f(x)=−x2−2ax−a,x<0ex+ln (x+1),x⩾0在R上单调递增，则a的取值范围是( )．
A. (−∞,0]B. [−1,0]C. [−1,1]D. [0,+∞)
3.若向量a=(2,3)，b=(−1,1)，则b在a上的投影向量的坐标是( )
A. (213,−313)B. (213,313)C. (−213,313)D. (−213,−313)
4.已知csαcsα−sinα= 3，则tanα+π4=( )
A. 2 3+1B. 2 3−1C. 32D. 1− 3
5.某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A=“出现的点数为奇数”，B=“出现的点数不大于3”，事件C=“出现点数为3的倍数”，则下列说法正确的是( )
A. A与B互为对立事件B. PA∪B=PA+PB
C. PC=23D. PA=PC
6.一道竞赛题，A，B，C三人可解出的概率依次为12，13，14，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为( )
A. 124B. 1124C. 1724D. 1
7.下列说法不正确的是( )
A. 8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是6111
B. 用抽签法从含有20个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则个体甲和乙被抽到的概率均为0.2
C. 一组数据4，3，2，6，5，8 60%分位数为6
D. 若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为2，则数据2x1−1，2x2−1，…，2x10−1的平均数为3
8.如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F 将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，则V1:V2=( )
A. 7:5B. 5:7
C. 3:2D. 4:7
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列是基本事实的是( )
A. 过三个点有且只有一个平面
B. 平行于同一条直线的两条直线平行
C. 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
10.已知函数f(x)=sin(2x−π3)，g(x)=cs(2x+π6)，则( )
A. f(x)与g(x)的图象有相同的对称中心
B. f(x)与g(x)的图象关于x轴对称
C. f(x)与g(x)的图象关于y轴对称
D. f(x)≥g(x)的解集为[π6+kπ,2π3+kπ](k∈Z)
11.在▵ABC中，AB=AC=5，BC=6，P为▵ABC内的一点，设AP=xAB+yAC，则下列说法正确的是( )
A. 若P为▵ABC的重心，则2x+y=1
B. 若P为▵ABC的外心，则PB⋅BC=18
C. 若P为▵ABC的垂心，则x+y=716
D. 若P为▵ABC的内心，则x+y=58
12.在菱形ABCD中，AB=1，∠ABC=120°，将△ABD沿对角线BD折起，使点A至点P(P在平面ABCD外)的位置，则( )
A. 在折叠过程中，总有BD⊥PC
B. 存在点P，使得PC=2
C. 当PC=1时，三棱锥P−BCD的外接球的表面积为3π2
D. 当三棱锥P−BCD的体积最大时，PC=32
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知虚数z，其实部为1，且z+2z=mm∈R，则实数m为 ．
14.为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生30人，女生20入、按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1：女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为 ．
15.已知锐角▵ABC中，a2−b2c2=2csC，则a2bcs2B的取值范围 ．
16.设x,y∈R，满足x−15+2x+sinx−1=3y−15+2y+siny−1=1，则x+y= ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
某地教育研究中心为了调查该地师生对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法，对该市区部分师生进行调查，先将调查结果统计如下：
(1)请将表格补充完整，若该地区共有教师30000人，用频率估计概率，试估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数；
(2)先按照比例分配的分层随机抽样从“反对”的人中抽取6人，再从中随机选出3人进行深入调研，求深入调研中恰有1名学生的概率．
18.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ 3csA=2．
(1)求A；
(2)若a=2， 2bsin C=csin 2B，求△ABC周长．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，CD=4，PA=AB=BC=AD=2，Q为棱PC上的一点，且PQ=13PC．
(Ⅰ)证明：平面QBD⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求直线QD与平面PBC所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：
投资股市：
购买基金：
(1)当p=14时，求q的值；
(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p的取值范围．
21.(本小题12分)
如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC=4，A1A=A1B1=2，侧棱A1A⊥平面ABC，点D是棱CC1的中点．

(1)证明：BB1⊥平面AB1C；
(2)求平面BCD与平面ABD的夹角的余弦值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=(csx+sinx)(csx−sinx)−2asinx−2a的最大值为−12．
(1)求实数a的值；
(2)若向量m,n满足|m|=|4f(x)|，|n|=a，m⋅n=|2f(x)+1|，设m,n的夹角为θ，求csθ的取值范围．
参考答案
1.D
2.B
3.B
4.B
5.C
6.B
7.C
8.A
9.BCD
10.ABD
11.ACD
12.AC
13.2
14.6.8
15.1,43
16.2
17.(1)
表格补充如下：
30000×80200=12000人，
即可估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数为12000人；
(2)
6×80120=4，6×40120=2，即这6人中有4人为教师，2人为学生，
记这2名学生为a,b，4名教师记为1，2，3，4，
则随机选出3人进行深入调研，不同选法有：a,b,1,a,b,2,a,b,3,a,b,4,a,1,2,a,1,3，
a,1,4,a,2,3,a,2,4,a,3,4,b,1,2,b,1,3,b,1,4,
b,2,3,b,2,4,b,3,4,1,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,4，共20种，
恰有1名学生的选法有a,1,2,a,1,3,a,1,4,a,2,3,a,2,4,a,3,4，
b,1,2,b,1,3,b,1,4,b,2,3,b,2,4,b,3,4共12种，
故深入调研中恰有一名学生的概率P=1220=35．

18.解：(1)sin⁡A+ 3cs⁡A=2⇒sin⁡(A+π3)=1，
∴A+π3=2kπ+π2(k∈Z)，
又A∈(0,π)，∴A=π6
(2)由正弦定理可知bc=sinBsinC
结合 2bsin C=csin 2B=2csinBcsB得
csB= 22，而B∈(0,π)，∴B=π4
由A+B+C=π得sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB= 6+ 24
则△ABC的周长为a+b+c=a(1+sinB+sinCsinA)=2+ 6+3 2
19.(Ⅰ)连结AC，BD，交于点O，
则由▵ABO∽▵CDO，得AO=13AC，
∵PQ=13PC，∴QO//PA，
∵PA⊥平面ABCD，∴QO⊥平面ABCD，
又QO⊂平面QBD，∴平面QBD⊥平面ABCD．
(Ⅱ)过D作平面PBC的垂线，垂足为H，
则∠DQH即为直线QD与平面PBC所成角，设为θ，
设DH=ℎ，∵VQ−BCD=VD−BCQ，
∴13S▵BCD⋅QO=13S▵BCQ⋅ℎ，
即13×2 3×43=13×23 7×ℎ，
解得ℎ=4 217，
∵QD2=QO2+OD2=83，
∴直线QD与平面PBC所成角的正弦值sinθ=ℎDQ=3 2114．

20.解：(1)∵“购买基金”的投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，
∴p+13+q=1.又p=14，∴q=512．
(2)记事件A为“甲投资股市且获利”，事件B为“乙购买基金且获利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人获利”，
则C=AB∪AB∪AB，且A，B相互独立．
由题意可知P(A)=12，P(B)=p．
∴P(C)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=12×(1−p)+12p+12p=12+12p.
∵P(C)=12+12p>45，∴p>35．
又p+13+q=1，q≥0，∴p≤23，∴3521.解：(1)证明：∵∠BAC=90°,∴AB⊥AC,
∵A1A⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,AC⊂平面ABC,∴A1A⊥AB,A1A⊥AC,
∴AB,AC,AA1两两垂直，
以A为坐标原点，以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
根据题意可得A0,0,0，B4,0,0，C0,4,0，B12,0,2，C10,2,2，D0,3,1，
∴BB1=−2,0,2，AC=0,4,0，AB1=2,0,2，
设平面AB1C的法向量为n=d,e,f，
则n⋅AC=4e=0n⋅AB1=2d+2f=0,
令d=1，即f=−1，e=0，则n=(1,0,−1)，
∴BB1=−2n，∴BB1//n，
∴BB1⊥平面AB1C．
(2)由(1)知BC=−4,4,0，CD=(0,−1,1)，
设平面BCD的法向量为m=x,y,z，
则m⋅BC=−4x+4y=0m⋅CD=−y+z=0,
令y=1，即x=1，z=1，即m=1,1,1，
由(1)知，AB=4,0,0，AD=0,3,1，
设平面ABD的法向量为e=a,b,c，
则e⋅AB=4a=0e⋅AD=3b+c=0,
令b=1，即a=0，c=−3，即e=0,1,−3，
设平面BCD与平面ABD的夹角为θ，
则cs θ=|cs|=|m⋅e||m||e|=|1−3| 3× 10= 3015，
∴平面BCD与平面ABD的夹角的余弦值为 3015．

22.解：(1)f(x)=cs2x−sin2x−2asinx−2a
=−2sin2x−2asinx−2a+1
=−2(sinx+a2)2+a22−2a+1，
令t=sinx,t∈[−1,1]，则g(t)=−2(t+a2)2+a22−2a+1，
当−a2<−1，即a>2时，
g(t)max=g(−1)=−1≠−12，无解;
当−1⩽−a2⩽1，即−2⩽a⩽2时，
g(t)max=g(−a2)=a22−2a+1=−12，
解得a=1或a=3，因为−2⩽a⩽2，所以a=1，
当−a2>1，即a<−2时，
g(t)max=g(1)=−4a−1=−12，
解得a=−18(舍去)
综上a=1；
(2)由(1)可知f(x)=−2(sinx+12)2−12，
因为sinx∈[−1,1]，所以−2(1+12)2−12⩽f(x)⩽−12，
即−5⩽f(x)⩽−12，
因为向量m,n满足|m|=|4f(x)|，|n|=a，m⋅n=|2f(x)+1| ，
所以csθ=csm,n=m⋅n|m|⋅|n|=|2f(x)+1||4f(x)|=12+14f(x)，
因为−5⩽f(x)⩽−12，所以−20⩽4f(x)⩽−2，
所以−12⩽14f(x)⩽−120，所以0⩽csθ⩽920，
所以csθ的取值范围为：[0,920]．
赞成
反对
合计
教师
120
学生
40
合计
280
120
投资结果
获利40%
不赔不赚
亏损20%
概率
12
18
38
投资结果
获利20%
不赔不赚
亏损10%
概率
p
13
q
赞成
反对
合计
教师
120
80
200
学生
160
40
200
合计
280
120
400