2024-2025学年湖北省部分学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖北省部分学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一元二次方程4x2+x−3=0中一次项系数、常数项分别是( )
A. 2，−3B. 0，−3C. 1，−3D. 1，0
2.解方程(x+1)2=3(1+x)的最佳方法是( )
A. 直接开平方法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法
3.抛物线y=−3x2+2x−1与y轴的交点为( )
A. (0,1)B. (0,−1)C. (−1,0)D. (1,0)
4.若关于x的一元二次方程(k−1)x2+x+1=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k≥54B. k>54C. k>54且k≠1D. k≤54且k≠1
5.若关于x的方程x2−kx−3=0的一个根是x=3，则k的值是( )
A. −2B. 2C. −12D. 12
6.关于x的方程|x2−2x−3|=a有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是( )
A. a=0B. a=0或a=4C. a>4D. a=0或a>4
7.在手拉手学校联谊活动中，参加活动的每个同学都要给其他同学发一条励志短信，总共发了110条，设参加活动的同学有x个，根据题意，下面列出的方程正确的是( )
A. 12x(x+1)=110B. 12x(x−1)=110C. x(x+1)=110D. x(x−1)=110
8.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是( )
A. 无实数根B. 有两个相等实数根
C. 有两个同号不等实数根D. 有两个异号实数根
9.二次函数y=ax2+bx+c，若ab<0，a−b2>0，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在该二次函数的图象上，其中x1A. y1=−y2B. y1>y2
C. y110.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：
①abc<0；②b>a+c；③2a−b=0；④b2−4ac<0．
其中正确的结论个数是( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程(x+4)(x−5)=0的根为______．
12.若二次函数y=x2−2x+k的图象经过点(−1,y1)，(3,y2)，则y1 ______y2(选填：>，<，=)．
13.二次函数y1=ax2+bx+c的图象与一次函数y2=kx+b的图象如图所示，当y2>y1时，根据图象写出x的取值范围 ．
14.如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1，A2，A3，…An，将抛物线y=x2沿直线l；y=x向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…，Mn都在直线y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3，…，An，则顶点M2021的坐标为______．
15.若关于x的方程|x2−2x−8|=m有三个解，则实数m的值是______．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
已知二次函数图象的顶点坐标为(1,2)，且经过原点(0,0)，求该函数的解析式．
17.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−4=0
(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)若方程有一根为3，求m的值．
18.(本小题7分)
已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．
(1)求实数k的取值范围．
(2)是否存在实数k，使得x1x2−x12−x22=−16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+mx+n与x轴交于点A，B(A在B
的左侧)．
(1)若抛物线的对称轴为直线x=−3，AB=4.求抛物线的表达式；
(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．
20.(本小题8分)
世界杯是世界上级别最高的足球赛事，2022年世界杯在卡塔尔隆重举行，今年世界杯的吉祥物是“拉伊卜”，它的设计灵感来源于阿拉伯标志型的白头巾，某网店现售有一大一小两种型号的“拉伊卜”摆件，已知每个大摆件的售价是每个小摆件售价的2倍还多60元，420元可购买一个大摆件和一个小摆件．
(1)每个“拉伊卜”大摆件和小摆件的售价分别是多少？
(2)第一天该网店按照原售价卖出大摆件30个，小摆件100个，因为小摆件库存量大，第二天商家调整了销售方案，大摆件的价格不变，小摆件的价格下调2m元，调整后，当天大摆件的销量下降了12m个，小摆件的销量增加了52m个，当天的销售额达到了20520元，求降价后的小摆件的价格．
21.(本小题8分)
某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间(含20千克和60千克)时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元．
(1)经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y(千克)与零售价x(元/千克)是一次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式；
(2)若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？
22.(本小题10分)
如图，四边形ABCD是一块边长为6米的正方形花圃，现将它改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上(不与点B重合)，点G在AD的延长线上，DG=3BE，设BE的长为x米，改造后花圃AEFG的面积为y平方米．
(1)当改造后花圃AEFG的面积与原正方形ABCD花圃的面积相等时，求BE的长；
(2)当x为何值时，改造后的花圃AEFG的面积最大？并求出最大面积．
23.(本小题11分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)如图(甲)，在x轴上是否存在点E，使得以E，B，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图(乙)，动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点的坐标和△PBC面积的最大值．
24.(本小题12分)
如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,−1)，且tan∠OAC=12．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线AC下方对称轴左侧抛物线上一点，过点P作PQ/​/x轴交抛物线于点Q，过点P作PR⊥x轴交AC于点R，若PQ+PR=32，求点P的坐标；
(3)将抛物线y=x2+bx+c向右平移一个单位，向下平移一个单位得到新抛物线，在新抛物线上有点M，在原抛物线对称轴上有点N，直接写出所有使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：一元二次方程4x2+x−3=0的一次项系数，常数项分别是1、−3．
故选：C．
根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查解一元二次方程，能理解解一元二次方程的每种方法的特点是解此题的关键．先移项，再提取公因式，即可得出选项．
【解答】
解：(x+1)2=3(1+x)，
(x+1)2−3(1+x)=0，
(x+1)(x+1−3)=0，
即最好的方法是因式分解法，
故选：D．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标，熟练掌握函数与坐标轴的交点的求解方法是解题的关键．
令x=0，求出y的值，然后写出点的坐标即可．
【解答】
解：x=0时，y=−1，
所以，抛物线与y轴的交点坐标为(0,−1)．
故选：B．
4.【答案】D
【解析】解：由题意得：Δ=b2−4ac=1−4(k−1)≥0，且k−1≠0，
解得：k≤54且k≠1；
故选：D．
根据一元二次方程的定义与一元二次方程根的判别式可进行求解．
本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：当x=3时，9−3k−3=0，
解得k=2，
故选：B．
将x=3代入方程解出k值即可．
本题考查了一元二次方程的解，代入求值是关键．
6.【答案】D
【解析】解：由原方程，得|(x−1)2−4|=a，
∴该函数图象为：
根据图示知，实数a的取值范围是a=0或a>4．
故选：D．
先将原绝对值方程转化为|(x−1)2−4|=a，据此作出该方程的图象；然后根据图象填空．
本题考查了含绝对值符号的一元二次方程．本题采用了“数形结合”的数学思想．
7.【答案】D
【解析】解：由题意可得，
x(x−1)=110，
故选：D．
根据“参加活动的每个同学都要给其他同学发一条励志短信，总共发了110条”，可以列出相应的一元二次方程．
本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，本题是一道典型的双循环问题．
8.【答案】C
【解析】解：∵y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是−3，
∵方程ax2+bx+c+2=0，
∴ax2+bx+c=−2时，即是y=−2求x的值，
由图象可知：有两个同号不等实数根．
故选：C．
根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为−3，判断方程ax2+bx+c+2=0的根的情况即是判断y=−2时x的值．
此题主要考查了方程ax2+bx+c+2=0的根的情况，先看函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标纵坐标，再通过图象可得到答案．
9.【答案】B
【解析】解：∵a−b2>0，b2≥0，
∴a>0．
又∵ab<0，
∴b<0，
∵x1∴x2=−x1，x1<0．
∵点A(x1,y1)，B(x2,y2)在该二次函数y=ax2+bx+c的图象上，
∴y1=ax12+bx1+c，y2=ax22+bx2+c=ax12−bx1+c．
∴y1−y2=2bx1>0．
∴y1>y2．
故选：B．
首先分析出a，b，x1的取值范围，然后用含有代数式表示y1，y2，再作差法比较y1，y2的大小．
此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和函数值的大小比较，判断出字母系数的取值范围是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0，
由于抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，则b=−2a>0；则2a+b>0，abc<0；
∴①正确，
∴③错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2−4ac>0，所以④错误；
∵x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，所以②正确．
故选：B．
由抛物线开口方向得到a<0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c>0，由于抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，则b=−2a>0；则abc<0；根据抛物线与x轴有2个交点得到△=b2−4ac>0；由于x=−1时，y>0，于是有a−b+c<0．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
11.【答案】x1=−4，x2=5
【解析】解：∵(x+4)(x−5)=0，
∴x+4=0或x−5=0，
∴x1=−4，x2=5，
故答案为：x1=−4，x2=5．
直接利用因式分解法解方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
12.【答案】=
【解析】解：∵二次函数y=x2−2x+k，
∴开口向上，对称轴为直线x=−−22×1=1，
∴点(−1,y1)，(3,y2)关于对称轴对称，
故y1=y2．
故答案为：=．
求出抛物线的对称轴，即可根据二次函数的对称性解答．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性是解题的关键．
13.【答案】−2【解析】解：当y2>y1时，即一次函数y2=kx+b的图象在二次函数y1=ax2+bx+c的图象的上面，
可得x的取值范围是：−2故答案为：−2利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标得出y2>y1时，x的取值范围．
此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题关键．
14.【答案】(4041,4041)
【解析】解：∵抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1，A2，A3，…，An，…，
∴点An的坐标为(n,n2).
设点Mn的坐标为(a,a)，则以点Mn为顶点的抛物线解析式为y=(x−a)2+a，
∵点An(n,n2)在抛物线y=(x−a)2+a上，
∴n2=(n−a)2+a，
解得：a=2n−1或a=0(舍去)，
∴Mn的坐标为(2n−1,2n−1)，
∴M2021的坐标为(4041,4041)．
故答案为：(4041,4041)．
根据抛物线的解析式结合整数点的定义，找出点An的坐标为(n,n2)，设点Mn的坐标为(a,a)，则以点Mn为顶点的抛物线解析式为y=(x−a)2+a，由点An的坐标利用待定系数法，即可求出a值，将其代入点Mn的坐标即可得出结论．
本题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求二次函数解析式，根据点An的坐标利用待定系数法求出a值是解题的关键．
15.【答案】9
【解析】解法一：当m<0时，|x2−2x−8|=m没有实数根；
当m≥0时，|x2−2x−8|=m，即x2−2x−8=m或x2−2x−8=−m，
∵关于x的方程|x2−2x−8|=m有三个解，
∴方程x2−2x−8=m和x2−2x−8=−m之中必有一个方程有两个相等的实数根，
①当方程x2−2x−8=m有两个相等的实数根时，
∴方程x2−2x−8−m=0有两个相等的实数根，
判别式Δ=(−2)2−4×1×(−8−m)=0，
解得：m=−9，不合题意，舍去；
②当方程x2−2x−8=−m有两个相等的实数根时，
∴方程x2−2x−8+m=0有两个相等的实数根，
判别式Δ=(−2)2−4××(−8+m)=0，
解得：m=9，
当m=9时，x2−2x−8=9或x2−2x−8=−9，
由x2−2x−8=9解得：x1=1+3√2，x2=1−3√2，
由x2−2x−8=−9解得x1=x2=1．
综上所述：若关于x的方程|x2−2x−8|=m有三个解，则实数m的值是9．
故答案为：9．
解法二：设y1=|x2−2x−8|，y2=m，
画出函数y1=|x2−2x−8|的图象，点M的坐标为(1,9)，如图，
∵关于x的方程|x2−2x−8|=m有三个解，
∴函数y1=|x2−2x−8|的图象与y2=m的图象有三个交点，
∴当y2=m经过点M时，函数y1=|x2−2x−8|的图象与y2=m的图象有三个交点，
∴m=9．
∴关于x的方程|x2−2x−8|=m有三个解，则实数m的值是9．
故答案为：9．
解法一：当m<0时，|x2−2x−8|=m没有实数根；当m≥0时，|x2−2x−8|=m，即x2−2x−8=m或x2−2x−8=−m，然后根据关于x的方程|x2−2x−8|=m有三个解得方程x2−2x−8=m和x2−2x−8=−m之中必有一个方程有两个相等的实数根，①当方程x2−2x−8=m有两个相等的实数根时，利用判别式等于0可求出m的值；②当方程x2−2x−8=−m有两个相等的实数根时，利用判别式等于0可求出m的值；
解法二：设y1=|x2−2x−8|，y2=m，画出y1=|x2−2x−8|的图象，然后根据关于x的方程|x2−2x−8|=m有三个解得函数y1=|x2−2x−8|的图象与y2=m的图象有三个交点，结合函数的图象即可得出m的值．
此题主要考查了绝对值的意义，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程；解法一的关键是理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式，分类讨论是难点之一；解法二的关键是构造二次函数和一次函数，利用数形结合思想进行解答．
16.【答案】∵二次函数图象的顶点坐标为(1,2)，
∴设函数解析式为y=a(x−1)2+2(a≠0)，
当x=0时，y=0，
∴0=a(0−1)2+2，
解得a=−2，
∴函数解析式为y=−2(x−1)2+2．
【解析】设二次函数的解析式为y=a(x−1)2+2(a≠0)，然后把原点坐标代入求解即可．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，利用顶点式解析式求解更加简便．
17.【答案】解：(1)依题意得：△=(2m+1)2−4(m2−4)=0，
解得：m=−174，
即当m=−174时，方程有两个不相等的实数根．
(2)依题意得：32+3(2m+1)+m2−4=0，
解得m=−2或m=−4．
【解析】(1)由方程有两个不相等的实数根得出△>0，据此列出关于m的不等式，解之可得；
(2)将x=3代入得到关于m的方程，解之可得．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：
①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△<0时，方程无实数根．
18.【答案】解：(1)根据题意得△=(2k+1)2−4(k2+2k)≥0，
解得k≤14；
(2)根据题意得x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，
∵x1x2−x12−x22=−16．
∴x1x2−[(x1+x2)2−2x1x2]=−16，
即−(x1+x2)2+3x1⋅x2=−16，
∴−(2k+1)2+3(k2+2k)=−16，
整理得k2−2k−15=0，
解得k1=5(舍去)，k2=−3．
∴k=−3．
【解析】(1)根据判别式的意义得到△=(2k+1)2−4(k2+2k)≥0，然后解不等式即可；
(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，再把x1x2−x12−x22=−16变形为−(x1+x2)2+3x1⋅x2=−16，所以−(2k+1)2+3(k2+2k)=−16，然后解方程后利用(1)中的范围确定满足条件的k的值．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了根的判别式．
19.【答案】解：(1)∵抛物线y=−x2+mx+n与x轴交于A、B两点，且抛物线的对称轴为直线x=−3，
∴点A与点B关于直线x=−3对称，
∵点A在点B的左侧，且AB=4，
∴A(−5,0)，B(−1,0)，
把A(−5,0)、B(−1,0)代入y=−x2+mx+n，
得−25−5m+n=0−1−m+n=0，
解得m=−6n=−5，
∴抛物线的表达式为y=−x2−6x−5．
(2)根据题意，平移后的抛物线经过原点，
设平移后的抛物线的表达式为y=−x2+bx，
当y=0时，由−x2+bx=0得x1=0，x2=b，
∴C(b,0)，
∴该抛物线的对称轴为直线x=12b，
当x=12b时，y=−(12b)2+12b2=14b2，
∴P(12b,14b2)；
如图，作PD⊥x轴于点D，则OD=CD，
∵△OCP是等腰直角三角形，
∴∠OPC=90°，
∴PD=12OC=OD，
∴14b2=12b，
解得b1=2，b2=0(不符合题意，舍去)，
∴P(1,1)．
【解析】(1)先根据抛物线的对称性求出点A、点B的坐标，再将点A、点B的坐标代入y=−x2+mx+n，列方程组求出m、n的值即可；
(2)设平移后的抛物线的表达式为y=−x2+bx，将点P的坐标用含b的式子表示，过该抛物线的顶点P作PD⊥x轴于点D，根据等腰直角三角形的性质，可列方程求出b的值及点P的坐标．
此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、抛物线的平移、解一元二次方程等知识与方法，解第(2)题的关键是过顶点P作x轴的垂线，再利用等腰直角三角形的性质求出顶点P的坐标．
20.【答案】解：(1)设每个“拉伊卜”大摆件的售价是x元，小摆件的售价是y元，
根据题意得：x−2y=60x+y=420，
解得：x=300y=120．
答：每个“拉伊卜”大摆件的售价是300元，小摆件的售价是120元；
(2)根据题意得：300×(30−12m)+(120−2m)×(100+52m)=20520，
整理得：m2+10m−96=0，
解得：m1=6，m2=−16(不符合题意，舍去)，
∴120−2m=120−2×6=108．
答：降价后每个小摆件的价格是108元．
【解析】(1)设每个“拉伊卜”大摆件的售价是x元，小摆件的售价是y元，根据“每个大摆件的售价是每个小摆件售价的2倍还多60元，420元可购买一个大摆件和一个小摆件”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)利用销售总额=销售单价×销售数量，可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将符合题意的值代入(120−2m)中即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
21.【答案】解：(1)设该一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)，把点(5,90)，(6,60)代入，得
5k+b=906k+b=60，
解得k=−30b=240．
故该一次函数解析式为：y=−30x+240；
(2)设当日可获利润w(元)，日零售价为x元，由(1)知，
w=(−30x+240)(x−5×0.8)=−30(x−6)2+120，−30x+240≥75，即x≤5.5，
当x=5.5时，当日可获得利润最大，最大利润为112.5元．
【解析】(1)把点(5,90)，(6,60)代入函数解析式y=kx+b(k≠0)，列出方程组，通过解方程组求得函数关系式；
(2)利用最大利润=y(x−4)，进而利用配方法求出函数最值即可．
此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，得出y与x的函数关系式是解题关键．
22.【答案】(1)解：根据题意得：
(6−x)(6+3x)=62，
整理得：x(x−4)=0，
解得x1=0(不合题意，舍去)，x2=4．
则BE=4(米)．
(2)根据题意得：
y=(6−x)(6+3x)，
=−3(x−2)2+48．
∵0∴当x=2时，y的值最大为48m2．
【解析】(1)根据题意可得正方形花圃ABCD的面积为36，进而可得矩形花圃AEFG的面积为36，进而可得：x(x−4)=0再解方程即可；
(2)根据二次函数的性质即可得到结论．
此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
23.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−4)=a(x2−3x−4)，
则−4a=−4，
解得：a=1，
则抛物线的表达式为：y=x2−3x−4；
(2)存在，理由：
由抛物线的表达式知，点C(0,−4)，
设点E(x,0)，
则BC2=32，BE2=(x−4)2，CE2=x2+16，
当BC是斜边时，
则32=(x−4)2+x2+16，
解得：x=0或4，
即点E(0,0)或(4,0)；
当BE或CE为斜边时，
同理可得：(x−4)2=x2+16+32或32+(x−4)2=x2+16，
解得：x=4或−4，
即点E(4,0)(舍去)或(−4,0)；
综上，点E(0,0)或(−4,0)；
(3)过点P作PH/​/y轴交BC于点H，

由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=x−4，
则S△PBC=S△PHB+S△PHC=12×OB×PH=12×4×(x−4−x2+3x+4)=2(−x2+4x)，
∵−2<0，
故当x=2时，S△PBC的最大值为8，
此时，点P(2,−6)．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)当BC是斜边时，根据勾股定理列出等式即可求解；当BE或CE为斜边时，同理可解；
(3)由S△PBC=S△PHB+S△PHC=12×OB×PH，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到面积的计算、直角三角形的性质，分类求解是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵C(0,−1)，
∴OC=1，
在Rt△AOC中，tan∠OAC=OCOA=12，
∴OA=2，即A(−2,0)，
把A(−2,0)，C(0,−1)代入y=x2+bx+c得：
4−2b+c=0c=−1，
解得b=32c=−1，
∴抛物线的解析式为y=x2+32x−1；
(2)由y=x2+32x−1可得，抛物线对称轴为直线x=−322=−34，
设P(t,t2+32t−1)，其中−2∵PQ/​/x轴，
∴P，Q关于直线x=−34对称，
∴PQ=2(−34−t)=−32−2t，
由A(−2,0)，C(0,−1)可得直线AC解析式为y=−12x−1，
∵PR⊥x轴，
∴R(t,−12t−1)，
∴PR=(−12t−1)−(t2+32t−1)=−t2−2t，
∵PQ+PR=32，
∴−32−2t−t2−2t=32，
整理得t2+4t+3=0，
解得t=−1或t=−3，
∵−2∴t=−1，
∴P(−1,−32)；
(3)原抛物线解析式为y=x2+32x−1=(x+34)2−2516，
根据题意可得新抛物线解析式是y=(x−1+34)2−2516−1=(x−14)2−4116=x2−12x−52，
设M(m,m2−12m−52)，N(−34,n)，而A(−2,0)，C(0,−1)，
①若MN，AC是对角线，则MN的中点即为AC的中点，
∴m−34=−2+0m2−12m−52+n=0−1，
可解得m=−54，
∴M(−54,−516)；
②若MA，NC是对角线，
m−2=−34+0m2−12m−52=n−1，
解得m=54，
∴M(54,−2516)；
③若MC，NA是对角线，
m+0=−34−2m2−12m−52−1=n，
解得m=−114，
∴M(−114,10316)，
综上所述，M的坐标为(−54,−516)或(54,−2516)或(−114,10316).
【解析】(1)由C(0,−1)，tan∠OAC=OCOA=12，可得A(−2,0)，用待定系数法即得抛物线的解析式为y=x2+32x−1；
(2)设P(t,t2+32t−1)，其中−2(3)原抛物线解析式为y=x2+32x−1=(x+34)2−2516，可得新抛物线解析式是y=x2−12x−52，设M(m,m2−12m−52)，N(−34,n)，而A(−2,0)，C(0,−1)，分三种情况：①若MN，AC是对角线，有m−34=−2+0m2−12m−52+n=0−1，M(−54,−516)；②若MA，NC是对角线，m−2=−34+0m2−12m−52=n−1，M(54,−2516)；③若MC，NA是对角线，m+0=−34−2m2−12m−52−1=n，M(−114,10316).
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．