重庆市第一中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份重庆市第一中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题（解析版），共34页。

注意事项:
1．试题的答案书写在答题卷上，不得在试卷上直接作答;
2．作答前认真阅读答题卷上的注意事项;
3．作图（包括作辅助线)请一律用 2B 铅笔完成;
一、选择题（本大题 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）在每个小题的下面，都给出了代 号为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确的答案所对应的方框涂黑．
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数即无限不循环小数，熟练掌握定义是解题的关键．根据无理数的定义判断即可．
【详解】解：A． 是分数，属于有理数，不符合题意；
B．是无理数，符合题意；
C．0是整数，属于有理数，不符合题意；
D．是整数，属于有理数，不符合题意．
故选：B．
2. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会的项目图标中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转．据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故该选项是错误的；
B、不是轴对称图形，故该选项是错误的；
C、是轴对称图形，故该选项是正确的；
D、不是轴对称图形，故该选项是错误的；
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，积的乘方及合并同类项，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．分别根据运算法则逐一判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，故不符合题意；
B、，原式计算错误，故不符合题意；
C、，原式计算错误，故不符合题意；
D、，原式计算正确，故符合题意；
故选：D．
4. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 黄河入海流B. 白发三千丈C. 鱼戏莲叶间D. 千山鸟飞绝
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查必然事件，随机事件，不可能事件的概念．根据各诗句的意义，分析其发生的可能性，一定发生的是必然事件，可能发生也可能不发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
【详解】A．黄河入海流，这是必然事件，故A符合题意；
B．白发三千丈，这是不可能事件，故B不符合题意；
C．鱼戏莲叶间，这是随机事件，故C不符合题意；
D．千山鸟飞绝 ，这是不可能事件，故D不符合题意．
故选：A．
5. 一个正方形的面积是27，估计这个正方形的边长在（ ）
A. 3到4之间B. 4到5之间C. 5到6之间D. 6到7之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，掌握估算的方法是解此题的关键．先求出正方形的边长，再求出的范围即可．
【详解】解：∵正方形的面积为27，
∴它的边长是，
∵＜＜，即5＜＜6，
∴在5到6之间，
故选：C．
6. 小南准备观察液体中的扩散现象，他先用水管匀速在空脸盆内注满水，然后将墨水滴在水面上，观察到墨水慢慢散开．为了验证墨水扩散速度与水的运动有关，小南在脸盆底部扎了一个口匀速放水．在整个过程中，能大致表示脸盆内水面高度与时间的关系图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了用图象法表示变量之间的关系，根据先匀速在空脸盆内注满水，水深随时间均匀增大，然后将墨水滴在水面上，观察到墨水慢慢散开，此时水深保持不变，再在脸盆底部扎了一个口匀速放水，水深随时间均匀减小，即可得出答案；正确识图是解题的关键．
【详解】解：∵先匀速在空脸盆内注满水，
∴水深随时间均匀增大，
∵然后将墨水滴在水面上，观察到墨水慢慢散开，
∴此时水深保持不变，
∵再在脸盆底部扎了一个口匀速放水，
∴水深随时间均匀减小，
综上分析可知，能大致表示脸盆内水面高度与时间的关系图象是选项A中的图象，
故选：A．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 等腰三角形一边上的中线也是这条边上的高
B. 面积相等的两个三角形全等
C. 三角形三条角平分线交点一定在三角形的内部
D. 两直线平行，内错角互补
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三线合一定理，全等三角形的判定，三角形内心，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、等腰三角形底边上的中线也是这条边上的高，原说法错误，不符合题意；
B、面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意；
C、三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部，原说法正确，符合题意；
D、两直线平行，内错角相等，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
8. 如图，某段河流的两岸是平行的，小开想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，然后沿河岸直行到达树C，继续前行到达点D处，再从点D处沿河岸垂直的方向行走．当到达树A正好被树C遮挡住的点E处时，停止行走，此时的长度即为河岸的宽度．小开这样判断的依据是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据，，再根据对顶角相等，利用证明即可．
【详解】解：由题意，得，，
在与中，
∴，
∴，
∴小开这样判断的依据是．
故选：D．
9. 如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（ ）
A. 200B. 175C. 150D. 125
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据题意分别计算出图1、图2和图3中正方形的面积，得出规律即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
图1中所有正方形面积和为：，
图2中所有正方形面积和，，
图3中所有正方形面积和，
⋯
∴第n个图形中所有正方形的面积和为，
∴图6中所有正方形的面积和为：，故B正确．
故选：B．
10. 如图，在中，，平分交于点D，点E为边上靠近点C的三等分点，且，若阴影部分面积为4，则的面积为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，过点D作于点M，于点N，根据角平分线的性质得出，根据，得出，根据，得出，最后求出的面积即可．
【详解】解：过点D作于点M，于点N，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵点E为边上靠近点C的三等分点，
∴，
∴，
∴的面积为，
故选：C．
11. 如图，已知，的角平分线与交于点，为射线上的一个动点，连接，过点作，且．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，设，根据两直线平行，内错角相等得，由角平分线的定义得，推出，根据垂直平分线的性质得，，由平行线的性质得，继而得到，再由直角三角形两锐角互余得，可得结论．
【详解】解：连接，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴的度数为．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余．掌握等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质是解题的关键．
12. 在整式，，前添加“”或“”，先求和，再求和的绝对值的操作，称为“优绝对值”操作，将操作后的化简结果记为M．例如： ，则，当时，M的化简求值结果为：．下列说法正确的个数为（ ）
①至少存在一种“优绝对值”操作，使得操作后化简结果为常数；
②把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有8种不同的结果；
③在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题以新定义阅读题为背景考查了绝对值化简和相反数定义，考核了学生对绝对值和相反数定义的理解及灵活运用，弄清定义，读懂题目按照规律列举出所有可能结果解题事半功倍．根据题意，找出一种“优绝对值”操作使操作后化简结果为常数，即为正确，可判定①正确；写出所有可能的结果数，然后可判定②错误，③正确．
【详解】解：使操作后化简的结果为常数，即使a的系数为0，
有，故①正确．
，
，
当时，
∵，
∴不可能等于17；
当
，
当时，，
∴；
当
，
∵，
∴不可能等于17；
当时，
∵，
∴不可能等于17；
当
，
当时，，
∴；
当
，
∵，
∴不可能等于17；
∴把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有4种不同的结果，故②错误；
∴在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时，故③正确；
综上分析可知：正确的有2个．
故选：C．
二、填空题：（本大题共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
13. 世界上最小的鱼是生活在澳大利亚东海岸的胖婴鱼，它的质量约为千克，将数据用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题关键．
科学记数法的表现形式为，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数，表示时关键是要正确确定及的值．
【详解】解：，
故答案为：．
14. 若代数式有意义，则x的取值范围为_________
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 已知两边长分别为4与5，第三边的长为奇数，则第三边的长的最大值为______．
【答案】7
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得，再解不等式可得x的范围，然后再确定x的值即可．
【详解】解：设第三边长为x，由题意得：
，
解得：，
∵第三边的长为奇数，
∴、5或7，
∴第三边的长的最大值为7．
故答案为：7．
16. 若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】先由得到，进而得出a和b，代入求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴，．
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法．
17. 如图，将长方形沿折叠，点D恰好落在边的F点上，已知，，则______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，根据折叠的性质得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：根据折叠的性质，，
长方形中，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
故答案为：10．
18. 如图，在等边中，点D为线段上一点，，连接，点E为线段下方一点，连接，且，，连接交于点M，点F为线段延长线上一点，，连接．已知，则的长为______．
【答案】4
【解析】
【分析】此题重点考查等边三角形的性质、等角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．
由等边三角形的性质得，则，可证明，得，再证明，得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵是等边三角形，，
，
，
，
，
和中，
，
，
，
；
在和中，
，
，
，
，
故答案为：4．
19. 如图，，且，D，E分别为射线和射线上两动点，且，当有最小值时，则的面积为________．
【答案】6
【解析】
【分析】延长，以点为圆心，为半径，作圆弧交延长线于点G，得．连接、、，，得，当点，，三点在一条直线，距离最短．过点作交于点，得，得，，，为中点时值最小．又根据，即可求出的面积．
【详解】延长，以点为圆心，为半径，作圆弧交延长线于点G，连接、、
∴，
又∵，
∴
∴
∴
由图可知，当点，，在一条直线上，距离最短
过点作交于点
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴
故答案为：6．
【点睛】本题考查动点距离问题，平行线之间的距离相等，三角形全等知识点；熟练掌握动点距离最短，三角形全等是解题的关键．
20. 对于任意一个三位自然数M，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位数字与百位数字之差等于个位数字与十位数字之差的2倍，则称M为“2阶等差中项数”，将这个三位自然数M的百位数字和个位数字互换位置，得到，规定．已知A、B均为“2阶等差中项数”，其中，（，，m，，且x，y，m，n均为正整数）．令则 k 用 y和n 表示为 ______________； 当 为完全平方数时，则满足条件的所有 k 之和为 ______________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据“2阶等差中项数”的定义可得，；求出，，进而得到，，则；由，根据为完全平方数推出或，则或，再由，x、y都为正整数，得到y的值为3或6或9，则，据此讨论当时，当时， 当时，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵A是“2阶等差中项数”，
∴，
∴；
∵，且B是2阶等差中项数”，
∴，
∴；
∵，，
∴，
，
∴，
，即，
∴；
；
∵，
∴，
∵是完全平方数，且，
∴该完全平方数一定是3的倍数，
∴或，
∴或，
∵，x、y都为正整数，
∴一定是3的倍数，
∴y的值为3或6或9，
∴，
当时，则，此时，
∴；
当时，则，此时，
∴；
当时，则，此时，不符合题意；
综上所述，足条件的所有k之和为，
故答案为：；．
三、解答题：（本大题共 8 个小题，21 题 16 分，22 题 6 分，23 题 8 分，24-27 题各 10 分， 28 题 12 分，共 82 分）解答时给出必要的演算过程，请将解答题的过程书写在答题卡中对应的横线上．
21. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）9 （2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）首先计算有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，然后计算加减；
（2）首先计算积的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，然后合并同类项；
（3）首先根据平方差公式求解，然后计算单项式乘以单项式；
（4）首先计算完全平方公式，化简二次根式，二次根式的除法，然后计算加减．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
；
【小问4详解】
．
【点睛】此题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，积的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式，化简二次根式，二次根式的除法，解题的关键是掌握以上运算法则．
22. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则和平方差公式进行计算，然后去括号合并同类项，接着利用多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
23. 如图，已知中，，于点．
（1）尺规作图：作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹， 不写作法，不写结论）
（2）在（1）的条件下，求证： ．
 ①
又 ②
③
④
平分
( ⑤ )

【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作角平分线，等角的余角相等，对顶角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据题意，作的平分线交于点，交AD于点；
（2）根据角平分线的定义，可得，根据等角的余角相等证明，即可得证．
【小问1详解】
解：如图所示，为所求；
【小问2详解】
证明：
又
平分
（角平分线的定义）
．
24. “五月五是端阳，插艾叶戴香囊，吃粽子撒白糖，龙船下水喜洋洋．”端午是我国传统节日，也是集拜神祭祖，祈福辟邪，欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某校为了更好地调动学生参与端午活动的积极性，采取抽样调查的方法，调查了学生感兴趣的四项端午习俗项目：插艾叶，戴香囊，吃粽子，赛龙舟，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共调查了______名学生，扇形统计图中m的值为______；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有名学生，请估计该校对插艾叶项目感兴趣的学生有多少人？
【答案】（1）100，10
（2）见解析 （3）人
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，能对图表信息进行具体分析是解题的关键．
（1）根据条形统计图中赛龙舟的人数和扇形统计图中赛龙舟所占的百分比，求出总数，用戴香囊的人数除以总人数即可求出m的值；
（2）用总人数减去已知各项目的人数求出吃粽子的学生数，再补全统计图即可；
（3）用该校总人数乘以插艾叶项目感兴趣的学生的占比即可；
【小问1详解】
解：由题意可得，（人），
即在这次调查中，一共调查了100名学生，
，
即扇形统计图中m的值为10，
故答案为：100，10
【小问2详解】
由题意可，吃粽子的学生数为（人），
补全条形统计图图如下：
【小问3详解】
（人）
答：该校共有名学生，请估计该校对插艾叶项目感兴趣的学生有人．
25. 某花店分别以22元/盆和30元/盆的价格两次购进甲、乙两种绿植．花店第一次购进两种绿植共花费4600元，其中甲种绿植盆数的2倍比乙种绿植盆数的3倍少40盆．
（1）请计算该花店第一次分别购进甲、乙两种绿植各多少盆．
（2）该花店将第一次购进的甲、乙两种绿植分别以28元/盆和40元/盆的价格全部售出，则卖出后一共可获得利润________元．
（3）该花店第二次购买这两种绿植时进价不变，其中甲种绿植盆数是第一次的2倍，乙种绿植盆数不变．甲种绿植仍按原售价销售，乙种绿植打折销售．第二次甲、乙两种绿植销售完以后获得的利润比第一次获得的利润多280元，则第二次乙种绿植是按原售价打几折销售的？
【答案】（1）该花店第一次分别购进甲、乙两种绿植各100盆、80盆
（2）
（3）第二次乙种绿植是按原售价打九折销售的
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和算式是解题的关键．
（1）设该花店第一次购进乙种绿植x盆，则购进甲种绿植盆，根据购买两种绿植一共花费4600元建立方程求解即可；
（2）根据总利润（甲的售价甲的进价）甲的销售量（乙的售价乙的进价）乙的销售量计算求解即可；
（3）设第二次乙种绿植是按原售价打m折销售的，先求出第二次甲种绿植的数量，再根据总利润（甲的售价甲的进价）甲的销售量（乙的售价乙的进价）乙的销售量建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：设该花店第一次购进乙种绿植x盆，则购进甲种绿植盆，
由题意得，，
解得，
∴ ，
答：该花店第一次分别购进甲、乙两种绿植各100盆、80盆；
【小问2详解】
解：
元，
∴卖出后一共可获得利润元，
故答案为：；
【小问3详解】
解：设第二次乙种绿植是按原售价打m折销售的，
由题意得，第二次购进甲种绿植盆，
∴，
解得，
∴第二次乙种绿植是按原售价打九折销售的．
26. 在等腰中，，，点D是上的任意一点，连接AD，过点C作交AD于点E．
（1）如图1，若，，，求的面积；
（2）如图2，过C作，且，连接并延长交AB于M，连接BF，求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的特征，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
（1）根据等腰直角三角形的定义得出，则，进而得出，最后根据三角形的面积公式，即可求解；
（2）过点A作交的延长线于点G，先证明，得出，，通过证明，得出，根据，推出，最后证明，即可求证．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴；
【小问2详解】
证明：过点A作交的延长线于点G，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
27. 如图1，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，，动点P从八边形顶点A出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回，到A点处停止运动．的面积为，运动时间为t（秒），S与t的图象如图2所示，请回答以下问题：
（1）______，______，______；
（2）当点P第一次在边上运动时，求S与t的关系式；
（3）点P在返回过程中，当时间t为何值时，为等腰三角形？请直接写出t的值．
【答案】（1）10；5；2
（2）
（3）或14或时，为等腰三角形
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，勾股定理，根据函数图象分析点的位置解题的关键．
（1）根据图2中的面积最大值为，根据图1得出此时，求出结果即可；延长交于点N，延长交于点M，得，根据图1，结合图2求出，得出，根据图2，得出点P从点运动时间为：，再求出a的值即可；
（2）先表示出，然后再根据求出结果即可；
（3）分三种情况进行讨论：当，点P在上时，当，点P在上时，当时，点P在点B上，分别画出图形，求出结果即可．
【小问1详解】
解：观察图象可知：面积的最大值为，
根据图1可知，面积的最大值为：
，
∵，
∴，
∴，负值舍去；
延长交于点N，延长交于点M，如图所示：
∵八边形相邻的两边互相垂直，
∴四边形，，为长方形，
∴，
根据图2可知，当点P在上运动时，的面积为，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
∵当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回，
∴根据图2可知：点P从点运动时间为：
，
∴；
【小问2详解】
解：点P第一次在边上运动时，如图所示：
，
∴
；
【小问3详解】
解：当，点P在上时，过点P作，
则，
根据图2可知：点P从点A运动到点C所用时间为，则：
，
∴，
根据题意可知：四边形，为长方形，
∴，，
∴，
∴，
此时；
当时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴此时，
当时，点P在点B上，如图所示：
此时．
综上分析可知：或14或时，为等腰三角形．
28. 已知中，，，为边上的中点，取平面上一点，连接，使得．连接交于点，．
（1）如图 1，求证：；
（2）如图 2，延长至点，使得，连接，，求证：；
（3）如图 3，若为直线上一点，连接，在左侧作等边，连接，若，请直接写出的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）证明，从而得出，进一步得出结论；
（2）作，交于，可得出，可证得是等边三角形，再证明，从而得到，进而得出结论；
（3）在上截取，连接，连接，作于，作于，可证得，，从而得出点在过点，与夹角是的直线上运动，当点在处时，最小，设，则，解可求得结果．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
；
【小问2详解】
证明：如图2，在上截取，在上截取，连接，，
，
是的中点，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图3，
在上截取，连接，连接，作于，作于，
由（2）知，
△是等边三角形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
点在过点，与夹角是的直线上运动，
当点在处时，最小，
设，则，
，
，，
在中，，，，
，
，
，
，
，
的最小值为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．