2024-2025学年辽宁省“名校联盟”高二上学期9月联合考试数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年辽宁省“名校联盟”高二上学期9月联合考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z=2+i1+i，则z的虚部是
A. 12B. −12C. 12iD. −12i
2.已知向量a=(1,2)，b=(2,−1)，c=(3,−4)，若(λa+b)⊥c，则λ=
A. 1B. 2C. 25D. −52
3.用斜二测画法画出水平放置的平面图形△OAB的直观图为如图所示的△O′A′B′，已知O′D′=D′B′=D′A′=A′B′=2，则△OAB的面积为
A. 4 6B. 2 3C. 8D. 4 3
4.已知tan(π−α)=3，则1sin2α−cs2α的值是
A. 2B. −2C. −87D. −107
5.已知a=3−0.1，b=130.3，c=lg0.13，则a，b，c的大小关系是
A. a6.2024年7月，第17届欧洲杯足球赛落下帷幕，西班牙国家队以7战全胜的成绩获得冠军，队中出生于2007年，不满17岁就参加欧洲杯的天才少年拉明·亚马尔获得1个进球，4个助攻的优秀数据，打破了欧洲杯历史上的“最年轻的参赛球员”“最年轻的进球球员”等多项记录．据记者报道，由于他还是个高中生，在欧洲杯期间每天的训练和比赛后，还要完成自己的家庭作业．如图，已知足球比赛的球门宽度AB大约为7米，D在场地的底线上，与点B距离5米，CD与底线垂直，CD长为15米，若在训练中，球员亚马尔从点C开始带球沿直线向点D奔跑并选择一点P处射门，要想获得最大的射门角度(∠APB)，则他需要带球的距离CP大约是(参考数据： 15≈3.9)
A. 3.6米B. 3.9米C. 7.2米D. 7.8米
7.已知关于x的方程 3(1−sinωx)=csωx在(0,π)内恰有3个不相等的实数根，则ω的取值范围是
A. 136,52B. 136,52C. 52,196D. 52,196
8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，若正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的球心是O1，三棱锥F−BCE的外接球的球心是O2，则O1O2的最大值是
A. 2B. 22C. 24D. 3 24
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列幂函数中，既是奇函数，又在(0,+∞)上单调递增的是
A. y=x−13B. y=x13C. y=x32D. y=x53
10.在△ABC中，AC=BC= 2，AB=2，△ABD是有一个角是30°的直角三角形，若二面角D−AB−C是直二面角，则DC的长可以是
A. 2B. 213C. 303D. 14
11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ac=sinB+csBtanC，2a2+b2=8，则c可能为
A. 5B. 5−1C. 2D. 2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=ln(2cs x−1)的定义域是_________．
13.已知i是虚数单位，复数z满足|z|=|z+4|=|z+2i|，则|z|=_________．
14.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上，满足CF=2FB，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则PGPB的值为_________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知圆锥的底面半径为2，高为4，D是母线PA的中点，C在底面圆周上，OC⊥AB．
(1)求圆锥的表面积和体积；
(2)求DC与平面ABC所成角的正弦值．
16.(本小题12分)
已知向量a=( 3csx,2csx)，b=(2sinx,csx)．
(1)若|a|=|b|，x∈π2,π，求tan2x的值；
(2)设函数f(x)=a⋅b，求f(x)图像的对称中心坐标，并写出f(x)的图像经过怎样的平移变换，可以得到一个奇函数的图像(写出一种变换方式即可)．
17.(本小题12分)
在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，AB⋅AC=3，EB⋅EC=−916．
(1)求AD和BC的长；
(2)若∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点F，求AF的长．
18.(本小题12分)
已知在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是梯形，AB // DC，AB⊥AD，AD= 3，PB=PC=DC=2AB=2，M是棱PD的中点．
(1)求证：AM //平面PBC；
(2)在棱BC上是否存在点N，满足MN⊥PD且MN⊥BC？若存在，确定点N的位置并给出证明；若不存在，请说明理由；
(3)若PD=1，求点D到平面PBC的距离．
19.(本小题12分)
通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．
例如：cs 3α=cs(2α+α)=cs 2αcs α−sin 2αsin α=(2cs2α−1)cs α−2sin2αcs α=4cs3α−3cs α．
(1)根据上述过程，推导出sin 3α关于sin α的表达式；
(2)求sin 18°的值；
(3)求sin3126°+sin36°−sin366°的值．
参考答案
1.A
2.B
3.A
4.D
5.D
6.C
7.B
8.C
9.BD
10.ACD
11.ABC
12.(−π3+2kπ,π3+2kπ)(k∈Z)
13. 5
14.34
15.解：(1)圆锥的母线PB= PO2+OB2=2 5，
则圆锥的表面积S=π×22+π×2×2 5=(4+4 5)π，
圆锥的体积V=13×π×22×4=16π3．
(2)取AO的中点E，连接DE，CE，
因为D、E分别是PA、OA的中点，
所以DE//PO，所以DE⊥平面ABC，
所以CE是DC在平面ABC内的射影，
所以∠DCE是DC与平面ABC所成角，
又DE=12PO=2，CE= OC2+OE2= 5，
所以DC= DE2+CE2=3，
可得sin∠DCE=DEDC=23，
即DC与平面ABC所成角的正弦值是23．
16.解：(1)由|a|=|b|，可得 3cs2x+4cs2x= 4sin2x+cs2x，
整理得6cs2x=4sin2x，即tan2x=32，
因为x∈(π2,π)，所以tanx<0，所以tanx=− 62，
则tan2x=2tanx1−tan2x=2×(− 62)1−(− 62)2=2 6．
(2) f(x)=a⋅b=2 3sinxcsx+2cs2x
= 3sin2x+cs2x+1=2sin(2x+π6)+1，
令2x+π6=kπ，k∈Z，解得x=−π12+kπ2，k∈Z，
所以f(x)图像的对称中心坐标是(−π12+kπ2,1)，k∈Z，
令k=0，可得f(x)的图像的一个对称中心坐标是(−π12,1)，
所以将f(x)的图像向右平移π12个单位长度，再向下平移1个单位长度，就可以得到一个奇函数的图像．
17.解：(1)AB⋅AC=(AD+DB)⋅(AD+DC)
=|AD|2+AD⋅(DB+DC)+DB⋅DC=|AD|2−14|BC|2，
同理可得EB⋅EC=14|AD|2−14|BC|2，
则AD2−14BC2=3,14AD2−14BC2=−916
解得AD= 192,BC= 7.
(2)设AB=c，AC=b，
由AB⋅AC=3，得bccs∠BAC=3，故bc=6，
由余弦定理得BC2=b2+c2−2bccs∠BAC=(b+c)2−2bc−2bccs∠BAC=7，
解得b+c=5，
由S△ABC=S△ABF+S△ACF，
可得12bcsin60∘=12c⋅AF⋅sin30∘+12b⋅AF⋅sin30∘，
整理得AF= 3bcb+c=6 35．
18.解：(1)证明：取PC的中点E，连接ME，BE，
因为M，E分别是PD，PC的中点，所以ME//DC，ME=12DC，
又AB//DC，AB=12DC，所以ME//AB，ME=AB，
所以四边形ABEM是平行四边形，所以AM//BE，
因为AM⊄平面PBC，BE⊂平面PBC，所以AM//平面PBC．
(2)存在BC的中点N，满足MN⊥PD且MN⊥BC．
证明如下：连接DB、DN、MN、PN，易得DB=BC=2，DN=PN= 3，
因为DN=PN，M是PD的中点，所以MN⊥PD，
又PB=PC，DB=DC，N是BC的中点，所以BC⊥PN，BC⊥DN，
因为PN∩DN=N，PN，DN⊂平面PDN，所以BC⊥平面PDN，
因为MN⊂平面PDN，所以BC⊥MN，即MN⊥PD且MN⊥BC．
(3)过点D作DQ⊥PN，垂足为Q，
由(2)得BC⊥平面PDN，因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDN，
又平面PBC∩平面PDN=PN，DQ⊥PN，所以DQ⊥平面PBC，
故线段DQ的长度就是点D到平面PBC的距离，
在△PDN中，cs∠PND=PN2+DN2−PD22PN⋅DN=56，
则sin∠PND= 1−cs2∠PND= 116，
所以DQ=DN⋅sin∠PND= 336．
19.解：(1)sin3α=sin(2α+α)
=sin2αcsα+cs2αsinα
=2sinαcs2α+(1−2sin2α)sinα=−4sin3α+ 3sinα．
(2)因为36∘+54∘=90∘，
所以sin36∘=cs54∘，即sin(2×18∘)=cs(3×18∘)，
可得2sin18∘cs18∘=4cs318∘−3cs18∘，
因为cs18∘≠0，所以2sin18∘=4cs218∘−3，
可得2sin18∘=4(1−sin218∘)−3，
整理得4sin218∘+2sin18∘−1=0，
因为sin18∘>0，所以sin18∘= 5−14．
(3)由(1)得sin3α=34sinα−14sin3α，
所以sin3126∘+sin36∘−sin366∘
=34sin126∘−14sin378∘+34sin6∘−14sin18∘−34sin66∘+14sin198∘
=34(sin126∘+sin6∘−sin66∘)−14(sin378∘+sin18∘−sin198∘)
=34[sin(120∘+6∘)+sin6∘−sin(60∘+6∘)]−14[sin(360∘+18∘)+sin18∘−sin(180∘+18∘)]
=34( 32cs6∘−12sin6∘+sin6∘− 32cs6∘−12sin6∘)−34sin18∘
=−34sin18∘=3−3 516．