[数学]陕西省2025届高三上学期开学校际联考试题(解析版)

这是一份[数学]陕西省2025届高三上学期开学校际联考试题(解析版)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，，
所以，故A正确.
故选：A.
2. 若复数，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】.
故选：C.
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】可得,故充分性不成立，
当可得，故必要性成立
故选：B.
4. 为全面普及无人机知识，激发青少年探索航空未来创造力与想象力，提升青少年科学素养和创新能力，培养航空后备人才．某省于2024年4月中旬举办了第8届全国青少年无人机大赛某校为下一届大赛做准备，在校内进行选拔赛，10名学生成绩依次为：．则这组数据的分位数为（ ）
A. 90B. 92.5C. 85D. 95
【答案】B
【解析】10名学生成绩从低到高依次为：，且，
故第60百分位数为第6个数和第7个数的平均数.
故选：B.
5. 若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据函数图象可得函数为偶函数，
A选项，
B选项，所以AB选项为奇函数，
故AB选项不正确；
根据函数图象可得，而C选项，D选项，所以C选项不正确，D选项正确.
故选：D.
6. 亚运会火炬传递，假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ）
A. 288种B. 360种C. 480种D. 504种
【答案】C
【解析】先安排甲乙以外的个人，然后插空安排甲乙两人，
所以不同的传递方案共有种.
故选：C.
7. 由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】由圆的方程，得圆心，半径，
如图，切线长，当最小时，最小，
最小值为圆心到直线的距离，
所以切线长的最小值.
故选：C.

8. 已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题意，恒成立，
即，恒成立，
所以，恒成立，
又在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以当时，
所以，即的取值范围是.
故选：B.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 对于函数和，下列说法正确的有（ ）
A. 与有相同的零点
B. 与有相同的最值
C. 与有相同的周期
D. 的图象与的图象有相同的对称轴
【答案】ABC
【解析】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然有相同零点，A选项正确；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的一个周期为，显然也是的一个周期，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：ABC.
10. 已知数列满足，其中，设为数列的前n项和，则下列选项正确的有（ ）
A. 为等差数列B.
C. D. 当时，有最大值
【答案】AD
【解析】由得，
且，
所以是以首项为公差为-2的等差数列，故A正确；
所以，故B错误；
，故C错误；
，
因为时，所以当时有最大值，为，故D正确.
故选：AD.
11. 已知圆的圆心为E，抛物线的焦点为F，准线为l，动点P满足，则（ ）
A. 曲线E与C仅有一个公共点B. 点P轨迹为椭圆
C. 的最小值为1D. 当点P在l上时，
【答案】ABC
【解析】由题意，圆的圆心，
抛物线的焦点为，准线，
因为，所以点P的轨迹为椭圆，
其中，可得，所以，
所以椭圆的方程为，所以B正确；
联立方程组其中，整理得，
解得或（舍去），所以曲线和只有一个公共点，所以A正确；
设点是椭圆上的任意一点，则，其中，
则，
当时，取得最小值，最小值为，即取得最小值为，所以C正确；
联立方程组，解得，即点，
可得，所以D错误
故选：ABC.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量，若，则实数_______．
【答案】
【解析】因为，所以，解得.
13. _______．
【答案】
【解析】.
14. 中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质．如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，若，则正四棱台的体积为_______．
【答案】
【解析】如图，作，，，
因为正四棱台，，
所以，，而在面中，
所以，故四边形是平行四边形，
同理可得四边形是平行四边形，
而，所以平行四边形是矩形，
所以，，由题意得，
所以，故，
因为，所以，解得，
由勾股定理得，所以，
同理可得，因为四边形是平行四边形，
所以，故，由勾股定理得，
所以，设正方形面积为，
正方形面积为，四棱台体积为，
所以，，
所以.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 在中，角的对边分别为，已知．
（1）求角C的大小；
（2）求的值．
解：（1），
，
．
（2），
，
，
．
16. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在上的值域．
解：（1）函数定义域为R，
，
由，得；由，得或，
故函数的递增区间为，递减区间为和．
（2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值即最小值，
，
又
,
函数在上的值域为．
17. 如图，四棱锥中，底面，四边形是正方形，分别是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的大小．
（1）证明：分别为的中点，
，
四边形为正方形，
，则，
平面不在平面内，
平面；
（2）解：四边形为正方形，，
平面平面，
两两垂直，
故以A为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则即得
令，则，则，
设直线与平面所成角为，sinθ=|cs|=|PB⃗⋅n→||PB⃗||n→|=24=12，
由，故直线与平面所成角的大小为．
18. 已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值．
（1）解：不妨设双曲线C的半焦距为，
，
，
解得，
则，
故双曲线C的方程为；
（2）证明：设，则，
为双曲线C上的两点，
两式相减得，整理得，
则，
故为定值，定值为4．
19. 如图，一质点在大小随机的外力作用下，在x轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为p，移动2个单位的概率均为．
（1）记质点移动5次后位于8位置的概率为，求的最大值及最大值点；
（2）若，记质点从原点0运动到n的位置的概率为．
（i）求；
（ii）证明：是等比数列，并求．
（1）解：由已知可得，5次移动中，有3次移动2个单位，2次移动1个单位，
，
，
令得，令得，
在上单调递增，在上单调递减，
，此时．
（2）（i）解：，
则．
（ii）证明：由题意，，
，
是首项为，公比为的等比数列，
故，
．