[数学]江西省部分学校2024届高三下学期模拟考试试题(解析版)

这是一份[数学]江西省部分学校2024届高三下学期模拟考试试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数，且，其中为实数，则（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】因为复数， 为实数，
所以，
所以，解得，
所以.
故选：C.
2. 已知，且，则是的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若，符合，但此时，不满足充分性，
若，符合，但是，不满足必要性.
故选：D.
3. 为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）
A. x1，x2，…，xn的平均数B. x1，x2，…，xn的标准差
C. x1，x2，…，xn的最大值D. x1，x2，…，xn的中位数
【答案】B
【解析】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.
4. 方程表示椭圆，则实数的取值范围（ ）
A. B.
C. D. 且
【答案】D
【解析】方程表示椭圆，
若焦点在x轴上，；
若焦点在y轴上，.
综上：实数的取值范围是m>0且，
故选：D.
5. 已知函数，将图象向右平移个单位长度后可以得到的图象，则的一个对称中心为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得：，
则
，
令，
当时，，故是的一个对称中心，
由，故A错；
由，故B错
由，故C错；
故选：D．
6. 在等比数列中，若为一确定的常数，记数列的前项积为.则下列各数为常数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，
依题意，为确定常数，即为确定常数.
不符合题意；
不符合题意；
不符合题意；
为确定常数，符合题意.
故选：D.
7. 若，且，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】由得，
即，
因为，所以，
所以，结合，且，
得，
所以.
故选：A.
8. 设函数则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以
，
设，显然定义域为，，
又，
所以为上的奇函数，
又，
所以在上单调递增，
又，则，
所以，即，
所以，解得，
则满足的的取值范围是．
故选：C．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.未全对给3分，全对6分.）
9. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】∵，则，，∴，即，A正确；
例如，，，，， 显然，B错误；
由得，，∴，即，C正确；
易知，，，
，
∴，D正确；
故选：ACD．
10. 函数，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的值域为
C. 是偶函数
D. ，
【答案】AC
【解析】，，，A正确；
，则的值域为，B错误；
时，，，，
所以，时，，，，，所以为偶函数，C正确；
时，取，此时，，则，D错误.
故选：AC.
11. 玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对A，由题意，第一次取得黑球的概率，
第一次取得白球的概率，
第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率，
第一次取得白球、第二次取得白球的概率，
则，所以A错误；
对B，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率，
第一次取得白球、第二次取得黑球的概率，
则，所以B正确；
对C，由，
得，所以C正确；
对D，由，得，所以D正确．
故选：BCD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知全集，集合，则__________．
【答案】
【解析】由已知，又，
所以．
13. 已知向量满足，则在上的投影向量的坐标为______．
【答案】
【解析】因为，可得，
又因，可得，解得，
所以在上的投影向量为．
14. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论：
①；
②；
③在上单调递增.
所有正确结论的序号是______.
【答案】②
【解析】由图可得，，且，
则，即，
，即，
又，故，即，
对①：，由时，函数取最大值，
故是函数的最大值，故①错误；
对②：，
则，故②正确；
对③：当时，，
由函数在上单调递增，
故函数在上不单调，故③错误.
故正确结论的序号是：②.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15题13分；16-17题15分；18-19题17分）
15. 在中，内角的对边分别为，且．
（1）证明：是锐角三角形；
（2）若，求的面积．
（1）证明：因为，
所以由正弦定理得，整理得．
则，因为，所以，
因为，所以，因为，
所以，所以是锐角三角形．
（2）解：因为，所以，
所以．
在中，由正弦定理得，即，所以，
所以的面积为．
16. 如图，在斜三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2菱形，，，，分别为，的中点.
（1）证明：.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：如图，连接.因为四边形是边长为2的菱形，，
所以为等边三角形，则.
又平面平面，平面平面，平面ACFD，
所以平面，因为平面，所以.
因，，所以.
因为，平面，所以平面.
又平面，所以.
（2）解：如图，过作的平行线为轴，结合（1）知轴，，两两垂直.故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，.
设平面的法向量为，
则得
取，得，则.
因为为的中点，所以.
又.所以.
则.
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知函数，.
（1）若的极大值为1，求实数a的值；
（2）若，求证：.
（1）解：的定义域为，.
当时，，在上单调递增，函数无极值；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取得极大值，极大值为，解得.
经验证符合题意，故实数a值为.
（2）证明：当时，，
故要证，即证.
令，则，.
令，，则，
所以在上单调递增，
又因为，，
所以，使得，即，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
又因为，即，
所以，
所以，即，故得证.
18. 已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）设的前项和为，求.
解：（1），，
两式作差得:，
，
成等差数列，
又当时，，所以，
即.
（2）由（1）知，
则，
即
，
故
.
19. 某市教育局为了调查学生热爱数学是否与学生的年级有关，从全市随机抽取了50位高二学生和位高三学生进行调查，每位学生对“是否热爱数学”提出“热爱”或“不热爱”的观点，得到如下数据：
（1）以该50名高二学生热爱数学的频率作为全市高二学生热爱数学的概率，从全市的高二学生中随机抽取3名学生，记为这3名学生中热爱数学的学生人数，求的分布列和期望；
（2）若根据小概率值的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，求实数的最小值．
附：．
解：（1）由题意可知，高二学生热爱数学的概率为，热爱数学的学生人数，
则，
，
，
，
故的分布列为：
的期望为．
（2）因为根据小概率值的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，
所以，
令，则，
所以，
因为的对称轴为，
且当时，，
所以在上恒大于0，
所以在上单调递增，
而，
所以实数的最小值为57．观点
高二
高三
热爱
30
20
不热爱
20
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
0
1
2
3