2023-2024学年湖南省衡阳市衡南县隆市初级中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省衡阳市衡南县隆市初级中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.点A(3,2)先向左平移5个单位，再向上平移1个单位得到点A′，则A′的坐标为( )
A. (8,3)B. (8,1)C. (−2,3)D. (−2,1)
3.已知aA. 4a<4bB. ac−13bD. a+14.用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中( )
A. 至少有两个内角是直角B. 没有一个内角是直角
C. 至少有一个内角是直角D. 每一个内角都不是直角
5.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A. a=3，b=3，c=4B. a：b：c=2：2：4
C. ∠B=50°，∠C=80°D. ∠A：∠B：∠C=1：1：2
6.如图，一次函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3)，则不等式ax+4<2x的解集是( )
A. x<32
B. x<2
C. x>32
D. x>2
7.篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2018～2019赛季全部22场比赛中最少得到36分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是( )
A. 2x+(22−x)≥36B. 2x−(22−x)≥36
C. 2x+(22−x)≤36D. 2x≥36
8.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若CD=1，则AC的长度等于( )
A. 2
B. 2+1
C. 2
D. 2+2
9.关于x的不等式组x−m>02x−3≥3(x−2)恰有四个整数解，那么m的取值范围为( )
A. m≥−1B. m<0C. −1≤m<0D. −110.如图，P是∠AOB平分线上一点，OP=10，∠AOB=120°，在绕点P旋转的过程中始终保持∠MPN=60°不变，其两边和OA，OB分别相交于M，N，下列结论：①△PMN是等边三角形；②MN的值不变；③OM+ON=10；④四边形PMON面积不变．其中正确结论的个数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.不等式2x+1>9的解集为______．
12.在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB=DE，∠A=∠D=90°，再补充一个条件______，便可得Rt△ABC≌Rt△DEF．
13.如图，把边长为3cm的正方形ABCD先向右平移1cm，再向上平移1cm，得到正方形EFGH，则阴影部分的面积为______．
14.如图，已知∠B=20°，∠C=25°，若PM和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ= ______°.
15.如图，在等边三角形ABC中，AB=6，BD⊥AC于点D，点E，F分别是BC，DC上的动点，沿EF所在直线折叠△CEF，使点C落在BD上的点C′处，当△BEC′是直角三角形时，BC′的长为 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解不等式组x−3(x−2)≤102x−15>x−12，并把它的解集在数轴上表示出来．
17.(本小题8分)
在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(−3,5)，C(−3,1)．
(1)在图中画出△ABC以点A为旋转中心，按顺时针方向旋转90°后的△AB1C1；
(2)在图中画出与△ABC关于原点对称的△A2B2C2，并写出B2，C2两点的坐标．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD平分∠ACB，交AB于点D，求证：△ACD是等腰三角形．
19.(本小题8分)
如图，已知∠MON=30°，A是射线OM上一点．
(1)求作：直线l，使l经过点A，且l⊥ON于点B(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，已知OA=6，求AB的长．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
(1)判断DE与PD的位置关系，并说明理由；
(2)若AC=3，BC=4，PA=1，求线段DE的长．
21.(本小题8分)
正值樱桃上市时节，某水果店分两次购进红樱桃和黄樱桃两种水果进行销售，两次购进同一种水果的进价相同，具体情况如下表所示：
(1)求红樱桃和黄樱桃每斤的进价；
(2)水果店决定红樱桃以每斤10元出售，黄樱桃以每斤15元出售．为满足市场需要，需购进红樱桃和黄樱桃两种共200斤，且红樱桃的数量不少于黄樱桃数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
22.(本小题8分)
新定义：如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
(1)在方程①2x−1=0；②2x+1=0；③x−(3x+1)=−5中，不等式组−x+2>x−53x−1>−x+2的关联方程是______(填序号)．
(2)若不等式组x−2<11+x>−x+2的某个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是______.(写出一个即可)
(3)若方程1−x=x，3+x=2(x+12)都是关于x的不等式组x<2x−mx−2≤m的关联方程，直接写出m的取值范围．
23.(本小题8分)
(1)问题发现：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE.则：
①∠AEB的度数为______°；
②线段AD、BE之间的数量关系是______．
(2)拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，若AD=a，AE=b，AB=c，求a、b、c之间的数量关系．
(3)探究发现：
图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】C
【解析】解：点A(3,2)先向左平移5个单位，再向上平移1个单位得到点A′，
∴A′的坐标是(3−5,2+1)，
即：A′(−2,3)．
故选：C．
根据点的平移规律，左右移，横坐标减加，纵不变，上下移，纵坐标加减，横不变即可解的答案．
此题主要考查了点的平移规律，正确掌握规律是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵a∴4a<4b，
∴选项A不符合题意；
∵a∴选项B符合题意；
∵a∴−13a>−13b，
∴选项C不符合题意；
∵a∴a+1∴选项D不符合题意．
故选：B．
根据不等式的性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；(3)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
4.【答案】A
【解析】解：用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中至少有两个内角是直角，
故选：A．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5.【答案】B
【解析】解：A、∵a=3，b=3，c=4，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；故选项A不符合题意；
B、∵a：b：c=2：3：4
∴a≠b≠c，
∴△ABC不是等腰三角形，故选项B符合题意；
C、∵∠B=50°，∠C=80°，
∴∠A=180°−∠B−∠C=50°，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C=1：1：2，
∵∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形，故选项D不符合题意．
故选：B．
由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案．
本题考查了等腰三角形的判定，关键是根据由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理解答．
6.【答案】C
【解析】解：∵函数y=2x过点A(m,3)，
∴2m=3，
解得：m=32，
∴A(32,3)，
∴不等式ax+4<2x的解集为x>32．
故选：C．
首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式ax+4<2x解集即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
7.【答案】A
【解析】解：这个队在将要举行的比赛中胜x场，则输(22−x)场，
由题意得：2x+(22−x)≥36．
故选：A．
这个队在将要举行的比赛中胜x场，则输(22−x)场，胜场得分2x分，输场得分(22−x)分，根据胜场得分+输场得分≥36可得不等式．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是表示出胜场得分和输场得分．
8.【答案】B
【解析】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，
∵AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD=1，∠B=45°，
∴∠BDE=∠B=45°，
∴BE=DE=1，
∴Rt△BDE中，BD= 12+12= 2，
∴BC= 2+1，
∴AC= 2+1，
故选：B．
过D作DE⊥AB于E，依据△BDE是等腰直角三角形，即可得到BD的长，进而得到BC的长，可得答案．
本题主要考查了角平分线的的性质以及等腰直角三角形，等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．
9.【答案】C
【解析】解：
在x−m>0 ①2x−3≥3(x−2) ②中，
解不等式①可得x>m，
解不等式②可得x≤3，
由题意可知原不等式组有解，
所以原不等式组的解集为m因为该不等式组恰好有四个整数解，
所以整数解为0，1，2，3，
所以−1≤m<0，
故选：C．
可先用m表示出不等式组的解集，再根据恰有四个整数解可得到关于m的不等组，可求得m的取值范围．
本题主要考查解不等式组，求得不等式组的解集是解题的关键，注意恰有四个整数解的应用．
10.【答案】B
【解析】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，∠AOB=120°
∴∠EPF=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△PEM和△PFN中
∠EPM=∠FPN PE=PF∠PEM=∠PFN
∴△PEM≌△PFN(ASA)，
∴PM=PN，
∵∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形．
故①正确；
∵△PEM≌△PFN(ASA)，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF−NF=2OE定值，
∵Rt△OPE中，∠OPE=30°，可得OP=2OE，
∴OM+ON=OP=10故③正确，
∵M，N的位置变化，
∴MN的长度是变化的，故②错误．
故正确的有①③④，共3个正确．
故选：B．
如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.只要证明△PEM≌△PFN，即可一一判断．
本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】x>4
【解析】解：移项，得：2x>9−1，
合并同类项，得：2x>8，
系数化为1，得：x>4，
故答案为：x>4．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
12.【答案】答案不唯一，如BC=EF等
【解析】解：补充一个条件BC=EF，便可得Rt△ABC≌Rt△DEF；理由如下：
在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EFAB=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．
由直角三角形全等的判定方法HL，即可得出结论．
本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决问题的关键．
13.【答案】4cm2
【解析】解：∵正方形ABCD向右平移1cm，向上平移1cm，
∴阴影部分是边长为3−1=2cm的正方形，
∴阴影部分的面积=22=4cm2．
故答案为：4cm2．
根据平移的性质判断出阴影部分是正方形并求出边长，然后根据面积公式列式进行计算即可得解．
本题考查了平移的性质，判断出阴影部分是正方形并求出边长是解题的关键．
14.【答案】90
【解析】解：如图：
∵PM和QN分别垂直平分AB和AC，
∴AP=PB，AQ=QC，
∴∠2=∠B，∠1=∠C，
∵∠B=20°，∠C=25°，
∴∠3=180°−2(∠B+∠C)=90°，
故答案为：90．
先由PM和QN分别垂直平分AB和AC，得出∠2=∠B，∠1=∠C，根据三角形内角和性质列式作答即可．
=本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15.【答案】6 3−6或2 3
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，BC=AB=6，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC=30°，
由折叠可得CE=C′E，
分两种情况：
①若∠BEC′=90°，如图所示：
∵∠C′BE=30°，
∴BC′=2C′E，
在Rt△BEC′中，根据勾股定理，可得BE= 3C′E= 3CE，
又∵BE+CE=BC=6，
∴ 3CE+CE=6，
∴CE=C′E=3 3−3，
∴BC′=2C′E=6 3−6；
②若∠BC′E=90°，如图所示：
∵∠C′BE=30°，
∴BE=2C′E，
∵BE+CE=BC=6，
∴3CE=6，
∴CE=C′E=2，
根据勾股定理，得BC′=2 3，
综上所述，BC′的长为6 3−6或2 3，
故答案为：6 3−6或2 3．
由等边三角形的性质可得∠DBC=30°，由△BEC′是直角三角形，分两种情况讨论：①若∠BEC′=90°，②若∠BC′E=90°，由直角三角形的性质分别求解即可．
本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质的运用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键，注意分情况讨论．
16.【答案】解：x−3(x−2)≤10①2x−15>x−12②，
解不等式①得：x≥−2，
解不等式②得：x<3，
∴不等式组的解集为：−2≤x<3．
在数轴上表示为：

【解析】分别解两个不等式，然后将两个解集取公共部分即可；
本题考查了不等式组的解法，熟练运用不等式的基本性质是解题关键．
17.【答案】解：(1)如图，△AB1C1即为所求．

(2)如上图，△A2B2C2即为所求，B2(3,−5)，C2(3,−1)．
【解析】(1)找出B、C的对应点，再连线即可；
(2)以原点为中心，分别找出A、B、C的对应点连线即可．
本题考查了利用旋转变换作图，以原点为中心作对称图形，解题的关键是能正确找出对应点的位置．
18.【答案】证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ACB=∠B=12(180°−∠A)=72°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB=12∠ACB=36°．
又∵∠A=36°，
∴∠A=∠ACD，
∴CD=AD，即△ACD是等腰三角形．
【解析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ACD度数，即可得到∠A=∠ACD，继而得证．
本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角形内角和，角平分线的定义，关键是根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ACD度数解答．
19.【答案】解：(1)如图，直线l即为所求．

(2)∵∠AOB=30°，∠ABO=90°，OA=6，
∴AB=12OA=12×6=3．
【解析】(1)利用过直线外一点作垂线的方法作图即可；
(2)根据直角三角形中30°所对的角是斜边的一半即可求解．
本题考查了作图−复杂作图，两点间的距离，解题的关键是熟练掌握基本作图．
20.【答案】解：(1)DE⊥DP，
理由如下：∵PD=PA，
∴∠A=∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠PDA+∠EDB=90°，
∴∠PDE=180°−90°=90°，
∴DE⊥DP；
(2)连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=4−x，
∵∠C=∠PDE=90°，
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2，
∴22+(4−x)2=12+x2，
解得：x=198，
则DE=198．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，于是得到结论；
(2)连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=4−x，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．
21.【答案】解：(1)设红樱桃每斤的进价为x元，黄樱桃每斤的进价为y元，
依题意得：30x+40y=72040x+30y=680，
解得：x=8y=12．
答：红樱桃每斤的进价为8元，黄樱桃每斤的进价为12元．
(2)设购进红樱桃m斤，则购进黄樱桃(200−m)斤，
依题意得：m≥4(200−m)，
解得：m≥160．
设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为w元，则w=(10−8)m+(15−12)(200−m)=−m+600，
∵−1<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=160时，w取得最大值，最大值=−1×160+600=440，此时200−m=200−160=40．
答：获利最大的进货方案为：购进红樱桃160斤，黄樱桃40斤，最大利润为440元．
【解析】(1)设红樱桃每斤的进价为x元，黄樱桃每斤的进价为y元，利用总价=单价×数量，结合两次购进两种水果的数量及总价，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进红樱桃m斤，则购进黄樱桃(200−m)斤，根据购进红樱桃的数量不少于黄樱桃数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
22.【答案】③ x=1
【解析】解：(1)解方程①2x−1=0得x=12；
解方程②2x+1=0得x=−12；
解方程③x−(3x+1)=−5得x=2，
解不等式组−x−2>x−53x−1>−x+2得：34所以③是不等式组−x−2>x−53x−1>−x+2的关联方程，
故答案为：③；
(2)解不等式组x−2<11+x>−x+2得：12∴不等式组的整数解是1、2，
∵不等式组x−2<11+x>−x+2的某个关联方程的根是整数，
∴不等式组x−2<11+x>−x+2的一个“关联方程”为x=1；
故答案为：x=1；
(3)解方程1−x=x得：x=12，
解方程3+x=2(x+12)得：x=2，
不等式组x<2x−mx−2≤m的解集为m∵方程1−x=x，3+x=2(x+12)都是关于x的不等式组x<2x−mx−2≤m的关联方程，
∴m<12m+2≥2，
解得：0≤m<12，
即m的取值范围是0≤m<12．
(1)先求出一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集，得出答案即可；
(2)先求出不等式组的解集，再求出不等式的整数解，即可求得“关联方程”；
(3)先求出不等式组的解集和一元一次方程的解，再得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式组，能理解不等式组的关联方程的含义是解此题的关键．
23.【答案】解：(1)①60；
②AD=BE；
(2)a2+b2=c2
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴BE=AD，∠ADC=∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=90°，
∴BE2+AE2=AB2，
∴AD2+AE2=AB2，
∵AD=a，AE=b，AB=c，
∴a2+b2=c2；
(3)∠AOE的度数是60°或120°
【解析】解：(1)①如图1，
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°，
∴∠BEC=120°，
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=60°，
故答案为：60；
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
故答案为：AD=BE；
(2)如答案所示；
(3)如图3，
由(1)知△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠CAB=∠CBA=60°，
∴∠OAB+∠OBA=120°，
∴∠AOE=180°−120°=60°，
如图4，
同理求得∠AOB=60°，
∴∠AOE=120°，
∴∠AOE的度数是60°或120°．
(1)由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC.由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数；
(2)由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE=AD，∠ADC=∠BEC，由勾股定理可求解；
(3)由(1)知△ACD≌△BCE，得∠CAD=∠CBE，由∠CAB=∠ABC=60°，可知∠OAB+∠OBA=120°，根据三角形的内角和定理可知∠AOE=60°，或者，同理得∠AOB=60°，所以∠AOE=120°．
本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题．购进的数量(斤)
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第一次
30
40
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第二次
40
30
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