新高考物理一轮复习考点巩固练考向19 带电粒子在磁场中的运动（2份打包，原卷版+解析版）

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【重点知识点目录】
对洛伦兹力的理解与应用
带电粒子在匀强磁场中的运动
带电粒子在有界磁场中的临界极值问题
带电粒子在云强磁场中的多解问题
1．（2022•广东）如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直Oyz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A。
【解析】解：AB、根据左手定则可知，质子在左侧区域运动时受到的洛伦兹力指向y轴正方向（不完全沿y轴），在右侧区域运动时受到的洛伦兹力指向y轴负方向（不完全沿y轴），根据曲线运动的特点可知，质子运动的轨迹先往y轴正方向偏转，再往y轴负方向偏转，xOy平面的投影显示的是从上往下看的运动情况，故A正确，B错误；
CD、粒子在z轴方向不受力，因此z轴上的坐标始终保持不变，故CD错误；
2．（2022•甲卷）空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面（xOy平面）向里，电场的方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O由静止开始运动。下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B。
【解析】解：AC、在xOy平面内电场的方向沿y轴正方向，带正电粒子在坐标原点O受沿y轴正方向的电场力开始向y轴正方向运动，磁场的方向垂直于纸面（xOy平面）向里，根据左手定则可知，粒子沿y轴正方向运动的同时受到沿x轴负方向的洛伦兹力，根据曲线运动合外力指向轨迹凹侧可知，带电粒子应向x轴负方向偏转，故AC错误；
BD、带电粒子运动过程中受电场力和洛伦兹力，电场力做正功，洛伦兹力时刻与速度方向垂直不做功。在xOy平面内电场的方向沿y轴正方向，x轴为匀强电场的等势面，从开始到带电粒子偏转再次回到x轴时，电场力做功为零，洛伦兹力不做功，根据动能定理知，带电粒子再次回到x轴时的速度为零，随后受电场力作用开始做周期性运动，故B正确，D错误；
3．（2021•乙卷）如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q（q＞0）的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°。不计重力。则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解析】解：根据题意，粒子两次射入磁场的运动轨迹如图所示：
设磁场的圆形区域半径为r，由几何关系可知，两次轨迹圆的半径分别为：
R1＝r，
R2＝＝r
由洛伦兹力提供向心力可知：
则粒子的速度：v＝
则粒子两次的入射速度之比为：＝，解得：＝，故B正确，ACD错误；
4．（2022•海南）有一个辐向分布的电场，距离O相等的地方电场强度大小相等，有一束粒子流通过电场，又垂直进入一匀强磁场，则运动轨迹相同的粒子，它们具有相同的（ ）
A．质量B．电量C．比荷D．动能
【答案】C。
【解析】解：带电粒子在辐射电场中做圆周运动，电场力提供向心力，根据牛顿第二定律得
qE＝m
带电粒子在磁场中做圆周运动，电场力提供向心力，根据牛顿第二定律得
qvB＝m
解得：r1＝，r2＝，
运动轨迹相同的粒子半径相同，即它们具有相同的速度和比荷，故C正确，ABD错误；
洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。
2．洛伦兹力的方向
（1）判定方法：左手定则：
掌心--磁感线垂直穿入掌心；
四指--指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
拇指--指向洛伦兹力的方向。
（2）方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。
3．洛伦兹力的大小
（1）v∥B时，洛伦兹力F=0．（θ=0°或180°）
（2）v⊥B时，洛伦兹力F=qvB．（θ=90°）
（3）v=0时，洛伦兹力F=0。
4． 洛伦兹力与电场力的比较
①．洛伦兹力的特点
（1）洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。
（2）当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
（3）用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向。
②洛伦兹力与电场力的比较
5.带电粒子在匀强磁场中的运动
1）若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动．
2）若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动．
3）半径和周期公式：（v⊥B）
易错题【01】
利用几何关系寻找带电粒子圆周运动的半径
易错题【02】
对于复合场的分析，一些特定的方法要掌握，比如配速法
易错题【03】
回旋加速器的原理，粒子运动周期与交变电流的关系
5．（2022春•抚松县校级期中）如图所示，a、b两个长方体物块叠放在粗糙水平地面上，物块a带正电，物块b不带电且为绝缘体，地面上方有垂直纸面向里的匀强磁场，现用水平恒力F拉物块b，使a、b一起无相对滑动地向左加速运动，在加速的过程中，物块a、b间的摩擦力（ ）
A．逐渐减小B．逐渐增大
C．先增大后减小D．先减小后增大
【答案】A。
【解析】解：整体向左运动后，根据左手定则可知，a受到竖直向下的洛伦兹力，以整体为研究对象有：F﹣f＝（ma+mb）a；
其中b与地面之间的摩擦力：f＝（mag+mbg+qvB）μ
由于物体加速运动，因此速度逐渐增大，洛伦兹力增大，则地面给b的滑动摩擦力增大，因此整体在加速运动阶段加速度逐渐减小；
对a分析可知，a受到水平向左的静摩擦力作用，根据牛顿第二定律有：f＝maa，由于加速度逐渐减小，因此a、b之间的摩擦力减小，故A正确，BCD错误。
6．（2022春•金堂县校级月考）在阴极射线管中电子流方向由左向右，其上方置一根通有如图所示电流的直导线，导线与阴极射线管平行，则阴极射线将会（ ）
A．向上偏转B．向下偏转C．向纸内偏转D．向纸外偏转
【答案】B。
【解析】解：由题意可知，直线电流的方向由左向右，根据右手定则，可判定直导线下方的磁场方向为垂直纸面向里，而阴极射线电子运动方向由左向右，由左手定则知（电子带负电，四指要指向其运动方向的反方向），阴极射线将向下偏转，
A．向上偏转与分析不符，故A错误；
B．向下偏转符合分析，故B正确；
C．向纸面内偏转不符合分析，故C错误；
D．向纸面外偏转不符合分析，故D错误；
7．（2022•祁东县校级模拟）如图是一个水平放置的玻璃圆环形槽，槽内光滑，槽宽度和深度处处相同。槽所在水平面内有变化的磁场，磁感应强度的大小跟时间成正比B＝kt（其中k＞0），方向竖直向下。t＝0时刻，将一直径略小于槽宽的带正电小球放在槽中，并让它获得初速度v0，方向如图。设小球在运动过程中电荷量不变，则下列说法正确的是（ ）
A．小球的速度不断增大
B．小球需要的向心力大小不变
C．磁场力对小球做正功
D．小球受到的磁场力大小与时间成正比增大
【答案】A。
【解析】解：AB、根据楞次定律可知，圆槽处产生的感生电场方向沿逆时针方向，在该电场作用下小球将做加速圆周运动，速度不断增大，需要的向心力不断增大，故A正确，B错误；
C、磁场力方向始终与小球速度方向垂直，对小球不做功，故C错误；
D、小球受到的磁场力大小为：F＝qvB＝qvkt，式中v不断增大，所以qvk不是常数，即F与t不成正比，故D错误。
8．（2022春•重庆期末）如图所示，有一边长为L的正方形边界的匀强磁场，磁感应强度为B，在C点沿水平面向四面八方以速度发射一群质量为m、电荷量为q的负电同种粒子，每个方向发射的粒子数量都相同。则从BD边和CD边飞出的粒子的数量之比为（ ）
A．1：1B．1：2C．2：1D．3：1
【答案】C。
【解析】解：带电粒子在磁场内做顺时针圆周运动，洛伦兹力提供向心力有
qBv＝m
代入数据可得其半径为
R＝L
则由几何关系易知，当粒子竖直向上射入，恰好在B点飞出；粒子与竖直方向偏右成60°射入，恰好在D点飞出，粒子水平向右射入，则不会进入磁场，粒子沿每个方向发射的数量都相同，从BD飞出的粒子所占角度为60°，从CD飞出的粒子所占角度为30°，故从BD边和CD边飞出的粒子的数量之比为2：1，故ABD错误，C正确；
9．（2022•南京模拟）如图，一个边长为a的正方形区域内存在垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、带电量为﹣q的粒子以某一速度从AB的中点平行于BC边射入磁场，粒子恰好从C点射出，不计粒子重力。则粒子入射磁场的速度大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解析】解：粒子的运动轨迹如图所示
由几何关系可得：
解得：
根据洛伦兹力提供向心力得：
联立解得：v＝，故B正确，ACD错误；
10．（2022春•平遥县校级期末）如图所示，在MNQP中有一垂直纸面向里匀强磁场，质量和电荷量都相等的带电粒子a、b、c以不同的速率从O点沿垂直于PQ的方向射入磁场，图中实线是它们的轨迹。已知O是PQ的中点，不计粒子重力，下列说法中正确的是（ ）
A．粒子a带负电，粒子b、c带正电
B．粒子b在磁场中运动的时间最短
C．粒子c在磁场中运动的周期最长
D．射入磁场时粒子c的速率最大
【答案】B。
【解析】解：A、根据左手定则知粒子a带正电，粒子b、c带负电，故A错误；
D、粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：，解得：，射入磁场时粒子c的半径最小，则速率最小。故D错误；
BC、粒子在磁场中做圆周运动的周期：相同，粒子在磁场中的运动时间：，由于m、q、B都相同，粒子c转过的圆心角θ最大，则射入磁场时c的运动时间最大，粒子b转过的圆心角最小，所以粒子b在磁场中运动的时间最短，故B正确，C错误；
11．（2022春•浙江期中）甲、乙、丙、丁四幅图分别是回旋加速器、磁流体发电机、速度选择器、质谱仪的结构示意图，下列说法中正确的是（ ）
A．图甲中增大交流电的频率可增大粒子的最大动能
B．图乙中可以判断出通过R的电流方向为从a到b
C．图丙中粒子沿直线PQ运动的条件是v＝
D．图丁中在分析同位素时，半径最大的粒子对应质量也最大
【答案】D。
【解析】解：A、由洛伦兹力提供向心力可得：
解得：
粒子的最大动能为
，与交流电的频率无关，故A错误；
B、根据左手定则可知B为正极，所以通过R的电流方向从b到a，故B错误；
C、图丙中粒子沿直线PQ运动的条件是
qE＝qvB
可得：，故C错误；
D、在加速电场中有
在磁场中洛伦兹力提供向心力，则
联立解得：R＝，对于同位素，电荷量相等，半径最大的粒子对应质量也最大，故D正确；
12．（2022•海陵区校级模拟）无限长细导线中的晶格和自由电子是均匀分布的，静止时它们的线电荷密度为±λ。今让导线中的自由电子都以恒定速度u沿导线流动，此时导线周围的磁场和电场大小的比值为？（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C。
【解析】解：正离子晶格电场
电子的电荷线密度为﹣γλ0，产生的电场为
因此总电场
电子产生的磁场
则
故ABD错误，C正确；
13．（2021秋•浔阳区校级期末）如图所示，一根足够长的光滑绝缘杆MN固定在竖直平面内，且与水平面的夹角为37°，空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为1T，质量为0.1kg的带电小环沿杆下滑到图中的P处时，对杆有垂直杆向下的、大小为0.3N的压力。已知小环的带电荷量为0.1C，重力加速度大小g＝10m/s2，sin37°＝0.6，下列说法正确的是（ ）
A．小环带正电
B．小环下滑的加速度大小为5m/s2
C．小环滑到P处时的动能为1.25J
D．当小环再沿杆滑动2.25m后恰好与杆没有相互作用
【答案】C。
【解析】解：A、刚开始下滑时，杆对环的支持力为FN＝mgcs37°＝0.8N＞0.3N，环所受洛伦兹力与杆垂直，故环所受的洛伦兹力垂直于杆向上，由左手定则可知环带负电，故A错误；
B、环下滑过程中，根据牛顿第二定律可得：mgsin37°＝ma，解得a＝6m/s2，故B正确；
C、在垂直杆的方向上对环有：设小环滑到P点的速度为vP，在P点小环的受力如图甲所示，
根据平衡条件得qvPB+FN＝mgcs37°，
解得：vP＝5m/s，此时环的动能为Ek＝m＝J＝1.25J，故C正确；
D、环与杆之间没有正压力时洛伦兹力等于重力垂直于斜面向下的压力，受力分析如图乙所示，则：qv′B＝mgcs37°
得：v′＝8m/s
小球向下运动的过程中只有重力做功，洛伦兹力不做功，设两点之间的距离是L，则：mgLsin37°＝mv′2﹣mvP2
解得：L＝3.25m，故D错误；
14．（2022春•迎江区校级月考）如图所示为一个质量为m、带电量为+q的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中。现给圆环向右初速度v0，在以后的运动过程中，圆环运动的v﹣t图象不可能是图中的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A。
【解析】解：当qvB＝mg时，圆环做匀速运动，此时图象为B，故B可能；
当qvB＞mg时，FN＝qvB﹣mg，此时：μFN＝ma，所以圆环做加速度逐渐减小的减速运动，直到qvB＝mg时，圆环开始做匀速运动，故C可能；
当qvB＜mg时，FN＝mg﹣qvB，此时：μFN＝ma，所以圆环做加速度逐渐增大的减速运动，直至停止，所以其v﹣t图象的斜率逐渐增大，故D可能；
本题要求选不可能的。
15．（2020秋•保定期末）如图所示，足够大的垂直纸面向里的匀强磁场中固定一光滑斜面，A、B叠放在斜面上，A带正电，B不带电且上表面绝缘。在t＝0时刻，释放两物块，A、B由静止开始一起沿斜面向下运动，以下说法正确的是（ ）
A．A所受洛伦兹力大小与时间t成正比关系
B．A对B的压力大小与时间t成反比关系
C．A、B间的摩擦力越来越小
D．斜面倾角越大，A、B一起沿斜面运动的位移越大
【答案】A。
【解析】解：A、设A的质量为m，B的质量为M，对AB整体，由牛顿第二定律得：（m+M）gsinθ＝（m+M）a，解得：a＝gsinθ，
A、B一起沿斜面向下做初速度为零的匀加速直线运动，速度v＝at＝gtsinθ，
A所受洛伦兹力F＝qvB＝qBgtsinθ，即洛伦兹力与时间成正比，故A正确；
B、A受力如图所示，对A，在垂直于斜面方向，由平衡条件得：F+FN＝mgcsθ，解得：FN＝mgcsθ﹣qBgtsinθ
由牛顿第三定律可知A对B的压力大小：FN′＝FN＝mgcsθ﹣qBgtsinθ，A对B的压力大小与t是一次函数关系，不成反比，故B错误；
C、斜面光滑，A、B相对静止一起沿斜面向下做加速运动，加速度大小a＝gsinθ，A与B间没有相对运动趋势，AB之间没有摩擦力，故C错误；
D、当FN＝mgcsθ﹣qBgtsinθ＝0，即t＝时，AB开始分离，A、B一起沿斜面运动的位移大小：x＝＝，
故位移随着倾角的增大而减小，故D错误。
16．（2022春•茂名期末）如图所示，质量相同的带电粒子M、N，电荷量大小之比为3：1，分别沿x轴和y轴正方向从坐标原点O同时以相同的速率飞入匀强磁场，两粒子先后通过第一象限内的P点。已知O、P两点连线与x轴正方向之间的夹角为θ（θ未知），若不计粒子的重力及粒子间相互作用力，则下列说法正确的是（ ）
A．M粒子带负电，N粒子带正电
B．M、N两粒子运动的轨迹半径之比为：3
C．θ为30°
D．N粒子先经过P点
【答案】A。
【解析】解：A、由左手定则可知，M粒子带负电，N粒子带正电，故A正确；
B、粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB＝m，解得：r＝，粒子轨道半径之比，故B错误；
C、粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示
由几何知识得：tanθ＝，解得：θ＝arctan3≈71.565°，故C错误；
D、粒子运动到P点时N的弧长小于M的弧长，粒子速率相等，则M先到达P点，M后到达P点，故D错误。
17．（2022春•驻马店期末）如图所示，有一半圆形区域圆心为O，半径为R，内部及边界上均存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，直径MN处放有一个很薄的荧光屏，有一个位置可以移动的粒子源A可以向纸面内各个方向均匀发射同种带电粒子。已知粒子质量为m、电荷量为+q，速度大小可调，粒子重力及粒子间的相互作用不计。若粒子源A位于圆弧MN的中点，要让粒子打中荧光屏上ON的中点Q，则粒子发射速度大小的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解析】解：设粒子打中Q点对应最小速率为v，圆周圆心为O2，半径为r，则轨迹恰好与ON相切，如图，则
由几何关系可知
OQ2＝O2D2＝r2﹣AD2
解得：r＝
代入qvB＝m中可得
则要让粒子打中荧光屏上ON的中点Q，求粒子发射速度大小需满足；
故ACD错误，B正确；
18．（2022春•三明期末）如图所示，虚线框MNQP内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b是质量和电荷量都相等的带电粒子，同时从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，并分别从M、Q处离开磁场。若不计粒子所受重力，则（ ）
A．粒子a带负电，粒子b带正电
B．粒子b在磁场中运动的时间最长
C．粒子b在磁场中的加速度最大
D．粒子b在磁场中的动量最大
【答案】B。
【解析】解：A、根据左手定则可知，a粒子带正电，b粒子带负电，故A错误；
B、根据qvB＝m和T＝，得T＝，即各粒子的周期一样，粒子b的轨迹对应的圆心角最大，所以粒子b在磁场中运动的时间最长，故B正确；
C、根据公式qvB＝ma可得a＝，因a在磁场中运动的半径最大，所以a的速度最大，则可知，a的加速度最大，故C错误；
D、由C分析知，b在磁场中的速度最小，由于质量相等，所以b的动量最小，故D错误；
19．（2022春•辽宁期末）一静止在匀强磁场中的天然放射性原子核Th发生了一次衰变，释放出的β粒子和反冲核都在磁场中做匀速圆周运动，运动径迹如图所示。衰变放出的光子的动量可以忽略不计，下列判断正确的是（ ）
A．运动径迹1对应β粒子
B．释放出的β粒子和反冲核在磁场中运动的轨迹半径之比与它们的质量有关
C．释放出的β粒子和反冲核在磁场中运动的轨迹半径之比为90：1
D．释放出的β粒子和反冲核在匀强磁场中做圆周运动时环绕方向相反
【答案】D。
【解析】解：ABC、原子核衰变过程系统动量守恒，以粒子速度方向为正方向，由动量守恒定律得：mβvβ﹣m反冲核v反冲核＝0，则pβ＝p反冲核；衰变后粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB＝m，解得：r＝；衰变过程核电荷数守恒，则衰变后反冲核所带电荷量q反冲核＝91e，β粒子所带电荷量qβ＝e，则；β做圆周运动的半径大于反冲核的半径，径迹1对应的是反冲核，径迹2对应的是β粒子，它们的半径之比是91：1，运动轨迹半径与它们的质量无关，故ABC错误；
D、衰变过程系统动量守恒，衰变前原子核静止，初动量为零，由动量守恒定律可知，衰变后释放出的β粒子与反冲核的速度方向相反，它们在匀强磁场中做圆周运动时环绕方向相反，故D正确。
20．（2022春•三明期末）质谱仪可以测定有机化合物分子结构，其过程可简化为如图所示。样品室现有某有机物气体分子在离子化室碎裂成带正电、初速度为零的离子，再经过高压电源区、圆形磁场室（内为匀强磁场、真空管），最后打在记录仪上，通过测量可测出离子比荷，从而推测有机物的分子结构。已知高压电源的电压为U，圆形磁场区的半径为R，内部的磁感应强度大小为B。真空管与水平面夹角为θ，离子进入磁场室时速度方向指向圆心。则（ ）
A．高压电源A端接电源的正极
B．磁场室内磁场方向为垂直纸面向里
C．磁场室内两同位素的运动轨迹分别为轨迹Ⅰ和Ⅱ，则轨迹Ⅰ的同位素质量较大
D．记录仪接收到的信号对应的离子比荷
【答案】D。
【解析】解：A、离子带正电，经过高压电源区前的速度为零，那么，要使离子通过高压电源区，场强方向由B指向A，故高压电源A端应接电源的负极，故A错误；
B、要使离子在磁场区域发生如图所示偏转，那么，磁场方向垂直纸面，离子进行顺时针圆周运动，故由左手定则可得：磁场方向垂直纸面向外，故B错误；
C、离子经过高压电源区只受电场力作用，故由动能定理可得：qU＝mv2
所以有：v＝；
离子在磁场中只受洛伦兹力作用，故离子做匀速圆周运动，洛伦兹力做向心力，故有：Bvq＝m
所以轨道半径为：r＝；同位素的电荷量相同，故质量越大，轨道半径越大；
由图可得：轨迹Ⅱ对应的轨道半径较大，故轨迹Ⅱ的同位素质量较大，故C错误；
D、由图根据几何关系可得：tan＝，所以，由C可得比荷为：，故D正确；
21．（2022春•通州区期末）某同步加速器的简化模型如图。M、N为两块中心开有小孔的平行金属板，带电粒子A（不计重力）从M板小孔飘入两板间时，板间的电势差由0变为U，粒子加速；当A离开N板时，两板上的电荷量均立即变为零。两板外部存在垂直纸面向里的匀强磁场，A在磁场中做半径为R的圆周运动，R远大于板间距离，为使R保持不变，磁场必须相应变化。不计粒子加速时间及运动产生的电磁辐射，则（ ）
A．粒子A带负电
B．板间电势差从0变为U的时间之差不变
C．A经电场加速次数越多，磁感应强度相应越小
D．A运动的第n周与第（n+1）周电场力对A做功的平均功率之比为
【答案】D。
【解析】解：A、带电粒子A进入磁场后向左偏转，由左手定则可得带正电，故A错误；
BC、带电粒子A在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有：qvB＝，整理可得：B＝。
经电场加速次数越多，其速度越大，当R保持不变时，磁感应强度相应越大。根据周期与线速度的关系，
解得T＝＝，所以随着磁感应强度的增加，粒子的周期减小。即板间电势差从0变为U的时间之差变小，故BC错误；
D、设A经n次加速后的速度为vn，由动能定理可得：nUq＝，设A做第n次圆周运动的周期为Tn，
有：Tn＝。
A运动的第n周电场力对A做功的平均功率为：Pn＝
联立，可得：Pn＝
同理，A运动的第（n+1）周电场力对A做功的平均功率为：Pn+1＝
则二者之比为：：，故D正确。
22．（2022春•漳州期末）如图，三个完全相同的半圆形光滑轨道竖直放置，分别处在真空、匀强磁场和匀强电场中，轨道两端在同一高度上。P、M、N分别为轨道的最低点．a、b、c三个相同的带正电绝缘小球同时从轨道左端最高点由静止开始沿轨道运动，则（ ）
A．b球先于a球到达轨道的最低点
B．a、b两球第一次经过轨道最低点时，b球对轨道的压力更小
C．三小球向下运动过程中，c球到达轨道最低点的速度最小
D．c球运动过程中，其重力势能最小时，电势能一定最大
【答案】C．
【解析】解：A、沿着轨道建立自然坐标系，将速度和加速度分解为沿轨道方向和垂直于轨道方向，由于图二洛伦兹力始终在垂直于轨道方向，不影响沿轨道方向的受力，所以b球和a球同时到达轨道的最低点，故A错误；
BC、第一个小球从轨道左端最高点由静止开始沿轨道运动到P点过程中只有重力做功，根据动能定理有：mgR＝﹣0
第二个小球从轨道左端最高点由静止开始沿轨道运动到M点过程中只有重力做功，根据动能定理有：mgR＝﹣0
第三个小球从轨道左端最高点由静止开始沿轨道运动到N点过程中有重力做功、电场力做功，根据动能定理有：mgR﹣qER＝﹣0
根据以上公式有可知，c球到达轨道最低点的速度最小
由牛顿第二定律得，对a球：FP﹣mg＝m，对b球：FM﹣mg﹣qvMB＝m，
所以a、b两球第一次经过轨道最低点时，b球对轨道的压力更大，故B错误，C正确；
D、c球运动过程中，小球运动到轨道右侧速度减小为0时，电势能最大，故D错误．
23．（2022春•重庆期末）如图所示，一质量为m、电荷量为q的带正电小球，套在足够长的绝缘直棒上，棒的直径略小于小球直径，小球可在棒上滑动。将此棒竖直固定在互相垂直且均沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中，匀强电场的场强大小为E，匀强磁场的磁感应强度大小为B，小球与棒间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现将小球由静止释放，小球将沿棒竖直下落，该过程中小球所带电荷量保持不变，电场与磁场范围足够大，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球下落的速度最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D。
【解析】解：小球受力情况如图所示，由左手定则可知，小球受到的洛伦兹力向右，小球由静止开始下落，随着速度v增大，小球受到的洛伦兹力增大，水平方向受力平衡，有：FN＝qE+qvB，可知FN增大，根据f＝μFN，可知滑动摩擦力f增加，根据牛顿第二定律得：mg﹣f＝ma，可知加速度a减小，当mg＝f时，加速度a＝0，此后小球开始做匀速直线运动，所以小球下落的加速度为零时，速度达到最大值，设小球达到最大速度vm，则有：mg＝μFN＝μ（qE+qvmB），解得：vm＝，故AB错误，D正确。
24．（2022春•成都期末）如图，竖直面（纸面）内，一层够长的粗糙绝缘直杆与水平方向成60°角固定，所在空间有方向垂直纸面向里的匀强磁场和方向水平向左的匀强电场，一质量为m且可视为质点的带正电小球套在杆上，现给球一个沿杆向下的初速度v，球恰能做匀速运动，且杆对球恰好无弹力。下列判定正确的是（ ）
A．电场强度与磁感应强度的大小关系为
B．若在球运动的过程中仅撤去磁场，球仍将保持速度v做匀速运动
C．若仅将球的初速度大小变为，球将做加速度不断减小的减速运动直至静止
D．若仅将球的初速度大小变为2v，球沿杆运动的过程中，克服摩擦力做的功为
【答案】D。
【解析】解：A、杆与球之间恰好无弹力，对球进行受力分析如图所示，则重力mg与电场力qE的合力与洛伦兹力qvB等大反向共线，由几何关系可得：qE＝qvBsin60°，则＝，故A错误；
B、若在球运动的过程中仅撤去磁场，重力与电场力的合力垂直于杆向下，杆对球有支持力，从而受到滑动摩擦力，而且球的合力等于滑动摩擦力，所以球将做减速运动，直到静止，故B错误；
C、若仅将球的初速度大小变为，洛伦兹力变为原来的倍，而重力与电场力的合力不变，方向垂直于杆向下，则杆对球有垂直于杆向下的弹力，从而受到滑动摩擦力，球做减速运动，随着速度减小，洛伦兹力减小，杆对球的弹力减小，滑动摩擦力减小，加速度减小，当速度减至v时开始做匀速运动，故C错误；
D、若仅将球的初速度大小变为2v，洛伦兹力变为原来的2倍，而重力与电场力的合力不变，杆对球有垂直于杆向下的弹力，从而受到滑动摩擦力，球做减速运动，当速度减至v时开始做匀速运动，由于重力与电场力的合力不做功，弹力和洛伦兹力也不做功，所以球沿杆运动的过程中，克服摩擦力做的功为W＝﹣＝，故D正确。
25．（2021•福建）一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场，其中电场的方向与金属板垂直，磁场的方向与金属板平行且垂直纸面向里，如图所示。一质子（H）以速度v0自O点沿中轴线射入，恰沿中轴线做匀速直线运动。下列粒子分别自O点沿中轴线射入，能够做匀速直线运动的是（所有粒子均不考虑重力的影响）（ ）
A．以速度的射入的正电子
B．以速度v0射入的电子
C．以速度2v0射入的氘核
D．以速度4v0射入的α粒子
【答案】B。
【解析】解：质子（H）以速度v0自O点沿中轴线射入，恰沿中轴线做匀速直线运动，将受到向上的洛伦兹力和向下的电场力，满足：qv0B＝qE
解得v0＝
即质子的速度满足速度选择器的条件；
A.以速度射入的正电子（e），所受的洛伦兹力小于电场力，正电子将向下偏转，故A错误；
B.以速度v0射入的电子（e），依然满足电场力等于洛伦兹力，而做匀速直线运动，即速度选择器不选择电性而只选择速度，故B正确；
CD.以速度2v0射入的氘核（H），以速度4v0射入的α粒子（He），其速度都不满足速度选择器的条件v0＝，故都不能做匀速直线运动，故CD错误；
26．（2021•河北）如图，距离为d的两平行金属板P、Q之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为B1，一束速度大小为v的等离子体垂直于磁场喷入板间。相距为L的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B2，导轨平面与水平面夹角为θ，两导轨分别与P、Q相连。质量为m、电阻为R的金属棒ab垂直导轨放置，恰好静止。重力加速度为g，不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力。下列说法正确的是（ ）
A．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝
B．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝
C．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝
D．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝
【答案】B。
【解析】解：平行金属板P、Q之间磁感应强度方向由N极指向S极，由左手定则判断，等离子体中的正离子向金属板Q偏转，负离子向金属板P偏转，可知金属板Q带正电荷（电源正极），金属板P带负电荷（电源负极），金属棒ab中电流方向由a流向b，已知磁场B2的方向垂直导轨平面，由左手定则可知，金属棒ab所受安培力平行于导轨平面向上或者向下，金属棒ab处于静止，由受力平衡条件判断其所受安培力沿导轨平面向上，再由左手定则判断出导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下。
金属棒ab恰好静止，由受力平衡可得：B2IL＝mgsinθ，
由闭合电路欧姆定律可得，平行金属板P、Q之间的电压U＝IR，
金属板P、Q之间电场强度，
等离子体的正负离子在磁场B1中受到电场力与洛伦兹力，稳定后此二力平衡，则
qvB1＝qE，
联立解得，故B正确，ACD错误。
27．（2021•北京）如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q，OP＝a。不计重力。根据上述信息可以得出（ ）
A．带电粒子在磁场中运动的轨迹方程
B．带电粒子在磁场中运动的速率
C．带电粒子在磁场中运动的时间
D．该匀强磁场的磁感应强度
【答案】A。
【解析】解：利用左手定则画出初末位置的洛伦兹力的方向，由此判断出圆心的所在位置：
根据几何关系可得：，所以。
在磁场中，由洛伦兹力提供向心力，即：，同时：，化简得：，T＝。
由此可知，带电粒子在磁场中的运动轨迹是唯一确定且可求的，故A正确；
因为v和B都未知，所以带电粒子在磁场中的运动时间也无法确定，故BCD错误。
28．（2020•全国）空间存在方向竖直向下的匀强磁场。在光滑绝缘的水平桌面上，绝缘细绳系一带负电小球，小球绕绳的固定端点O沿顺时针方向做匀速圆周运动，如图所示。若小球运动到M点时，细绳突然断开，则小球可能出现的运动情况是（ ）
A．小球仍沿顺时针方向做匀速圆周运动，但圆的半径变大
B．小球仍沿顺时针方向做匀速圆周运动，但圆的半径变小
C．小球将沿逆时针方向做匀速圆周运动，圆的半径不变
D．小球将沿切线方向做直线运动
【答案】A。
【解析】解：小球带负电，则小球所受的洛伦兹力方向指向圆心，根据合力提供向心力可知，T+Bvq＝m，当洛伦兹力的大小等于小球需要的向心力，即绳子拉力为0时，绳子断后，小球做顺时针的匀速圆周运动，半径不变；当T＞0时，洛伦兹力小于之前小球圆周运动所需向心力大小，则根据qvB＝，可知r′＞r，小球做顺时针的匀速圆周运动，半径变大，故A正确，BCD错误；一、洛伦兹力的特点与应用
1．洛伦兹力的特点
（1）洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面。
（2）当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
（3）运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
（4）左手判断洛伦兹力方向，但一定分正、负电荷。
（5）洛伦兹力一定不做功。
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
（1）安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。
（2）安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
二、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
轨道圆的“三个确定”
（1）如何确定“圆心”
①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹．确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如图（a）所示．
②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中
垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示．
③若只已知一个点及运动方向，也知另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图（c）所示，此时要将
其中一速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线
交于一点O，该点就是圆心．
（2）如何确定“半径”
方法一：由物理方程求：半径R=mv/qB
方法二：由几何方程求：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定．
（3）如何确定“圆心角与时间”
①速度的偏向角φ=圆弧所对应的圆心角（回旋角）θ=2倍的弦切角α，如图（d）所示．
②时间的计算方法．
方法一：由圆心角求，t=(θ/2π)t
方法二：由弧长求，t=s/v
s
解题思路分析
1．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的分析方法．
2．带电粒子在有界匀强磁场中运动时的常见情形．
直线边界（粒子进出磁场具有对称性）
平行边界（粒子运动存在临界条件）
圆形边界（粒子沿径向射入，再沿径向射出）
3．带电粒子在有界磁场中的常用几何关系
（1）四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点．
（2）三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的2倍．
三、求解带电粒子在匀强磁场中运动的临界和极值问题的方法
由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解．
（1）两种思路
①以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；
②直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值．
（2）两种方法
物理方法：
①利用临界条件求极值；
②利用问题的边界条件求极值；
③利用矢量图求极值．
数学方法：
①利用三角函数求极值；
②利用二次方程的判别式求极值；
③利用不等式的性质求极值；
④利用图象法等．
（3）从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示．审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件．