新高考物理一轮复习讲义 第3章 专题强化5 动力学中的连接体问题和临界极值问题

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题型一 动力学中的连接体问题
1．连接体
多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆联系)在一起构成的物体系统称为连接体．连接体一般具有相同的运动情况(速度、加速度)．
2．常见连接体的类型
(1)同速连接体(如图1)
图1
特点：两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同速度和相同加速度．
处理方法：用整体法求出a与F合的关系，用隔离法求出F内力与a的关系．
(2)关联速度连接体(如图2)
图2
特点：两连接物体的速度、加速度大小相等，方向不同，但有所关联．
处理方法：分别对两物体隔离分析，应用牛顿第二定律进行求解．
同速连接体
例1 (2020·江苏卷·5)中欧班列在欧亚大陆开辟了“生命之路”，为国际抗疫贡献了中国力量．某运送防疫物资的班列由40节质量相等的车厢组成，在车头牵引下，列车沿平直轨道匀加速行驶时，第2节对第3节车厢的牵引力为F.若每节车厢所受摩擦力、空气阻力均相等，则倒数第3节对倒数第2节车厢的牵引力为( )
A．F B.eq \f(19F,20) C.eq \f(F,19) D.eq \f(F,20)
答案 C
解析 设列车的加速度为a，每节车厢的质量为m，每节车厢受到的阻力为Ff，对后38节车厢，由牛顿第二定律有F－38Ff＝38ma；设倒数第3节车厢对倒数第2节车厢的牵引力为F1，对后2节车厢，由牛顿第二定律得F1－2Ff＝2ma，联立解得F1＝eq \f(F,19)，故选项C正确．
关联速度连接体
例2 (多选)物块B放在光滑的水平桌面上，其上放置物块A，物块A、C通过细绳相连，细绳跨过定滑轮，如图3所示，物块A、B、C质量均为m，现释放物块C，A和B一起以相同加速度加速运动，不计细绳与滑轮之间的摩擦力，重力加速度大小为g，则细线中的拉力大小及A、B间的摩擦力大小分别为( )
图3
A．FT＝mg B．FT＝eq \f(2,3)mg
C．Ff＝eq \f(2,3)mg D．Ff＝eq \f(1,3)mg
答案 BD
解析 以C为研究对象，由牛顿第二定律得mg－FT＝ma；以A、B为研究对象，由牛顿第二定律得FT＝2ma，联立解得FT＝eq \f(2,3)mg，a＝eq \f(1,3)g，以B为研究对象，由牛顿第二定律得Ff＝ma，得Ff＝eq \f(1,3)mg，故选B、D.
1.(同速连接体)(多选)(2020·湖北黄冈中学模拟)如图4所示，材料相同的物体m1、m2由轻绳连接，在恒定拉力F的作用下沿斜面向上加速运动．轻绳拉力的大小( )
图4
A．与斜面的倾角θ有关
B．与物体和斜面之间的动摩擦因数μ有关
C．与两物体的质量m1和m2有关
D．若改用F沿斜面向下拉连接体，轻绳拉力的大小与θ，μ无关
答案 CD
解析 对整体受力分析有F－(m1＋m2)gsin θ－μ(m1＋m2)gcs θ＝(m1＋m2)a，对m2有FT－m2gsin θ－μm2gcs θ＝m2a，解得FT＝eq \f(m2,m1＋m2)F，与μ和θ无关，与两物体的质量m1和m2有关，故A、B错误，C正确；若改用F沿斜面向下拉连接体，同理可得FT＝eq \f(m1,m1＋m2)F，故D正确．
2．(同速连接体)(多选)如图5所示，倾角为θ的斜面体放在粗糙的水平地面上，现有一带固定支架的滑块m正沿斜面加速下滑．支架上用细线悬挂的小球达到稳定(与滑块相对静止)后，悬线的方向与竖直方向的夹角也为θ，斜面体始终保持静止，则下列说法正确的是( )
图5
A．斜面光滑
B．斜面粗糙
C．达到稳定状态后，地面对斜面体的摩擦力水平向左
D．达到稳定状态后，地面对斜面体的摩擦力水平向右
答案 AC
解析 隔离小球，可知稳定后小球的加速度方向沿斜面向下，大小为gsin θ，小球稳定后，支架系统的加速度与小球的加速度相同，对支架系统进行分析，只有斜面光滑，支架系统的加速度才是gsin θ，A正确，B错误．隔离斜面体，斜面体受到的力有自身重力、地面的支持力、支架系统对它垂直斜面向下的压力，因斜面体始终保持静止，则斜面体还应受到地面对它水平向左的摩擦力，C正确，D错误．
题型二 动力学中的临界和极值问题
1．常见的临界条件
(1)两物体脱离的临界条件：FN＝0.
(2)相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值．
(3)绳子断裂或松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是FT＝0.
(4)最终速度(收尾速度)的临界条件：物体所受合外力(加速度)为零．
2．解题基本思路
(1)认真审题，详细分析问题中变化的过程(包括分析整个过程中有几个阶段)；
(2)寻找过程中变化的物理量；
(3)探索物理量的变化规律；
(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系．
3．解题方法
脱离的临界问题
例3 (2019·江西宜春市期末)如图6所示，一弹簧一端固定在倾角为θ＝37°的足够长的光滑固定斜面的底端，另一端拴住质量为m1＝6 kg的物体P，Q为一质量为m2＝10 kg的物体，弹簧的质量不计，劲度系数k＝600 N/m，系统处于静止状态．现给物体Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后F为恒力，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2.求：
图6
(1)系统处于静止状态时，弹簧的压缩量x0；
(2)物体Q从静止开始沿斜面向上做匀加速运动的加速度大小a；
(3)力F的最大值与最小值．
答案 (1)0.16 m (2)eq \f(10,3) m/s2 (3)eq \f(280,3) N eq \f(160,3) N
解析 (1)设开始时弹簧的压缩量为x0，
对整体受力分析，平行斜面方向有(m1＋m2)gsin θ＝kx0
解得x0＝0.16 m.
(2)前0.2 s时间内F为变力，之后为恒力，则0.2 s时刻两物体分离，此时P、Q之间的弹力为零且加速度大小相等，设此时弹簧的压缩量为x1，
对物体P，由牛顿第二定律得：
kx1－m1gsin θ＝m1a
前0.2 s时间内两物体的位移：
x0－x1＝eq \f(1,2)at2
联立解得a＝eq \f(10,3) m/s2.
(3)对两物体受力分析知，开始运动时F最小，分离时F最大，则Fmin＝(m1＋m2)a＝eq \f(160,3) N
对Q应用牛顿第二定律得
Fmax－m2gsin θ＝m2a
解得Fmax＝eq \f(280,3) N.
相对滑动的临界问题
例4 (多选)如图7所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上．A、B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为eq \f(1,2)μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.现对A施加一水平拉力F，则( )
图7
A．当F<2μmg时，A、B都相对地面静止
B．当F＝eq \f(5,2)μmg时，A的加速度为eq \f(1,3)μg
C．当F>3μmg时，A相对B滑动
D．无论F为何值，B的加速度不会超过eq \f(1,2)μg
答案 BCD
解析 当03μmg时，A相对B向右做加速运动，B相对地面也向右加速，选项A错误，选项C正确．当F＝eq \f(5,2)μmg时，A与B共同的加速度a＝eq \f(F－\f(3,2)μmg,3m)＝eq \f(1,3)μg，选项B正确．F较大时，取物块B为研究对象，物块B的加速度最大为a2＝eq \f(2μmg－\f(3,2)μmg,m)＝eq \f(1,2)μg，选项D正确．
3．(脱离的临界问题)如图8所示，质量m＝2 kg的小球用细绳拴在倾角θ＝37°的光滑斜面上，此时，细绳平行于斜面．取g＝10 m/s2(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)．下列说法正确的是( )
图8
A．当斜面以5 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为20 N
B．当斜面以5 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为30 N
C．当斜面以20 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为40 N
D．当斜面以20 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为60 N
答案 A
解析 小球刚好离开斜面时的临界条件是斜面对小球的弹力恰好为零，斜面对小球的弹力恰好为零时，设绳子的拉力为F，斜面的加速度为a0，以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有Fcs θ＝ma0，Fsin θ－mg＝0，代入数据解得a0≈13.3 m/s2.
①由于a1＝5 m/s2②由于a2＝20 m/s2>a0，可见小球离开了斜面，此时小球的受力情况如图乙所示，设绳子与水平方向的夹角为α，以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有F2cs α＝ma2，F2sin α－mg＝0，代入数据解得F2＝20eq \r(5) N，选项C、D错误．
4．(极值问题)如图9甲所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小物块恰好能沿着木板匀速下滑．如图乙，若让该小物块从木板的底端每次均以大小相同的初速度v0＝10 m/s沿木板向上运动，随着θ的改变，小物块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度g取10 m/s2.
图9
(1)求小物块与木板间的动摩擦因数；
(2)当θ角满足什么条件时，小物块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值．
答案 (1)eq \f(\r(3),3) (2)θ＝60° eq \f(5\r(3),2) m
解析 (1)当θ＝30°时，小物块恰好能沿着木板匀速下滑，则mgsin θ＝Ff，Ff＝μmgcs θ
联立解得：μ＝eq \f(\r(3),3).
(2)当θ变化时，设沿斜面向上为正方向，物块的加速度为a，则－mgsin θ－μmgcs θ＝ma，
由0－v02＝2ax得x＝eq \f(v\\al(02),2gsin θ＋μcs θ)，
令cs α＝eq \f(1,\r(1＋μ2))，sin α＝eq \f(μ,\r(1＋μ2))，
即tan α＝μ＝eq \f(\r(3),3)，
故α＝30°，
又因x＝eq \f(v\\al(02),2g\r(1＋μ2)sin θ＋α)
当α＋θ＝90°时x最小，即θ＝60°，
所以x最小值为xmin＝eq \f(v\\al(02),2gsin 60°＋μcs 60°)
＝eq \f(\r(3)v\\al(02),4g)＝eq \f(5\r(3),2) m.
课时精练
1.(多选)(2020·贵州贵阳市摸底)如图1所示，水平地面上有三个靠在一起的物块A、B和C，质量均为m，设它们与地面间的动摩擦因数均为μ，用水平向右的恒力F推物块A，使三个物块一起向右做匀加速直线运动，用F1、F2分别表示A与B、B与C之间相互作用力的大小，则下列判断正确的是( )
图1
A．若μ≠0，则F1∶F2＝2∶1
B．若μ≠0，则F1∶F2＝3∶1
C．若μ＝0，则F1∶F2＝2∶1
D．若μ＝0，则F1∶F2＝3∶1
答案 AC
解析 三物块一起向右做匀加速直线运动，设加速度为a，若μ＝0，分别对物块B、C组成的系统和物块C应用牛顿第二定律有F1＝2ma，F2＝ma，易得F1∶F2＝2∶1，C项正确，D项错误；若μ≠0，分别对物块B、C组成的系统和物块C应用牛顿第二定律有F1－2μmg＝2ma，F2－μmg＝ma，易得F1∶F2＝2∶1，A项正确，B项错误．
2．(多选)如图2所示，在粗糙的水平面上，质量分别为m和M的物块A、B用轻弹簧相连，两物块与水平面间的动摩擦因数均为μ，当用水平力F作用于B上且两物块共同向右以加速度a1匀加速运动时，弹簧的伸长量为x1；当用同样大小的恒力F沿着倾角为θ的光滑斜面方向作用于B上且两物块共同以加速度a2匀加速沿斜面向上运动时，弹簧的伸长量为x2，则下列说法正确的是( )
图2
A．若m>M，有x1＝x2 B．若mC．若μ>sin θ，有x1>x2 D．若μ答案 AB
解析 在水平面上滑动时，对整体，根据牛顿第二定律，有
F－μ(m＋M)g＝(m＋M)a1①
隔离物块A，根据牛顿第二定律有
FT－μmg＝ma1②
联立①②解得FT＝eq \f(Fm,m＋M)③
在斜面上滑动时，对整体，根据牛顿第二定律，有
F－(m＋M)gsin θ＝(m＋M)a2④
隔离物块A，根据牛顿第二定律有
FT′－mgsin θ＝ma2⑤
联立④⑤解得FT′＝eq \f(Fm,M＋m)⑥
比较③⑥可知，弹簧弹力相等，即弹簧伸长量相等，与动摩擦因数和斜面的倾角无关，故A、B正确，C、D错误．
3.如图3所示，质量为M、中空为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑凹槽内有一质量为m的小铁球，现用一水平向右的推力F推动凹槽，小铁球与光滑凹槽相对静止时，凹槽圆心和小铁球的连线与竖直方向成α角．重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
图3
A．小铁球受到的合外力方向水平向左
B．凹槽对小铁球的支持力为eq \f(mg,sin α)
C．系统的加速度为a＝gtan α
D．推力F＝Mgtan α
答案 C
解析 根据小铁球与光滑凹槽相对静止可知，系统有向右的加速度a＝gtan α，小铁球受到的合外力方向水平向右，凹槽对小铁球的支持力为eq \f(mg,cs α)，推力F＝(M＋m)gtan α，选项A、B、D错误，C正确．
4.如图4所示，质量为1 kg的木块A与质量为2 kg的木块B叠放在水平地面上，A、B间的最大静摩擦力为2 N，B与地面间的动摩擦因数为0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．用水平力F作用于B，则A、B保持相对静止的条件是(g取10 m/s2)( )
图4
A．F≤12 N B．F≤10 N
C．F≤9 N D．F≤6 N
答案 A
解析 当A、B间有最大静摩擦力(2 N)时，对A由牛顿第二定律知，加速度为2 m/s2，对A、B整体应用牛顿第二定律有：F－μ(mA＋mB)g＝(mA＋mB)a，解得F＝12 N，则A、B保持相对静止的条件是F≤12 N，A正确，B、C、D错误．
5.(多选)(2019·河北保定市一模)如图5所示，一质量为M＝3 kg、倾角为α＝45°的斜面体放在光滑水平地面上，斜面体上有一质量为m＝1 kg的光滑楔形物体．用一水平向左的恒力F作用在斜面体上，系统恰好保持相对静止地向左运动．重力加速度为g＝10 m/s2，下列判断正确的是( )
图5
A．系统做匀速直线运动
B．F＝40 N
C．斜面体对楔形物体的作用力大小为5eq \r(2) N
D．增大力F，楔形物体将相对斜面体沿斜面向上运动
答案 BD
解析 对整体受力分析如图甲所示，由牛顿第二定律有F＝(M＋m)a，对楔形物体受力分析如图乙所示，
由牛顿第二定律有mgtan 45°＝ma，可得F＝40 N，a＝10 m/s2，A错误，B正确；斜面体对楔形物体的作用力FN2＝eq \f(mg,sin 45°)＝eq \r(2)mg＝10eq \r(2) N，C错误；外力F增大，则斜面体加速度增加，楔形物体不能获得那么大的加速度，将会相对斜面体沿斜面上滑，D正确．
6.(多选)(2019·广东湛江市第二次模拟)如图6所示，a、b、c为三个质量均为m的物块，物块a、b通过水平轻绳相连后放在水平面上，物块c放在b上．现用水平拉力作用于a，使三个物块一起水平向右匀速运动．各接触面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g.下列说法正确的是( )
图6
A．该水平拉力大于轻绳的弹力
B．物块c受到的摩擦力大小为μmg
C．当该水平拉力增大为原来的1.5倍时，物块c受到的摩擦力大小为0.5μmg
D．剪断轻绳后，在物块b向右运动的过程中，物块c受到的摩擦力大小为μmg
答案 ACD
解析 三物块一起做匀速直线运动，由平衡条件，对a、b、c系统：F＝3μmg，对b、c系统：FT＝2μmg，则：F＞FT，即水平拉力大于轻绳的弹力，故A正确；c做匀速直线运动，处于平衡状态，则c不受摩擦力，故B错误；当水平拉力增大为原来的1.5倍时，F′＝1.5F＝4.5μmg，由牛顿第二定律，对a、b、c系统：F′－3μmg＝3ma，对c：Ff＝ma，解得：Ff＝0.5μmg，故C正确；剪断轻绳后，b、c一起做匀减速直线运动，由牛顿第二定律，对b、c系统：2μmg＝2ma′，对c：Ff′＝ma′，解得：Ff′＝μmg，故D正确．
7．(多选)(2020·湖北荆州市高三上学期质量检测)如图7所示，倾角为30°的光滑斜面上放一质量为m的盒子A，A盒用轻质细绳跨过光滑轻质定滑轮与B盒相连，A盒与定滑轮间的细绳与斜面平行，B盒内放一质量为eq \f(m,2)的物体．如果把这个物体改放在A盒内，则B盒加速度恰好与原来等值反向，重力加速度大小为g，则B盒的质量mB和系统的加速度a的大小分别为( )
图7
A．mB＝eq \f(m,4) B．mB＝eq \f(3m,8)
C．a＝0.2g D．a＝0.4g
答案 BC
解析 当物体放在B盒中时，以A、B和B盒内的物体整体为研究对象，根据牛顿第二定律有
(mBg＋eq \f(1,2)mg)－mgsin 30°＝(m＋mB＋eq \f(1,2)m)a
当物体放在A盒中时，以A、B和A盒内的物体整体为研究对象，根据牛顿第二定律有
(m＋eq \f(1,2)m)gsin 30°－mBg＝(m＋mB＋eq \f(1,2)m)a
联立解得mB＝eq \f(3m,8)
加速度大小为a＝0.2g
故A、D错误、B、C正确．
8.(2019·广东汕头市模拟)如图8所示，载货车厢通过悬臂固定在缆绳上，缆绳与水平方向夹角为θ，当缆绳带动车厢以加速度a匀加速向上运动时，货物在车厢中与车厢相对静止，则货物与车厢的动摩擦因数至少为(悬臂竖直，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g)( )
图8
A.eq \f(asin θ,g＋acs θ) B.eq \f(acs θ,g＋asin θ) C.eq \f(asin θ,g－acs θ) D.eq \f(acs θ,g－asin θ)
答案 B
解析 把加速度沿水平方向和竖直方向进行分解，对货物进行受力分析有FN－mg＝masin θ，Ff＝macs θ≤μFN，联立得出μ≥eq \f(acs θ,g＋asin θ)，B正确．
9.(多选)(八省联考·湖南·10)如图9，三个质量均为1 kg的物体A、B、C叠放在水平桌面上，B、C用不可伸长的轻绳跨过一光滑轻质定滑轮连接，A与B之间、B与C之间的接触面以及轻绳均与桌面平行．A与B之间、B与C之间以及C与桌面之间的动摩擦因数分别为0.4、0.2和0.1，重力加速度g取10 m/s2.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．用力F沿水平方向拉物体C，以下说法正确的是( )
图9
A．拉力F小于11 N时，不能拉动C
B．拉力F为17 N时，轻绳的拉力为4 N
C．要使A、B保持相对静止，拉力F不能超过23 N
D．A的加速度将随拉力F的增大而增大
答案 AC
解析 若刚好拉动C，
对C：F＝μ桌·3mg＋μBC·2mg＋FT①
对A、B整体：FT＝μBC·2mg②
由①②得：F＝μ桌·3mg＋μBC·4mg＝11 N
故拉力F小于11 N时不能拉动C，A正确；
F为17 N时，C、B都在做加速运动，aB>0，而B恰好被拉动时，即aB＝0时FT＝μBC·2mg＝4 N，
故当F＝17 N时，FT′>4 N，B错误；
A、B保持相对静止时，A、B的最大加速度amax＝eq \f(μABmg,m)＝μABg＝4 m/s2
对A、B整体：FT″－μBC·2mg＝2mamax
对C：F－μBC·2mg－μ桌·3mg－FT″＝mamax
得F＝23 N，C正确；
A、B发生相对滑动后，A的加速度保持不变，故D错误．
10．(2019·广东深圳市模拟)如图10所示，两个质量均为m的相同的物块叠放在一个轻弹簧上面，处于静止状态．弹簧的下端固定于地面上，弹簧的劲度系数为k.t＝0时刻，给A物块一个竖直向上的作用力F，使得两物块以0．5g的加速度匀加速上升，下列说法正确的是( )
图10
A．A、B分离前合外力大小与时间的平方t2成线性关系
B．分离时弹簧处于原长状态
C．在t＝eq \r(\f(2m,k))时刻A、B分离
D．分离时B的速度大小为eq \r(\f(m,4k))g
答案 C
解析 A、B分离前两物块做匀加速运动，合外力不变，选项A错误；开始时弹簧的压缩量为x1，则2mg＝kx1；当两物块分离时，加速度相同且两物块之间的弹力为零，对物体B，有kx2－mg＝ma，且x1－x2＝eq \f(1,2)at2，解得x1＝eq \f(2mg,k)，x2＝eq \f(3mg,2k)，t＝eq \r(\f(2m,k))，此时弹簧仍处于压缩状态，选项B错误，C正确；分离时B的速度大小为v＝at＝eq \f(1,2)g·eq \r(\f(2m,k))＝eq \r(\f(m,2k))g，选项D错误．极限法
把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的
假设法
临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
数学法
将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件