新高考物理一轮复习讲与练专题6.2 机械能守恒定律及其应用及实验【讲】(2份打包，原卷版+解析版)

这是一份新高考物理一轮复习讲与练专题6.2 机械能守恒定律及其应用及实验【讲】(2份打包，原卷版+解析版)，文件包含新高考物理一轮复习讲与练专题62机械能守恒定律及其应用及实验讲原卷版doc、新高考物理一轮复习讲与练专题62机械能守恒定律及其应用及实验讲解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc21401" 一 讲核心素养 PAGEREF _Tc21401 1
\l "_Tc14624" 二 讲必备知识 PAGEREF _Tc14624 1
\l "_Tc1252" 【知识点一】机械能守恒定律的判断 PAGEREF _Tc1252 1
\l "_Tc25281" 【知识点二】单物体机械能守恒问题 PAGEREF _Tc25281 3
\l "_Tc8990" 【知识点三】实验：验证机械能守恒定律 PAGEREF _Tc8990 6
\l "_Tc15317" 三．讲关键能力 PAGEREF _Tc15317 11
\l "_Tc27959" 【能力点一】.多物体机械能守恒问题 PAGEREF _Tc27959 11
\l "_Tc2987" 【能力点二】.含“弹簧类”机械能守恒问题 PAGEREF _Tc2987 14
\l "_Tc26867" 【能力点三】.实验创新 PAGEREF _Tc26867 16
\l "_Tc30176" 四．讲模型思想---用机械能守恒定律解决非质点问题 PAGEREF _Tc30176 20
一 讲核心素养
1.物理观念：重力势能、机械能。
(1)理解功和功率。了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义。
(2)理解动能和动能定理。能用动能定理解释生产生活中的现象。
2.科学思维：机械能守恒定律。
(1)理解重力势能，知道重力势能的变化与重力做功的关系。定性了解弹性势能。。
(2)知道机械能的含义会判断研究对象在某一过程机械能是否守恒.
(3).能应用机械能守恒定律解决具体问题．
3.科学态度与责任：
(1)理解机械能守恒定律，体会守恒观念对认识物理规律的重要性。
(2).能用机械能守恒定律分析生产生活中的有关问题。
4.科学探究：实验：验证机械能守恒定律
(1).熟悉“验证机械能守恒定律”的基本实验原理及注意事项.
(2).会验证创新实验的机械能守恒．
二 讲必备知识
【知识点一】机械能守恒定律的判断
1．利用机械能的定义判断：分析动能和势能的和是否变化．
2．利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．
3．利用能量转化来判断：若物体或系统只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒．
【例1】(2021·福建邵武七中期中)(多选)如图，轻弹簧竖立在地面上，正上方有一钢球，从A处自由下落，落到B处时开始与弹簧接触，此时向下压缩弹簧．小球运动到C处时，弹簧对小球的弹力与小球的重力平衡．小球运动到D处时，到达最低点．不计空气阻力，以下描述正确的有 ( )
A．小球由A向B运动的过程中，处于完全失重状态，小球的机械能减少
B．小球由B向C运动的过程中，处于失重状态，小球的机械能减少
C．小球由B向C运动的过程中，处于超重状态，小球的动能增加
D．小球由C向D运动的过程中，处于超重状态，小球的机械能减少
【答案】 BD
【解析】 小球由A向B运动的过程中，做自由落体运动，加速度等于竖直向下的重力加速度g，处于完全失重状态，此过程中只有重力做功，小球的机械能守恒，A错误；小球由B向C运动的过程中，重力大于弹簧的弹力，加速度向下，小球处于失重状态，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的弹性势能增加，小球的机械能减少，由于小球向下加速运动，小球的动能还是增大的，B正确，C错误；小球由C向D运动的过程中，弹簧的弹力大于小球的重力，加速度方向向上，处于超重状态，弹簧继续被压缩，弹性势能继续增大，小球的机械能继续减小，D正确．
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。要求考生掌握受力分析及做功知道机械能守恒定律的条件。
【变式训练1】(2021·河北唐山市高三二模)如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，弹簧一直保持竖直，空气阻力不计，那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是( )
A．小球的动能一直减小
B．小球的机械能守恒
C．克服弹力做功大于重力做功
D．最大弹性势能等于小球减少的动能
【答案】 C
【解析】 小球开始下落时，只受重力作用做加速运动，当与弹簧接触时，受到弹簧弹力作用，开始时弹簧压缩量小，因此重力大于弹力，速度增大，随着弹簧压缩量的增加，弹力增大，当重力等于弹力时，速度最大，然后弹簧继续被压缩，弹力大于重力，小球开始减速运动，所以整个过程中小球先加速后减速运动，根据Ek＝eq \f(1,2)mv2，动能先增大然后减小，故A错误；在向下运动的过程中，小球受到的弹力对它做了负功，小球的机械能不守恒，故B错误；在向下运动过程中，重力势能减小，最终小球的速度为零，动能减小，弹簧的压缩量增大，弹性势能增大，根据能量守恒，最大弹性势能等于小球减少的动能和减小的重力势能之和，即克服弹力做功大于重力做功，故D错误，C正确．
【变式训练2】(2021·浙江金华十校4月模拟)下列对各图的说法正确的是( )
A.图甲中汽车匀速下坡的过程中机械能守恒
B.图乙中卫星绕地球匀速圆周运动时所受合力为零，动能不变
C.图丙中弓被拉开过程弹性势能减少了
D.图丁中撑竿跳高运动员在上升过程中机械能增大
【答案】 D
【解析】 图甲中汽车匀速下坡的过程中动能不变，重力势能减小，机械能减小，故A错误；图乙中卫星绕地球匀速圆周运动时所受合力提供向心力则不为0，匀速圆周运动速度大小不变，则动能不变，故B错误；图丙中弓被拉开过程橡皮筋形变增大，弹性势能增大，故C错误；图丁中撑竿跳高运动员在上升过程中竿对运动员做正功，其机械能增大，故D正确。
【知识点二】单物体机械能守恒问题
1．机械能守恒的三种表达式
2.解题的一般步骤
(1)选取研究对象；
(2)进行受力分析，明确各力的做功情况，判断机械能是否守恒；
(3)选取参考平面，确定初、末状态的机械能或确定动能和势能的改变量；
(4)根据机械能守恒定律列出方程；
(5)解方程求出结果，并对结果进行必要的讨论和说明．
【例1】(2021·北京市昌平区二模练习)如图所示，半径R＝0.5 m的光滑半圆轨道固定在竖直平面内，半圆轨道与光滑水平地面相切于圆轨道最低端点A。质量m＝1 kg 的小球以初速度v0＝5 m/s 从A点冲上竖直圆轨道，沿轨道运动到B点飞出，最后落在水平地面上的C点，g取10 m/s2，不计空气阻力。
(1)求小球运动到轨道末端B点时的速度vB；
(2)求A、C两点间的距离x；
(3)若小球以不同的初速度冲上竖直圆轨道，并沿轨道运动到B点飞出，落在水平地面上。求小球落点与A点间的最小距离xmin。
【答案】 (1)eq \r(5) m/s (2)1 m (3)1 m
【解析】 (1)选水平地面为零势能参考面，由机械能守恒定律得eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)＋mg·2R
解得vB＝eq \r(5) m/s。
(2)由平抛规律得2R＝eq \f(1,2)gt2，x＝vBt，解得x＝1 m。
(3)设小球运动到B点半圆轨道对小球的压力为FN
圆周运动向心力FN＋mg＝eq \f(mveq \\al(2,B),R)
得当FN＝0时，小球运动到轨道末端B点时的速度最小vBmin＝eq \r(5) m/s
由(2)的计算可知，最小距离xmin＝x＝1 m。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。
【技巧方法】
【变式训练1】(多选)(2021·广东南海中学月考)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上，若以地面为参考平面且不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A．物体落到海平面时的重力势能为mgh
B．物体从抛出到落到海平面的过程重力对物体做功为mgh
C．物体在海平面上的动能为eq \f(1,2)mv02＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为eq \f(1,2)mv02
【答案】 BCD
【解析】 物体运动过程中，机械能守恒，所以任意一点的机械能相等，都等于抛出时的机械能，物体在地面上的重力势能为零，动能为eq \f(1,2)mv02，故整个过程中的机械能为eq \f(1,2)mv02，所以物体在海平面上的机械能为eq \f(1,2)mv02，在海平面上的重力势能为－mgh，根据机械能守恒定律可得－mgh＋eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)mv02，所以物体在海平面上的动能为eq \f(1,2)mv02＋mgh，从抛出到落到海平面，重力做功为mgh，所以B、C、D正确．
【变式训练2】(2020·宁夏石嘴山三中月考)如图所示，P是水平面上的固定圆弧轨道，从高台边B点以速度v0水平飞出质量为m的小球，恰能从左端A点沿圆弧切线方向进入。O是圆弧的圆心，θ是OA与竖直方向的夹角。已知m＝0.5 kg，v0＝3 m/s，θ＝53°，圆弧轨道半径R＝0.5 m，g取10 m/s2，不计空气阻力和所有摩擦，求：
(1)A、B两点的高度差；
(2)小球能否到达最高点C？如能到达，小球对C点的压力大小为多少？
【答案】 见解析
【解析】(1)小球从B到A做平抛运动，到达A点时，速度与水平方向的夹角为θ，则有vA＝eq \f(v0,cs θ)＝5 m/s
根据机械能守恒定律，有mgh＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
解得A、B两点的高度差h＝0.8 m。
(2)假设小球能到达C点，由机械能守恒定律得
eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)＋mgR(1＋cs θ)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)
代入数据解得vC＝3 m/s
小球通过C点的最小速度为v，
则mg＝meq \f(v2,R)，v＝eq \r(gR)＝eq \r(5) m/s
因为vC>v，所以小球能到达最高点C
在C点，由牛顿第二定律得mg＋F＝meq \f(v\\al(2,C),R)
代入数据解得F＝4 N
由牛顿第三定律知，小球对C点的压力大小为4 N。
【知识点三】实验：验证机械能守恒定律
一．实验基本要求
1.实验目的
验证机械能守恒定律。
2.实验原理(如图所示)
通过实验，求出做自由落体运动物体的重力势能的减少量和对应过程动能的增加量，在实验误差允许范围内，若二者相等，说明机械能守恒，从而验证机械能守恒定律。
3.实验器材
打点计时器、交流电源、纸带、复写纸、重物、刻度尺、铁架台(带铁夹)、导线。
4.实验步骤
(1)安装器材：将打点计时器固定在铁架台上，用导线将打点计时器与电源相连。
(2)打纸带
用手竖直提起纸带，使重物停靠在打点计时器下方附近，先接通电源，再松开纸带，让重物自由下落，打点计时器就在纸带上打出一系列的点，取下纸带，换上新的纸带重打几条(3～5条)纸带。
(3)选纸带：分两种情况说明
①若选第1点O到下落到某一点的过程，即用mgh＝eq \f(1,2)mv2来验证，应选点迹清晰，且第1、2两点间距离接近2mm的纸带(电源频率为50 Hz)。
②用eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＝mghAB验证时，由于重力势能的相对性，处理纸带时选择适当的点为基准点即可。
5.实验结论
在误差允许的范围内，自由落体运动过程机械能守恒。
二．基本实验方法
1.误差分析
(1)测量误差：减小测量误差的方法，一是测下落距离时都从O点量起，一次将各打点对应下落高度测量完，二是多测几次取平均值。
(2)系统误差：由于重物和纸带下落过程中要克服阻力做功，故动能的增加量ΔEk＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,n)必定稍小于重力势能的减少量ΔEp＝mghn，改进办法是调整安装的器材，尽可能地减小阻力。
2.注意事项
(1)打点计时器要竖直：安装打点计时器时要竖直架稳，使其两限位孔在同一竖直线上，以减少摩擦阻力。
(2)重物应选用质量大、体积小、密度大的材料。
(3)应先接通电源，让打点计时器正常工作，后松开纸带让重物下落。
(4)测长度，算速度：某时刻的瞬时速度的计算应用vn＝eq \f(hn＋1－hn－1,2T)，不能用vn＝eq \r(2ghn)或vn＝gt来计算。
3.验证方案
方案一：利用起始点和第n点计算
代入mghn和eq \f(1,2)mveq \\al(2,n)，如果在实验误差允许的范围内，mghn和eq \f(1,2)mveq \\al(2,n)相等，则验证了机械能守恒定律。
方案二：任取两点计算
(1)任取两点A、B，测出hAB，算出mghAB。
(2)算出eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)的值。
(3)在实验误差允许的范围内，若mghAB＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)，则验证了机械能守恒定律。
方案三：图象法
从纸带上选取多个点，测量从第一点到其余各点的下落高度h，并计算各点速度的平方v2，然后以eq \f(1,2)v2为纵轴，以h为横轴，根据实验数据作出eq \f(1,2)v2－h图象。若在误差允许的范围内图象是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒定律。
【例1】 (2021·天津市六校期末联考)“落体法”是验证机械能守恒定律的主要方法之一(如图甲)，某次操作得到了如图乙所示的纸带，已知打点周期为T、重锤的质量为m，依次测出了各计时点到第一个计时点O的距离如图中所示，请回答下列问题：
甲
(1)打A点时重锤的速度表达式vA＝__________。若已经计算出A点和E点的速度分别为vA、vE，并且选取A到E的过程进行机械能守恒定律的验证，则需要验证的关系式为____________________。
(2)如果某次实验时，发现重力势能的减小量比动能的增加量大很多，出现这种现象的原因可能是__________(填序号)。
A.重物质量测量得不准确
B.因为阻力的作用，所以实验误差很大，但也能验证机械能守恒定律成立
C.打点计时器两个限位孔不在同一条竖直线上，摩擦力或阻力太大导致的
D.实验时出现了先放纸带，后接通电源这样的错误操作导致的
【答案】 (1)eq \f(h2,2T) g(h4－h1)＝eq \f(1,2)veq \\al(2,E)－eq \f(1,2)veq \\al(2,A) (2)C
【解析】 (1)根据某段时间内中间时刻的速度等于这段时间的平均速度知，A点速度为vA＝eq \f(h2,2T)， 从A到E过程，重力势能减少量为ΔEp＝mghAE＝mg(h4－h1)，其动能增加量为ΔEk＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,E)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)，若机械能守恒则有ΔEp＝ΔEk，化简得g(h4－h1)＝eq \f(1,2)×(veq \\al(2,E)－veq \\al(2,A))。
(2)在该实验中，由于摩擦力、空气阻力等阻力的存在，重锤减小的重力势能总是稍稍大于重锤动能的增加量；若重锤减小的重力势能比重锤动能的增加量大得多，就要考虑阻力太大的原因。验证机械能守恒的式子为gh＝eq \f(1,2)v2，与质量无关，故A错误；若阻力作用很大，应出现重力势能的减小量比动能的增加量大得多，但不能验证机械能守恒定律成立，故B错误；若两限位孔不在同一条竖直线上，纸带和限位孔的阻力过大，会造成重力势能的减小量比动能的增加量大很多，故C正确；若先释放纸带，后接通电源会出现计算动能增加量大于重力势能减少量，故D错误。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学探究要求考生能理解实验原理及方法并且能利用纸带处理实验数据。
【必备知识】实验原理与操作
本实验是利用自由落体运动验证机械能守恒定律，测出物体下落的高度及初、末位置的速度是实验的关键，操作上注意三点：
(1)重物要靠近打点计时器。
(2)纸带要保持竖直。
(3)先接通电源再放开纸带。
【变式训练1】．(2020·郑州模拟)如图甲所示为验证机械能守恒定律的实验装置。现有器材为：带铁夹的铁架台、电磁打点计时器、纸带、带铁夹的重物、天平。
甲 乙
(1)为完成实验，还需要的器材有________。
A．米尺 B．0～6 V直流电源
C．秒表D．0～6 V交流电源
(2)某同学用图甲所示装置打出的一条纸带如图乙所示，相邻两点之间的时间间隔为0.02 s，根据纸带计算出打下D点时重物的速度大小为________m/s。(结果保留三位有效数字)
(3)采用重物下落的方法，根据公式eq \f(1,2)mv2＝mgh验证机械能守恒定律，对实验条件的要求是________________，为验证和满足此要求，所选择的纸带第1、2点间的距离应接近________。
(4)该同学根据纸带算出了相应点的速度，作出v2­h图象如图丙所示，则图线斜率的物理意义是________________。
丙
【答案】(1)AD (2)1.75 (3)重物的初速度为零 2 mm (4)当地重力加速度的2倍
【解析】 (1)通过打点计时器计算时间，不需要秒表，打点计时器应该与交流电源连接，需要刻度尺测量纸带上两点间的距离，故A、D正确，B、C错误。
(2)由图可知CE间的距离为x＝19.41 cm－12.40 cm＝7.01 cm＝0.0 701 m，则由平均速度公式得D点的速度vD＝eq \f(x,2T)＝eq \f(0.0 701,0.04) m/s≈1.75 m/s。
(3)用公式eq \f(1,2)mv2＝mgh时，对纸带上起点的要求是重物是从初速度为零开始下落，打点计时器的打点频率为50 Hz，打点周期为0.02 s，重物开始下落后，在第一个打点周期内重物下落的高度h＝eq \f(1,2)gT2＝eq \f(1,2)×9.8×0.022 m≈2 mm，所以所选的纸带最初两点间的距离接近2 mm。
(4)由机械能守恒mgh＝eq \f(1,2)mv2得v2＝2gh，由此可知图象的斜率k＝2g。
三．讲关键能力
【能力点一】.多物体机械能守恒问题
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．几种实际情景的分析
(1)速率相等情景
用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
(2)角速度相等情景
杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
(3)关联速度情景
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
【例1】(2021·东北三省三校第二次联合模拟)如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆L1、L2，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计。两个小球a、b(视为质点)质量均为m，a球套在竖直杆L1上，b球套在水平杆L2上，a、b通过铰链用长度为l的刚性轻杆L连接，将a球从图示位置(轻杆与L2杆夹角为45°)由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g。在此后的运动过程中，下列说法中正确的是( )
A.a球和b球所组成的系统机械能不守恒
B.b球的速度为零时，a球的加速度大小为零
C.b球的最大速度为eq \r(（2＋\r(2)）gl)
D.a球的最大速度为eq \r(\r(2)gl)
【答案】 C
【解析】 a球和b球组成的系统没有外力做功，只有a球和b球的动能和重力势能相互转换，因此a球和b球所组成的系统机械能守恒，A错误；设轻杆L和水平杆L2的夹角为θ，由运动关联可知vbcs θ＝vasin θ，则vb＝vatan θ，可知当b球的速度为零时，轻杆L处于水平位置且与杆L2平行，则此时a球在竖直方向只受重力mg，因此a球的加速度大小为g，B错误；当杆L和杆L1第一次平行时，a球运动到最下方，b球运动到L1和L2交点位置，b球的速度达到最大，此时a球的速度为0，因此由系统机械能守恒有mg(eq \f(\r(2),2)l＋l)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,b)，解得vb＝eq \r(（2＋\r(2)）gl)，C正确；当轻杆L和杆L2第一次平行时，由运动的关联可知此时b球的速度为零，由系统机械能守恒有mg·eq \f(\r(2),2)l＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,a)，解得va＝eq \r(\r(2)gl)，此时a球具有向下的加速度g，故此时a球的速度不是最大，a球将继续向下做加速度减小的加速运动，到加速度为0时速度达到最大，D错误。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学推理。
【要点提炼】1.对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
2.注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
3.列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
【变式训练】(2021·泰安二模)如图所示，可视为质点的小球1、2由不可伸长的细绳相连，小球1悬挂在定滑轮O的下方，小球2在半径为R的半球形固定容器内，定滑轮O与容器的边缘D及球心C在同一水平线上。系统静止时，小球1在定滑轮正下方R处的A点，小球2位于B点，BD间的细绳与水平方向的夹角θ＝60°。已知小球1的质量为m，重力加速度为g，不计一切摩擦，忽略滑轮的质量。(结果用根号表示)
(1)试求小球2的质量；
(2)现将小球2置于D处由静止释放(小球1未触及地面)，求小球1到达A点时的动能；
(3)在第(2)问中，小球2经过B点时，突然剪断细绳，求小球2经过容器最低点时对容器的压力。
【思路点拨】：解此题要注意以下关键信息
(1)静止时，细绳的拉力等于小球1的重力，小球2受重力、拉力、支持力作用。
(2)小球1到达A点时的速度等于小球2的速度沿绳子的分速度。
(3)绳断后小球2的初速度是B点时的切向速度。
【答案】 (1)eq \r(3)m (2)eq \f(4\r(3)－3,26)mgR (3)eq \f(35\r(3)－23,13)mg，方向向下
【解析】(1)设系统静止时细绳中的拉力大小为T。小球受到容器的支持力FB方向沿BC。由几何关系知△DBC为正三角形，所以
∠DBC＝θ①
对小球1、小球2，根据共点力的平衡条件知
T＝mg②
Tcs θ＝FBcs θ③
Tsin θ＋FBsin θ＝m2g④
解得：m2＝eq \r(3)m。⑤
(2)设经过题中图示位置时小球1的速度为v1，小球2的速度为v2。v1沿绳竖直向上，v2沿圆弧切线斜向下。
由几何关系知，v2与DB延长线的夹角为90°－θ⑥
由运动关系可知，v1与v2应满足
v2sin θ＝v1⑦
由几何关系知，BD＝R⑧
根据机械能守恒定律得
m2gRsin θ－mgR＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)＋eq \f(1,2)m2veq \\al(2,2)⑨
此时小球1的动能Ek＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)⑩
解得Ek＝eq \f(3mgR,23＋4\r(3))＝eq \f(4\r(3)－3,26)mgR⑪
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(v\\al(2,2)＝\f(4gR,4\r(3)＋3)，v\\al(2,1)＝\f(3gR,4\r(3)＋3)))。
(3)细绳剪断后，小球2以v2为初速度，从B点沿圆弧运动到最低点，设经过最低点的速度为v3，
根据机械能守恒定律，得
eq \f(1,2)m2veq \\al(2,2)＋m2g(R－Rsin θ)＝eq \f(1,2)m2veq \\al(2,3)⑫
设小球2经过容器最低点时受到的支持力为N，根据牛顿第二定律得N－m2g＝m2eq \f(v\\al(2,3),R)⑬
解得N＝eq \f(35\r(3)－23,13)mg⑭
由牛顿第三定律知，小球2对容器的压力大小也为
eq \f(35\r(3)－23,13)mg，方向向下。⑮
【能力点二】.含“弹簧类”机械能守恒问题
1.由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力(除重力外)和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
2.弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。
3.如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)。
【例1】(多选)(2020·淄博模拟)如图所示，足够长的光滑斜面固定在水平面上，轻质弹簧与A、B物块相连，A、C物块由跨过光滑小滑轮的轻绳连接。初始时刻，C在外力作用下静止，绳中恰好无拉力，B放置在水平面上，A静止。现撤去外力，物块C沿斜面向下运动，当C运动到最低点时，B对地面的压力刚好为零。已知A、B的质量均为m，弹簧始终处于弹性限度内，则上述过程中( )
A．C的质量mC可能小于m
B．C的速度最大时，A的加速度为零
C．C的速度最大时，弹簧弹性势能最小
D．A、B、C系统的机械能先变大后变小
【答案】BCD
【解析】弹簧原来的压缩量x1＝eq \f(mg,k)，当C运动到最低点时，B对地面的压力刚好为零，弹簧的拉力等于B的重力，则弹簧此时的伸长量为x2＝eq \f(mg,k)，则x1＝x2，弹簧初、末状态的弹性势能相等，根据A、B、C和弹簧构成的系统机械能守恒，则有mCgsin α·eq \f(2mg,k)＝mg·eq \f(2mg,k)，α是斜面的倾角，解得mCsin α＝m，sin α<1，所以mC>m，故A错误；C速度最大时，加速度为零，则有绳子拉力FT＝mCgsin α＝mg，因此A的加速度为零，此时弹簧的弹力为零，弹簧弹性势能最小，故B、C正确；由于A、B、C和弹簧构成的系统机械能守恒，而弹簧先由压缩恢复原长再拉伸，所以弹性势能先减小后增加，故A、B、C系统的机械能先变大后变小，故D正确。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学推理。
【技巧点拨】1．对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧伸长量和压缩量相等时，弹簧弹性势能相等．
2．物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关．
【变式训练1】 (多选)(2021·湖南衡阳市第二次模拟)如图所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一个带有孔的小球，小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小球从A点由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到最低点D点，OB垂直于杆，则下列结论正确的是( )
A.小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g
B.小球从B点运动到C点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增大
C.小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大
D.小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大
【答案】 AD
【解析】 在B点时，小球的加速度为g，在BC间弹簧处于压缩状态，小球在竖直方向除受重力外还有弹簧弹力沿竖直方向向下的分力，所以小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g，故A正确；由机械能守恒可知，小球从B点运动到C点的过程，小球做加速运动，即动能增大，所以小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一定减小，故B错误；小球运动到C点时，由于弹簧的弹力为零，合力为重力G，所以小球从C点往下还会加速一段，所以小球在C点的速度不是最大，即重力的功
率不是最大，故C错误；D点为小球运动的最低点，即速度为零，弹簧形变量最大，所以小球在D点时弹簧的弹性势能最大，故D正确。
【变式训练2】(2020·安徽巢湖市质检)如图所示，光滑水平轨道AB与光滑半圆形轨道BC在B点相切连接，半圆轨道半径为R，轨道AB、BC在同一竖直平面内．一质量为m的物块在A处压缩弹簧，并由静止释放，物块恰好能通过半圆轨道的最高点C.已知物块在到达B点之前已经与弹簧分离，重力加速度为g.求：
(1)物块由C点平抛出去后在水平轨道上的落点到B点的距离；
(2)物块在B点时对半圆轨道的压力大小；
(3)物块在A点时弹簧的弹性势能．
【答案】 (1)2R (2)6mg (3)eq \f(5,2)mgR
【解析】 (1)因为物块恰好能通过C点，则有：mg＝meq \f(v\\al(C2),R)
又x＝vCt,2R＝eq \f(1,2)gt2
解得x＝2R
即物块在水平轨道上的落点到B点的距离为2R；
(2)物块由B到C过程中机械能守恒，
则有eq \f(1,2)mvB2＝2mgR＋eq \f(1,2)mvC2
设物块在B点时受到的半圆轨道的支持力大小为FN，
则有：FN－mg＝meq \f(v\\al(B2),R)，
解得FN＝6mg
由牛顿第三定律可知，物块在B点时对半圆轨道的压力大小为FN′＝FN＝6mg.
(3)由机械能守恒定律可知，物块在A点时弹簧的弹性势能为
Ep＝2mgR＋eq \f(1,2)mvC2，解得Ep＝eq \f(5,2)mgR.
【能力点三】.实验创新
在高考中往往以课本实验为背景，通过改变实验条件、实验仪器设置题目，不脱离教材而又不拘泥教材，体现开放性、探究性、创新性等特点，如以下拓展创新角度：
【例1】(2021·山东泰安市一轮检测)如图所示，利用气垫导轨进行“验证机械能守恒定律”实验的装置。主要实验步骤如下：
A.将气垫导轨放在水平桌面上，并调至水平；
B.测出遮光条的宽度d；
C.将带有遮光条的滑块移至图示的位置，测出遮光条到光电门的距离l；
D.释放滑块，读出遮光条通过光电门的遮光时间t；
E.用天平称出托盘和砝码的总质量m；
F.……；
已知重力加速度为g。请回答下列问题：
(1)为验证机械能守恒定律，还需要测的物理量是______________________(写出要测的物理量名称及对应该量的符号)。
(2)滑块从静止释放，运动到光电门的过程中，所要验证的机械能守恒的表达式__________________(用上述物理量符号表示)。
【答案】 (1)滑块和遮光条的质量M (2)mgl＝eq \f(（M＋m）d2,2t2)
【解析】 (1)挡光条通过光电门的速率为v＝eq \f(d,t)，令滑块和遮光条的总质量为M，托盘和砝码下落过程中，系统增加的动能为ΔEk＝eq \f(1,2)(M＋m)v2＝eq \f(（m＋M）d2,2t2)，根据题意可知，系统减少的重力势能即为托盘和砝码减小的重力势能，即为ΔEp＝mgl，为了验证机械能守恒，需满足的关系是mgl＝eq \f(（m＋M）d2,2t2)，实验中还要测量的物理量为滑块和遮光条的总质量M。
(2)滑块从静止释放，运动到光电门的过程中，所要验证的机械能守恒的表达式mgl＝eq \f(（m＋M）d2,2t2)。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学探究及科学推理。
【方法技巧】本实验可以从下列几个方面进行创新
1．速度测量方法的创新
从测量纸带上各点速度→eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(由光电门测速度,由频闪照片测速度,由平抛运动测速度))
2．研究对象的创新
从单个物体创新为两个物体组成的系统，验证系统在某一过程机械能守恒．
3．实验目的的创新
由机械能守恒定律测量弹簧的弹性势能，测重力加速度．
【变式训练1】(2021·山东日照市4月模拟)某实验小组用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律。将一钢球用细线系住悬挂在铁架台上，钢球静止于A点。在钢球底部竖直地粘住一片宽度为d的遮光条。在A的正下方固定一光电门，将钢球拉至不同位置由静止释放，遮光条经过光电门的挡光时间t可由计时器测出，取v＝eq \f(d,t)作为钢球经过A点时的瞬时速度。记录钢球每次下落的高度h和计时器示数t，计算并比较钢球在释放点和A点之间重力势能的变化大小ΔEp与动能的变化大小ΔEk，就能验证机械能是否守恒。
(1)用ΔEk＝eq \f(1,2)mv2计算钢球动能变化量的大小，用刻度尺测量遮光条宽度，示数如图乙所示，其读数为________ cm。某次测量中，计时器的示数为0.010 0 s，则钢球经过A时的速度v＝________ m/s(保留3位有效数字)。
(2)下表为该实验小组的实验结果：
从表中发现ΔEp与ΔEk之间存在差异，可能造成该差异的原因是________。
A.用ΔEp＝mgh计算钢球重力势能的变化大小时，钢球下落高度h为测量释放时钢球球心到球在A点时底端之间的竖直距离
B.钢球下落过程中存在空气阻力
C.实验中所求速度是遮光条的速度，比钢球速度略大
【答案】 (1)1.50 1.50 (2)C
【解析】 (1)刻度尺的最小分度值为1 mm，需估读一位，所以读数为1.50 cm；
钢球经过A的速度为v＝eq \f(d,Δt)＝eq \f(1.50×10－2,0.010 0) m/s＝1.50 m/s
(2)表中的ΔEp与ΔEk之间存在差异，且有ΔEk＞ΔEp；钢球下落高度h为测量释放时钢球球心到球在A点时底端之间的竖直距离，测量的高度h偏大则ΔEp偏大，故A错误；若钢球下落过程中存在空气阻力，则有重力势能减少量大于钢球的动能增加量，即ΔEp＞ΔEk，故B错误；实验中所求速度是遮光条的速度，比钢球速度略大，导致ΔEk＞ΔEp，故C正确。
【变式训练2】 (2021·1月广东学业水平选择考适应性测试，11)为了验证小球在竖直平面内摆动过程的机械能是否守恒，利用如图(a)装置，不可伸长的轻绳一端系住一小球，另一端连接力传感器，小球质量为m，球心到悬挂点的距离为L，小球释放的位置到最低点的高度差为h，实验记录轻绳拉力大小随时间的变化如图(b)，其中Fm是实验中测得的最大拉力值，重力加速度为g，请回答以下问题：
(1)小球第一次运动至最低点的过程，重力势能的减少量ΔEp＝________，动能的增加量ΔEk＝________。(均用题中所给字母表示)
(2)观察图(b)中拉力峰值随时间变化规律，试分析造成这一结果的主要原因：________________________________________。
(3)为减小实验误差，实验时应选用密度________(选填“较大”或“较小”)的小球。
【答案】 (1)mgh eq \f(（Fm－mg）L,2) (2)空气阻力做负功，机械能有损失 (3)较大
【解析】 (1)小球第一次摆动至最低点的过程，重心下降了h，则重力势能的减少量为
ΔEp＝mgh。
小球第一次摆动至最低点，初速度为零，最低点速度为vm，由牛顿第二定律有
Fm－mg＝meq \f(veq \\al(2,m),L)
而动能的增加量为
ΔEk＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)－0
联立解得ΔEk＝eq \f(（Fm－mg）L,2)。
(2)根据F－t图象可知小球做周期性的摆动每次经过最低点时拉力最大，而最大拉力逐渐变小，说明经过最低点的最大速度逐渐变小，则主要原因空气阻力做负功，导致机械能有损失。
(3)为了减小因空气阻力带来的误差，应选择密度大体积小的球进行实验。
四．讲模型思想---用机械能守恒定律解决非质点问题
1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理。
2．物体虽然不能视为质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
【例1】(2021·陕西宝鸡市模拟)有一条长为2 m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条沿斜面向上滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10 m/s2)( )
A．2.5 m/s B．eq \f(5\r(2),2) m/s C．eq \r(5) m/s D．eq \f(\r(35),2) m/s
【答案】B
【解析】链条的质量为2m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为
E＝Ep＋Ek＝－eq \f(1,2)×2mg×eq \f(L,4)sin θ－eq \f(1,2)×2mg×eq \f(L,4)＋0＝－eq \f(1,4)mgL(1＋sin θ)
链条全部滑出后，动能为
E′k＝eq \f(1,2)×2mv2
重力势能为E′p＝－2mgeq \f(L,2)
由机械能守恒定律可得E＝E′k＋E′p
即－eq \f(1,4)mgL(1＋sin θ)＝mv2－mgL
解得v＝eq \f(1,2)eq \r(gL3－sin θ)＝eq \f(5\r(2),2) m/s，
故B正确，A、C、D错误。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【变式训练】如图所示，总长为l的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时底端对齐，当略有扰动时其一端下落，铁链开始滑动，当铁链脱离滑轮瞬间，铁链速度为( )
A．eq \f(\r(gl),2) B．eq \r(\f(gl,2)) C．eq \r(gl) D．2eq \r(gl)
【答案】B
【解析】铁链从开始到脱离滑轮的过程中，链条重心下降的高度为eq \f(1,4)l，链条下落过程，由机械能守恒定律，得mg·eq \f(l,4)＝eq \f(1,2)mv2，计算得出v＝eq \r(\f(gl,2))，故B正确，A、C、D错误。
守恒角度
转化角度
转移角度
表达式
E1＝E2
ΔEk＝－ΔEp
ΔEA增＝ΔEB减
物理意义
系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等
系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能
系统内A部分物体机械能的增加量等于B部分物体机械能的减少量
注意事项
选好重力势能的参考平面，且初、末状态必须用同一参考平面计算势能
分清重力势能的增加量或减少量，可不选参考平面而直接计算初、末状态的势能差
常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
实验原理的创新
1.利用钢球摆动来验证机械能守恒定律。
2.利用光电门测定摆球的瞬时速度。
实验器材的创新
1．小球在重力作用下做竖直上抛运动。
2.利用频闪照片获取实验数据。
1.利用系统机械能守恒代替单个物体的机械能守恒。
2.利用光电门测定滑块的瞬时速度。
实验过程的创新
1.用光电门测定小球下落到B点的速度。
2.结合eq \f(1,t2)­H图象判断小球下落过程中机械能守恒。
3.分析实验误差ΔEp－ΔEk随H变化的规律。
ΔEp(×10－2 J)
4.892
9.786
14.69
19.59
29.38
ΔEk(×10－2 J)
5.04
10.1
15.1
20.0
29.8