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2025年高考数学精品教案第十章 计数原理 概率 随机变量及其分布 第3讲 二项式定理
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这是一份2025年高考数学精品教案第十章 计数原理 概率 随机变量及其分布 第3讲 二项式定理，共15页。
学生用书P229
1.二项式定理
辨析比较
二项式系数与项的系数的区别
（a＋bx）n的二项展开式中，二项式系数是指Cn0，Cn1，…，Cnn，其与a，b的值无关，如第k＋1项的二项式系数是Cnk；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，其与a，b的值有关，如第k＋1项的系数是Cnkan－kbk.
2.二项式系数的性质
1.[北京高考]在（x－2）5的展开式中，x2的系数为（ C ）
A.－5B.5C.－10D.10
解析 由二项式定理得（x－2）5的展开式的通项Tr＋1＝C5r（x）5－r（－2）r＝C5r-2rx5－r2，令5－r2＝2，得r＝1，所以T2＝C51（－2）x2＝－10x2，所以x2的系数-10，故选C.
2.[教材改编]在（x－y）10的展开式中，系数最小的项是（ C ）
A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项
解析 展开式共有11项，奇数项系数为正，偶数项系数为负，且第6项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项是第6项.
3.已知Cn0＋2Cn1＋22Cn3＋23Cn3＋…＋2nCnn＝243，则Cn1＋Cn2＋Cn3＋…＋Cnn＝（ A ）
A.31B.32C.15D.16
解析 逆用二项式定理得Cn0＋2Cn1＋22Cn2＋23Cn3＋…＋2nCnn＝（1＋2）n＝243，即3n＝35，所以n＝5，所以Cn1＋Cn2＋Cn3＋…＋Cnn＝25－1＝31.
4.[多选]下列说法正确的是（ CD ）
A.Cnkan－kbk是（a＋b）n展开式中的第k项
B.在二项展开式中，系数最大的项为中间的一项或中间的两项
C.在（a＋b）n的展开式中，每一项的二项式系数都与a，b无关
D.在（a＋b）n的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数不同
5.[易错题]已知（2x－1）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn（n∈N*），设（2x－1）n的展开式中所有项的二项式系数和为Sn，Tn＝a1＋a2＋…＋an（n∈N*），则 S4＝ 16 ，T4＝ 0 .
解析 因为（2x－1）n展开式中所有项的二项式系数和为2n，（易混淆：（2x－1）n展开式的二项式系数和为Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n，系数和为a0＋a1＋a2＋…＋an）
所以Sn＝2n，S4＝16.令x＝0，则（－1）n＝a0，令x＝1，则1＝a0＋a1＋a2＋…＋an，所以Tn＝1－（－1）n，所以T4＝0.
学生用书P230
命题点1 展开式中的特定项问题
角度1 形如（a＋b）n（n∈N*）的展开式中的特定项
例1 （1）[2023南京市中华中学检测]若2－x6＝a0+a11+x+a21+x2+…+a61+x6，则a4＝（ B ）
A.270B.135
C.－135D.－270
解析 （2－x）6＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋…＋a6（1＋x）6，以x－1代替x，得（3－x）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，而（3－x）6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C6r36-r-xr=C6r36－r（－1）rxr，令r＝4，则a4＝C64×36－4×（－1）4＝135，故选B.
（2）[2023天津高考]在（2x3－1x）6的展开式中，x2的系数是 60 .
解析 解法一 二项式（2x3－1x）6的展开式的通项Tk＋1＝C6k（2x3）6－k（－1x）k=－1k26－kC6kx18-4k，令18－4k＝2，解得k＝4，所以x2的系数为（－1）4×22×C64＝60.
解法二 将二项式（2x3－1x）6看成6个多项式（2x3－1x）相乘，要想出现x2项，则先在6个多项式中选2个多项式取2x3，然后余下的多项式都取－1x，相乘，即C622x32×C44-1x4=60x2，所以x2的系数为60.
方法技巧
求形如（a＋b）n（n∈N*）的展开式中的特定项问题的步骤
角度2 形如（a＋b）m（c＋d）n（m，n∈N*）的展开式中的特定项
例2 （1）[2023沈阳市三检]（2x－3）2（1－1x）6的展开式中，含x－2项的系数为（ B ）
A.430B.435C.245D.240
解析 （1－1x）6的展开式的通项Tk＋1＝C6k（－1x）k＝（－1）kC6k1xk.（2x－3）2＝4x2－12x+9，当在多项式（4x2－12x＋9）中取4x2时，令k＝4，得4x2·（－1）4C641x4；当在多项式（4x2－12x＋9）中取－12x时，令k＝3，得－12x·（－1）3C631x3；当在多项式（4x2－12x＋9）中取9时，令k＝2，得9×（－1）2C621x2.所以含x－2项的系数为4×（－1）4C64＋（－12）×（－1）3C63＋9×（－1）2C62＝60＋240＋135＝435，故选B.
（2）[2022新高考卷Ⅰ]（1－yx）（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为 －28 .（用数字作答）
解析 （x＋y）8的展开式的通项Tr＋1＝C8rx8－ryr，r＝0，1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝C86x2y6，令r＝5，得T5＋1＝C85x3y5，所以（1－yx）（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为C86－C85＝－28.
方法技巧
求形如（a＋b）m（c＋d）n（m，n∈N*）的展开式中特定项问题的步骤
角度3 形如（a＋b＋c）n（n∈N*）的展开式中的特定项
例3 （1）（x－y＋2）5的展开式中，x3y的系数为（ D ）
A.80B.40
C.－80D.－40
解析 解法一 （x－y＋2）5＝[x－（y－2）]5，其通项Tr＋1＝C5rx5－r（－1）r·（y－2）r，则展开式中含x3的项为C52x3（y－2）2，又（y－2）2的展开式中含y的项为（－2）C21y，所以（x－y＋2）5的展开式中，x3y的系数为C52·C21·（－2）＝－40，故选D.
解法二 要在展开式中得到x3y，可在5个“x－y＋2”中选3个“x”，1个“－y”，1个“2”，故x3y的系数为C53·C21（－1）1×2＝－40.
（2）（1＋2x－3x2）5的展开式中，x5的系数为 92 .
解析 （1＋2x－3x2）5＝（1－x）5（1＋3x）5，所以展开式中x5的系数为C50C5535＋C51（－1）C5434＋C52（－1）2C5333＋C53（－1）3C5232＋C54（－1）4C5131＋C55（－1）5C5030＝92.
方法技巧
求形如（a＋b＋c）n（n∈N*）的展开式中的特定项问题的方法
训练1 （1）已知（2x－a）（x＋2x）6的展开式中x2的系数为－240，则该展开式中的常数项为（ A ）
A.－640B.－320C.640D.320
解析 （x＋2x）6的展开式的通项为Tk＋1＝C6kx6－k·（2x）k＝C6k2kx6－2k.令6－2k＝2，得k＝2；令6－2k＝1，得k＝52，舍去.（注意：k取整数）
故（2x－a）（x＋2x）6的展开式中x2的系数为－aC62·22＝－240，得a＝4.
令6－2k＝－1，得k＝72，不符合题意，舍去；令6－2k＝0，得k＝3.故2x-4x+2x6的展开式中的常数项为－4×C63×23＝－640.
（2）（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（ C ）
A.10B.20C.30D.60
解析 （x2＋x＋y）5表示5个因式（x2＋x＋y）的乘积，要得到含x5y2的项，只需从5个因式中选2个因式取x2，1个因式取x，其余2个因式取y即可，故x5y2的系数为C52C31C22＝30.
命题点2 二项式系数与项的系数的问题
角度1 二项展开式中的系数和问题
例4 [多选]已知（1－2x）2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则下列结论正确的是（ ACD ）
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 023
B.展开式中所有奇次项的系数的和为32 023+12
C.展开式中所有偶次项的系数的和为32 023－12
D.a12＋a222＋a323＋…＋a2 02322 023＝－1
解析 对于A，（1－2x）2 023的展开式中所有项的二项式系数的和为22 023，故A正确；对于B，令f（x）＝（1－2x）2 023，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝f（1）＝－1，a0－a1＋a2－a3＋…－a2 023＝f（－1）＝32 023，所以展开式中所有奇次项的系数的和为f（1）－f（－1）2＝－32 023+12，展开式中所有偶次项的系数的和为f（1）＋f（－1）2＝32 023－12，故B错误，C正确；对于D，a0＝f（0）＝1，a12＋a222＋a323＋…＋a2 02322 023＝f（12）－a0＝－1，故D正确.故选ACD.
方法技巧
应用赋值法求项的系数和问题
（1）对形如（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式中的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可；求系数之差时，只需根据题目要求令x＝1，y＝－1或x＝－1，y＝1即可.
（2）对（a＋bx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令f（x）＝（a＋bx）n，则（a＋bx）n的展开式中各项系数之和为f（1），偶次项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋f（－1）2，奇次项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－f（－1）2.
角度2 与二项展开式中的系数有关的最值问题
例5 （1）[全国卷Ⅰ]设m为正整数，（x＋y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x＋y）2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝（ B ）
A.5B.6C.7D.8
解析 根据二项式系数的性质，知（x＋y）2m展开式中二项式系数的最大值为C2mm，而（x＋y）2m＋1展开式中二项式系数的最大值为C2m+1m，则C2mm＝a，C2m+1m＝b.又13a＝7b，所以13C2mm＝7C2m+1m，即13×（2m)!m！×m！＝7×（2m+1)!（m+1)!×m！，解得m＝6.
（2）已知（x＋124x）n（n≥2）的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中系数最大的项是 7x52和7x74 .
解析 展开式中前三项的系数分别是1，n2，18n（n－1），由题意知，2×n2＝1＋18n（n－1），解得n＝8或n＝1（舍去）.
于是展开式的通项Tk＋1＝C8k·（x）8－k·（124x）k＝C8k·2－k·x4－34k，所以第k＋1项的系数是C8k·2－k，第k项的系数是C8k－1·2－k＋1，第k＋2项的系数是C8k+1·2－k－1.若第k＋1项的系数最大，则C8k·2－k≥C8k－1·2－k＋1且C8k·2－k≥C8k+1·2－k－1，解得2≤k≤3.又k∈Z，因此k＝2或k＝3.故系数最大的项是T3＝C82·2－2·x4－34×2＝7x52和T4＝C83·2－3·x4－34×3＝7x74.
方法技巧
1.二项式系数最值的求法
当n是偶数时，第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为Cnn2；当n是奇数时，第n+12项和第n+32项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cnn－12或Cnn+12.
2.项的系数最值的求法
设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，解不等式组Ak≥Ak－1，Ak≥Ak+1，求出k即可得结果.
训练2 （1）[多选]已知二项式（x－2x）8，则下列结论正确的是（ AB ）
A.第5项的二项式系数最大
B.所有项的系数之和为1
C.有且仅有第6项的系数的绝对值最大
D.展开式中共有4项有理项
解析 由题意知，展开式中共有9项，二项式系数最大的项为第5项，A正确；所有项的系数和为（1－2）8＝1，B正确；Tr＋1＝C8rx8－r·（－2x）r＝（－2）rC8rx8－3r2，r＝0，1，2，…，8，显然r＝0，2，4，6，8时，Tr＋1是有理项，所以共有5项有理项，D错误；由2rC8r≥2r+1C8r+1，2rC8r≥2r－1C8r－1，得18－r≥2r+1，2r≥19－r，解得5≤r≤6，所以r＝5或r＝6，故第6项和第7项的系数的绝对值最大，C错误.故选AB.
（2）[2022浙江]已知多项式（x＋2）（x－1）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝ 8 ，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝ －2 .
解析 由多项式展开式可知，a2＝2C42（－1）2＋C43（－1）3＝12－4＝8.令x＝0可得a0＝2，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2.
命题点3 二项式定理的综合应用
例6 （1）利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是（ D ）
解析 1.056＝（1＋0.05）6＝C60＋C61×0.05＋C62×0.052＋C63×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34.
（2）设a∈N，且0≤a＜26，若51 2 020＋a能被13整除，则a的值为（ D ）
A.0 B.11或0C.12D.12或25
解析 ∵512 020＋a＝（52－1）2 020＋a＝C2 0200522 020（－1）0＋C2 0201522 019（－1）1＋C2 0202522 018（－1）2＋…＋C2 0202 019521·（－1）2 019＋C2 0202 020（－1）2 020＋a，又52能被13整除，∴需使C2 0202 020（－1）2 020＋a能被13整除，即1＋a能被13整除，∴1＋a＝13k，k∈Z，又0≤a＜26，∴a＝12或a＝25，故选D.
方法技巧
二项式定理应用的常见题型及解题策略
训练3 （1）设复数x＝2i1－i（i是虚数单位），则C2 0241x＋C2 0242x2＋C2 0243x3＋…＋C2 0242 024x2 024=（ A ）
A.0B.－2 C.－1＋iD.－1－i
解析 x＝2i1－i＝2i（1+i）（1－i)(1+i）＝－1＋i，则C2 0241x＋C2 0242x2＋C2 0243x3＋…＋C2 0242 024x2 024＝（1＋x）2 024－1＝i2 024－1＝1－1＝0.
（2）若（2x＋1）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3除以8的余数为 5 .
解析 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝3100.令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a100＝1，两式相减得2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）＝3100－1，则2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3＝3100－4.3100－4＝950－4＝（8＋1）50－4＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8＋C5050－4＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－3＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－8＋5，则C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－8＋5除以8的余数为5，即2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3除以8的余数为5.
1.[命题点1角度1/2022天津高考]（x＋3x2）5的展开式中常数项为 15 .
解析 （x＋3x2）5展开式的通项公式为Tk＋1＝C5k（x）5－k（3x2）k＝3kC5kx5－5k2，令5－5k2＝0，得k＝1，所以常数项为3×C51＝15.
2.[命题点1角度2/全国卷Ⅲ]（1＋2x2）（1＋x）4的展开式中x3的系数为（ A ）
A.12B.16C.20D.24
解析 （1＋x）4的展开式的通项公式为Tr＋1＝C4r14－rxr（r＝0，1，2，3，4）.
（1＋2x2）（1＋x）4的展开式中含x3的项的系数为1×（C43×11）＋2×（C41×13）＝12.故选A.
3.[命题点1角度3/2023湖南长沙第一中学段考]（x－2y＋z）8的展开式中x3y3z2的系数是 －4 480 （用数字作答）.
解析 （x－2y＋z）8可看成8个（x－2y＋z）相乘，在8个（x－2y＋z）中的3个式子中取x，3个式子中取－2y，剩下的2个式子中取z，则（x－2y＋z）8的展开式中x3y3z2的系数是C83×C53×（－2）3×C22＝－4 480.
4.[命题点2角度1/2022北京高考]若（2x－1）4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝（ B ）
A.40B.41C.－40D.－41
解析 依题意，令x＝1，可得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0，令x＝－1，可得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，以上两式相
加可得82＝2（a4＋a2＋a0），所以a0＋a2＋a4＝41，故选B.
5.[命题点3]今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过22 021天后是（ D ）
A.星期三B.星期四
C.星期五D.星期六
解析 22 021＝4×22 019＝4×8673＝4×（7＋1）673＝4×（C6730×7673＋C6731×7672＋…＋C673672×7＋C673673），由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，故整个式子除以7的余数为4C673673＝4，故经过22 021天后是星期六，故选D.
6.[命题点3]已知－C1001（2－x）＋C1002（2－x）2－C1003（2－x）3＋…＋C100100（2－x）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则a1＋a2＋a3＋…＋a99的值是 －2 .
解析 记f（x）＝1－C1001（2－x）＋C1002（2－x）2－C1003（2－x）3＋…＋C100100（2－x）100－1＝[1－（2－x）]100－1＝（x－1）100－1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝－1.令x＝0，得a0＝0，又易知a100＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝－2.
7.[命题点3]0.996的计算结果精确到0.001的近似值是（ B ）
解析 0.996＝（1－0.01）6＝C60×1－C61×0.01＋C62×0.012－C63×0.013＋…＋C66×0.016＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016≈0.941.
学生用书·练习帮P384
1.[2024河北保定部分示范高中统考]（9x＋8x）5的展开式中含x2的项的系数为（ D ）
A.C52×92×83B.C54×9×84
C.C51×94×8D.C52×93×82
解析 （9x＋8x）5的二项展开式的通项Tr＋1＝C5r（9x）5－r·（8x－12）r＝C5r·95－r·8r·x5－32r，0≤r≤5，r∈N，令5－32r＝2，得r＝2，所以展开式中含x2的项为T2＋1＝C52×93×82x2，其系数为C52×93×82.故选D.
2.[2024湖北武汉第四十九中模拟]（1＋x＋x2）（1－x）10的展开式中x5的系数为（ D ）
A.120B.135C.－140D.－162
解析 （1－x）10展开式的通项为Tr＋1＝C10r（－x）r＝（－1）r·C10rxr.
令r＝5，则1×（1－x）10展开式中x5的系数为（－1）5C105＝－252；
令r＝4，则x（1－x）10展开式中x5的系数为（－1）4C104＝210；
令r＝3，则x2（1－x）10展开式中x5的系数为（－1）3C103＝－120.
∴（1＋x＋x2）（1－x）10的展开式中x5的系数为－252＋210－120＝－162.故选D.
3.[2024陕西宝鸡金台区统考]若（x－1x）n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ C ）
A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项
解析 由二项式定理可得展开式中第3项与第9项的二项式系数分别为Cn2和Cn8，即Cn2＝Cn8，解得n＝10.因此展开式中二项式系数最大的项为C105x5（－1x）5，是第6项，故选C.
4.[2024山东青岛一中统考]若（x＋mx）（x－1x）5的展开式中常数项是10，则m＝（ D ）
A.－2B.－1C.1D.2
解析 （x＋mx）（x－1x）5＝x（x－1x）5＋mx（x－1x）5.
（x－1x）5的展开式的通项为Tr＋1＝C5rx5－r（－1x）r＝C5r·（－1）rx5－2r.令5－2r＝－1，解得r＝3，则x（x－1x）5的展开式的常数项为－C53＝－10，
令5－2r＝1，解得r＝2，则mx（x－1x）5的展开式的常数项为mC52＝10m.
因为（x＋mx）（x－1x）5的展开式中常数项是10，所以10m－10＝10，解得m＝2，故选D.
5.[多选/2024青岛市检测]已知（2x－1x）n的展开式中各二项式系数的和为256，则（ ABD ）
A.n＝8
B.展开式中x－2的系数为－448
C.展开式中常数项为16
D.展开式中所有项的系数和为1
解析 因为（2x－1x）n的展开式中各二项式系数的和为256，所以2n＝256，解得n＝8，选项A正确；
（2x－1x）8的展开式的通项公式为Tk＋1＝C8k（2x）8－k·（－1x）k＝（－1）k28－kC8kx8－2k，令8－2k＝－2，解得k＝5，所以展开式中x－2的系数为（－1）5×23×C85＝－448，所以选项B正确；
令8－2k＝0，解得k＝4，所以展开式中常数项为（－1）4×24×C84＝1 120，所以选项C错误；
令x＝1，得（2x－1x）8＝1，所以展开式中所有项的系数和为1，所以选项D正确.综上，选ABD.
6.[多选/2024江苏连云港统考]已知（1－2x）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则下列选项正确的是（ AC ）
A.a0＝1
B.a2＝120
C.｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝729
D.a1＋a2＋…＋a5＝0
解析
7.二项式（2x2－14x）6的展开式的中间项是 －52x3 .
解析 二项式展开式的通项为Tk＋1＝C6k（2x2）6－k·（－14x）k＝（－14）k26－kC6kx12－3k，二项式展开式一共有7项，所以第4项为中间项，即k＝3，T4＝（－14）326－3·C63x12－3×3＝－52x3.
8.[2024吉林一中、东北师大附中等校联考]（x2－x＋1）5的展开式中，x5的系数为 -51 .
解析 （x2－x＋1）5可以看作5个因式（x2－x＋1）相乘，要想得到含x5的项，可分三种情况：
①5个因式中选2个因式取x2，1个因式取－x，2个因式取1；
②5个因式中选1个因式取x2，3个因式取－x，1个因式取1；
③5个因式中都取－x.
所以展开式中含x5的项为C52·（x2）2·C31·（－x）·C22·12＋C51·x2·C43·（－x）3·1＋C55·（－x）5＝－51x5，
所以x5的系数为－51.
9.[2023湖北十堰6月统考]（2x＋11）10的展开式中系数最大的项是第 10 项.
解析 （2x＋11）10展开式的通项为Tr＋1＝C10r·（2x）10－r11r＝C10r·210－r·11r·x10－r，由C10r·210－r·11r≥C10r－1·211－r·11r－1，C10r·210－r·11r≥C10r+1·29－r·11r+1，得10813≤r≤12113，因为r∈N，所以r＝9，故系数最大的项是第10项.
10. S＝C271＋C272＋…＋C2727除以9的余数为 7 .
解析 依题意S＝C271＋C272＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝（9－1）9－1＝C90×99－C91×98＋…＋C98×9－C99－1＝9×（C90×98－C91×97＋…＋C98）－2.∵C90×98－C91×97＋…＋C98是正整数，∴S被9除的余数为7.
11.[开放题]写出一个正整数n，使得（1x2＋x）n的展开式中存在常数项，则n可以是 5（答案不唯一，n＝5k，k∈N*均可） .
解析 二项式（1x2＋x）n的展开式的通项Tr＋1＝Cnr·（1x2）n－r·（x）r＝Cnr·x5r－4n2，若该展开式中存在常数项，则方程5r－4n＝0有解，故可取n＝5，r＝4.
12.若x8＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a8（x＋1）8，则a3＝ －56 .
解析 令x＋1＝t，则x＝t－1，所以x8＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a8（x＋1）8可转化为（t－1）8＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a8t8，即（1－t）8＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a8t8，所以a3＝－C83＝－56.
13.（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）9的展开式中x2的系数是（ D ）
A.60B.80
C.84D.120
解析 因为（1＋x）n的展开式的通项Tr＋1＝Cnrxr，所以（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）9的展开式中x2的系数是C22＋C32＋C42＋…＋C92＝C33＋C32＋C42＋…＋C92＝C43＋C42＋…＋C92＝C53＋C52＋…＋C92＝…＝C93＋C92＝C103＝10×9×83×2×1＝120（组合数性质Cn+1m＝Cnm＋Cnm－1，n，m∈N*，且m≤n的应用）.
14.[多选/2024湖南师范大学附中模拟]已知（ax＋1x2）10（a＞0）的展开式的各项系数之和为1 024，则展开式中（ BCD ）
A.奇数项的二项式系数和为256
B.第6项的系数最大
C.存在常数项
D.有理项共有6项
解析 令x＝1，得（a＋1）10＝1 024，则a＝1或a＝－3（舍去）.∴（x＋1x2）10的展开式的通项为Tr＋1＝C10r（x）10－r·（1x2）r＝C10rx5－52r.
15.（1－x）6（1＋x）4的展开式中x的系数是 －3 .
解析 解法一 （1－x）6的展开式的通项为C6m（－x）m＝C6m（－1）mxm2，1+x4的展开式的通项为C4n（x）n＝C4nxn2，
则（1－x）6（1＋x）4的展开式的通项为C6m（－1）mC4nxm2＋n2，其中m＝0，1，2，…，6，n＝0，1，2，3，4.
令m2＋n2＝1，得m＋n＝2，
于是（1－x）6（1＋x）4的展开式中x的系数等于C60·（－1）0·C42＋C61·（－1）1·C41＋C62·（－1）2·C40＝－3.
解法二 （1－x）6（1＋x）4＝[（1－x）（1＋x）]4（1－x）2＝（1－x）4（1－2x＋x），于是（1－x）6（1＋x）4的展开式中x的系数为C40·1＋C41·（－1）1·1＝－3.
16.[2023成都模拟]（5－3x＋2y）n展开式中不含y的项的系数和为64，则展开式中的常数项为 15 625 .
解析 （5－3x＋2y）n展开式中不含y的项，即展开式中y的指数为0，即（5－3x）n的展开式，再令x＝1，得（5－3x＋2y）n展开式中不含y的项的系数和为（5－3）n＝64，
∴n＝6，由（5－3x＋2y）6＝[5－（3x－2y）]6，得展开式中的常数项为C60×56＝15 625.
17.[数学文化]“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发了一批又一批数学爱好者的探究欲望.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ D ）
杨辉三角
第0行 1
第1行 1 1
第2行1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
︙ ︙
A.C32＋C42＋C52＋…＋C92＝120
B.第2 023行中从左往右第1 013个数与第1 014个数相等
C.记第n行的第i个数为ai，则∑i=1n+12i－1ai＝4n
D.第20行中第8个数与第9个数之比为8∶13
解析 根据题意，由“杨辉三角”可得，第n行的第r个数为Cnr－1，由此分析选项.
18.[综合创新/多选]设k∈R且k≠0，n≥2，n∈N*，（1＋kx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则（ BC ）
A.∑i=0nai＝2n
B.∑i=1nai＝（1＋k）n－1
C.∑i=1niai＝nk（1＋k）n－1
D.∑i=2ni2ai＝2n（n－1）k2（1＋k）n－2
解析 对于A，在（1＋kx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn中令x＝1，得∑i=0nai＝（1＋k）n，故A错误；
对于B，在（1＋kx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn中令x＝0得a0＝1，所以∑i=1nai＝（1＋k）n－1，故B正确；
对于C，（1＋kx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn两边同时求导，得nk（1＋kx）n－1＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1 （*），
令x＝1得∑i=1niai＝nk（1＋k）n－1，故C正确；
对于D，（*）式两边同时求导得nk2（n－1）（1＋kx）n－2＝2a2＋6a3x＋…＋n（n－1）anxn－2，
令x＝1，得∑i=2ni（i－1）ai＝nk2（n－1）（1＋k）n－2，所以∑i=2ni2ai＝∑i=2ni（i－1）ai＋∑i=2niai＝nk2（n－1）（1＋k）n－2＋nk（1＋k）n－1－a1＝nk（nk＋1）（1＋k）n－2－k，（由对B的分析得a1＝k）
故D不正确.综上所述，故选BC.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
展开式中的特定项问题
2023天津T11；2022新高考卷ⅠT13；2020全国卷ⅠT8；2020全国卷ⅢT14；2020北京T3；2019全国卷ⅢT4
本讲是高考常考内容，主要考查二项展开式的通项，求常数项，求某项系数，求某些项的系数和等，主要以小题的形式出现，难度不大.预计2025年高考命题常规，备考时要掌握各种问题类型及其求解方法.
二项式系数与项的系数的问题
2022北京T8；2022浙江T12
二项式定理的综合应用
二项式定理
（a＋b）n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnnbn，n∈N*.
二项展开式的通项
Tk＋1＝① Cnkan－kbk ，即为二项展开式的第 k＋1项.
二项式系数
Cnk（k∈{0，1，2，…，n}）.
因式分解法
通过分解因式将三项式变成两个二项式的积的形式，然后用二项式定理分别展开.
逐层展开法
将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开，从而解决问题.
利用组合知识
把三项式（a＋b＋c）n（n∈N*）看成n个a＋b＋c的积，然后利用组合知识求解.
题型
解题策略
近似计算
先观察精确度，然后选取展开式中若干项求解.
证明整除问
题或求余数
将被除式（数）合理的变形，拆成二项式，使被除式（数）展开后的每一项都含有除式的因式.
逆用二项
式定理
根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，变形使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.
选项
分析过程
正误
A
令x＝0，则1＝a0
√
B
（1－2x）6展开式的通项为Tr＋1＝C6r（－2x）r＝C6r·（－2）rxr，所以令r＝2可得a2＝C62（－2）2＝60
✕
C
当r＝1，3，5时，可得a1，a3，a5＜0，同理可得a0，a2，a4，a6＞0，所以令x＝－1，得36＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36＝729
√
D
令r＝6，可得a6＝C66（－2）6＝64，由A知a0＝1.令x＝1，则1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，所以a1＋a2＋…＋a5＝1－64－1＝－64
✕
选项
分析过程
正误
A
奇数项的二项式系数和为12（C100＋C101＋…＋C1010）＝12×210＝512
✕
B
由题意知展开式共11项，故第6项的系数最大
√
C
令5－52r＝0，解得r＝2，故存在常数项，且常数项为第3项
√
D
当r＝0，2，4，6，8，10时，为有理项，故有理项共有6项
√
选项
分析过程
正误
A
C32＋C42＋…＋C92＝C33＋C32＋C42＋…＋C92－1=C103－1＝119
✕
B
第2 023行中从左往右第1 013个数为C2 0231 012，第1 014个数为C2 0231 013，两者不相等
✕
C
记第n行的第i个数为ai，则ai＝Cni－1，
则∑i=1n+12i－1×ai＝∑i=1n+12i－1Cni－1×1n－i＋1＝（1＋2）n＝3n
✕
D
第20行中第8个数为C207，第9个数为C208，则两个数的比为C207∶C208＝20！7！×13！∶20！8！×12！＝8∶13
√
学生用书P229
1.二项式定理
辨析比较
二项式系数与项的系数的区别
（a＋bx）n的二项展开式中，二项式系数是指Cn0，Cn1，…，Cnn，其与a，b的值无关，如第k＋1项的二项式系数是Cnk；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，其与a，b的值有关，如第k＋1项的系数是Cnkan－kbk.
2.二项式系数的性质
1.[北京高考]在（x－2）5的展开式中，x2的系数为（ C ）
A.－5B.5C.－10D.10
解析 由二项式定理得（x－2）5的展开式的通项Tr＋1＝C5r（x）5－r（－2）r＝C5r-2rx5－r2，令5－r2＝2，得r＝1，所以T2＝C51（－2）x2＝－10x2，所以x2的系数-10，故选C.
2.[教材改编]在（x－y）10的展开式中，系数最小的项是（ C ）
A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项
解析 展开式共有11项，奇数项系数为正，偶数项系数为负，且第6项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项是第6项.
3.已知Cn0＋2Cn1＋22Cn3＋23Cn3＋…＋2nCnn＝243，则Cn1＋Cn2＋Cn3＋…＋Cnn＝（ A ）
A.31B.32C.15D.16
解析 逆用二项式定理得Cn0＋2Cn1＋22Cn2＋23Cn3＋…＋2nCnn＝（1＋2）n＝243，即3n＝35，所以n＝5，所以Cn1＋Cn2＋Cn3＋…＋Cnn＝25－1＝31.
4.[多选]下列说法正确的是（ CD ）
A.Cnkan－kbk是（a＋b）n展开式中的第k项
B.在二项展开式中，系数最大的项为中间的一项或中间的两项
C.在（a＋b）n的展开式中，每一项的二项式系数都与a，b无关
D.在（a＋b）n的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数不同
5.[易错题]已知（2x－1）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn（n∈N*），设（2x－1）n的展开式中所有项的二项式系数和为Sn，Tn＝a1＋a2＋…＋an（n∈N*），则 S4＝ 16 ，T4＝ 0 .
解析 因为（2x－1）n展开式中所有项的二项式系数和为2n，（易混淆：（2x－1）n展开式的二项式系数和为Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n，系数和为a0＋a1＋a2＋…＋an）
所以Sn＝2n，S4＝16.令x＝0，则（－1）n＝a0，令x＝1，则1＝a0＋a1＋a2＋…＋an，所以Tn＝1－（－1）n，所以T4＝0.
学生用书P230
命题点1 展开式中的特定项问题
角度1 形如（a＋b）n（n∈N*）的展开式中的特定项
例1 （1）[2023南京市中华中学检测]若2－x6＝a0+a11+x+a21+x2+…+a61+x6，则a4＝（ B ）
A.270B.135
C.－135D.－270
解析 （2－x）6＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋…＋a6（1＋x）6，以x－1代替x，得（3－x）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，而（3－x）6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C6r36-r-xr=C6r36－r（－1）rxr，令r＝4，则a4＝C64×36－4×（－1）4＝135，故选B.
（2）[2023天津高考]在（2x3－1x）6的展开式中，x2的系数是 60 .
解析 解法一 二项式（2x3－1x）6的展开式的通项Tk＋1＝C6k（2x3）6－k（－1x）k=－1k26－kC6kx18-4k，令18－4k＝2，解得k＝4，所以x2的系数为（－1）4×22×C64＝60.
解法二 将二项式（2x3－1x）6看成6个多项式（2x3－1x）相乘，要想出现x2项，则先在6个多项式中选2个多项式取2x3，然后余下的多项式都取－1x，相乘，即C622x32×C44-1x4=60x2，所以x2的系数为60.
方法技巧
求形如（a＋b）n（n∈N*）的展开式中的特定项问题的步骤
角度2 形如（a＋b）m（c＋d）n（m，n∈N*）的展开式中的特定项
例2 （1）[2023沈阳市三检]（2x－3）2（1－1x）6的展开式中，含x－2项的系数为（ B ）
A.430B.435C.245D.240
解析 （1－1x）6的展开式的通项Tk＋1＝C6k（－1x）k＝（－1）kC6k1xk.（2x－3）2＝4x2－12x+9，当在多项式（4x2－12x＋9）中取4x2时，令k＝4，得4x2·（－1）4C641x4；当在多项式（4x2－12x＋9）中取－12x时，令k＝3，得－12x·（－1）3C631x3；当在多项式（4x2－12x＋9）中取9时，令k＝2，得9×（－1）2C621x2.所以含x－2项的系数为4×（－1）4C64＋（－12）×（－1）3C63＋9×（－1）2C62＝60＋240＋135＝435，故选B.
（2）[2022新高考卷Ⅰ]（1－yx）（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为 －28 .（用数字作答）
解析 （x＋y）8的展开式的通项Tr＋1＝C8rx8－ryr，r＝0，1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝C86x2y6，令r＝5，得T5＋1＝C85x3y5，所以（1－yx）（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为C86－C85＝－28.
方法技巧
求形如（a＋b）m（c＋d）n（m，n∈N*）的展开式中特定项问题的步骤
角度3 形如（a＋b＋c）n（n∈N*）的展开式中的特定项
例3 （1）（x－y＋2）5的展开式中，x3y的系数为（ D ）
A.80B.40
C.－80D.－40
解析 解法一 （x－y＋2）5＝[x－（y－2）]5，其通项Tr＋1＝C5rx5－r（－1）r·（y－2）r，则展开式中含x3的项为C52x3（y－2）2，又（y－2）2的展开式中含y的项为（－2）C21y，所以（x－y＋2）5的展开式中，x3y的系数为C52·C21·（－2）＝－40，故选D.
解法二 要在展开式中得到x3y，可在5个“x－y＋2”中选3个“x”，1个“－y”，1个“2”，故x3y的系数为C53·C21（－1）1×2＝－40.
（2）（1＋2x－3x2）5的展开式中，x5的系数为 92 .
解析 （1＋2x－3x2）5＝（1－x）5（1＋3x）5，所以展开式中x5的系数为C50C5535＋C51（－1）C5434＋C52（－1）2C5333＋C53（－1）3C5232＋C54（－1）4C5131＋C55（－1）5C5030＝92.
方法技巧
求形如（a＋b＋c）n（n∈N*）的展开式中的特定项问题的方法
训练1 （1）已知（2x－a）（x＋2x）6的展开式中x2的系数为－240，则该展开式中的常数项为（ A ）
A.－640B.－320C.640D.320
解析 （x＋2x）6的展开式的通项为Tk＋1＝C6kx6－k·（2x）k＝C6k2kx6－2k.令6－2k＝2，得k＝2；令6－2k＝1，得k＝52，舍去.（注意：k取整数）
故（2x－a）（x＋2x）6的展开式中x2的系数为－aC62·22＝－240，得a＝4.
令6－2k＝－1，得k＝72，不符合题意，舍去；令6－2k＝0，得k＝3.故2x-4x+2x6的展开式中的常数项为－4×C63×23＝－640.
（2）（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（ C ）
A.10B.20C.30D.60
解析 （x2＋x＋y）5表示5个因式（x2＋x＋y）的乘积，要得到含x5y2的项，只需从5个因式中选2个因式取x2，1个因式取x，其余2个因式取y即可，故x5y2的系数为C52C31C22＝30.
命题点2 二项式系数与项的系数的问题
角度1 二项展开式中的系数和问题
例4 [多选]已知（1－2x）2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则下列结论正确的是（ ACD ）
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 023
B.展开式中所有奇次项的系数的和为32 023+12
C.展开式中所有偶次项的系数的和为32 023－12
D.a12＋a222＋a323＋…＋a2 02322 023＝－1
解析 对于A，（1－2x）2 023的展开式中所有项的二项式系数的和为22 023，故A正确；对于B，令f（x）＝（1－2x）2 023，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝f（1）＝－1，a0－a1＋a2－a3＋…－a2 023＝f（－1）＝32 023，所以展开式中所有奇次项的系数的和为f（1）－f（－1）2＝－32 023+12，展开式中所有偶次项的系数的和为f（1）＋f（－1）2＝32 023－12，故B错误，C正确；对于D，a0＝f（0）＝1，a12＋a222＋a323＋…＋a2 02322 023＝f（12）－a0＝－1，故D正确.故选ACD.
方法技巧
应用赋值法求项的系数和问题
（1）对形如（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式中的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可；求系数之差时，只需根据题目要求令x＝1，y＝－1或x＝－1，y＝1即可.
（2）对（a＋bx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令f（x）＝（a＋bx）n，则（a＋bx）n的展开式中各项系数之和为f（1），偶次项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋f（－1）2，奇次项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－f（－1）2.
角度2 与二项展开式中的系数有关的最值问题
例5 （1）[全国卷Ⅰ]设m为正整数，（x＋y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x＋y）2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝（ B ）
A.5B.6C.7D.8
解析 根据二项式系数的性质，知（x＋y）2m展开式中二项式系数的最大值为C2mm，而（x＋y）2m＋1展开式中二项式系数的最大值为C2m+1m，则C2mm＝a，C2m+1m＝b.又13a＝7b，所以13C2mm＝7C2m+1m，即13×（2m)!m！×m！＝7×（2m+1)!（m+1)!×m！，解得m＝6.
（2）已知（x＋124x）n（n≥2）的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中系数最大的项是 7x52和7x74 .
解析 展开式中前三项的系数分别是1，n2，18n（n－1），由题意知，2×n2＝1＋18n（n－1），解得n＝8或n＝1（舍去）.
于是展开式的通项Tk＋1＝C8k·（x）8－k·（124x）k＝C8k·2－k·x4－34k，所以第k＋1项的系数是C8k·2－k，第k项的系数是C8k－1·2－k＋1，第k＋2项的系数是C8k+1·2－k－1.若第k＋1项的系数最大，则C8k·2－k≥C8k－1·2－k＋1且C8k·2－k≥C8k+1·2－k－1，解得2≤k≤3.又k∈Z，因此k＝2或k＝3.故系数最大的项是T3＝C82·2－2·x4－34×2＝7x52和T4＝C83·2－3·x4－34×3＝7x74.
方法技巧
1.二项式系数最值的求法
当n是偶数时，第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为Cnn2；当n是奇数时，第n+12项和第n+32项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cnn－12或Cnn+12.
2.项的系数最值的求法
设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，解不等式组Ak≥Ak－1，Ak≥Ak+1，求出k即可得结果.
训练2 （1）[多选]已知二项式（x－2x）8，则下列结论正确的是（ AB ）
A.第5项的二项式系数最大
B.所有项的系数之和为1
C.有且仅有第6项的系数的绝对值最大
D.展开式中共有4项有理项
解析 由题意知，展开式中共有9项，二项式系数最大的项为第5项，A正确；所有项的系数和为（1－2）8＝1，B正确；Tr＋1＝C8rx8－r·（－2x）r＝（－2）rC8rx8－3r2，r＝0，1，2，…，8，显然r＝0，2，4，6，8时，Tr＋1是有理项，所以共有5项有理项，D错误；由2rC8r≥2r+1C8r+1，2rC8r≥2r－1C8r－1，得18－r≥2r+1，2r≥19－r，解得5≤r≤6，所以r＝5或r＝6，故第6项和第7项的系数的绝对值最大，C错误.故选AB.
（2）[2022浙江]已知多项式（x＋2）（x－1）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝ 8 ，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝ －2 .
解析 由多项式展开式可知，a2＝2C42（－1）2＋C43（－1）3＝12－4＝8.令x＝0可得a0＝2，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2.
命题点3 二项式定理的综合应用
例6 （1）利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是（ D ）
解析 1.056＝（1＋0.05）6＝C60＋C61×0.05＋C62×0.052＋C63×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34.
（2）设a∈N，且0≤a＜26，若51 2 020＋a能被13整除，则a的值为（ D ）
A.0 B.11或0C.12D.12或25
解析 ∵512 020＋a＝（52－1）2 020＋a＝C2 0200522 020（－1）0＋C2 0201522 019（－1）1＋C2 0202522 018（－1）2＋…＋C2 0202 019521·（－1）2 019＋C2 0202 020（－1）2 020＋a，又52能被13整除，∴需使C2 0202 020（－1）2 020＋a能被13整除，即1＋a能被13整除，∴1＋a＝13k，k∈Z，又0≤a＜26，∴a＝12或a＝25，故选D.
方法技巧
二项式定理应用的常见题型及解题策略
训练3 （1）设复数x＝2i1－i（i是虚数单位），则C2 0241x＋C2 0242x2＋C2 0243x3＋…＋C2 0242 024x2 024=（ A ）
A.0B.－2 C.－1＋iD.－1－i
解析 x＝2i1－i＝2i（1+i）（1－i)(1+i）＝－1＋i，则C2 0241x＋C2 0242x2＋C2 0243x3＋…＋C2 0242 024x2 024＝（1＋x）2 024－1＝i2 024－1＝1－1＝0.
（2）若（2x＋1）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3除以8的余数为 5 .
解析 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝3100.令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a100＝1，两式相减得2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）＝3100－1，则2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3＝3100－4.3100－4＝950－4＝（8＋1）50－4＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8＋C5050－4＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－3＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－8＋5，则C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－8＋5除以8的余数为5，即2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3除以8的余数为5.
1.[命题点1角度1/2022天津高考]（x＋3x2）5的展开式中常数项为 15 .
解析 （x＋3x2）5展开式的通项公式为Tk＋1＝C5k（x）5－k（3x2）k＝3kC5kx5－5k2，令5－5k2＝0，得k＝1，所以常数项为3×C51＝15.
2.[命题点1角度2/全国卷Ⅲ]（1＋2x2）（1＋x）4的展开式中x3的系数为（ A ）
A.12B.16C.20D.24
解析 （1＋x）4的展开式的通项公式为Tr＋1＝C4r14－rxr（r＝0，1，2，3，4）.
（1＋2x2）（1＋x）4的展开式中含x3的项的系数为1×（C43×11）＋2×（C41×13）＝12.故选A.
3.[命题点1角度3/2023湖南长沙第一中学段考]（x－2y＋z）8的展开式中x3y3z2的系数是 －4 480 （用数字作答）.
解析 （x－2y＋z）8可看成8个（x－2y＋z）相乘，在8个（x－2y＋z）中的3个式子中取x，3个式子中取－2y，剩下的2个式子中取z，则（x－2y＋z）8的展开式中x3y3z2的系数是C83×C53×（－2）3×C22＝－4 480.
4.[命题点2角度1/2022北京高考]若（2x－1）4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝（ B ）
A.40B.41C.－40D.－41
解析 依题意，令x＝1，可得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0，令x＝－1，可得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，以上两式相
加可得82＝2（a4＋a2＋a0），所以a0＋a2＋a4＝41，故选B.
5.[命题点3]今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过22 021天后是（ D ）
A.星期三B.星期四
C.星期五D.星期六
解析 22 021＝4×22 019＝4×8673＝4×（7＋1）673＝4×（C6730×7673＋C6731×7672＋…＋C673672×7＋C673673），由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，故整个式子除以7的余数为4C673673＝4，故经过22 021天后是星期六，故选D.
6.[命题点3]已知－C1001（2－x）＋C1002（2－x）2－C1003（2－x）3＋…＋C100100（2－x）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则a1＋a2＋a3＋…＋a99的值是 －2 .
解析 记f（x）＝1－C1001（2－x）＋C1002（2－x）2－C1003（2－x）3＋…＋C100100（2－x）100－1＝[1－（2－x）]100－1＝（x－1）100－1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝－1.令x＝0，得a0＝0，又易知a100＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝－2.
7.[命题点3]0.996的计算结果精确到0.001的近似值是（ B ）
解析 0.996＝（1－0.01）6＝C60×1－C61×0.01＋C62×0.012－C63×0.013＋…＋C66×0.016＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016≈0.941.
学生用书·练习帮P384
1.[2024河北保定部分示范高中统考]（9x＋8x）5的展开式中含x2的项的系数为（ D ）
A.C52×92×83B.C54×9×84
C.C51×94×8D.C52×93×82
解析 （9x＋8x）5的二项展开式的通项Tr＋1＝C5r（9x）5－r·（8x－12）r＝C5r·95－r·8r·x5－32r，0≤r≤5，r∈N，令5－32r＝2，得r＝2，所以展开式中含x2的项为T2＋1＝C52×93×82x2，其系数为C52×93×82.故选D.
2.[2024湖北武汉第四十九中模拟]（1＋x＋x2）（1－x）10的展开式中x5的系数为（ D ）
A.120B.135C.－140D.－162
解析 （1－x）10展开式的通项为Tr＋1＝C10r（－x）r＝（－1）r·C10rxr.
令r＝5，则1×（1－x）10展开式中x5的系数为（－1）5C105＝－252；
令r＝4，则x（1－x）10展开式中x5的系数为（－1）4C104＝210；
令r＝3，则x2（1－x）10展开式中x5的系数为（－1）3C103＝－120.
∴（1＋x＋x2）（1－x）10的展开式中x5的系数为－252＋210－120＝－162.故选D.
3.[2024陕西宝鸡金台区统考]若（x－1x）n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ C ）
A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项
解析 由二项式定理可得展开式中第3项与第9项的二项式系数分别为Cn2和Cn8，即Cn2＝Cn8，解得n＝10.因此展开式中二项式系数最大的项为C105x5（－1x）5，是第6项，故选C.
4.[2024山东青岛一中统考]若（x＋mx）（x－1x）5的展开式中常数项是10，则m＝（ D ）
A.－2B.－1C.1D.2
解析 （x＋mx）（x－1x）5＝x（x－1x）5＋mx（x－1x）5.
（x－1x）5的展开式的通项为Tr＋1＝C5rx5－r（－1x）r＝C5r·（－1）rx5－2r.令5－2r＝－1，解得r＝3，则x（x－1x）5的展开式的常数项为－C53＝－10，
令5－2r＝1，解得r＝2，则mx（x－1x）5的展开式的常数项为mC52＝10m.
因为（x＋mx）（x－1x）5的展开式中常数项是10，所以10m－10＝10，解得m＝2，故选D.
5.[多选/2024青岛市检测]已知（2x－1x）n的展开式中各二项式系数的和为256，则（ ABD ）
A.n＝8
B.展开式中x－2的系数为－448
C.展开式中常数项为16
D.展开式中所有项的系数和为1
解析 因为（2x－1x）n的展开式中各二项式系数的和为256，所以2n＝256，解得n＝8，选项A正确；
（2x－1x）8的展开式的通项公式为Tk＋1＝C8k（2x）8－k·（－1x）k＝（－1）k28－kC8kx8－2k，令8－2k＝－2，解得k＝5，所以展开式中x－2的系数为（－1）5×23×C85＝－448，所以选项B正确；
令8－2k＝0，解得k＝4，所以展开式中常数项为（－1）4×24×C84＝1 120，所以选项C错误；
令x＝1，得（2x－1x）8＝1，所以展开式中所有项的系数和为1，所以选项D正确.综上，选ABD.
6.[多选/2024江苏连云港统考]已知（1－2x）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则下列选项正确的是（ AC ）
A.a0＝1
B.a2＝120
C.｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝729
D.a1＋a2＋…＋a5＝0
解析
7.二项式（2x2－14x）6的展开式的中间项是 －52x3 .
解析 二项式展开式的通项为Tk＋1＝C6k（2x2）6－k·（－14x）k＝（－14）k26－kC6kx12－3k，二项式展开式一共有7项，所以第4项为中间项，即k＝3，T4＝（－14）326－3·C63x12－3×3＝－52x3.
8.[2024吉林一中、东北师大附中等校联考]（x2－x＋1）5的展开式中，x5的系数为 -51 .
解析 （x2－x＋1）5可以看作5个因式（x2－x＋1）相乘，要想得到含x5的项，可分三种情况：
①5个因式中选2个因式取x2，1个因式取－x，2个因式取1；
②5个因式中选1个因式取x2，3个因式取－x，1个因式取1；
③5个因式中都取－x.
所以展开式中含x5的项为C52·（x2）2·C31·（－x）·C22·12＋C51·x2·C43·（－x）3·1＋C55·（－x）5＝－51x5，
所以x5的系数为－51.
9.[2023湖北十堰6月统考]（2x＋11）10的展开式中系数最大的项是第 10 项.
解析 （2x＋11）10展开式的通项为Tr＋1＝C10r·（2x）10－r11r＝C10r·210－r·11r·x10－r，由C10r·210－r·11r≥C10r－1·211－r·11r－1，C10r·210－r·11r≥C10r+1·29－r·11r+1，得10813≤r≤12113，因为r∈N，所以r＝9，故系数最大的项是第10项.
10. S＝C271＋C272＋…＋C2727除以9的余数为 7 .
解析 依题意S＝C271＋C272＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝（9－1）9－1＝C90×99－C91×98＋…＋C98×9－C99－1＝9×（C90×98－C91×97＋…＋C98）－2.∵C90×98－C91×97＋…＋C98是正整数，∴S被9除的余数为7.
11.[开放题]写出一个正整数n，使得（1x2＋x）n的展开式中存在常数项，则n可以是 5（答案不唯一，n＝5k，k∈N*均可） .
解析 二项式（1x2＋x）n的展开式的通项Tr＋1＝Cnr·（1x2）n－r·（x）r＝Cnr·x5r－4n2，若该展开式中存在常数项，则方程5r－4n＝0有解，故可取n＝5，r＝4.
12.若x8＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a8（x＋1）8，则a3＝ －56 .
解析 令x＋1＝t，则x＝t－1，所以x8＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a8（x＋1）8可转化为（t－1）8＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a8t8，即（1－t）8＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a8t8，所以a3＝－C83＝－56.
13.（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）9的展开式中x2的系数是（ D ）
A.60B.80
C.84D.120
解析 因为（1＋x）n的展开式的通项Tr＋1＝Cnrxr，所以（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）9的展开式中x2的系数是C22＋C32＋C42＋…＋C92＝C33＋C32＋C42＋…＋C92＝C43＋C42＋…＋C92＝C53＋C52＋…＋C92＝…＝C93＋C92＝C103＝10×9×83×2×1＝120（组合数性质Cn+1m＝Cnm＋Cnm－1，n，m∈N*，且m≤n的应用）.
14.[多选/2024湖南师范大学附中模拟]已知（ax＋1x2）10（a＞0）的展开式的各项系数之和为1 024，则展开式中（ BCD ）
A.奇数项的二项式系数和为256
B.第6项的系数最大
C.存在常数项
D.有理项共有6项
解析 令x＝1，得（a＋1）10＝1 024，则a＝1或a＝－3（舍去）.∴（x＋1x2）10的展开式的通项为Tr＋1＝C10r（x）10－r·（1x2）r＝C10rx5－52r.
15.（1－x）6（1＋x）4的展开式中x的系数是 －3 .
解析 解法一 （1－x）6的展开式的通项为C6m（－x）m＝C6m（－1）mxm2，1+x4的展开式的通项为C4n（x）n＝C4nxn2，
则（1－x）6（1＋x）4的展开式的通项为C6m（－1）mC4nxm2＋n2，其中m＝0，1，2，…，6，n＝0，1，2，3，4.
令m2＋n2＝1，得m＋n＝2，
于是（1－x）6（1＋x）4的展开式中x的系数等于C60·（－1）0·C42＋C61·（－1）1·C41＋C62·（－1）2·C40＝－3.
解法二 （1－x）6（1＋x）4＝[（1－x）（1＋x）]4（1－x）2＝（1－x）4（1－2x＋x），于是（1－x）6（1＋x）4的展开式中x的系数为C40·1＋C41·（－1）1·1＝－3.
16.[2023成都模拟]（5－3x＋2y）n展开式中不含y的项的系数和为64，则展开式中的常数项为 15 625 .
解析 （5－3x＋2y）n展开式中不含y的项，即展开式中y的指数为0，即（5－3x）n的展开式，再令x＝1，得（5－3x＋2y）n展开式中不含y的项的系数和为（5－3）n＝64，
∴n＝6，由（5－3x＋2y）6＝[5－（3x－2y）]6，得展开式中的常数项为C60×56＝15 625.
17.[数学文化]“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发了一批又一批数学爱好者的探究欲望.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ D ）
杨辉三角
第0行 1
第1行 1 1
第2行1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
︙ ︙
A.C32＋C42＋C52＋…＋C92＝120
B.第2 023行中从左往右第1 013个数与第1 014个数相等
C.记第n行的第i个数为ai，则∑i=1n+12i－1ai＝4n
D.第20行中第8个数与第9个数之比为8∶13
解析 根据题意，由“杨辉三角”可得，第n行的第r个数为Cnr－1，由此分析选项.
18.[综合创新/多选]设k∈R且k≠0，n≥2，n∈N*，（1＋kx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则（ BC ）
A.∑i=0nai＝2n
B.∑i=1nai＝（1＋k）n－1
C.∑i=1niai＝nk（1＋k）n－1
D.∑i=2ni2ai＝2n（n－1）k2（1＋k）n－2
解析 对于A，在（1＋kx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn中令x＝1，得∑i=0nai＝（1＋k）n，故A错误；
对于B，在（1＋kx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn中令x＝0得a0＝1，所以∑i=1nai＝（1＋k）n－1，故B正确；
对于C，（1＋kx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn两边同时求导，得nk（1＋kx）n－1＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1 （*），
令x＝1得∑i=1niai＝nk（1＋k）n－1，故C正确；
对于D，（*）式两边同时求导得nk2（n－1）（1＋kx）n－2＝2a2＋6a3x＋…＋n（n－1）anxn－2，
令x＝1，得∑i=2ni（i－1）ai＝nk2（n－1）（1＋k）n－2，所以∑i=2ni2ai＝∑i=2ni（i－1）ai＋∑i=2niai＝nk2（n－1）（1＋k）n－2＋nk（1＋k）n－1－a1＝nk（nk＋1）（1＋k）n－2－k，（由对B的分析得a1＝k）
故D不正确.综上所述，故选BC.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
展开式中的特定项问题
2023天津T11；2022新高考卷ⅠT13；2020全国卷ⅠT8；2020全国卷ⅢT14；2020北京T3；2019全国卷ⅢT4
本讲是高考常考内容，主要考查二项展开式的通项，求常数项，求某项系数，求某些项的系数和等，主要以小题的形式出现，难度不大.预计2025年高考命题常规，备考时要掌握各种问题类型及其求解方法.
二项式系数与项的系数的问题
2022北京T8；2022浙江T12
二项式定理的综合应用
二项式定理
（a＋b）n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnnbn，n∈N*.
二项展开式的通项
Tk＋1＝① Cnkan－kbk ，即为二项展开式的第 k＋1项.
二项式系数
Cnk（k∈{0，1，2，…，n}）.
因式分解法
通过分解因式将三项式变成两个二项式的积的形式，然后用二项式定理分别展开.
逐层展开法
将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开，从而解决问题.
利用组合知识
把三项式（a＋b＋c）n（n∈N*）看成n个a＋b＋c的积，然后利用组合知识求解.
题型
解题策略
近似计算
先观察精确度，然后选取展开式中若干项求解.
证明整除问
题或求余数
将被除式（数）合理的变形，拆成二项式，使被除式（数）展开后的每一项都含有除式的因式.
逆用二项
式定理
根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，变形使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.
选项
分析过程
正误
A
令x＝0，则1＝a0
√
B
（1－2x）6展开式的通项为Tr＋1＝C6r（－2x）r＝C6r·（－2）rxr，所以令r＝2可得a2＝C62（－2）2＝60
✕
C
当r＝1，3，5时，可得a1，a3，a5＜0，同理可得a0，a2，a4，a6＞0，所以令x＝－1，得36＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36＝729
√
D
令r＝6，可得a6＝C66（－2）6＝64，由A知a0＝1.令x＝1，则1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，所以a1＋a2＋…＋a5＝1－64－1＝－64
✕
选项
分析过程
正误
A
奇数项的二项式系数和为12（C100＋C101＋…＋C1010）＝12×210＝512
✕
B
由题意知展开式共11项，故第6项的系数最大
√
C
令5－52r＝0，解得r＝2，故存在常数项，且常数项为第3项
√
D
当r＝0，2，4，6，8，10时，为有理项，故有理项共有6项
√
选项
分析过程
正误
A
C32＋C42＋…＋C92＝C33＋C32＋C42＋…＋C92－1=C103－1＝119
✕
B
第2 023行中从左往右第1 013个数为C2 0231 012，第1 014个数为C2 0231 013，两者不相等
✕
C
记第n行的第i个数为ai，则ai＝Cni－1，
则∑i=1n+12i－1×ai＝∑i=1n+12i－1Cni－1×1n－i＋1＝（1＋2）n＝3n
✕
D
第20行中第8个数为C207，第9个数为C208，则两个数的比为C207∶C208＝20！7！×13！∶20！8！×12！＝8∶13
√
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