2024年广东省初中学业水平考试数学白卷

这是一份2024年广东省初中学业水平考试数学白卷，共16页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案、答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的绝对值等于（ ）
A．B．3C．D．
2．据教育部统计，2024届全国普通高校毕业生规模预计达1179万人．数据1179万用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如题3图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
题3图
A．B．C．D．
4．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
5．勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦．”即为勾，为股，为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”最接近的整数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．若关于的方程有实数根，则的值可能是（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．正方形与的位置如题7图所示，已知，则的度数为（ ）
题7图
A．B．C．D．
8．某校运动会的接力赛中，甲、乙两名同学都是第一棒，这两名同学各自随机从四个赛道中抽取一个赛道，则甲、乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．反比例函数图象经过点
B．当时，
C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点
D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上
10．如题10图，已知菱形的顶点，若菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第20秒时，菱形的对角线交点的坐标为（ ）
题10图
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．因式分解：______．
12．一个多边形的内角和比外角和多，这个多边形的边数是______．
13．代数式与代数式的值相等，则______．
14．如题14图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接，且，若，则的长为______．
题14图
15．北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如题15—1图中）”．问题解决：如题15—2图，是矩形的对角线上一点，过点作分别交于点，连接．若，则______．
题15—1图 题15—2图
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．
16．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：其中．
17．漏刻是我国古代的一种计时工具．小轩依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现其水位与时间之间成一次函数关系．小轩通过多次计时并测量水位的高度，得到如下表数据：
（1）求关于的函数关系式；
（2）若小轩开始测量的时间为早上9：30，当水位读数为14cm时，求此时的时间．
18．如题18图，在等边中，为边上的高．
题18图
（1）实践与操作：利用尺规，以为边在下方作等边，延长交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹、不写作法，标明字母）
（2）应用与证明：在（1）的条件下，证明．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．测速仪是协助道路安全工作必不可少的装置，如题19图．为保障学生安全，某中学入口处的街道安装了车辆自动测速仪，测速仪置于路面上方横杆的点位置，点到路面的距离米．已知，点，在同一平面内．求测速区间的距离．（结果保留整数，参考数据：，）
题19图
20．某市教育部启动“书香校园”的读书行动，鼓励学生多读书、读好书，好读书．现从某校八、九年级中各随机抽取20名学生的阅读时间．并分为五个类别：（6小时及以下），（7小时），（8小时），（9小时），（10小时），整理分析后绘制了如下统计图表：
抽取的八年级学生阅读时间条形统计图 抽取的九年级学生阅读时间扇形统计图
题20图
抽取的八、九年级学生阅读时间统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1），．
（2）该校八年级共有400名学生、九年级共有500名学生参加此次读书行动，若该校计划给阅读时间不低于9小时的学生颁发荣誉证书，请估计该校需准备多少份证书；
（3）根据分析的数据，请从一个方面评价该校八、九年级中哪个年级抽取的学生阅读时间更好，并说明理由．
21．综合与实践
“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题：
问题情境：
如题21—1图，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为．底面直径为．
问题解决：
（1）判断最短路线的依据是______；
（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长（结果保留根号和）；
拓展迁移：
如题21—2图，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹．
（3）请求出蚂蚁爬行的最短距离．
题21—1图 题21—2图
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22．综合探究
如题22图，在平面直角坐标系中．直线与抛物线交于两点，点的横坐标为．
题22图
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线，与直线交于点C．连接，设点的横坐标为．
①若点在轴上方，当为何值时，；
②若点在轴下方，求周长的最大值．
23．综合运用
如题23—1图，在平面直角坐标系中，点为，点为，连接．
提出问题：
（1）如题23—2图，以为边在右侧构成正方形，且正方形的边与轴相交于点，用含的代数式表示此时点的坐标；
问题探究：
（2）如题23—3图，以为对角线构成正方形，且正方形的边与轴相交于点，当时，求线段的值；
问题深化：
（3）若以为边在右侧构成正方形，过点作轴于点，连接，令的面积为，求关于的函数关系式．
题23—1图 图题23—2图 题23—3图
数 学
快速对答案
一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分。
1~5 BDABC 6~10 ACADB
二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分。
11． 12．5 13．4 14． 15．6
三~五、解答题：请看“详解详析”P53~P57
一、选择题
1．B【解析】一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值等于3．
2．D
解题策略
科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数为原数的整数位数减1）．
3．A
4．B【解析】解不等式组，得
5．C【解析】由题意得，“弦”为，，∴13更接近16，最接近整数4．
6．A【解析】一元二次方程有实数根，即，得，解得的值可能是4．
知识精准回顾 根的判别式：
（1）一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）一元二次方程有两个相等的实数根；
（3）一元二次方程没有实数根
【温馨提示】对于二次项系数含有字母的方程，根据根的情况求字母取值范围时，牢记二次项系数不为0的条件．
7．C【解析】四边形是正方形，是直角三角形，
8．A【解析】根据题意，画树状图如答8图，由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果有6种，（甲、乙两．
答8图
解题策略
9．D【解析】将代入反比例函数表达式中，得，A选项正确，不符合题意；当时，，函数在第一象限，，B选项正确，不符合题意；无解，反比例函数与函数的图象没有交点，C选项正确，不符合题意；反比例函数图象关于原点中心对称，当点在该反比例函数的图象上时，点，在其图象上，点不在其图象上，D选项错误，符合题意．
10．B【解析】菱形的顶点，与轴的夹角为菱形的对角线互相垂直平分，点是线段的中点，点的坐标是菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置第20秒时是把菱形绕点逆时针旋转了2周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了，∴点的对应点落在第三象限，且对应点与点关于原点成中心对称，第20秒时，菱形的对角线交点的坐标为．
二、填空题
11．
知识精准回顾 因式分解的基本方法及一般步骤：
12．5【解析】设这个多边形的边数是，由题可列，解得．
13．4【解析】由题可得：，解得，检验：当时，．
14．【解析】是的直径，，
是的切线，，又是等腰直角三角形，为Rt的中线，．
15．6 【解析】如答15图，过点作分别交于点四边形与四边形均为矩形，由定理知，．
答15图
三、解答题（一）
16．解：（1）原式；
（2）原式，
当时，原式．
知识精准回顾 分式化简的一般步骤：
17．解：（1）设关于的函数关系式为，
将代入中，得解得
关于的函数关系式为；
（2）将代入得，解得，
开始测量的时间为早上9：30，
当水位读数为时，此时的时间为10：00．
命题立意
本题以“我国古代传统文化中的漏刻”为背景考查根据实际问题列方程，符合教育部印发关于《中华优秀传统文化进中小学课程教材指南》的通知，在中小学数学课程教材中纳入我国传统文化内容，对于学生感悟中华民族智慧与创造、坚定文化自信具有重要作用．
18．（1）解：如答18—1图，即为所求作的三角形；（答案不唯一）
答18—1图
【一题多解】如答18—2图，即为所求作的三角形．
答18—2图
（2）证明：为等边三角形，为边上的高，
为等边三角形，
四、解答题（二）
19．解：由题可知，，则．
在中，，
在中，
，，
答：测速区间的距离约为19米．
解题策略，
20．解：（1）8，8.5；
【解法提示】抽取的八年级学生阅读时间中，小时的人数最多，；
统计了20名九年级学生的阅读时间，
中位数为按从小到大排的第10个，第11个数据的平均数，
由扇形统计图可知，第10个数据为8，第11个数据为9，
（2）由统计图得，八年级20名学生中有7名获得荣誉证书，
九年级20名学生中有获得荣誉证书，
（份），
答：估计该校需准备390份证书；
（3）九年级抽取的学生阅读时间更好．
理由如下：从平均数角度来看，
该校九年级抽取的学生阅读时间更好．（答案不唯一）
21．解：（1）两点之间线段最短；
（2）剪开后，，，
最短路线的长为；
（3）圆锥的底面周长为，
设侧面展开图的圆心角度数为，，解得，
如答21图，该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，
线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，
在中，
点为中点，是的中位线，
蚂蚁爬行的最短距离为．
答21图
知识精准回顾
1．周长和弧长公式：①圆的周长：；②扇形弧长：为扇形所在圆的半径，为弧所对的圆心角的度数，是扇形的弧长）
2．圆锥底面圆的周长为圆锥侧面展开图扇形的弧长．
五、解答题（三）
22．解：（1）将点代入，得，解得，
直线的解析式为，
当时，，
将点分别代入，
得解得
抛物线的解析式为；
（2）①设，则，
过点作轴的平行线，与直线交于点，
令，解得或．
当点在轴上方时，，
或（舍去）
当时，；
②由①得，
当点在轴下方时，，
点
当时，的周长最大，最大值为9．
23．解：（1），
解得，
（2）如答23—1图，过点分别作轴于轴于点，
答23—1图
在中，，
易得四边形是正方形，设，则，
（舍去）．
易得，
（3）①当时，如答23—2图，过点作轴于点，作交的延长线于点．
答23—2图
易得，
易得四边形是正方形，
②当时，如答23—3图，过点作于点，作轴于点，
答23—3图
同①得，
四边形是正方形，
综上所述，或．
考法精准剖析
中考考法
广东近10年考法：
代数与几何综合题，均涉及图形动态变化，主要分为以下三种情况：
一、动点型探究题：
①2018.25以“直角三角形”为背景，分类讨论动点情况；
②2017.25以“矩形”为背景，利用锐角三角函数、二次函数性质、相似三角形等知识点解答；
二、动线型探究题：
2016.25以“正方形”为背景，考查平行四边形、等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形、二次函数性质等知识；
三、动图型探究题：
2023.23以“正方形”为背景，结合一次函数图象，考查全等三角形、相似三角形的判定与性质等知识点．
…
1
2
3
5
…
…
2.4
2.8
3.2
4.0
…
年级
平均数
中位数
众数
八年级
7.5
8
九年级
8.2
10
两步概率模型
列表法
树状图法
先取1个，放回，再取1个
对角线上有情况
第二层情况数和第一层一样多
先取1个，不放回，再取1个
对角线上无情况
第二层情况数比第一层少1种
一次取2个
对角线上无情况
第二层情况数比第一层少1种
基本方法
1．提公因式法，如；
2．公式法：（1）；
（2）
一般步骤
1．一提：有公因式的先提公因式；
2．二套：提取公因式后，用公式法：
（1）当多项式为两项时，考虑用平方差公式；
（2）当多项式为三项时，考虑用完全平方公式；
3．三检查：检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止，且最后结果是积的形式
步骤
1．有括号先计算括号内的；
2．进行乘除运算；
3．进行加减运算
【易错警示】分式化简中常见的易错点有3个：
（1）通分时错误：分式通分时，要给通分的每一项同时乘最简公分母；
（2）去括号时，符号错误：当括号前是“—”号，去括号时要注意括号内各项均要改变符号；
（3）不要把分式的化简与解分式方程的变形混淆，随意将分母约掉
模型
模型分析
母子型
通过在三角形外部作高，构造出两个直角三角形求解，其中公共边是解题的关键
背对背型
通过在三角形内部作高，构造出两个直角三角形求解，其中公共边是解题的关键