新高考物理一轮复习考点精讲精练第87讲 电磁感应中的单杆模型（2份打包，原卷版+解析版）

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1．（2022•上海）宽L＝0.75m的导轨固定，导轨间存在着垂直于纸面且磁感应强度B＝0.4T的匀强磁场。虚线框Ⅰ、Ⅱ中有定值电阻R0和最大阻值为20Ω的滑动变阻器R。一根与导轨等宽的金属杆以恒定速率向右运动，图甲和图乙分别为变阻器全部接入和一半接入时沿abcda方向电势变化的图像。求：
（1）匀强磁场的方向；
（2）分析并说明定值电阻R0在Ⅰ还是Ⅱ中，并且R0大小为多少：
（3）金属杆运动时的速率；
（4）滑动变阻器阻值为多少时变阻器的功率最大？并求出该最大功率Pm。
一.知识回顾
1.力学对象和电学对象的相互关系
2.能量转化及焦耳热的求法
(1)能量转化
eq \x(\a\al(其他形式,的能量))eq \(――→,\s\up7(克服安培),\s\d5(力做功))eq \x(\a\al(电,能))eq \(――→,\s\up7(电流做功))eq \x(\a\al(焦耳热或其他,形式的能量))
(2)求解焦耳热Q的三种方法(纯电阻电路)
3.单杆模型
二.例题精析
题型一：单杆+电阻模型之动态分析
（多选）例1．如图所示，MN和PQ是两根互相平行、竖直放置的足够长的光滑金属导轨，电阻不计，匀强磁场垂直导轨平面向里。具有一定质量和电阻的金属杆ab垂直导轨放置，与导轨接触良好。开始时，断开开关S，让金属杆ab由静止开始沿导轨下落，经过一段时间后，闭合开关S。从闭合开关S开始计时，取竖直向下为正方向，金属杆的速度v、加速度a、安培力F及电流表示数i随时间t变化的图象可能是图中的（ ）
A．B．
C．D．
题型二：单杆+电阻模型之通过动量定理求位移和电荷量
例2．如图所示，间距为L＝1m的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨足够长且电阻不计，左端接有阻值R＝2Ω的定值电阻。质量为m＝1kg的金属棒放在导轨上。整个装置处在垂直于导轨平面向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为1T。现对金属棒施加个平行导轨向右的水平拉力，使金属棒从静止开始运动，金属棒运动过程中始终与两导轨垂直并接触良好，金属棒接入电路的电阻为r＝2Ω。求：
（1）若施加的拉力大小恒为1N，金属棒运动的最大速度为多少；当速度为最大速度一半时，金属棒的加速度多大？
（2）若水平拉力的功率恒定为1W，则施加拉力后的4s内（此时金属棒已做匀速运动），电阻R上产生的焦耳热多大？
题型三：单杆+电容模型之充电过程分析
（多选）例3．如图所示，宽为L的水平光滑金属轨道上放置一根质量为m的导体棒MN，轨道左端通过一个单刀双掷开关与一个电容器和一个阻值为R的电阻连接，匀强磁场的方向与轨道平面垂直，磁感应强度大小为B，电容器的电容为C，金属轨道和导体棒的电阻不计。现将开关拨向“1”，导体棒MN在水平向右的恒力F作用下由静止开始运动，经时间t0后，将开关S拨向“2”，再经时间t，导体棒MN恰好开始匀速向右运动。下列说法正确的是（ ）
A．开关拨向“1”时，金属棒做加速度逐渐减小的加速运动
B．t0时刻电容器所带的电荷量为
C．开关拨向“2”后，导体棒匀速运动的速率为
D．开关拨向“2”后t时间内，导体棒通过的位移为（t）
题型四：单杆+电容模型之放电过程分析
例4．如图所示，水平面内有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计，阻值为R的导体棒垂直于导轨放置，且与导轨接触良好．导轨所在空间存在匀强磁场，匀强磁场与导轨平面垂直，t＝0时，将开关S由1掷向2，分别用q、i、v和a表示电容器所带的电荷量、棒中的电流、棒的速度大小和加速度大小，则图所示的图象中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型五：单杆+电源模型
例5．（2020•上海）如图所示，足够长的光滑金属导轨L＝0.5m，电阻不计。左端接一个电动势为3V的电源，整个装置处于匀强磁场中。现闭合电键S，质量0.1kg的金属棒ab由静止开始运动，回路的电流逐渐减小，稳定后电源电动势为E，回路的电流为0，从闭合电键到逐渐稳定的过程中，电源提供的能量Es＝10J，电源、导体棒产生的焦耳热分别是Q1＝0.5J，Q2＝4.5J。
（1）求内阻r和电阻R的阻值之比；
（2）求导体棒稳定时的速度和匀强磁场磁感应强度；
（3）分析电键闭合后导体棒的运动情况和能量的转化关系。
三.举一反三，巩固练习
（多选）如图，阻值不计的平行光滑金属导轨与水平面夹角为θ，导轨间距为d，下端接一阻值为R的定值电阻，磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上。质量为m的金属杆MN由静止开始沿导轨运动距离L时，速度恰好达到最大。已知MN接入电路的电阻为r，MN始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，则在此过程中（ ）
A．通过定值电阻的电荷量为
B．金属杆中的电流由N流向M
C．金属杆运动的最大速度为
D．金属杆与定值电阻产生的热量之比为R：r
（多选）间距为d的金属导轨竖直平行放置，空间有垂直于导轨所在平面向外、大小为B的匀强磁场。在导轨上端接一电容为C的电容器，一质量为M的金属棒与导轨始终保持良好接触，距地面高度为H由静止开始释放金属棒。（重力加速度为g，一切摩擦及电阻均不计）在金属棒下滑至地面的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒做变加速运动
B．金属棒做匀加速运动，加速度为
C．金属棒运动到地面的过程中，机械能守恒
D．金属棒运动到地面时，电容器储存的电势能为
（多选）如图所示，光滑平行金属导轨间距d＝1m，竖直四分之一圆弧部分与水平部分平滑连接，圆弧半径R＝1.8m，导轨右端接有阻值R0＝6Ω的定值电阻，导轨水平部分区域有垂直导轨向上的匀强磁场，磁感应强度大小B＝3T，磁场区域长L＝2m，导体棒ab从圆弧导轨顶部无初速度释放，导体棒ab质量m＝0.5kg，接入回路部分电阻r＝3Ω，导体棒与导轨始终接触良好，不计其他电阻，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒克服安培力做功功率的最大值为18W
B．导体棒两端最大电势差为12V
C．整个过程通过导体棒电荷量为C
D．电阻R0上产生的最大热量为J
（多选）如图所示，宽为L的足够长U形光滑导轨放置在绝缘水平面上，整个导轨处于竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，将一质量为m、有效电阻为R、长度略大于L的导体棒垂直于导轨放置。某时刻给导体棒一沿导轨向右、大小为v0的水平速度，不计导轨电阻，棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，则下列说法正确的是（ ）
A．导体棒中感应电流方向为由a到b
B．导体棒中的最大发热量为
C．导体棒的加速度逐渐减小到0
D．通过导体棒的电荷量最大值为
（多选）如图甲所示，两固定平行且光滑的金属轨道MN、PQ与水平面的夹角θ＝37°，M、P之间接电阻箱，电阻箱的阻值范围为0～9.9Ω，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度大小为B＝0.5T，质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其接入电路的电阻值为r.现从静止释放杆ab，测得最大速度为vm，改变电阻箱的阻值R，得到vm与R的关系如图乙所示。已知轨道间距为L＝2m，重力加速度g＝10m/s2，轨道足够长且电阻不计（sin37°＝0.6，cs37°＝0.8），则（ ）
A．金属杆的质量m＝0.5kg
B．金属杆接入电路的电阻r＝2Ω
C．当R＝2Ω时，杆ab匀速下滑过程中R两端的电压为4V
D．当R＝1Ω时，若杆ab用时2.2s达到最大速度，则此过程中下滑的高度为6m
（多选）如图所示，有一边长开小口且边长为L的正三角形的导体，有一导体直杆长为L，单位长度电阻均为R，正三角形水平放置且固定，内部分布垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，杆平行于正三角形放置，以速度大小为v向右匀速运动，杆与三角形始终有两个点接触良好，从左侧与三角形接触点开始运动，则（ ）
A．当杆的有效长度为L时，杆产生的电动势为BLv
B．当杆的有效长度为L时，杆产生的电动势为BLv
C．当杆的有效长度为L时，杆受到的安培力大小为F
D．当杆的有效长度为L时，杆受到的安培力大小为F
（多选）如图所示，光滑平行的金属导轨由半径为r的四分之一圆弧金属轨道MN和M'N'与足够长的水平金属轨道NP和N'P'连接组成，轨道间距为L，电阻不计；电阻为R，质量为m，长度为L的金属棒cd锁定在水平轨道上距离NN'足够远的位置，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中．现在外力作用下，使电阻为R、质量为m，长度为L的金属棒ab从轨道最高端MM'位置开始，以大小为v0的速度沿圆弧轨道做匀速圆周运动，金属棒ab始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．ab刚运动到NN'位置时，cd受到的安培力大小为，方向水平向左
B．ab从MM'运动到NN'位置的过程中，回路中产生的焦耳热为
C．若ab运动到NN'位置时撤去外力，则ab能够运动的距离为
D．若ab运动到NN'位置撤去外力的同时解除cd棒的锁定，则从ab开始运动到最后达到稳定状态的整个过程中回路产生的焦耳热为
（多选）如图所示，光滑平行导轨水平固定，间距为l，其所在空间存在方向竖直向上，磁感应强度大小为B的匀强磁场，导轨左侧接有阻值为R的定值电阻，一导体棒垂直导轨放置，导体棒的有效电阻为r、质量为m。导轨电阻忽略不计，导体棒运动中始终与导轨垂直且接触良好。现使导体棒获得一水平向右的速度，在导体棒向右运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．流过电阻R的电流方向为a→R→b
B．导体棒的最大加速度为
C．通过电阻R的电荷量为
D．全过程电阻R的发热量为mv02
两根足够长平行金属导轨MN、PQ固定在倾角θ＝37°的光滑绝缘斜面上，顶部接有一阻值R＝3Ω的定值电阻，下端开口，轨道间距L＝1m。整个装置处于磁感应强度为B＝2T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上。质量m＝1kg的金属棒ab，沿导轨运动时始终垂直于导轨，且与导轨接触良好。金属棒ab从静止开始运动下降的竖直高度为h＝6m时，速度已经达到最大速度。金属棒ab在导轨之间的电阻R0＝1Ω，电路中其余电阻不计。sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，取g＝10m/s2。求：
（1）求金属棒ab达到的最大速度vm的大小；
（2）金属棒ab沿导轨向下运动速度最大后，导体棒ab两端的电势差Uab；
（3）从金属棒ab开始运动至达到最大速度过程中，电阻R上产生的热量QR。
为了提高城市摩天大楼中电梯的运行效率并缩短候梯时间，人们设计了一种电磁驱动的无绳电梯，如图甲。图乙所示为电磁驱动的简化模型：光滑的平行长直金属导轨置于竖直面内，间距L＝1m。导轨下端接有阻值R＝1Ω的电阻，质量m＝0.1kg的导体棒（相当于电梯车厢）垂直跨接在导轨上，导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。在导轨平面上存在磁感应强度大小B＝0.5T，方向垂直纸面向里的匀强磁场，导体棒始终处于磁场区域内，g取10m/s2。t＝0时刻，磁场以速度v1＝10m/s速度匀速向上移动的同时静止释放该导体棒。
（1）求t＝0时刻导体棒的加速度大小；
（2）若导体棒随之运动并很快达到一个恒定速度，求该恒定速度的大小。
初态
v0≠0
v0＝0
示意图
质量为m、电阻不计的单杆ab以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为l
轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l
轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l，拉力F恒定
轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l，拉力F恒定
运动分析
导体杆做加速度越来越小的减速运动，最终杆静止
当E感＝E时，v最大，且vm＝eq \f(E,Bl)，最后以vm匀速运动
当a＝0时，v最大，vm＝eq \f(FR,B2l2)，杆开始匀速运动
Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝CBlΔv
电流I＝eq \f(Δq,Δt)＝CBleq \f(Δv,Δt)＝CBla
安培力F安＝IlB＝CB2l2a
F－F安＝ma，a＝eq \f(F,m＋B2l2C)，
所以杆以恒定的加速度匀加速运动
能量分析
动能转化为内能，eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＝Q
电能转化为动能和内能，E电＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)＋Q
外力做功转化为动能和内能，WF＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)＋Q
外力做功转化为电能和动能，WF＝E电＋eq \f(1,2)mv2