[数学][期中]河南省顶级名校联盟2024届高三上学期期中试题(解析版)

这是一份[数学][期中]河南省顶级名校联盟2024届高三上学期期中试题(解析版)，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合中恰有两个元素，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由集合中恰有两个元素，得，
解得．
故选：B．
2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】，故复数对应的点坐标为，
所以位于第四象限.
故选：D.
3. 里氏震级（M）是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅（A0）的常用对数演算而来的，其计算公式为.2023年8月6日2时33分，29分钟后又发生3.0级地震，用A5.5和A3.0分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则（ ）（参考数据：）
A. 25B. 31.6C. 250D. 316
【答案】D
【解析】由题意得，，，
从而，，
因此．
故选：D．
4. 已知函数的图象关于直线，则实数a的值为（ ）
A. 1B. 2C. ﹣1D. ﹣2
【答案】B
【解析】函数
，
因为函数图象关于直线对称，则，，
解得，，
则，解得．
故选：B．
5. 某班男生人数是女生人数的两倍，某次数学考试中男生成绩（单位：分）的平均数和方差分别为120和20，女生成绩的平均数和方差分别为123和17，则全班学生数学成绩的方差为（ ）
A. 21B. 19C. 18D.
【答案】A
【解析】根据题意，设该班有女生m人，则全班有3m人，
则全班学生数学成绩的平均数，
全班学生数学成绩方差．
故选：A．
6. 玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，则染法总数为（ ）
A. 216B. 360C. 720D. 1080
【答案】D
【解析】根据题意，如图：
分3步进行分析：
①要求侧棱用同一种颜色，则侧棱有5种选色的方法，
②对于上底，有4种颜色可选，则有，
③对于下底，每条边与上底和侧棱的颜色不同，有种选法，
则共有种选法．
故选：D．
7. 已知是正整数，函数在内恰好有4个零点，其导函数为，则的最大值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】因为在内恰好有4个零点，
所以，即，
所以，又，所以，
所以，，
所以，其中．
故选：B.
8. 已知过点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，点Q满足，点，则的最小值为（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】C
【解析】易知直线l的斜率存在且不为零，
不妨设直线l的方程为，Ax1,y1,Bx2,y2，
联立，消去x并整理得，
因为
由韦达定理得，，①
不妨设，
因为，
所以，②
因为，
所以，③
联立②③可得，
整理得到即④
又，⑤
联立④⑤，可得，
所以的最小值即为点到直线的距离，
则最小距离，
当最小时，，解得，，
经检验，
其满足，
所以的最小值为．故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 当时，取得最大值
【答案】BCD
【解析】由题意，，即，，且，
A项，，错误；
B项，，正确；
C项，，正确；
D项，由已知可得，且在时加完所有正项，取得最大值，正确．
故选：BCD．
10. 已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且，直线与椭圆的另一个交点为B，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. 椭圆的长轴长是短轴长的倍B. 线段的长度为
C. 椭圆的离心率为D. 的周长为
【答案】BC
【解析】由，可设，
又，
可得，解得，即，
将的坐标代入椭圆方程，可得，
化为，即，故A错误；
，故B正确;
椭圆的离心率，故C正确;
的周长为，故D错误.
故选：BC.
11. 已知函数，则（ ）
A. 的极大值为
B. 存在无数个实数，使关于的方程有且只有两个实根
C. 的图象上有且仅有两点到直线的距离为
D. 若关于的不等式的解集内存在正整数，则存在最大值，且最大值为
【答案】AD
【解析】由题意知：的定义域为，，
当时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增；
又，；当时，；当时，；
可作出图象如下图所示，
对于A，由单调性可知：的极大值为，A正确；
对于B，由图象可知：当且仅当或时，方程有且只有两个实根，B错误；
对于C，，恒成立，
结合图象可知：图象上有且仅有一个上方的点到直线的距离为，C错误；
对于D，的解即为的图象在直线上方时，所对应的范围，
要使关于的不等式的解集内存在正整数，则直线过点时，斜率取得最大值，，D正确.
故选：AD.
12. 已知正四棱锥的棱长均为2，M，N分别为棱，的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 动点Q的轨迹是半径为的球面
B. 点P在动点Q的轨迹外部
C. 动点Q的轨迹被平面截得的是半径为的圆
D. 动点Q的轨迹与平面有交点
【答案】BCD
【解析】对于A，设点是底面正方形的中心，连接，则平面，
取中点，连接，显然三点共线，
由中位线性质可得，
正方形中，，，
连接、，则，所以，
在中，，
可得.
∵，点Q在以为直径的球面上，因此动点Q的轨迹是半径为的球面，故A错误；
，则，所以点在以为球心的球面外，故B正确；
对于C，因为点到平面的距离为，点在平面，
所以球心到平面的距离为，故球面与平面相交，
且动点Q的轨迹被平面截得的是半径为的圆，故C正确；
对于D，若为中点，连接，显然，而，
由于为中点，故，所以，即为平行四边形，
所以，不在面内，面，则面，
所以到面的距离，即为上任意一点到面距离，
由于，
而，则，
所以动点Q的轨迹与平面有交点，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 写出对任意，都有成立的一个θ的值：_________．
【答案】
【解析】因为，
又因为，
所以只须，即，所以满足条件的一个可以是.
故答案为：（答案不唯一）.
14. 过点P向圆作切线，切点为A，过点P向圆作切线，切点为B，若，则动点P的轨迹方程为__________
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
设点，因为分别切圆，圆于点，且，
于是，则，
整理得，所以动点P的轨迹方程为.
15. 已知在四棱锥中，，， ，，平面，当四棱锥的体积最大时， _________．
【答案】
【解析】在四棱锥中，平面，
而平面，则，
又，平面，于是平面，
由，，因此四棱锥的体积为，
要使四棱锥的体积取得最大值，当且仅当取得最大值，
而，即，当且仅当时取等号，
而平面，平面，则，，
又，，
在中，由余弦定理得：．
16. 已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】因为函数在区间上没有零点，且时，，
所以在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，，
设，可得，
因为，可得，所以，
所以在区间上单调递减，所以，所以，
所以，实数的取值范围为.
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求角；
（2）过点A作，连接，使，，，四点组成四边形，若，求的长．
解：（1）由，
所以由正弦定理可得，
故，
而，
所以，又，所以.
（2）在中，由正弦定理可得，
因，所以，
在中，因为，
所以为锐角，所以，
由余弦定理可得，解得或.
18. 如图，在三棱锥中，，,，，于点.
（1）证明：平面；
（2）若点满足，求二面角的余弦值．
（1）证明：因为是公共边，
所以，
因为，所以，且，
设，则，所以，
解得，故，
在中，因为，所以，
又因为，
所以平面.
（2）解：如图所示，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，
，设，
则，
因为，所以，解得，
故，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
易知平面的一个法向量为，
因为，
所以二面角的余弦值为.
19. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其中一个焦点到 上的点的最小距离为 ．
（1）求E的方程；
（2）已知直线与双曲线E交于A，B两点，过,作直线的垂线分别交于另一点,,求四边形的面积.
解：（1）不妨设双曲线的半焦距为，因为的一条渐近线的倾斜角为，
所以，①
因为一个焦点到上的点的最小距离为，
所以，②
又，③
联立①②③，解得，
则的方程为；
（2）联立，消去并整理得，
不妨设，
由韦达定理得，
不妨设，所以，
此时，
易知直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
同理，
所以
，
故四边形的面积.
20. 已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求证：．
（1）解：因为数列an的前项和为，且，①
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，②
①-②可得，
从而，所以，
整理得，
因为，所以，即，
所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为.
（2）证明：由（1）知，可得，
当时，，不等式成立；
当时，，
所以
.
21. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会的召开推动了全民健身的热潮．某小区甲、乙、丙、丁四位乒乓球爱好者准备开展一次乒乓球比赛．每两人进行一场比赛，胜一场得1分，负一场得0分，最终累计得分最高者获得冠军，若多人积分相同，则名次并列.已知甲胜乙、丙、丁的概率均为，乙胜丙、丁的概率均为，丙胜丁的概率为，且各场比赛的结果相互独立.
（1）设比赛结束后，甲的积分为X，求X的分布列和期望；
（2）在甲获得冠军的条件下，求乙也获得冠军的概率．
解：（1）由题意，可得随机变量的所有可能取值为，
可得，，
，，
所以变量的分布列为
所以期望为
（2）记“甲获得冠军”为事件，“乙获得冠军”为事件、丙、丁”分别记为事件 “乙胜丙、丁”分别记为事件，“丙胜丁”记为事件，
此时，，，
所以
，
，
所以在甲获得冠军的条件下，乙也获得冠军的概率．
22 已知函数．
（1）若为的极值点，求a的值；
（2）若在区间，上各有一个零点，求的取值范围.
参考数据：．
解：（1）由题意可知：函数定义域为，
可得，
因为为的极值点，则，解得，
当时，则，
设，则，
当时，，可得，
可知在-1,1内单调递增，且，
当时，，即f'x<0；
当时，，即f'x>0；
可知在内单调递减，在0,1内单调递增，
所以为的极值点，即符合题意；
综上所述：.
（2）因为，，
若，当时，则，
可得，所以函数在内无零点，不合题意；
若，设，则，
当时，则，可得，
可知在内单调递增，则；
若，此时，即，
所以函数在上单调递减，则，
所以函数在上无零点，不合题意；
若，则，
且当x趋近于时，hx趋近于，
可知，使得，
当时，，即f'x<0；
当时，，即f'x>0；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，且当趋近于时，趋近于，
所以函数在区间内存在一个零点；
综上所述：当且仅当时，函数在区间内存在一个零点.
若，当时，设，
则，
可知在上单调递减，
又因为，，
可知存在，使得，
当时，，即h'x>0；
当时，，即h'x<0；
可知hx在内单调递增，在内单调递减，
且，，
可知，使得，
当时，hx>0，即f'x>0；
当时，hx<0，即f'x<0；
可知在内单调递增，在内单调递减，
且，，
所以存在唯一，使得，
即函数在上存在唯一零点，符合题意；
综上所述：满足条件的a的取值范围为.0
1
2
3