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高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第22练平面向量的概念及线性运算(原卷版+解析)
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这是一份高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第22练平面向量的概念及线性运算(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了课本变式练，考点分类练，最新模拟练，高考真题练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。
1.（人A必修二P4习题6.1T3变式）判断下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2.（人A必修二P4习题6.1T4变式）如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（ ）
A．B．C．D．
3. （人A必修二P22习题6.2T4变式）化简（ ）
A．B．
C．D．
4. （人A必修二P16练习T3变式）已知向量，不共线，，，若，则______．
二、考点分类练
(一)平面向量的概念
5．下列关于零向量的说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小B．零向量没有方向
C．两个反方向向量之和为零向量D．零向量与任何向量都共线
6．下列说法正确的是（ ）
A．向量就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．若，则
D．共线向量是在一条直线上的向量
7.（多选）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中（ ）
A．向量的模相等B．
C．向量共线D．
(二)向量的线性运算
8．（2022届广东省揭阳市揭东区高三上学期期中）如图所示，矩形中，若，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
9.数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
(三)根据向量的线性运算求参数
10．（2022届内蒙古包钢第一中学高三一模）已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ）
A．2B．C．D．
11.（2022届江苏省苏州市八校高三下学期三模）在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，交于F，设，，则（ ）
A．B．C．D．
(四)向量共线定理的及应用
12．（2022届重庆市第十一中学校高三3月月考） 下面四个命题哪些是平面向量，共线的充要条件（ ）
A．存在一个实数，B．，两向量中至少有一个为零向量
C．，方向相同或相反D．存在不全为零的实数，，
13.（2022届山西省怀仁市第一中学高三上学期第月考）在中，，点Q为的中点，交于点N.
（1）证明：点N为的中点；
（2）若，求.
三、最新模拟练
14．（2022安徽省六安一中、阜阳一中、合肥八中等校高三联考）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）.
A．B．C．D．且
15．(2022届河南省许平汝联盟高三下学期核心模拟)已知向量，不共线，且向量与平行，则实数（ ）
A．B．C．D．
16．(2022届河南省开封市高三三模)在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列向量与不相等的是（ ）
A．B．C．D．
17．（2022届福建省厦门高三上学期期中）设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（ ）
A．6B．C．D．4
18.（2022届湖南省娄底市高三上学期期中）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
19.（多选）（2022届河北省廊坊市高三模拟）已知实数、和向量、，下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
20.（多选）（2022届福建省华安县第一中学高三上学期期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
21.（2022届林省东北师范大学附属中学高三下测试）半径为4的圆O上有三点A、B、C，满足，点P是圆O内一点，则的取值范围为______．
22.（2022届辽宁省鞍山市高三第二次质量监测）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数，使得，则顶点C的轨迹方程为________．
四、高考真题练
23．（2022新高考全国卷 = 1 \* ROMAN I）在中,点D在边AB上,．记,则
A. B. C. D.
24．(2018高考全国卷Ⅰ)在中,为边上的中线，为的中点，则( )
A． B． C． D．
25.(2015高考全国卷1)设D为 QUOTE \* MERGEFORMAT ABC所在平面内一点，则( )
A．B．
C．D．
五、综合提升练
26．（2022届湖北省武汉市高三5月全仿真模拟）如图，在等腰△中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
27．（多选）已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意，，均有，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（ ）．
A．B．
C．D．
28.（2022届全国“星云”大联考高三第三次联考）已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则__________；与周长之比的取值范围为__________．
29.已知，是非零不共线的向量，设，定义点集，当，时，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______.
30．已知O是线段外一点，若，．
（1）设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示；
（2）如果在线段上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．
第22练 平面向量的概念及线性运算
一、课本变式练
1.（人A必修二P4习题6.1T3变式）判断下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】因向量共线，其模不一定相等，方向也不一定相同，即若，则是假命题，①不正确；
因模相等的向量，方向不一定相同，即若，则是假命题，②不正确；因模相等的向量，方向不一定相同也不一定相反，即若，则是假命题，③不正确；由相等向量的定义可知：若，则是真命题，④正确，所以，正确命题的个数是1.故选A
2.（人A必修二P4习题6.1T4变式）如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，，.故选D.
3. （人A必修二P22习题6.2T4变式）化简（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】.
4. （人A必修二P16练习T3变式）已知向量，不共线，，，若，则______．
【答案】6
【解析】因为，且，所以存在，使得，即，
因为，不共线，所以解得，．
二、考点分类练
(一)平面向量的概念
5．下列关于零向量的说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小B．零向量没有方向
C．两个反方向向量之和为零向量D．零向量与任何向量都共线
【答案】D
【解析】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；
两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；
零向量与任意向量共线，D正确．故选D.
6．下列说法正确的是（ ）
A．向量就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．若，则
D．共线向量是在一条直线上的向量
【答案】C
【解析】对于A：根据共线向量的定义可知向量就是所在的直线与所在的直线平行或重合，故选项A不正确；
对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B不正确；
对于C：若，则，故选项C正确；
对于D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项D不正确；故选C.
7.（多选）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中（ ）
A．向量的模相等B．
C．向量共线D．
【答案】BC
【解析】对于A，因为，所以，所以A错误，
对于B，因为，所以B正确，
对于C，因为，所以∥，所以向量共线，所以C正确，
对于D，因为，所以D错误，
故选BC
(二)向量的线性运算
8．（2022届广东省揭阳市揭东区高三上学期期中）如图所示，矩形中，若，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】已知，，由图可知，.
故选A.
9.数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，，，，A错误，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选D.
(三)根据向量的线性运算求参数
10．（2022届内蒙古包钢第一中学高三一模）已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】因为与共线，所以，，所以，因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得，
故选C．
11.（2022届江苏省苏州市八校高三下学期三模）在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，交于F，设，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，，因为
所以有，
因此，
因为，，，
所以，故选B
(四)向量共线定理的及应用
12．（2022届重庆市第十一中学校高三3月月考） 下面四个命题哪些是平面向量，共线的充要条件（ ）
A．存在一个实数，B．，两向量中至少有一个为零向量
C．，方向相同或相反D．存在不全为零的实数，，
【答案】D
【解析】当为零向量，为非零向量时，，则AC选项错误.
当为非零向量且同向时，，则B选项错误.
根据共线向量基本定理的推论可知，D选项正确.故选D
13.（2022届山西省怀仁市第一中学高三上学期第月考）在中，，点Q为的中点，交于点N.
（1）证明：点N为的中点；
（2）若，求.
【解析】（1）证明:设，
点Q为的中点，
，
.
，M，A三点共线，
，解得，点N为的中点.
（2）由（1）知，.
设，
，B，C三点共线，，解得，
，，
，，.
三、最新模拟练
14．（2022安徽省六安一中、阜阳一中、合肥八中等校高三联考）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）.
A．B．C．D．且
【答案】A
【解析】由可得、同向，故只有时、同向，而BCD只能确定、共线，
故选A
15．(2022届河南省许平汝联盟高三下学期核心模拟)已知向量，不共线，且向量与平行，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】与平行，，向量不共线，
∴存在实数k，使得，
，解得
16．(2022届河南省开封市高三三模)在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列向量与不相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，
所以，
因为，
所以,
所以A正确，因为，
所以，所以B正确，
因为，
所以，所以C正确，
因为，
所以D错误，故选D
17．（2022届福建省厦门高三上学期期中）设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（ ）
A．6B．C．D．4
【答案】D
【解析】不妨设，如图所示，
根据题意则，
即点O是△A1B1C1的重心，所以有k，
又因为，
那么，
，
故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为.故选D
18.（2022届湖南省娄底市高三上学期期中）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由平行四边形加法法则可得：，A正确；
由三角形加法法则，B错误；
，C正确；
，D正确.故选ACD
19.（多选）（2022届河北省廊坊市高三模拟）已知实数、和向量、，下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】ABD
【解析】对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；
对于C选项，若，则，所以，或，C错；
对于D选项，若，则，所以，，即，D对.
故选ABD.
20.（多选）（2022届福建省华安县第一中学高三上学期期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由正八边形可得，则，A正确；
对于B，连接交于，由可得，由向量的平行四边形法则可得，
又，则，B正确；
对于C， ，，
易得，又，则，C错误；
对于D，由余弦定理可得，又，
则，D正确.故选ABD.
21.（2022届林省东北师范大学附属中学高三下测试）半径为4的圆O上有三点A、B、C，满足，点P是圆O内一点，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】如图，与交于点，由得：，
四边形是平行四边形，又，所以四边形是菱形，则，，
由图知，，而，
∴，
同理，，而，
∴，
∴，
∵点是圆内一点，则，∴.故答案为
22.（2022届辽宁省鞍山市高三第二次质量监测）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数，使得，则顶点C的轨迹方程为________．
【答案】
【解析】设，因为，所以是的重心，
因为，所以，
所以, 所以点在的角平分线上，
因为∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，所以点为的内心.
所以点，即，
又，所以与轴平行，又，
所以,
所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，
当是椭圆的长轴的端点时，不能构成三角形，所以不能取到椭圆的长轴的端点；
当是椭圆的短轴的端点时，与已知存在非零实数，使得矛盾，所以不能取到椭圆的短轴的端点.
又椭圆的焦距为2，所以椭圆的方程为.
所以点的轨迹方程为.
四、高考真题练
23．（2022新高考全国卷 = 1 \* ROMAN I）在中,点D在边AB上,．记,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因点D在边AB上,且,所以,即,
所以=．故选B．
24．(2018高考全国卷Ⅰ)在中,为边上的中线，为的中点，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，为边上的中线，为的中点，，故选A．
25.(2015高考全国卷1)设D为 QUOTE \* MERGEFORMAT ABC所在平面内一点，则( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题知=，故选A．
五、综合提升练
26．（2022届湖北省武汉市高三5月全仿真模拟）如图，在等腰△中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】在等腰△中，，则，
∵分别是边的点，
∴，，而，
∴两边平方得：，而，
∴，又，即，
∴当时，最小值为，即的最小值为.故选C
27．（多选）已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意，，均有，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】设，，，则C为线段AB上一点，
因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，
四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：
A B
C D
观察选项A，B，C，D所对图形知，B不符合题意，ACD符合题意.故选ACD
28.（2022届全国“星云”大联考高三第三次联考）已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则__________；与周长之比的取值范围为__________．
【答案】 3
【解析】连接AG并延长，交BC于F，如图所示
由题意得，F为BC中点，
所以，
又G为重心，所以，
所以，即，
因为D、G、E三点共线，
所以，即.
设的边长为1，设与周长之比，
则，
在中，由余弦定理得，
所以，即，
所以，
由（1）可得，即代入上式，可得
由题意得，
所以，
又，所以，
又，所以，
因为，所以，
令，则，
令，则，
所以在上为增函数，
所以，
所以与周长之比的取值范围为
29.已知，是非零不共线的向量，设，定义点集，当，时，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______.
【答案】.
【解析】由，
可得，，共线，
由，
可得，
即有，
则为的平分线，
由角平分线的性质定理可得，
即的轨迹为圆心在上的圆，
由，可得，
由，可得，
可得，
由函数在上递增，可得，
即有，
即，由题意可得，
故的最小值为．
30．已知O是线段外一点，若，．
（1）设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示；
（2）如果在线段上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．
【解析】（1）如图：
因为点、是线段的三等分点，所以，同理可得：，；
（2）层次1：
设是的二等分点，则；；
设、、是的四等分点，则；
设是的n等分点，则．
层次2：设是的n等分点，
；
层次3：设是的n等分点，
则；
证明如下：
．
1.（人A必修二P4习题6.1T3变式）判断下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2.（人A必修二P4习题6.1T4变式）如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（ ）
A．B．C．D．
3. （人A必修二P22习题6.2T4变式）化简（ ）
A．B．
C．D．
4. （人A必修二P16练习T3变式）已知向量，不共线，，，若，则______．
二、考点分类练
(一)平面向量的概念
5．下列关于零向量的说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小B．零向量没有方向
C．两个反方向向量之和为零向量D．零向量与任何向量都共线
6．下列说法正确的是（ ）
A．向量就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．若，则
D．共线向量是在一条直线上的向量
7.（多选）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中（ ）
A．向量的模相等B．
C．向量共线D．
(二)向量的线性运算
8．（2022届广东省揭阳市揭东区高三上学期期中）如图所示，矩形中，若，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
9.数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
(三)根据向量的线性运算求参数
10．（2022届内蒙古包钢第一中学高三一模）已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ）
A．2B．C．D．
11.（2022届江苏省苏州市八校高三下学期三模）在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，交于F，设，，则（ ）
A．B．C．D．
(四)向量共线定理的及应用
12．（2022届重庆市第十一中学校高三3月月考） 下面四个命题哪些是平面向量，共线的充要条件（ ）
A．存在一个实数，B．，两向量中至少有一个为零向量
C．，方向相同或相反D．存在不全为零的实数，，
13.（2022届山西省怀仁市第一中学高三上学期第月考）在中，，点Q为的中点，交于点N.
（1）证明：点N为的中点；
（2）若，求.
三、最新模拟练
14．（2022安徽省六安一中、阜阳一中、合肥八中等校高三联考）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）.
A．B．C．D．且
15．(2022届河南省许平汝联盟高三下学期核心模拟)已知向量，不共线，且向量与平行，则实数（ ）
A．B．C．D．
16．(2022届河南省开封市高三三模)在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列向量与不相等的是（ ）
A．B．C．D．
17．（2022届福建省厦门高三上学期期中）设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（ ）
A．6B．C．D．4
18.（2022届湖南省娄底市高三上学期期中）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
19.（多选）（2022届河北省廊坊市高三模拟）已知实数、和向量、，下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
20.（多选）（2022届福建省华安县第一中学高三上学期期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
21.（2022届林省东北师范大学附属中学高三下测试）半径为4的圆O上有三点A、B、C，满足，点P是圆O内一点，则的取值范围为______．
22.（2022届辽宁省鞍山市高三第二次质量监测）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数，使得，则顶点C的轨迹方程为________．
四、高考真题练
23．（2022新高考全国卷 = 1 \* ROMAN I）在中,点D在边AB上,．记,则
A. B. C. D.
24．(2018高考全国卷Ⅰ)在中,为边上的中线，为的中点，则( )
A． B． C． D．
25.(2015高考全国卷1)设D为 QUOTE \* MERGEFORMAT ABC所在平面内一点，则( )
A．B．
C．D．
五、综合提升练
26．（2022届湖北省武汉市高三5月全仿真模拟）如图，在等腰△中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
27．（多选）已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意，，均有，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（ ）．
A．B．
C．D．
28.（2022届全国“星云”大联考高三第三次联考）已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则__________；与周长之比的取值范围为__________．
29.已知，是非零不共线的向量，设，定义点集，当，时，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______.
30．已知O是线段外一点，若，．
（1）设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示；
（2）如果在线段上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．
第22练 平面向量的概念及线性运算
一、课本变式练
1.（人A必修二P4习题6.1T3变式）判断下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】因向量共线，其模不一定相等，方向也不一定相同，即若，则是假命题，①不正确；
因模相等的向量，方向不一定相同，即若，则是假命题，②不正确；因模相等的向量，方向不一定相同也不一定相反，即若，则是假命题，③不正确；由相等向量的定义可知：若，则是真命题，④正确，所以，正确命题的个数是1.故选A
2.（人A必修二P4习题6.1T4变式）如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，，.故选D.
3. （人A必修二P22习题6.2T4变式）化简（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】.
4. （人A必修二P16练习T3变式）已知向量，不共线，，，若，则______．
【答案】6
【解析】因为，且，所以存在，使得，即，
因为，不共线，所以解得，．
二、考点分类练
(一)平面向量的概念
5．下列关于零向量的说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小B．零向量没有方向
C．两个反方向向量之和为零向量D．零向量与任何向量都共线
【答案】D
【解析】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；
两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；
零向量与任意向量共线，D正确．故选D.
6．下列说法正确的是（ ）
A．向量就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．若，则
D．共线向量是在一条直线上的向量
【答案】C
【解析】对于A：根据共线向量的定义可知向量就是所在的直线与所在的直线平行或重合，故选项A不正确；
对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B不正确；
对于C：若，则，故选项C正确；
对于D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项D不正确；故选C.
7.（多选）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中（ ）
A．向量的模相等B．
C．向量共线D．
【答案】BC
【解析】对于A，因为，所以，所以A错误，
对于B，因为，所以B正确，
对于C，因为，所以∥，所以向量共线，所以C正确，
对于D，因为，所以D错误，
故选BC
(二)向量的线性运算
8．（2022届广东省揭阳市揭东区高三上学期期中）如图所示，矩形中，若，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】已知，，由图可知，.
故选A.
9.数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，，，，A错误，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选D.
(三)根据向量的线性运算求参数
10．（2022届内蒙古包钢第一中学高三一模）已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】因为与共线，所以，，所以，因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得，
故选C．
11.（2022届江苏省苏州市八校高三下学期三模）在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，交于F，设，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，，因为
所以有，
因此，
因为，，，
所以，故选B
(四)向量共线定理的及应用
12．（2022届重庆市第十一中学校高三3月月考） 下面四个命题哪些是平面向量，共线的充要条件（ ）
A．存在一个实数，B．，两向量中至少有一个为零向量
C．，方向相同或相反D．存在不全为零的实数，，
【答案】D
【解析】当为零向量，为非零向量时，，则AC选项错误.
当为非零向量且同向时，，则B选项错误.
根据共线向量基本定理的推论可知，D选项正确.故选D
13.（2022届山西省怀仁市第一中学高三上学期第月考）在中，，点Q为的中点，交于点N.
（1）证明：点N为的中点；
（2）若，求.
【解析】（1）证明:设，
点Q为的中点，
，
.
，M，A三点共线，
，解得，点N为的中点.
（2）由（1）知，.
设，
，B，C三点共线，，解得，
，，
，，.
三、最新模拟练
14．（2022安徽省六安一中、阜阳一中、合肥八中等校高三联考）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）.
A．B．C．D．且
【答案】A
【解析】由可得、同向，故只有时、同向，而BCD只能确定、共线，
故选A
15．(2022届河南省许平汝联盟高三下学期核心模拟)已知向量，不共线，且向量与平行，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】与平行，，向量不共线，
∴存在实数k，使得，
，解得
16．(2022届河南省开封市高三三模)在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列向量与不相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，
所以，
因为，
所以,
所以A正确，因为，
所以，所以B正确，
因为，
所以，所以C正确，
因为，
所以D错误，故选D
17．（2022届福建省厦门高三上学期期中）设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（ ）
A．6B．C．D．4
【答案】D
【解析】不妨设，如图所示，
根据题意则，
即点O是△A1B1C1的重心，所以有k，
又因为，
那么，
，
故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为.故选D
18.（2022届湖南省娄底市高三上学期期中）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由平行四边形加法法则可得：，A正确；
由三角形加法法则，B错误；
，C正确；
，D正确.故选ACD
19.（多选）（2022届河北省廊坊市高三模拟）已知实数、和向量、，下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】ABD
【解析】对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；
对于C选项，若，则，所以，或，C错；
对于D选项，若，则，所以，，即，D对.
故选ABD.
20.（多选）（2022届福建省华安县第一中学高三上学期期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由正八边形可得，则，A正确；
对于B，连接交于，由可得，由向量的平行四边形法则可得，
又，则，B正确；
对于C， ，，
易得，又，则，C错误；
对于D，由余弦定理可得，又，
则，D正确.故选ABD.
21.（2022届林省东北师范大学附属中学高三下测试）半径为4的圆O上有三点A、B、C，满足，点P是圆O内一点，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】如图，与交于点，由得：，
四边形是平行四边形，又，所以四边形是菱形，则，，
由图知，，而，
∴，
同理，，而，
∴，
∴，
∵点是圆内一点，则，∴.故答案为
22.（2022届辽宁省鞍山市高三第二次质量监测）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数，使得，则顶点C的轨迹方程为________．
【答案】
【解析】设，因为，所以是的重心，
因为，所以，
所以, 所以点在的角平分线上，
因为∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，所以点为的内心.
所以点，即，
又，所以与轴平行，又，
所以,
所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，
当是椭圆的长轴的端点时，不能构成三角形，所以不能取到椭圆的长轴的端点；
当是椭圆的短轴的端点时，与已知存在非零实数，使得矛盾，所以不能取到椭圆的短轴的端点.
又椭圆的焦距为2，所以椭圆的方程为.
所以点的轨迹方程为.
四、高考真题练
23．（2022新高考全国卷 = 1 \* ROMAN I）在中,点D在边AB上,．记,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因点D在边AB上,且,所以,即,
所以=．故选B．
24．(2018高考全国卷Ⅰ)在中,为边上的中线，为的中点，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，为边上的中线，为的中点，，故选A．
25.(2015高考全国卷1)设D为 QUOTE \* MERGEFORMAT ABC所在平面内一点，则( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题知=，故选A．
五、综合提升练
26．（2022届湖北省武汉市高三5月全仿真模拟）如图，在等腰△中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】在等腰△中，，则，
∵分别是边的点，
∴，，而，
∴两边平方得：，而，
∴，又，即，
∴当时，最小值为，即的最小值为.故选C
27．（多选）已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意，，均有，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】设，，，则C为线段AB上一点，
因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，
四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：
A B
C D
观察选项A，B，C，D所对图形知，B不符合题意，ACD符合题意.故选ACD
28.（2022届全国“星云”大联考高三第三次联考）已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则__________；与周长之比的取值范围为__________．
【答案】 3
【解析】连接AG并延长，交BC于F，如图所示
由题意得，F为BC中点，
所以，
又G为重心，所以，
所以，即，
因为D、G、E三点共线，
所以，即.
设的边长为1，设与周长之比，
则，
在中，由余弦定理得，
所以，即，
所以，
由（1）可得，即代入上式，可得
由题意得，
所以，
又，所以，
又，所以，
因为，所以，
令，则，
令，则，
所以在上为增函数，
所以，
所以与周长之比的取值范围为
29.已知，是非零不共线的向量，设，定义点集，当，时，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______.
【答案】.
【解析】由，
可得，，共线，
由，
可得，
即有，
则为的平分线，
由角平分线的性质定理可得，
即的轨迹为圆心在上的圆，
由，可得，
由，可得，
可得，
由函数在上递增，可得，
即有，
即，由题意可得，
故的最小值为．
30．已知O是线段外一点，若，．
（1）设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示；
（2）如果在线段上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．
【解析】（1）如图：
因为点、是线段的三等分点，所以，同理可得：，；
（2）层次1：
设是的二等分点，则；；
设、、是的四等分点，则；
设是的n等分点，则．
层次2：设是的n等分点，
；
层次3：设是的n等分点，
则；
证明如下：
．
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