北师大版九年级上册数学开学测试卷4（试卷+答案+解析）

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（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：八下全册和九上第一章的内容
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列各式中是分式的是（ ）．
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】题考查分式的定义，掌握相关知识是解题关键，分式的概念：一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫作分式．
【详解】解：A. 是整式，不是分式，故A不符合题意；
B. 是多项式，是整式不是分式，故B不符合题意；
C. 分母含有字母，是分式，故C符合题意，
D. 是整数，不是分式，故D不符合题意；
故选：C．
2．若，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．由已知可得，，再根据不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：，
A、，不等式一定成立，不符合题意；
B、，不等式一定成立，不符合题意；
C、，不等式一定成立，不符合题意；
D、若，，此时，而，即不等式不一定成立，符合题意，
故选：D．
3．新能源汽车逐步成为支撑全球汽车销量增长、推动全球汽车产业升级的重要力量．其中，我国新能源汽车表现亮眼，连续年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过．年月份，龙头企业比亚迪遥遥领先，小米汽车销量创历史新高．以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；即可判断，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：、既不是是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
、既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
、既不是是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
故选：．
4．下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D．，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．如图，在中，，D为的中点，若，则的长是（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【分析】此题考查了直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，据此解答，熟练掌握直角三角形斜边中线性质是解题的关键．
【详解】解：∵，D为的中点，
∴
故选：C．
6．如果把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．缩小2倍B．扩大2倍C．不变D．缩小4倍
【答案】A
【分析】本题考查了分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
根据分式的基本性质求解作答即可．
【详解】解：由题意知，的和都扩大2倍，可得分式的值为，
故选：A．
7．如图，▱的周长为，，和相交于点，交于点，则的周长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是掌握平行四边形的性质．根据平行四边形的两组对边分别相等，对角线互相平分，可说明是线段的中垂线，由中垂线上任意一点到线段两端点的距离相等，则，再利用平行四边形的周长为可得，进而可得的周长．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
又，
是线段的中垂线，
，
，
▱的周长为，
∴，
的周长为，
故选：B．
8．如图，在中，，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）连接交于点，则下列结论中错误的是（ ）
A．垂直平分B．点不一定在的角平分线上
C．D．若，则垂直平分
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
根据题意易得，，则垂直平分，即可判断A；通过证明，得出，即可判断B；根据垂直平分，得出，即可判断C；易得为等边三角形，进而得出，即可判断D．
【详解】解：A、∵，
∴点A在垂直平分线上，
由作图可知，，
∴点D在垂直平分线上，
∴垂直平分，故A正确，不符合题意；
B、∵，，，
∴，
∴，
∴点在的角平分线上，故B不正确，符合题意；
C、∵垂直平分，
∴，
故C正确，不符合题意；
D、∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，故D正确，不符合题意；
故选：B．
9．下列说法不正确的是（ ）
A．如果，那么是直角三角形
B．若分式方程有增根，则
C．如果关于x的不等式的解集是，那么a的取值范围是
D．若，则
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理可判定A，把分式方程的增根代入去分母后的方程可判定B，根据不等式的性质可判定C，把条件化为，，再代入计算可判定D，从而可得答案
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
若关于x的方程有增根，
∴增根为
方程去分母得：，代入，解得，故B不符合题意；
∵关于x的不等式的解集是，
∴，
∴；故C不符合题意；
∵，
∴，
∴，，
∴，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，分式方程的增根问题，不等式的性质，条件分式的求值，掌握相关的基础知识是解本题的关键.
10．如图，在矩形中，，，E，F是对角线上的两个点，且，M，N分别是边，边上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形：
②存在无数个正方形；
③当时，存在唯一的矩形；
④当时，存在唯一的矩形．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的判定，平行四边形的判定，连接，且令，相交于点O，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得只要满足，那么四边形就是平行四边形，据此可判断①；只要，则四边形是正方形，据此可判断②；根据只要，则四边形是矩形，且，即可判断③④．
【详解】解：连接，且令，相交于点O，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴只要满足，那么四边形就是平行四边形，
∵点E，F是上的动点，
∴存在无数个平行四边形，故①正确；
只要，则四边形是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故②错误；
只要，则四边形是矩形，
∵，
∴当时，不存在矩形，故③错误；
当时，此时，即此时，故存在唯一的矩形，故④正确，
故选：B．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．因式分解：
【答案】
【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
【详解】解：；
故答案为：
12．如图，菱形中，对角线与相交于点，若，则菱形的面积是 ．
【答案】9
【分析】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解题的关键．根据菱形的性质可知，再根据菱形面积公式计算即可．
【详解】解：四边形是菱形，
则菱形的面积为：
故答案为：9．
13．数学综合与实践活动课上，某兴趣小组要测定被池塘隔开的A、B两点间的距离，他们在外选一点C，连接，并分别找出它们的中点M、N，连接．现测得，则A、B两点间的距离为 m．
【答案】36
【分析】本题主要考查了三角形中位线的应用．根据三角形中位线定理得到，求出结果即可．
【详解】解：∵点M、N分别是、的中点，
∴，
∵，
∴，
即A、B两点间的距离为．
故答案为：36．
14．若整数使关于的不等式组，有且只有4个整数解，且使关于的分式方程的解满足，则所有满足条件的整数的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等组和分式方程，分别解不等式组和分式方程，确定的取值范围，进而求解即可，熟练掌握它们的解法是解题的关键．
【详解】解：不等式组的解集是： ，
∵该不等式组有且只有4个整数解，
∴，
解得：，
分式方程的解是：，
∵，
∴，
∴，
综上，（为整数），
∴，
故答案为：．
15．在矩形中，E为边的中点，F为边上的一点，连接，若，，，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，学会运用分类讨论的思想与巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．分两种情况考虑，①当时，②当时，然后过F作于G，根据勾股定理进行求解．
【详解】解：①如图所示，当时，过F作于G，则，
在中，，
又∵E是的中点，，
∴，
∴，
∴中，；
②如图所示，当时，过F作于G，则，
在中，，
又∵E是的中点，，
∴，
∴，
∴中，中，，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7小题，其中第16小题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏：
(1)解不等式组：；
(2)先化简，再求值：，其中a取（1）的一个整数解．
【答案】(1)
(2)，当时，原式
【分析】本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，
（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
（2）先计算小括号内的减法，再将除法转化为乘法进行化简，然后结合（1）的的取值范围，选取使分式有意义的的值代入计算即可；
解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及确定不等式组解集的方法．
【详解】（1）解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为；
（2）
，
∵，，
当时，原式．
17．在平面直角坐标系中，的位置如图，网格中小正方形边长为1，点坐标为，请解答下列问题：
(1)将经过平移后得到，已知的坐标是画出平移后的图形，并写出，的坐标．
(2)作出绕点的顺时针旋转得到的，并写出，，的坐标．
【答案】(1)画图见解析，，；
(2)画图见解析，，，
【分析】本题考查作图平移变换、旋转变换，熟练掌握平移、旋转的性质是解答本题的关键．
（1）将三个顶点向左平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可，进而得到，的坐标；
（2）将点A，B，C绕点O顺时针旋转得到点，，，再首尾顺次连接得出图形，然后写出坐标即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
∴，；
（2）如图所示，即为所求；
∴，，．
18．如图，在△ABC中∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，连接CE，交AD于点F．
(1)求证：AD是线段CE的垂直平分线；
(2)若∠BAC＝60°，AD＝16，求DF的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形：
（1）根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用可证，从而利用全等三角形的性质可得，，再利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答；
（2）利用角平分线的定义可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，再利用（1）的结论可得，从而可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是线段的垂直平分线；
（2）解：∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴的长为4．
19．【阅读理解】
以上分解因式的方法称为分组分解法，分组的方式可以任意两项组合成一组，也可以是其中若干项分成一组．
【问题解决】
(1)分解因式：；
(2)的三边，，满足，判断的形状．
【答案】(1)
(2)是等腰三角形
【分析】本题考查因式分解及因式分解的应用，
（1）根据上述的分组分解法将原式进行因式分解即可；
（2）先将原式进行因式分解，得：，根据题意可知，，即，即可得出结果；解题的关键是掌握因式分解的基本思路：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解；如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式，如果剩余的是三项，考虑使用完全平方公式，如果剩余的是四项或四项以上，考虑分组；因式分解要彻底，要分解到不能分解为止．
【详解】（1）解：
；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，是的三边，
∴，
∴，即，
∴是等腰三角形．
20．为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台，已知每台A型设备月处理污水量为2200吨，每台B型设备月处理污水量为1800吨，而每台A型设备的价格比每台B型设备的价格贵3万元，且用90万元购买A型设备的台数与用75万元购买B型设备的台数刚好相同．
(1)求每台A型设备和每台B型设备各需要多少万元？
(2)由于受资金限制，指挥部用于购买问水处理设备的资金不超过165万元，问如何购买可使每月处理污水量的吨数最多？并求出最多吨数．
【答案】(1)18万元；15万元
(2)购买5台型设备，5台型设备可使每月处理污水量的吨数最多，最多为20000吨
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
（1）设每台型设备需要万元，则每台型设备需要万元，利用数量总价单价，结合用90万元购买型设备的台数与用75万元购买型设备的台数刚好相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值(即每台型设备的价格），再将其代入中，即可求出每台型设备的价格；
（2）设购买台型设备，则购买台型设备，利用总价单价数量，结合总价不超过165万元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设购买的10台设备每月处理污水量为吨，利用每月处理污水的总量每台型设备的月处理污水量购买型设备的数量十每台型设备的月处理污水量购买型设备的数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每台型设备需要万元，则每台型设备需要万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：每台型设备需要18万元，每台型设备需要15万元；
（2）解：设购买台型设备，则购买台型设备，
根据题意得：，
解得：．
设购买的10台设备每月处理污水量为吨，则，
，
，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为，此时．
答：购买5台型设备，5台型设备可使每月处理污水量的吨数最多，最多为20000吨．
21．如图1，在中，对角线相交于点O，且，，点E为线段上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，当点F落在的外面，交于点M，且能构成四边形时，四边形的面积是否发生变化？若不变，请末出这个值，若变化，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)不变；4
【分析】（1）可证得，进而证得，从而；
（2）由（1）得，从而，因为，从而，从而得出；
（3）连接，作，交于，作于，可证得，从而，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：∵绕点逆时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图1，
设直线交于，
由（1）得，，
，
，
，
；
（3）解：如图2．四边形的面积不变，理由如下，
连接，作，交于，作于，
∴，
∴，
由（2）可知，，
，
，
在四边形中，，
，
，
，
，
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
由得：
，
，
，
∴四边形的面积为：4．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质、勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
22．如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以为邻边作平行四边形．
(1)如图1，求证；
(2)如图2，若，连接，判断的形状？并说明理由；
(3)如图3，若，，，是的中点，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)是等边三角形，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质及全等三角形的判定与性质.
（1）平行四边形的性质可得, 再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再由条件四边形是平行四边形，即可得四边形为菱形即可解题；
（2）先判断出, 根据等腰三角形的性质得出, 进而得出, 即可得出, 得出, 由, 得出是等边三角形, , 进而得出是等边三角形；
（3）首先证明四边形为正方形，再证明 可得,, 再根据可得到是等腰直角三角形，由 等腰直角三角形的性质注即可求出的值.
【详解】（1）∵AF平分
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，

又∵四边形是平行四边形，
∴四边形为菱形，
∴；
（2）是等边三角形，理由为：
∵四边形是平行四边形,
，
∵,
∴,
∵,
∴,
由（1）知, 四边形是菱形,
，
∴,
∴为等边三角形, ,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵是的平分线,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
在和中
，
，
∴,
∴,
∵,
∴是等边三角形,
∴,
∴,
∵,
∴是等边三角形；
（3）如图所示:
连接,，
∵, 四边形是平行四边形,
∴四边形是矩形,
∴,
又由（1）可知四边形为菱形,
∴,
∴四边形为正方形.
∵,
∴,
∵为中点,
∴,
∴,
在和中,


∴.
∴，
∴是等腰直角三角形.
∵,
在中,
又∵,
．