人教版九年级上册数学开学测试卷6（试卷+答案+解析）

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（考试时间：100分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
一般的，形如，（k，b为常数）的函数叫做一次函数，根据定义判断即可．
【详解】解：根据一次函数的定义：一般的，形如，（k，b为常数）的函数叫做一次函数，可得只有B选项是一次函数；
故选B．
2．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，则原方程可化为，去分母即可．
【详解】解：，
设，
则原方程可化为，
则，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了用换元法解分式方程，解此题的关键是能正确换元．
3．矩形中，，，则的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【分析】直接利用矩形的对角线相等的性质即可求解．
【详解】解：因为矩形中，，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，解题关键是牢记“矩形的对角线相等”．
4．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．在十进制中， B．在实数中任取一个数，这个数的平方小于0
C．任意画一个三角形是等腰三角形D．掷一枚骰子，点数为4的一面朝上
【答案】A
【分析】根据事件的分类，逐一进行判断即可
【详解】解：A、是必然事件，符合题意；
B、是不可能事件，不符合题意；
C、是随机事件，不符合题意；
D、是随机事件，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查事件的分类．熟练掌握必然事件是一定条件下，一定会发生的事件，不可能事件是一定条件下，一定不会发生的事件，随机事件是一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，是解题的关键．
5．点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，可推出DE∥BC的条件是（ ）
A．＝，＝B．＝，＝
C．＝，＝D．＝，＝
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：当＝或＝时，DE∥BC，
B选项中，＝，＝，
∴＝，
∴DE∥BC，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
6．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（ ）

A．B．
C． D．
【答案】A
【分析】三角形相似的判定方法有（1）平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）如果两个三角形对应边的比相等且夹角相等，这2个三角形也可以说明相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.）；
（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似（简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.）；
（4）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两个三角形相似）。
【详解】A选项符合判定方法（4），符合题意．
B选项相等的角不是对应边的夹角，不符合题意．
C选项相等的角不是对应角，不符合题意．
D选项相等的角不是对应角，不符合题意．
【点睛】本题考查的是三角形相似的判定方法，解题的关键是牢记判定方法．
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分．
7．已知，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．利用设法进行计算，即可解答．
【详解】解：，
设，则，
，
故答案为：．
8．化简： ．
【答案】/
【分析】本题考查向量的加减运算，根据向量加减运算法则求解即可
【详解】解：
，
故答案为：．
9．如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的面积比为 ．
【答案】
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵两个相似三角形对应高的比为，
∴这两个三角形的面积比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
10．如图，，是边上的两个点，要使，添加一个条件是 （只写一个）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，已知，根据相似三角形的判定定理即可求得答案．
【详解】∵，，
∴，
故添加条件即可求得．
同理可得：或可以得出．
故答案为： 或或．
11．在⊿ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则 ．
【答案】
【分析】根据余弦的定义进行解答
【详解】在Rt△ABC中，AC＝，
，故填．
【点睛】本题考查三角函数的定义，余弦值＝角的邻边与斜边之比．
12．一个锐角的正切值与余切值相等，则这个角的度数为
【答案】
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，进行解答即可．
【详解】解：∵，，
∴当一个锐角的正切值与余切值相等时，则这个角的度数为．
故答案为：．
13．如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据：“形如，这样的函数叫做二次函数”，得到，即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：．
14．抛物线的顶点坐标为
【答案】（-1，0）
【分析】直接根据抛物线的解析式写出顶点坐标即可.
【详解】∵抛物线
∴顶点坐标为（-1,0）
故答案为（-1，0）
【点睛】本题主要考查抛物线的顶点坐标，掌握抛物线顶点坐标的形式是解题的关键.
15．在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ．
【答案】
【分析】先画出图形（见解析），过点作于点，先利用正弦三角函数求出的长，再根据三角形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
在中，，即，
解得，
则的面积是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦三角函数的定义是解题关键．
16．如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有 对．
【答案】3
【分析】根据相似三角形的判定即可判断．
【详解】图中三角形有：，，，
∵，
∴
共有3个组合分别为：∴，，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．
17．如图，在等腰梯形中，，对角线与互相垂直，，那么梯形的中位线长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识比较全面，需要用到梯形和三角形中位线定理以及平行四边形的性质．
作，从而得到四边形为平行四边形，将两底的和转化为线段的长，利用梯形的中位线定理求得答案即可．
【详解】解：作交的延长线于点，
，
∴四边形为平行四边形，
，
∵是等腰梯形，
∴，
∴，
∴梯形的中位线为：，
故答案为：．
18．对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ．
【答案】4
【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键．
【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则，
，
中存在一点，有，解得，则，
抛物线“开口大小”为，
故答案为：．
三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（本题满分10分）计算：．
【答案】0
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂运算法则、零指数幂运算法则、绝对值的意义分别化简各数，然后再按照实数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值、实数的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解本题的关键．
20．（本题满分10分）解方程组：
【答案】或
【分析】本题考查了二元二次方程组解法，由①可得，，将③代入②得，求出，，然后代入求解即可．
【详解】
由①可得，
将③代入②得，
整理得，
或
解得，
将代入③得，；
将代入③得，．
∴方程组的解为或．
21．（本题满分10分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分4分）
如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点D、E、F.
（1）求证：；
（2）联结EF，求证：.
【答案】见解析
【详解】试题分析：（1）证明△AED∽△ADB即可得出结论；
（2）通过证明△EAF∽△CAB即可．
试题解析：证明：（1）∵DE⊥AB，AD⊥BC．
∴.
又∵.
∴.
∴
∴.
（2）同（1）可得：.
∴.
∴，.
∴.
∴
∴.
22．（本题满分10分第(1)小题满分6分，第(2)小题满分4分）
用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图1．
经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：%）与充电时间（单位：）的函数图像分别为图2中的线段、．
(1)求线段对应的函数表达式；
(2)已知该手机正常使用时耗电量为，在用快速充电器将其充满电后，正常使用，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设线段的函数表达式为，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列出方程，然后解方程求解即可．
【详解】（1）解：设线段的函数表达式为
将，代入，
即解得，
线段的函数表达式为；
（2）根据题意，得，
．
【点睛】本题考查的一次函数的实际应用，同时考查一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．
23．（本题满分12分，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分5分）
如图，已知平行四边形，E是边的中点，点F在边上，连接并延长交的延长线于点G，连接、．
(1)如果，求证：四边形是矩形；
(2)如果F是边的中点，且，求证：四边形是菱形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，三角形的中位线，熟练掌握矩形和菱形的判定是解题的关键．
（1）先证出，再根据，得到，即可证明；
（2）连接，得到是的中位线，从而证得，得出，即可证明．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∵E是边的中点，
∴
又∵
∴
∴，
又∵
∴四边形是平行四边形
∵
∴
∴
∴
∴四边形是矩形．
（2）连接，如图，
∵E是边的中点，F是边的中点，
∴是的中位线，
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴四边形是菱形．
24．（本题满分12分，第(1)小题4分，第(2)小题8分）
某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点O匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为．

(1)如图2，因机器故障，曲臂杆最多可逆时针旋转，求此时点A到地面的距离；
(2)在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据： ，）
【答案】(1)点到地面的距离约为；
(2)一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知易得，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）当，且时，设交于点，根据题意可得：，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，比较即可解答．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

由题意得：，，
在中，，
，
，，
，
，
此时点到地面的距离约为；
（2）解：一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口，
理由：如图：当，且时，设交于点，

由题意得：，，
，
在中，，
，
，
入口宽度为，
，
，
一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口．
24．（本题满分 14 分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分3分）
将绕点按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的倍，得△，即如图①，我们将这种变换记为，．
（1）如图①，对作变换，得△，则 ；直线与直线所夹的锐角为 度；
（2）如图②，中，，，对 作变换，得△，使点、、在同一直线上，且四边形为矩形，求和的值；
（3）如图③，中，，，，对作变换，得△，使点、、在同一直线上，且四边形为平行四边形，求和的值．
【分析】（1）由旋转与相似的性质，即可得，然后由与△中，，，可得，即可求得直线与直线所夹的锐角的度数；
（2）由四边形是矩形，可得，然后由，即可求得的度数，又由含角的直角三角形的性质，即可求得的值；
（3）由四边形是平行四边形，易求得，又由△，根据相似三角形的对应边成比例，易得，继而求得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：△，
，，
，
；
故答案为：，60；
（2）四边形是矩形，
．
．
在中，，，
，
；
（3）四边形是平行四边形，
，
又，
．
，而，
△，
，
，
而，，
，
，
，
．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、旋转的性质、矩形的性质以及平行四边形的性质．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．