浙江省温州市第八中学2024-2025学年九年级上学期开学摸底考试数学试题（解析版）

这是一份浙江省温州市第八中学2024-2025学年九年级上学期开学摸底考试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列函数是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．利用二次函数的一般形式为：是常数，，进而判断得出即可．
【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确；
B、是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确；
C、符合二次函数的定义，故本选项正确；
D、的右边不是整式，因此不是二次函数，故本选项不正确．
故选：C．
2. 抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质以及顶点式，准确理解顶点式是解题的关键．
根据，顶点坐标是，可得答案．
【详解】解：∵抛物线为，
∴顶点坐标．
故选：A．
3. 二次函数与y轴的交点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点坐标，解题的关键是掌握二次函数图象与坐标轴交点坐标的求解方法．令求出y的值即可得到与y轴的交点坐标．
【详解】解：令，则，
∴与y轴的交点坐标是．
故选：C．
4. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
得到的抛物线是：．
故选A．
【点睛】本题考查了抛物线的平移，掌握抛物线平移的规律是解题的关键．
5. 如果，那么二次函数图像大致是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据a、b、c的符号，可判断抛物线的开口方向，对称轴的位置，与y轴交点的位置，作出选择．
【详解】由a＜0可知，抛物线开口向下，排除. D；
由a＜0，b>0可知，对称轴x= -b2a-b2a ＞0，在y轴右边，排除B；
由c＜0可知，抛物线与y轴交点(0,c)在x轴下方，排除C；
故答案为：D．
【点睛】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键．
6. 已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则点P的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的图象和性质，根据二次函数的对称轴求出点P关于对称轴的对称点的坐标，是解题关键．根据抛物线的对称轴即可以得到点P关于对称轴的对称点．
【详解】解：∵ 抛物线对称轴为直线，并且图象过点，
∴关于直线的对称点为，
故选：A．
7. 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查抛物线的图形及性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据待定系数法进行求解即可．
【详解】解：设出抛物线方程，
由图象可知该图象经过点，
故，
，
故，
故选：A．
8. 若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标解题关键是找准对应的各项系数．
根据二次函数顶点坐标公式及点在轴上的纵坐标为0的特征作答．
【详解】解：根据二次函数的顶点坐标公式，
∵抛物线的顶点在x轴上，即，
∴，即
∴．
故答案为：B．
9. 已知点A（﹣3，a），B（﹣2，b），C（1，c）均在抛物线y＝3（x+2）2+k上，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. c＜a＜bB. a＜c＜bC. b＜a＜cD. b＜c＜a
【答案】C
【解析】
【分析】通过确定A、B、C三个点和函数对称轴的距离，确定对应y轴的大小．
【详解】解：函数的对称轴为：x＝﹣2，
a＝3＞0，故开口向上，
x＝1比x＝﹣3离对称轴远，故c最大，b为函数最小值，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，能根据题意，巧妙地利用性质进行解题是解此题的关键
10. 某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（ ）

A. 180B. 220C. 190D. 200
【答案】D
【解析】
【分析】由图象过点（20，20）和（30，0），利用待定系数法求直线解析式，然后根据每天利润=每千克的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答．
【详解】设y=kx+b，由图象可知，，
解得：，
∴y=﹣2x+60；
设销售利润为p，根据题意得，p=（x﹣10）y
=（x﹣10）（﹣2x+60）
=﹣2x2+80x﹣600，
∵a=﹣2＜0，
∴p有最大值，
当x=﹣=20时，p最大值=200．
即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式以及求二次函数最值等知识，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，注意待定系数法的应用，注意数形结合思想的应用．
二、填空题（每题4分，共32分）
11. 请写出一个开口向下二次函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：______．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，牢记形如的二次函数的性质是解答本题的关键．
根据形如或二次函数的性质直接写出即可．
【详解】解：∵图象的对称轴是y轴，
∴函数表达式（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
12. 已知，则当______时，y有最大值是______．
【答案】 ①. 3 ②. 6
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值．
根据二次函数的性质求最值．
【详解】解：∵，
∴当时，y有最大值是，
故答案为：3；6．
13. 原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（1降价的百分率）的平方，即可得解．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
14. 将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是______．
【答案】平方米
【解析】
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键．
先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可．
【详解】解：设矩形的一边长为x m，则另一边长为平方米，矩形的面积为平方米，
其面积为，
∴当边长为2米时，矩形的最大面积为平方米．
故答案为：平方米．
15. 已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，它的顶点坐标为，则此抛物线的解析式______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题目给定的条件，直接利用顶点式可得函数解析式．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，
∴所求抛物线的解析式为．
故答案为：．
16. 如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为______米．
【答案】11
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度．
根据题意可知，此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度，故令求出相应的x的值，即可得到此运动员将铅球推出的距离．
【详解】解：∵，
∴当，时，，
即，
解得，（舍去），
∴运动员小铭将铅球推出的距离为11米．
17. 已知二次函数的图象经过点和．若，则m的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得m的取值范围．
【详解】解：∵二次函数，
∴图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∴点关于对称轴的对称点为，
∵二次函数的图象经过点和，且，
∴或．
18. 在二次函数（）中，与部分对应值如表：
则，的大小关系为______n．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】根据表格的、的值找出函数的对称轴，利用二次函数的性质即可得出答案．
【详解】解：由表格知：图象对称轴为：直线，当时，,
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∵，分别为点，和，的纵坐标，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能根据表中点的坐标特点找出对称轴是解此题的关键．
三、解答题（共28分）
19. 如图，观察图中的二次函数图象可得：
（1）求该抛物线的解析式．
（2）当x______时，y随x的增大而减小．
（3）当x______时，y达到最______（填“大”或“小”）值是______．
【答案】（1）
（2）
（3），大，9
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
依据题意，根据函数的图象，结合二次函数的性质即可逐个判断得解．
【小问1详解】
解：由题意，如图可得，抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点为，
设抛物线的解析式为：，
∵二次函数与x轴的一个交点为，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
当时，y随x的增大而减小；
【小问3详解】
当时，y达到最大值9．
20. 已知抛物线与x轴交于点与．

（1）求该抛物线的解析式及它的对称轴．
（2）点在该抛物线上，求m的值．
（3）当函数值时，请直接写出自变量x的取值范围______．
（4）当时，请直接写出函数y的取值范围______．
【答案】（1）；
（2）-16 （3）或
（4）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，通过数形结合求解．
（1）利用待定系数法求解析式即可，根据对称轴公式即可解答
（2）将点代入抛物线解析式，即可解答
（3）观察函数图象结合二次函数的性质，即可找出：当时，自变量x的取值范围．
（4）观察图象，即可求得函数y的取值范围；
【小问1详解】
解：将点与代入抛物线，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：，对称轴为：．
【小问2详解】
∵点在该抛物线上，
∴将点代入，
∴．
【小问3详解】
∵当或时，二次函数图象在x轴上方，
∴当函数值时，自变量x的取值范围是： 或．
【小问4详解】
当时，，
当时，，
抛物线顶点为，
当时，函数y的取值范围为：．
21. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A与原点重合，顶点B在x轴的正半轴上，点D在y轴的正半轴上，抛物线经过点．
（1）求a的值与对称轴．
（2）将抛物线向右平移m个单位使得新抛物线与，分别交于M，N，点M，N的纵坐标相等，求m的值和点M的坐标．
【答案】（1），直线；
（2），
【解析】
【分析】（1）由抛物线经过点，再建立方程求解，再进一步求解即可；
（2）先求解新抛物线的解析式，再结合矩形的性质与点M，N的纵坐标相等，再建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点．
∴，
解得：，
∴抛物线为；
∴抛物线的对称轴为直线；
【小问2详解】
解：∵抛物线；
∴抛物线向右平移m个单位为，
∵抛物线为，
当，则，则，
∵矩形的顶点A与原点重合，顶点B在x轴的正半轴上，，
∴，，
∵新抛物线与，分别交于M，N，点M，N的纵坐标相等，
∴当与时，新抛物线的函数值相等，
∴，
解得：，
∴新抛物线为：，
当时，，
∴；
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数关系式，抛物线的平移，矩形的性质，抛物线的性质等相关知识，熟练掌握待定系数法求二次函数关系式是解决本题的关键．
思维拓展：
22. 如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为__________

【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出
【详解】解：∵D，E分别是边，中点，
∴是的中位线，
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：4
23. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小．
【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小，
反比例函数的图象上有，两点，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
故选：A．
24. 如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案．
【详解】解：过点D作交的延长线于点F，
∵的垂线交于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
∴，
由勾股定理可得，，
，
∴，
∴
∴
即，解得，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，
故选：C
25. 小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示．
（1）求A，B，C各档速度（单位：米/分）；
（2）求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；
（3）小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值．
【答案】（1）80米/分，120米/分，160米/分
（2）5分 （3）42.5
【解析】
【分析】此题考查函数图象获取信息，一元一次方程的应用，读懂图象中的数据是解本题的关键．
（1）由小明的跑步里程及时间可得档速度，再根据C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分可得B，C档速度；
（2）结合图象求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解；
（3）由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为（分），可得方程，求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可知，档速度为米/分，
则档速度为米/分，档速度为米/分；
【小问2详解】
小丽第一段跑步时间为分，
小丽第二段跑步时间为分，
小丽第三段跑步时间为分，
则小丽两次休息时间的总和分；
【小问3详解】
由题意可得：小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等，
此时小丽在跑第三段，所跑时间为：（分）
可得：，
解得：．x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
0
2
m
n
0
…
时间
里程分段
速度档
跑步里程
小明
不分段
A档
4000米
小丽
第一段
B档
1800米
第一次休息
第二段
B档
1200米
第二次休息
第三段
C档
1600米