北京市门头沟区大峪中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题（Word版附解析）

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一、选择题（本大题共10小题，每题4分）
1. 已知直线经过，两点，则直线倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 两条直线与之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
3. 的展开式中，的系数为（ ）
A. 1B. 5C. 10D. 20
4. 已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在四面体中，，，.点在上，且，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 9
7. 已知点，．若直线上存在点P，使得，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知点在由直线，和所围成的区域内（含边界）运动，点在轴上运动.设点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在棱长为2正方体中，为棱的中点，为棱上一动点.给出下列四个结论：
①存点，使得平面；
②直线与所成角的最大值为；
③点到平面的距离为；
④点到直线的距离为.
其中所有正确结论个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
10. 已知双曲线与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每题5分）
11. 若直线与直线垂直，则的值为___．
12. 已知圆．则圆的圆心坐标为___；若圆与圆内切，则___．
13. 如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为___；平面与平面夹角的余弦值为___．
14. 已知直线，则与的交点坐标为_____________；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值________________．
15. 已知曲线，，给出下列四个命题：
①曲线关于轴、轴和原点对称；
②当时，曲线，共有四个交点；
③当时，曲线围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3；
④当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积.
其中所有真命题的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知的三个顶点分别为．
（1）设线段的中点为，求中线所在直线的方程；
（2）求边上的高线的长．
17. 已知直线与抛物线相交于两点．
（1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）求弦长．
18. 如图，在五面体中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角大小；
（3）求三棱锥的体积．
19. 已知椭圆C：（）的一个焦点为，一个顶点为．
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）已知直线与椭圆相切于点，直线交轴于点，为坐标原点，，求的面积．
20. 如图，在直三棱柱中，分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若点是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
21. 已知椭圆的右焦点为，左､右顶点分别为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是坐标原点，是椭圆上不同的两点，且关于轴对称，分别为线段的中点，直线与椭圆交于另一点.证明：三点共线.