广东省广州市广东广雅中学2024~2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份广东省广州市广东广雅中学2024~2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．
第一部分 选择题部分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式以及二次根式的性质，根据最简二次根式的定义：二次根式的被开方式中不含分母，并且不含有能开得尽方的因式或因数，进行判断即可．
【详解】解：A、，是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：A．
2. 一组数据5，4，5，6，5，3，4的众数是 （ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查众数的定义，根据众数的概念，找到该组数据中出现次数最多的数即可选出正确答案．
【详解】解：数据5出现了3次，最多， 所以众数为5，
故选：C．
3. 下列各组数据中，是勾股数的是（ ）
A. ，，B. 6，7，8C. 1，2，3D. 9，12，15
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理逆定理，两条较短线段的平方和等于较长线段的平方．
根据勾股定理逆定理判断即可．
【详解】解：A、，不能组成直角三角形，不符合题意；
B、，不能组成直角三角形，不符合题意；
C、，不能组成三角形，不符合题意；
D、，能组成直角三角形，符合题意；
故选：D．
4. 甲、乙、丙、丁四人参加射击比赛，经过几轮初赛后，他们的平均数相同，方差分别为：．如果要从这四人中选取成绩稳定的一人参加决赛，你认为最应该派去参加决赛的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义，根据方差的定义进行判断即可得出答案．
【详解】解：∵，
，
∴乙的成绩更加稳定，
故选：B．
5. 如图，已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是菱形B. 若，则是正方形
C. 若，则是矩形D. 若，则是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形和正方形以及菱形的判定，熟练掌握矩形和正方形以及菱形的判定定理是解题的关键．
根据矩形和正方形以及菱形的判定定理逐项判断，即可解答．
【详解】解：A、邻边互相垂直的平行四边形不一定是菱形，故A错误，不符合题意；
B、因为对角线互相垂直平行四边形是菱形，故B错误，不符合题意；
C、若，则是矩形，故C正确，符合题意；
D、因为邻边相等的平行四边形是菱形，故D错误，不符合题意；
故选：C．
6. 已知方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式．讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围．
【详解】解：当时，方程化为，
解得；
当时，则，
解得且，
综上所述，的取值范围为．
故选：A．
7. 如图，矩形中，，，E为的中点，F为边上任意一点，G，H分别为，的中点，则的长是（ ）
A. 6B. 5.5C. 6.5D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，关键是由三角形中位线定理推出，由勾股定理求出的长．
连接，由矩形的性质得到，由勾股定理求出，由三角形中位线定理得到．
【详解】
解：连接，
∵四边形是矩形，
，
，E为中点，
，
，
，
∵G，H分别为，中点，
是的中位线，
．
故选：D．
8. 已知直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，数形结合是本题的关键．根据两个一次函数的图象逐一分析系数符号即可解决．
【详解】解：A、直线中，，中，，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
B、直线中，，中，，k、b的取值一致，故本选项符合题意；
C、直线中，，中，，k的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
D、直线中，，中，，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意．
故选：B．
9. 在平面直角坐标系中，以方程组的解为坐标的点位于第三象限，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了解不等式组、解二元一次方程组，利用了消去的思想，消去的方法有：加减消去法与代入消元法，还考查了点的坐标．
先求出方程组的解．根据以方程组的解为坐标的点位于第三象限列出不等式组求解即可；
【详解】解：解方程组得：，
∵以方程组的解为坐标的点位于第三象限，
∴，
解得：，
故选：A．
10. 如图，在矩形中，点在上，，，作于点G，交CD于F，则CF的长是（ ）
A. B. C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，，，可得，这样得，设，则，利用勾股定理计算即可．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质，熟练掌握勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵矩形 ，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
设，则，
则，
解得，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案．
【详解】解：由题意得，解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次根式的非负性，熟记二次根式的被开方数大于等于零的性质是解题的关键．
12. 已知是关于的一元二次方程，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键．
直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x的最高次幂为2，得出m的值进而得出答案．
【详解】解：由题意知：且，
解得，
故答案为：．
13. 已知正比例函数的图象过点，则该函数的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是求解正比例函数的解析式，直接利用待定系数法求解函数解析式即可．
【详解】解：设正比例函数解析式为，
∵正比例函数的图象过点
，
解得：，
∴该函数的解析式为；
故答案为：
14. 已知，，则的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】先将因式分解，然后将、代入计算即可．
【详解】解：．
故答案．
【点睛】本题主要考查了代数式求值、因式分解的应用等知识点，灵活应用因式分解成为解答本题的关键．
15. 若关于的一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为______．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解的概念，根据一元二次方程的解即可求得结果．关键是把方程中的看成一个新的未知数，则关于的方程的解等于关于x的一元二次方程的解．
【详解】解：由题意得：关于的方程的解为：，，
解得：，，
故答案为：，．
16. 如图，点，A为x轴上一动点，将线段绕点A顺时针旋转得到连接当取最小值时，点A的坐标是_______________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直线与图形的变化，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题；
如图，在x轴的正半轴上取一点H，使得，在上取一点D，使得．证明点C在直线上运动，根据垂线段最短即可解决问题．
【详解】解：在x轴的正半轴上取一点H，使得，
在上取一点D，使得．
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
点C在直线上运动，
作于点P，，
此时点，即，设，
，
，
解得，
点
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
先算乘除法和零次幂，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可．
【详解】解：
18. 如图，在中，E，F分别是的中点．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，线段中点的有关计算，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的判定和性质和线段中点的有关计算，证明四边形是平行四边形，进而即可证明．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
E，F分别是的边，上的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，
．
19. 如图，已知，垂足为D，，，．判断的形状，并说明理由．

【答案】是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】根据勾股定理分别求出，，再根据勾股定理逆定理，即可得出结论．
【详解】解：是直角三角形．
理由：，垂足为D，，，．
，
．
，
．
是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形．
20. （1）化简：；
（2）若是一元二次方程的解，请求出上面化简后的代数式的值．
【答案】（1）；（2）2
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
（1）根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，可以得到值，然后将使得原分式有意义的的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：（1）
；
（2）解方程：
∴
∴，
∵时分式无意义
∴当x=2 时，
原式．
21. 某校学生会决定从三名学生会干事中选拔一名干事，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试，三人的测试成绩如下表所示：
根据录用程序，学校组织名学生采用投票推荐的方式，对三人进行民主测评，三人得票率（没有弃权，每位同学只能推荐1人）如扇形统计图所示，每得一票记1分．
（1）分别计算三人民主评议的得分；
（2）根据实际需要，学校将笔试、面试、民主评议三项得分按的比例确定个人成绩，三人中谁的得分最高？
【答案】（1）甲50，乙，丙；
（2）丙．
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数、扇形统计图等知识点，熟记相关公式是解题关键．
（1）分别用乘以三人的得票率，求出三人民主评议的得分各是多少即可．
（2）根据加权平均数的计算方法列式计算，分别求出三人的得分各是多少；然后比较大小，判断出三人中谁的得分最高即可．
【小问1详解】
解：甲民主评议的得分是：（分）；
乙民主评议的得分是：（分）；
丙民主评议的得分是：（分）．
【小问2详解】
解：甲的成绩是：（分），
乙的成绩是：（分），
丙的成绩是：（分），
∵，
∴丙的得分最高．
22. 如图，在平面直角坐标中，直线与x轴相交于点B，与直线相交于点A．

（1）求的面积；
（2）点P为y轴上一点，当取最小值时，求点P的坐标，
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查两直线相交问题，一次函数的性质以及轴对称最短线路问题，解题的关键是掌握待定系数法．
（1）先求出点B的坐标，联立两直线解析式构成方程组，得，解方程组求出即可求解；
（2）直线与轴的交点，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，利用待定系数法求出的解析式并令函数值为0即可求出点的坐标．
【小问1详解】
解：，
，即，
联立，
解得：，
点的坐标为，
的面积为：；
【小问2详解】
解：作点关于轴的对称点，连接，交y轴于点，

，
，
此时，三点共线，有最小值，
，，
设直线的解析式为，
代入，，的坐标得，
解得：，
直线的解析式为，
令，得，
点使最小．
23. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为万元．经过市场调研发现，每台售价为万元时，年销售量为台；每台售价为万元时，年销售量为台．假定该设备年销售量（单位：台）和销售单价（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量与销售单价的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于万元，如果该公司想获得万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？
【答案】（1）
（2）万元
【解析】
【分析】（1）设年销售量与销售单价的函数关系式y=kx+bk≠0，根据点的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）设此设备的销售单价为万元/台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台，根据总利润单台利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其小于的值即可得出结论．
【小问1详解】
解：设年销售量与销售单价的函数关系式y=kx+bk≠0，
将，代入解析式，得：
，
解得：，
年销售量与销售单价的函数关系式为；
【小问2详解】
设此设备的销售单价为万元/台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台，
根据题意得：，
整理得：，
解得：， ，
此设备的销售单价不得高于万元，
，
则该设备的销售单价应是万元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24. 某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
请根据表格中的信息，解答下列问题：
（1）D1001次列车从A站到B站行驶了______分钟，从B站到C站行驶了______分钟；
（2）记D1001次列车的行驶速度为，离A站的路程为；G1002次列车的行驶速度为，离A站的路程为．
①______；
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求t的值．
【答案】（1）90，60
（2）①；②或125
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的关键．
（1）直接根据表中数据解答即可；
（2）①分别求出D1001次列车、G1002次列车从A站到C站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求解即可；
②先求出， A与B站之间的路程，G1002次列车经过B站时，对应t的值，从而得出当时，D1001次列车在B站停车． G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，然后分，，，讨论，根据题意列出关于t的方程求解即可．
【小问1详解】
解：D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟，从B站到C站行驶了60分钟，
故答案为：90，60；
【小问2详解】
解：①根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需分钟，
G1002次列车从A站到C站共需分钟，
∴，
∴，
故答案为：；
②（千米/分钟），，
（千米/分钟）．
，
A与B站之间的路程为360．
，
当时，G1002次列车经过B站．
由题意可如，当时，D1001次列车在B站停车．
G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车．
ⅰ．当时，，
，，（分钟）；
ⅱ．当时，，
，，（分钟），不合题意，舍去；
ⅲ．当时，，
，，（分钟），不合题意，舍去；
ⅳ．当时，，
，，（分钟）．
综上所述，当或125时，．
25. 如图，等边中，．
（1）尺规作图：在图1中作点A关于的对称点C，连接，并证明四边形是菱形；
（2）在（1）的条件下，点O是四边形对角线交点，动点E，F，G分别在线段上，且满足，H是中点；
①当时，求证；
②当时，求长度．
【答案】（1）作图见解析，证明见解析
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）作的平分线，交于，截取，点即为所作；由等边，可得垂直平分，即，，进而可证四边形是菱形；
（2）①由题意证，，如图2，作，则，由，可得是的中点，如图2，连接，则，由，，可得，，则，如图2，作交于，则，证明四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，证明是等边三角形，则，由，可得；②由题意求，，，如图3，作于，连接，延长，交于，交于，则四边形是矩形，，设，则，，，，，，证明，则，由题意知，，，由勾股定理得，，则，同理，，由，可得，可求，则，进而可求的长．
【小问1详解】
解：作平分线，交于，截取，点即为所作；

∵等边，
∴垂直平分，即，，
又∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
①证明：∵菱形，
∴，，，，，
∵，
∴，，，
∴，
如图2，作，则，
图2
∵，
∴是的中点，
如图2，连接，
∵H是中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
如图2，作交于，则，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
②解：∵菱形，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
如图3，作于，连接，延长，交于，交于，则四边形是矩形，
图3
∴，
由①可知，，，，
∴，，
设，则，，，，，，
∵，，，
∴，
∴，
由题意知，，，
由勾股定理得，，
解得，，
同理，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了作角平分线，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，中位线，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握作角平分线，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，中位线，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键．车次
A站
B站
C站
发车时刻
到站时刻
发车时刻
到站时刻
D1001
8：00
9：30
9：50
10：50
G1002
8：25
途经B站，不停车
10：30