安徽省六校教育研究会2025届高三上学期入学考试数学试卷

这是一份安徽省六校教育研究会2025届高三上学期入学考试数学试卷，共15页。试卷主要包含了已知函数，若，则的大小关系为等内容，欢迎下载使用。

2024.9
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设复数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
3.设公差的等差数列中，成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，则该四棱锥外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数，若，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
7.若当时，函数与的图象有且仅有4个交点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且为奇函数，且，则（ ）
A.-11 B. C. D.0
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若随机变量且，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.的最小值为50
C.
D.若，则
10.1694年瑞士数学家雅各布•伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是时的双纽线上一点，下列说法正确的是（ ）
A.双纽线的方程为
B.
C.双纽线上满足的点有2个
D.的最大值为
11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.函数的图像与函数的图像有且仅有一个公共点
B.函数的图像与函数的图像没有公切线
C.函数，则有极大值，且极大值点
D.当时，恒成立
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.平面四边形中，，则__________.
13.倾斜角为锐角的直线经过双曲线的左焦点，分别交双曲线的两条渐近线于两点，若线段的垂直平分线经过双曲线的右焦点，则直线的斜率为__________.
14.我国河流旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去贵州漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有__________种.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）在中，角的对边分别为.
（1）求角；
（2）若的面积，若，且，求的周长.
16.（15分）如图，在三棱台中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足.
（1）证明：平面；
（2）若直线和平面所成角的余弦值为，求该三棱台的体积.
17.（15分）已知椭圆的左右顶点分别为是椭圆上异于的动点，满足，当为上顶点时，的面积为8.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点（与不重合），直线分别与直线交于两点，求的值.
18.（17分）已知函数.
（1）当时，求证：函数有唯一极值点；
（2）当时，求在区间上的零点个数；
（3）两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求的值.
19.（17分）若数列满足，则称该数列为边界为1的数列.对于边界为1的有穷数列，从该数列中任意去掉两项，同时添加作为该数列的末项，可以得到一个项数为项的新数列，称此过程为对数列实施一次“降维”.规定这种“降维”只能实施于边界为1的数列.如果数列经过若干次“降维”后成为只有一项的数列，即得到一个实数，则称该实数为数列的一个“坍缩数”.
（1）设数列的递推公式为，我们知道：当取不同的值时，可以得到不同的数列.若取某实数时，该数列是一个只有3项的有穷数列，求该数列的所有可能的“坍缩数”.
（2）试证明：对于任意一个边界为1的有穷数列，都可以对其持续进行“降维”，直至得到该数列的一个“坍缩数”.
（3）若数列的共有项，其通项公式为，求证：当为偶数时，数列的“坍缩数”一定为正；当为奇数时，数列的“坍缩数”一定为负.
安徽六校教育研究会2025届高三年级入学素质测试
数学试题参考答案
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.C
2.B 【解析】由，可得，故.
故选：B.
3.A 【解析】设公差的等差数列中，成等比数列，
，即，
.
故选：A.
4.A 【解析】因为，因为，所以.
故选：A.
5.D 【解析】根据几何体结构特征，易知外接球球心在中点处，，故外接球半径，因此.
故选：D.
6.B 【解析】因为，故，因此为减函数，
因为，故
所以：.
故选：B.
7.A 【解析】如图所示，画出在的图象，
也画出的草图，
函数与的图象有且仅有4个交点，
则将的第4个，第5个与轴交点向处移动即可.
满足，解得.
故选：A.
8.D 【解析】由于，故，
则，因此.
令，则，故.
由于为奇函数，故，即，故关于点对称.
由题，，故关于直线对称，因此当时，
故，
因此.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9.BC 【解析】随机变量，
对于，则，错误；
对于B，，则，B正确；
对于C，，所以，C正确；
对于D，因为随机变量，所以正态曲线的对称轴为直线，
因为，所以，故D错误.
故选：BC.
10.ABD 【解析】由到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，
则双纽线的方程为，
化简可得，故A正确；
由等面积法得，则，
所以，故B正确；
令，得，解得，
所以双曲线上满足的点有一个，故C错误；
因为，所以，
由余弦定理得，
所以，
所以的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
11.ACD 【解析】易知当时，函数与函数的图像有一个公共点，
当时，令，则，
所以在时取最小值，
所以当时，函数与函数的图像没有公共点，故A正确；
设与切于点，与切于点
则，化简得：，判断方程根的个数即为公切线条数，
令，则在上恒小于0，在上单调递增，在上有使得，所以在上单调递减，在上单调递增，
且
，所以方程有两解，与的图像有两条公切线，B错误；
由得，
令，则，
所以在上单调递减，，
所以存在，使得，即，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以有极大值，且极大值点，故C正确；
易知，且等号不能同时取到，故D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【解析】设
则
13.
【解析】设中点为，两渐近线可写成，设，
则
①-②可得
从而，易知的倾斜角为倾斜角的2倍，故，
从而.
14.348
【解析】①若6人乘坐3只船
先将4个大人分成三组有种方法，然后将三组排到3只船有种方法，再将两个小孩排到3只船有种方法，所以共有种方法.
②若6人乘坐2只船
共有种方法
综上共有：种方法.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.解：（1）由正弦定理有：，即
故，由于，故.
（2）由题，
因为，且，故，则
故，解得或，
当时，，此时三角形周长为；
当时，，此时三角形周长为.
16.解：（1）证明：由三棱台知，平面，
因为平面，且平面平面，
所以，
因为，所以，又，
所以平面；
（2）取中点，连接，以为原点，为轴，为轴，过点做轴垂直于平面，建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为，
则
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得平面的一个法向量，
易得平面的一个法向量，
设与平面夹角为，
，
所以
由，得，
由（1）知，所以，
解得，所以三棱休积.
17.解：（1）不妨设椭圆上顶点，
此时，①
因为的面积为8，所以，②
联立①②，解得，
则椭圆的标准方程为；
（2）易知直线的斜率存在，设斜率为
则直线的方程为，设，
联立，消去并整理得
由韦达定理得，
直线的方程为，
令，解得，
所以，
同理得，
所以
.
18.解：（1）证明：由，得，且.
当时，.
因为，所以.
因为对任意恒成立，所以当时，.
所以是的唯一极值点.
（2），当时，，所以在上单调递减，
因为，所以由零点存在定理知在上有且仅有一个零点.
当时，令，则，
当时，有，所以在上单调递增，
又因为，所以存在使得，
当时，，所以在上单调递减，
所以当时，故在上无零点，
当时，，所以在上单调递增，
又，所以在上有且仅有一个零点.
综上所述：在上有且只有2个零点.
（3）设曲线与曲线的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，则.
因为，所以.
所以.
不妨设，则.
因为，
由“合一切线”的定义可知，.
所以.
由“合一切线”的定义可知，，所以.
当时，取，
则，符合题意.
所以.
19.解：（1）由题可知：该数列第3项，
由递推公式可得.
经计算，无论降维过程如何进行，最终得到的坍缩数都是
（2）证明：设，则，故
，所以，
，所以，
即，
所以当数列满足时，经过一次“降维”后得到的新数列仍然是边界为1的数列，故这种“降维”可以持续进行，直至得到一个只有一项的数列，从而得到“坍缩数”.
（3）定义运算#：，下面证明这个运算满足交换律与结合律：
，即运算“#”满足交换律，
又，
，
所以，即运算“#”满足结合律，
所以对于给定的数列，持续“降维”后得到的“城缩数”是唯一确定的，与实施“降维”的具体操作过程无关.
对于给定的数列
（i）当为偶数时，注意到，而，从而
按如下方式进行“降维”：
首先去掉第1项与第2项，在数列末尾添加；然后去掉原数列的第3项与第4项，在数列末尾添加按照此种方式进行次“降维”之后得到的数列各项皆为正，因此最终得到的“坍缩数”必为正数.
（ii）当为奇数时，注意到，而，从而.
按如下方式进行“降维”：
首先去掉第2项与第3项，在数列末尾添加；然后去掉原数列的第4项与第5项，在数列末尾添加.按照此种方式进行次“降维”之后，得到的数列各项皆为负数，因此最终得到的“扨缩数”必为负数.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
选项
C
B
A
A
D
B
A
D
BC
ABD
ACD