江西省上饶市六校2023届高三第二次联考理科数学试题

这是一份江西省上饶市六校2023届高三第二次联考理科数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 满分：150分
命题学校：上饶市二中 命题人：沈国锋 袁小雪
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数z满足：，则复数z的实部是（ ）
A．－1B．1C．D．
3．向量，若则实数a等于（ ）
A．1B．C．D．2
4．已知定义在R上的奇函数满足：，且当时，（a为常数），则的值为（ ）
A．－2B．－1C．0D．1
5．设为正项等比数列的前n项积，若的公比，则（ ）
A．B．32C．D．512
6．设，则（ ）
A．156B．78C．64D．21
7．已知，，则的最小值等于（ ）
A．B．6C．D．
8．设，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
9．某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数的图象关于直线对称，且在上有3个零点，则ω的值为（ ）
A．3或9B．4或10C．3D．4
11．在半径为的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数，若，则的最大值为（ ）；
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．由曲线，直线及y轴所围成的图形的面积为______．
14．直线被圆截得最大弦长为______．
15．已知双曲线的两条渐近线的夹角（锐角或直角）为α，且，双曲线的离心率等于______．
16．如图，在长方形ABCD中，已知，M，N分别是边AB，AD上的点，设，且，则的最大值为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．（本小题满分12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）证明：A＝B；
（2）记线段AB上靠近点B的三等分点为D，若，求C．
18．（本小题满分12分）如图①，已知是边长为2的等边三角形，D是的中点．，如图②，将沿边DH翻折至．
（1）在线段BC上是否存在点F，使得平面BDH?若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
（2）若平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为，求三棱锥B－DCH的体积．
19．（本小题满分12分）某电子产品生产商经理从众多平板电脑中随机抽取6台，检测它们充满电后的工作时长（单位：分钟），相关数据如下表所示．
（1）从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台，设抽出的2台平板电脑充满电后工作时长小于210分钟的台数为X，求随机变量X的分布列及数学期望；
（2）下表是一台平板电脑的使用次数与当次充满电后工作时长的相关数据．求该平板电脑工作时长y与使用次数x之间的回归直线方程，并估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长．
附：．
20．（本小题满分12分）已知椭圆的长半轴长为，且过点．抛物线，点P是椭圆上的动点，点Q是抛物线准线上的动点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知（O为坐标原点），且点O到直线PQ的距离为常数，求P的值．
21．（本小题满分12分）已知函数（且）．
（1）若在为增函数，求实数a的取值范围
（2）当时，设，且，求证：．
（二）选考题：共10分
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程：
（2）曲线与相交于A，B两点，求的值．
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数．（1）解不等式；
（2）若，求证：．
江西省上饶市六校2023届高三第二次联考
数学（理科）试题参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15．或 16．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）因为，
所以由正弦定理得，整理得．
因为，所以，即．（6分）
（2）设，则，
由余弦定理可得．
因为，所以，解得，
所以．（12分）
18．解：（1）存在点F满足题意，且，理由如下：
在图①中，取的中点M，连接AM，则，
在图②中，，平面BDH，平面BDH，
所以平面BDH，且；（2分）
在线段BC上取点F使，
连接MF，FA，则，同理可得平面BDH，
又因为，所以平面平面BDH，
又因为平面AMF，所以平面BDH．（4分）
（2）在图②中，，所以平面BHC，
以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，（6分）
设，则
，
设平面BDA的法向量为，
令y＝1，则．即，
易知平面BHC的一个法向量，（8分）
若平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为，则，
化简整理得：，
所以，所以；
则三棱锥B－DCH的高为，
又因为底面积，
所以三棱锥B－DCH的体积为．（12分）
19．解：（1）由题意可知，x可能取值为0，1，2，（1分）
则，（2分）
，（3分）
．（4分）
则随机变量X的分布列为
数学期望为．（6分）
（2），（7分）
；（8分）
，
故，（10分）
所以线性回归方程为，（6分）
当时，，
所以估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长约为171.5分钟．（12分）
20．解：（1）∵．
∴椭圆的方程为．（4分）
（2）设，斜边PQ上的高为h，
∵，∴，
∴，（6分）
∵点O到直线PQ的距离h为常数，由题意为常数
当OP的斜率存在时，由题意得OP的斜率不为0设直线OP为，则直线OQ为．
由得，∴，∴
由得，∴，
∴（8分）
∴
∴，∴．（10分）
当OP的斜率不存在时，
符合点O到直线PQ的距离为常数，（12分）
21．解：（1）由在上恒成立
则在上恒成立（2分）
令，由得x≥1
得
∴（4分）
∴
解得（5分）
（2）时，
由得，（7分）
即（9分）
令
由得
∴（11分）
∴
即解得（12分）
22．解：（1）曲线的普通方程为，
则曲线的极坐标方程为．（3分）
曲线的直角坐标方程为，即．（5分）
（2）曲线C2的极坐标方程为，代入，
根据根与系数的关系，得，（7分）
则．（10分）
23．解：（1），（1分）
当时，，得；
当时，，无解；
当时，，得．（4分）
综上，不等式的解集为．（5分）
（2）要证成立，即证成立，（6分）
即证成立，（7分）
则只需证成立，（8分）
即证成立．（9分）
由已知，，得显然成立．（10分）平板电脑序号
1
2
3
4
5
6
工作时长/分
220
180
210
220
188
230
使用次数x/次
20
40
60
80
100
120
140
工作时长y/分
210
206
202
196
191
188
186
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
C
D
D
D
C
B
D
C
D
X
0
1
2
P