广东省清远市清城区2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份广东省清远市清城区2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解定义，找准对称轴和对称中心是解答的关键．轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
2. 老师在黑板上写了下列式子：①x－1≥1；②－2＜0；③x≠3；④x＋2；⑤x－y＝0；⑥x＋2y≤0，其中不等式有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【详解】因为用不等号连接的式子叫做不等式，其中常用不等号有：>，<，≥，≤，≠，所以属于不等式的是：①②③⑥．
故选C．
【点睛】本题考查不等式的定义,解决本题的关键是要熟练掌握不等式的定义进行判定．
3. 在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查坐标与图形变化-平移，利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标减3即可得到点的坐标．
【详解】解：将点向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是，即．
故选：C．
4. 若分式有意义，则x满足的条件是（ ）
A. x＝2B. x≠2C. x≠±2D. x＞2
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件进行判断即可；
【详解】要使分式 有意义，
则 ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，正确掌握知识点是解题的关键．
5. 下列从左到右的变形哪个是分解因式（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，注意区分因式分解与整式乘法的区别．根据因式分解是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【详解】解：A、没把一个多项式化成几个整式乘积的形式，故A错误；
B、是整式的加法，且不是同类项，不能合并，故B错误；
C、是整式的添括号，且运算本身错误，故C错误；
D、把一个多项式化成几个整式乘积形式，故D正确；
故选：D．
6. 如图，在中，平分，则的长是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC=6，AD∥BC，根据平行线性质求出∠ADE=∠DEC，根据角平分线定义求出∠ADE=∠CDE，推出∠CDE=∠DEC，推出CE=DC，求出CD即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC=6，AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠DEC，
∴CE=DC，
∵BC=6，BE=2，
∴CD=CE=6-2=4，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，解题的关键是求出CD的长，注意：平行四边形的对边平行且相等，难度适中．
7. 如图，在中，，D是的中点，于点E，若，则（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据在中，，D是的中点，于点E，若，可以求得，，以及和的度数，从而可以求得的长，从而可以求得的长，本题得以解决．
【详解】解：∵在中，，D是的中点，
∴，，
∴，
∵于点E，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查含30度角直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
8. 下列不能判定四边形是平行四边形条件是（ ）
A. ∠A＝∠C，∠B＝∠DB. AB∥CD，AD∥BC
C. AB∥CD，AD＝BCD. AB＝CD，AD＝BC
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理和平行线的性质判断即可．
【详解】解：A、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、∵AB∥CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
D、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和平行线的性质，准确理解是解题的关键．
9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC＝3cm，则AE等于( )
A. 3cmB. 4cmC. 6cmD. 9cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质可知AE＝BE，推出∠A＝∠1＝∠2＝30°．再根据角平分线的性质，可求出DE＝CE＝3cm，最后根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠A＝∠1＝∠2，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝∠1＝∠2＝30°，
∵∠1＝∠2，ED⊥AB，∠C＝90°，
∴CE＝DE＝3cm，
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠A＝30°，
∴AE＝2DE＝6cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．
10. 一次函数与的图像如图，则下列结论①；②；③；④当时，中，正确的是（ ）
A. ③④B. ①②C. ①③D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据一次函数的性质对①②③进行判断；利用函数图象，当时，一次函数在直线的上方，则可对④进行判断．
【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限，
，所以①错误，③正确；
∵直线的图象与y轴的交点在x轴下方，
，所以②错误；
当时，，即所以④正确．
故选：A．
二、填空题：（每小题3分，共15分）
11. 不等式组的解集是_____．
【答案】x＞4
【解析】
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，再根据大大取大确定不等式组的解集．
【详解】解： ，
由①得：x＞4，
由②得：x＞2，
不等式组的解集为：x＞4．
故答案为x＞4．
【点睛】此题考查解一元一次不等式组，解题关键在于掌握解不等式的方法.
12. 若关于的分式方程无解，则m的值是_________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式方程的求解及增根问题，化简方程可得，结合题意可知，由此得到m的值．
【详解】解：由，得，
即，
由方程无解，则，
解得：，
方程，即，
当方程有增根时，x=2，此时，
解得：，
综上，，
故答案为：．
13. 分解因式： ___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
14. 如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，则的长是______
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到，进而可得和ED的长，然后可得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
，
又平分，
，
，
，
同理可证：，
，
，
，
．
故答案为：2．
15. 如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④AD =CE，⑤A1F=CE，其中正确的是________(写出正确结论的序号)
【答案】①②⑤
【解析】
【详解】①∠C=∠C1（旋转后所得三角形与原三角形完全相等）
又∵∠DFC=∠BFC1（对顶角相等）
∴∠CDF=∠C1BF=α
故结论①正确；
②∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠A1=∠C，A1B=CB，∠A1BF=∠CBE，
∴△A1BF≌△CBE(ASA)，
∴BF=BE，
∴A1B﹣BE=BC﹣BF，
∴A1E=CF；
故②正确；
③在三角形DFC中，∠C与∠CDF=α度不一定相等，所以DF与FC不一定相等，
故结论③不一定正确；
④由△A1BF≌△CBE
那么A1F=CE．
故结论④正确．
三、解答题（16，17，18各8分）
16. 解不等式组
【答案】不等式组无解
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，分别解出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组无解．
17. 先化简再求值．，再从中选一个适合的整数代入求值．
【答案】，当时，代数式的值为
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【详解】解：原式
；
在中，整数x有2、3、4，
由题意得：，
，
当时，原式．
18. 如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】先根据角平分线的性质可证得MA=MB，再根据HL定理判定Rt△MAO≌Rt△MBO，然后可证得OA=OB，根据等边对等角可证得∠OAB＝∠OBA
【详解】解：∵OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ
∴AM=BM
在Rt△MAO和Rt△MAO中
∴Rt△AOM≌Rt△BOM(HL)
∴OA=OB
∴∠OAB＝∠OBA
四、解答题（二）：（每小题各9分，共27分）
19. 如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝6cm．
（1）作图：作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连结BD，求△ABD的周长．

【答案】（1）详见解析；（2）10cm．
【解析】
【分析】（1）运用作垂直平分线的方法作图，
（2）运用垂直平分线的性质得出BD＝DC，利用△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+AC即可求解．
【详解】解：（1）如图1，

（2）如图2，

∵DE是BC边的垂直平分线，
∴BD＝DC，
∵AB＝4cm，AC＝6cm．
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+AC＝4+6＝10cm．
【点睛】本题考查的是尺规作图以及线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,
20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，.
（1）请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形；
（2）请画出关于原点O成中心对称的图形；
（3）在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）作图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）找出点A、B、C关于原点O成中心对称点的位置，然后顺次连接即可；
（3）作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，则，根据两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式为，然后利用x轴上点的坐标特征确定P点坐标．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
解：如图，为所作；
【小问3详解】
解：作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，则，
，
，
∴此时的值最小，
设直线的解析式为，
把分别代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴P点坐标为2,0．
【点睛】本题考查了利用平移变换作图、作关于原点O成中心对称图形、轴对称最短路线问题，一次函数的解析式及一次函数与坐标轴交点问题，解题的关键是掌握平移和中心对称的性质．
21. 媛媛爸爸销售A、B两种品牌的衣服，8月份第一周售出A品牌衣服3件和B品牌衣服4件，销售额为1000元，第二周售出A品牌衣服17件和B品牌衣服8件，销售额为4200元．
（1）求A、B两种品牌衣服的售价各是多少元？
（2）已知8月份A品牌衣服和B品牌衣服的销售量分别为1000件、500件，9月份是衣服销售的旺季，为拓展市场、薄利多销，媛媛爸爸决定9月份将A品牌衣服和B品牌衣服的销售价格在8月份的础上分别降低，，9月份的销售量比8月份的销售量分别增长300件、100件．若9月份的销售额不低于233000元，求m的最大值．
【答案】（1）A、B两种品牌保暖衣服的售价各是200元和100元；
（2）m的最大值为30．
【解析】
【分析】此题主要考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用．
（1）根据“A品牌保暖衣服3件和B品牌保暖衣服4件，销售额为1000元，第二周售出A品牌保暖衣服17件和B品牌保暖衣服8件，销售额为4200元”建立方程组求解即可得出结论；
（2）先确定出9月份两种品牌的保暖衣服的单价和销售量，最后用“9月份的销售额不低于233000元，”建立不等式求解即可得出结论．
【小问1详解】
解：设A品牌的保暖衣服售价为x元/件，B品牌的保暖衣服售价为y元/件，
根据题意得：，
解得：，
经检验：符合题意，
答：A、B两种品牌保暖衣服的售价各是200元和100元；
【小问2详解】
解：由题意得，9月份A品牌保暖衣服销售量为（件）
B品牌保暖衣服的销售量为（件），
则，
解得：，
即：m的最大值为30．
五、解答题（三）：（每小题各12分，共24分）
22. 如图，在四边形中，，延长到E，使，连接交于点F，点F是的中点．求证：
（1）．
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定：
（1）根据中点的性质，平行线的性质，对顶角相等，利用证明，即可；
（2）全等得到，推出，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，即可得证．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
在与中，
，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
23. 如图1，已知中，，，把一块含角的三角板的直角顶点D放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），点C在上点B在上．
（1）求重叠部分的面积；
（2）如图2，将直角三角板绕D点按顺时针方向旋转30度，交于点M，交于点N，
①请说明；
②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，若不发生变化，请说明理由；
（3）如图3，将直角三角板绕D点按顺时针方向旋转α度（），交于点M，交于点N，则的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？（请直接写出结论不需说明理由）
【答案】（1）的面积是
（2）①说明见解析；②在此条件下重叠部分的面积不发生变化，理由见解析
（3）的结论仍成立，重叠部分的面积不会变
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形和三角形全等．熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，旋转性质，作出辅助线，是解决本题的关键．
（1）判断重叠部分是一个等腰直角三角形，求出其直角边，即可求解；
（2）①连接，先证得，，进而求出，即可得到；②利用①中的结论即可得出答案；
（3）证明过程类似（2），根据（2）中的结论，可以直接写出．
【小问1详解】
∵中，，， D是的中点，，
∴，，
则；
【小问2详解】
①连接，
∵中，，，
∴，
∵D是的中点，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②面积不变．理由：
∵，
∴，
∴;
【小问3详解】
的结论仍成立，，重叠部分的面积不变．理由：
连接，
∵中，，，
∴，
∵D是的中点，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴， ，
∴．