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新高考物理一轮复习分层提升练习专题43 库仑定律、电场强度和电场线（2份打包，原卷版+解析版）
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库仑定律及库仑力作用下的平衡问题
1.库仑定律
(1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
(2)表达式：F＝keq \f(q1q2,r2)，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫做静电力常量。
(3)适用条件：真空中的点电荷。
(4)当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能视为点电荷，它们之间的静电力不能认为趋于无限大。
(5)对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示。
①同种电荷：F＜k eq \f(q1q2,r2) ；②异种电荷：F＞k eq \f(q1q2,r2) 。
2.库仑力作用下的平衡问题
(1)四步解决库仑力作用下的平衡问题：
(2)三个自由点电荷的平衡问题：
①平衡条件：每个点电荷受另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷平衡的位置是另外两个点电荷的合场强为零的位置。
②平衡规律：
(3)利用三角形相似法处理带电小球的平衡问题：
【例1】如图所示，光滑绝缘的水平面上放着三个带电小球（可看成点电荷），三个小球处在同一条直线上，要使三个小球都处于静止状态，则它们的电荷量分别为（ ）
A．QA=4Q、QB=4Q、QC=4Q
B．QA=4Q、QB=-5Q、QC=3Q
C．QA=9Q、QB=-4Q、QC=36Q
D．QA=-4Q、QB=2Q、QC=-3Q
【答案】C
【详解】A．由“两同夹异”可知,小球A、C带同种电荷，小球B与A/C带异种电荷，A错误；
B．由“两大夹小”可知，B项错误；
CD．三个自由电荷位置如题图所示，根据平衡列出方程组，对于A有 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 对于B有 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 对于C有 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 解得AC=AB SKIPIF 1 < 0 ；BC=AB SKIPIF 1 < 0
由几何关系得AC=AB+BC，则 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 将数据代入可知C正确，D项错误。故选C。
【例2】如图所示，已知带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB，A球固定，B球用长为L的绝缘丝线悬挂在O点，静止时A、B相距为d。若A球电荷量保持不变，B球缓慢漏电，不计两小球半径，则下列说法正确的是（ ）
A．丝线对B球的拉力逐渐变小
B．A球对B球的库仑力逐渐变小
C．当AB间距离减为 SKIPIF 1 < 0 时，B球的电荷量减小为原来的 SKIPIF 1 < 0
D．当AB间距离减为 SKIPIF 1 < 0 时，B球的电荷量减小为原来的 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【详解】AB．对B受力分析如图
根据B受力平衡可得 SKIPIF 1 < 0 ，B球缓慢漏电， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均不变，则d逐渐减小，可知 SKIPIF 1 < 0 减小， SKIPIF 1 < 0 不变；故A错误，B正确；
CD．当AB间距离减为 SKIPIF 1 < 0 时，则库仑力减小到原来的 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 可知B球的电荷量减小为原来的 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误，D正确。故选BD。
【例3】如图所示，带正电的小球A用竖立在地面上的绝缘杆支撑，带正电的小球B用绕过A球正上方的定滑轮的绝缘细线拉着，开始时A、B在同一水平线上并处于静止，滑轮距小球A高度大于小球A和B的长度，不计两个小球的大小。现用手拉细线使小球B缓慢向上移动，小球B在向上移动过程中A、B两球的带电量保持不变，不计两球间的万有引力，则在B球缓慢移动的过程中（ ）
A．小球B初开始的运动轨迹是一段圆弧
B．细线上的张力一直变小
C．细线上的张力先变小后变大
D．A、B两球的库仑力的大小先不变再减小
【答案】ACD
【详解】AD．设小球B受到的重力为mg，A、B两球的带电量分别为q1、q2，两球间的距离为r，定滑轮距离A球为h，距离B球为d，对B球受力分析如图
根据相似三角形可知 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 在小球移动过程中，r不变，库仑力不变，因此小球的运动轨迹是一段圆弧，当B球到达A球正上方以后的过程中，两球间的距离在增大，库仑力开始减小，故AD正确；
BC．由上分析可知 SKIPIF 1 < 0 由于d在减小，因此F在减小，当B球到达A球正上方以后的过程中，两球间的距离在增大，库仑力开始减小，拉力在增大，故B错误，C正确。故选ACD。
【例4】如图所示，质量分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的两个带同种电荷的小球A、B，分别用长为L的绝缘细线悬挂在同一点O，两细线与竖直方向各成一定的角度 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，两小球用一绝缘轻质弹簧相接，A、B球连线与过O点竖直线交于C点，初始时刻弹簧处在压缩状态，现增加A球的电荷量，下列说法中正确的是（ ）
A．两细线的拉力之比不变B．两细线的夹角不变
C． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的长度之比不变D． SKIPIF 1 < 0 长度一定变大
【答案】AC
【详解】对两小球受力分析如图
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为A、B两小球之间的库仑力， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为两小球之间的弹簧弹力，满足 SKIPIF 1 < 0
对 SKIPIF 1 < 0 球受力分析， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、三力满足相似三角形，则有 SKIPIF 1 < 0 同理对B球亦有 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 球的电荷量增大时，由库仑定律可知两球距离会增大，夹角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 增大，但仍有 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
绳长不变， SKIPIF 1 < 0 点上移，则 SKIPIF 1 < 0 长度变小。故选AC。
电场强度的叠加与计算
1.电场强度的三个计算公式
电场强度的叠加与计算的方法
叠加法：多个点电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷在该处所产生的电场强度的矢量和。
【例5】如图所示，△ABC是边长为a的等边三角形，O点是三角形的中心，在三角形的三个顶点分别固定三个电荷量均为q的点电荷（电性已在图中标出），若要使放置在O点处的电荷不受电场力的作用，则可在三角形所在平面内加一匀强电场。静电力常量为k，对于所加匀强电场的电场强度的大小和方向，下列说法正确的是（ ）
A．大小为 SKIPIF 1 < 0 ，方向由B指向OB．大小为 SKIPIF 1 < 0 ，方向由O指向B
C．大小为 SKIPIF 1 < 0 ，方向由B指向OD．大小为 SKIPIF 1 < 0 ，方向由O指向B
【答案】B
【详解】有几何关系可得 SKIPIF 1 < 0 三个点电荷在O点的场强大小均为 SKIPIF 1 < 0
如图所示
三者的合场强大小为 SKIPIF 1 < 0 方向由O指向B，故B正确，ACD错误。故选B。
对称法：利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。
【例6】如图所示，一电荷量为＋Q的均匀带电细棒，在过中点c垂直于细棒的直线上有a、b、d三点，且ab=bc=cd=L，在a点处有一电荷量为＋ SKIPIF 1 < 0 的固定点电荷，已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为（k为静电力常量）（ ）
A．k SKIPIF 1 < 0 B．k SKIPIF 1 < 0 C．k SKIPIF 1 < 0 D．k SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】a点处的电荷量为＋ SKIPIF 1 < 0 的点电荷在b处产生的电场强度为 SKIPIF 1 < 0 ，方向向右，b点处的场强为零，根据电场的叠加原理可知细棒与a点处的点电荷在b处产生的电场强度大小相等，方向相反，则知细棒在b处产生的电场强度大小为 SKIPIF 1 < 0 方向向左．根据对称性可知细棒在d处产生的电场强度大小为
SKIPIF 1 < 0 方向向右；而电荷量为＋ SKIPIF 1 < 0 的点电荷在d处产生的电场强度为 SKIPIF 1 < 0 方向向右，所以d点处场强的大小为 SKIPIF 1 < 0 方向向右，故选项A正确。
补偿法：将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面，然后再应用对称的特点进行分析，有时还要用到微元思想。
【例7】均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为 SKIPIF 1 < 0 的球体上均匀分布着正电荷，在过球心 SKIPIF 1 < 0 的直线上有 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三个点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 。若以 SKIPIF 1 < 0 为直径在球内挖一球形空腔，球的体积公式为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点的电场强度大小之比为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】设原来半径为 SKIPIF 1 < 0 的整个均匀带电球体的电荷量为 SKIPIF 1 < 0 ，由于均匀带电，可知被挖的球形空腔部分的电荷量为 SKIPIF 1 < 0 可知以 SKIPIF 1 < 0 为直径在球内挖一球形空腔后， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点的电场强度等于整个均匀带电球体在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点的电场强度减去被挖的球形在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点的电场强度，则有
SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，C正确，ABD错误；
故选C。
微元法：将带电体分成许多电荷元，每个电荷元看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强。
【例8】如图所示，半径为R的金属圆环固定在竖直平面，金属环均匀带电，带电量为Q，一长为L=2R的绝缘细线一段固定在圆环最高点，另一端连接一质量为m、带电量为q（未知）的金属小球（可视为质点）。稳定时带电金属小球在过圆心且垂直圆环平面的轴上的P点处于平衡状态，点P'（图中未画出）是点P关于圆心O对称的点。已知静电常量为k，重力加速度为g，若取无穷远为零势面，下列说法正确的是（ ）
A．O点的场强一定为零
B．P'点场强大小为 SKIPIF 1 < 0
C．金属带电小球的电量为 SKIPIF 1 < 0
D．剪断细线瞬间，小球加速度水平向右
【答案】C
【详解】A．根据对称性可知，带电量Q的圆环，在圆心O点场强为0，带电金属小球在O点的场强不0，所以O 点的场强不为零，故A错误；
B．设细线与半径的夹角为θ，由几何关系 SKIPIF 1 < 0 ；θ=60°由微元法，无限划分，设每一极小段圆环带电量为Δq，则 SKIPIF 1 < 0 其中∑Δq=Q解得 SKIPIF 1 < 0 根据对称性可知，带电量为Q的圆环，在P、P′两点的场强大小相等，方向相反，即带电量为Q的圆环在P′点的场强大小为 SKIPIF 1 < 0 ，而P′点的场强大小是圆环与带电金属小球在P′的电场强度的叠加，所以 SKIPIF 1 < 0 故B错误；
C．对小球受力分析如图，则
SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 选项C正确；
D．剪断细线瞬间，小球受合外力沿细线方向斜向右下，则加速度方向斜向右下方，选项D错误。故选C。
有关电场线的综合问题
1.两种等量点电荷的电场强度及电场线的比较
2.“电场线+运动轨迹”组合模型
模型特点:当带电粒子在电场中的运动轨迹是一条与电场线不重合的曲线时,这种现象简称为“拐弯现象”,其实质为“运动与力”的关系。运用牛顿运动定律的知识分析:
(1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在某一位置的切线)与“力线”(在同一位置电场线的切线方向且指向轨迹的凹侧),从二者的夹角情况来分析带电粒子做曲线运动的情况。
(2)“三不知时要假设”——电荷的正负、电场的方向、电荷运动的方向,是题目中相互制约的三个方面。若已知其中一个,可分析判定各待求量;若三个都不知(三不知),则要用“假设法”进行分析。
3.电场线的应用(涉及电势部分将在下一节进一步研究)
【例9】如图所示，两等量异种电荷 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别位于 SKIPIF 1 < 0 轴上的 SKIPIF 1 < 0 两点，其位置关于坐标原点O对称，曲线 SKIPIF 1 < 0 是一个以O点为圆心的半圆， SKIPIF 1 < 0 点为半圆与y轴的交点， SKIPIF 1 < 0 两点为一平行于x轴的直线与半圆的交点，下列判断正确的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 三点中，c点的电势最高
B． SKIPIF 1 < 0 两点电场强度和电势均相同
C．将一个正电荷 SKIPIF 1 < 0 沿着圆弧从 SKIPIF 1 < 0 点经 SKIPIF 1 < 0 点移到 SKIPIF 1 < 0 点，电场力先做正功后做负功
D．将一个正电荷 SKIPIF 1 < 0 放在半圆上任一点，两电荷对 SKIPIF 1 < 0 的作用力大小分别是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 之和为定值
【答案】D
【详解】A.结合等量异号电荷的电场分布特点图可知，d、c、e三点中，d点的电势最高．故A不符合题意；
B.电场强度的方向沿电场线的切线方向，由图可知，d、e两点的电场强度的方向不同；同时由图可知，d点的电势高于e点的电势，故B不符合题意；
C.d、c、e三点中，d点的电势最高，e点的电势最低，所以将一个正电荷q沿着圆弧从d点经c点移到e点，电场力始终做正功，故C不符合题意；
D.将一个正电荷q放在半圆上任一点，设该点到a的距离为r1，到b的距离为r2，则由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0
两电荷对q的作用力大小分别是F1、F2，则由库仑定律得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；所以： SKIPIF 1 < 0 ，为定值．故D符合题意．
【例10】如图所示，空间有正方体ABCD— SKIPIF 1 < 0 。E、F、G、H分别是其中四条边的中点，两个带等量正电的点电荷分别固定于B、 SKIPIF 1 < 0 两点，则下列说法正确的为（ ）
A．A、C两点场强相同
B．E、F、G、H四点电势相同
C．将电子（不计重力）从H点静止释放，电子可能做变速曲线运动
D．将电子（不计重力）从G点向GH方向射出，电子可能做匀速圆周运动
【答案】D
【详解】A．正点电荷形成的电场由电荷指向无穷远处，结合矢量的叠加可知，A、C两点场强大小相同，但方向不同，故A错误；
B．两等量正电荷连线的中垂线上，连线中点处电势最大，故F点电势大于其他3点电势，故B错误；
C．两等量正电荷连线的中垂线上，电场方向由连线中点指向远端，故将电子（不计重力）从H点静止释放，电子将在电场力的作用下沿直线向F点运动，故C错误；
D．由上述分析可知，电子在中垂面上受到的电场力指向连线中点，故将电子（不计重力）从G点向GH方向射出，速度合适时，电场力可能恰好充当向心力，电子可能做匀速圆周运动，故D正确。故选D。
【例11】如图所示，真空中两个静止的点电荷电量的绝对值分别为q1、q2，激发的电场的电场线分布如图，图中P、Q两点关于点电荷q1水平对称，P、Q两点的电势分别为 SKIPIF 1 < 0 P、 SKIPIF 1 < 0 Q，一个带电粒子（仅在电场力作用下）沿虚线轨迹从M移动至N。下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．q1、q2连线的延长线上有一点电场强度为零，这一点在q1的左侧
D．在粒子从M移动至N的过程中它的电势能先变大后变小
【答案】D
【详解】A．根据电场线分布可知，q1处场强大，故q1>q2，A错误；
B．根据电场线与等势面垂直，可分别画出过P、Q两点的等势面，电场线越密的电势降落越快，故φQ<φp，B错误；
C．因为q1>q2，所以q1、q2连线的延长线上电场强度为零的点在q2的右侧，C错误；
D．根据带电粒子的运动轨迹可知，该粒子所受电场力的方向与电场方向相反，故带负电，电场力先做负功后做正功，故电势能先变大后变小，D正确。故选D。
【多维度分层专练】
1．如图所示，水平天花板下方固定一光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方C处固定一带正电的点电荷，不带电的小球A与带正电的小球B通过跨过定滑轮的绝缘轻绳相连。开始时系统在图示位置静止， SKIPIF 1 < 0 。若B球所带的电荷量缓慢减少（未减为零），在B球到达O点正下方前，下列说法正确的是（ ）
A．A球的质量小于B球的质量B．此过程中A球保持静止状态
C．此过程中点电荷对B球的库仑力逐渐增大D．此过程中滑轮受到轻绳的作用力逐渐减小
【答案】AB
【详解】A．开始时B球受力如图所示
由几何关系知 SKIPIF 1 < 0 而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
BC．假设此过程中A球保持静止状态，由于B球所带的电荷量缓慢减少，B球缓慢下摆，B球受力平衡，根据三角相似有 SKIPIF 1 < 0 由于 SKIPIF 1 < 0 、OB、OC均不变，BC逐渐减小，则轻绳拉力T不变，假设成立，库仑力F逐渐减小，B正确，C错误；
D．由于轻绳拉力T不变， SKIPIF 1 < 0 逐渐减小，轻绳OA、OB的拉力的合力逐渐增大，即滑轮受到轻绳的作用力逐渐增大，D错误。故选AB。
2．用两根等长的轻质绝缘细线，把两个带异种电荷的小球a、b悬挂起来，如图甲所示，小球a、b质量分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，带电量大小分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 。如果在该区间加一水平向右的匀强电场，且绳始终拉紧，最后达到的平衡状态如图乙所示，则关于两球质量大小及带电量多少（两球之间的作用力不考虑），下列组合符合要求的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【详解】设上端绳子拉力为T1，下端绳子拉力为T2，场强大小为E，乙图中上端绳子与竖直方向夹角为θ，下端绳子与竖直方向夹角为α。
对a、b整体受力分析，如图所示
利用平行四边形定则，可得 SKIPIF 1 < 0
对b受力分析，如图所示
利用平行四边形定则，可得 SKIPIF 1 < 0 因为两根绳子等长，由数学知识可知 SKIPIF 1 < 0
联立以上三式得 SKIPIF 1 < 0 代数分析可知，BCD均符合题意，A不符合题意。故选BCD。
3．在光滑的水平桌面上有三个点电荷 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，电荷量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若要保证三个点电荷在库仑力作用下保持静止，则它们电荷量应满足的关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 球之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 球之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则有对于A球 SKIPIF 1 < 0 ；对于C球 SKIPIF 1 < 0 整理后得 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
所以AC正确；BD错误；故选AC。
4．两半径相等的半球球壳I和Ⅱ彼此靠的很近，间距可忽略，两半球壳均匀带有正电荷，电荷量均为q，O为球心，A为球壳外一点，AO=d，如图所示，AO垂直于两半球截面。球壳I在A点形成的电场强度为E1，规定距O点无限远处电势为零，下列说法正确的是（ ）
A．O点电场强度为零
B．球壳I在O点形成的电场强度方向水平向右
C．球壳Ⅱ在A点形成的电场强度大小为 SKIPIF 1 < 0
D．球壳I和球壳Ⅱ在A点形成的电势相等
【答案】ABC
【详解】A．球売靠的很近，形成类静电屏蔽，内部场强为零，A正确；
B．根据对称性可以判断，球壳Ⅰ在O点形成的电场强度方向水平向右，B正确；
C．把两球壳看成整体，在A点形成的电场强度为 SKIPIF 1 < 0 方向沿OA从O指向A，两球壳在A点分别形成的电场强度方向均沿OA从O指向A，则 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
D．电势是标量，球壳Ⅰ和球壳Ⅱ电荷量相等，壳Ⅱ距A点距离近，形成的电势高，D错误。故选ABC。
5．如图所示，真空中有一正六边形ABCDFG，在A点和C点分别放置两相同的点电荷，此时正六边形的中心位置的电场强度大小为E0，方向指向B点。下列说法正确的是（ ）
A．两点电荷带正电
B．B点的电场强度大小也为E0
C．把一带正电的试探电荷从F点移至B点，其电势能变小
D．若在F点增加一个等量异种的点电荷，则中心位置电场强度大小为2E0
【答案】BCD
【详解】A．根据等量同种电荷电场线及等势面的分布图可知，正六边形的中心位置的电场强度大小为E0，方向指向B点，则两点电荷带负电，所以A错误；
B．由于B点与正六边形的中心位置在两点电荷连线的中垂直线上，并且到两点电荷连线的距离相等，由对称性可知，B点的电场强度大小也为E0，方向相反，所以B正确；
C．F点电势高于B点，正电荷从F点移至B点，其电势能变小，所以C正确；
D．若在F点增加一个等量异种的点电荷，由几何关系可知，F点到正六边形的中心位置的距离等于正六边形的边长，设正六边形的边长为a，点电荷的电荷量为q，则两相同的点电荷，在正六边形的中心位置的电场强度大小为 SKIPIF 1 < 0 ，F点的点电荷在正六边形的中心位置的电场强度大小为 SKIPIF 1 < 0
方向指向B则中心位置电场强度大小为 SKIPIF 1 < 0 所以D正确；
故选BCD。
6．如图，绝缘闭合薄壁球壳的半径为R，球心为O，球壳上均匀分布着正电荷量Q．已知均匀带电的球壳在其内部空腔激发的场强处处为零，外部空间激发的场强可等效为全部电荷集中在球心处所产生的电场场强．现在球壳表面A处取下一面积足够小、带电量为q的球壳，并将其沿半径 SKIPIF 1 < 0 延长线向上移动至B点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若球壳的其他部分的带电量与电荷分布保持不变，关于球壳上的剩余电荷 SKIPIF 1 < 0 与B点处的点电荷q形成的电场，下列说法正确的是（ ）
A．半径 SKIPIF 1 < 0 的中点的场强大小为 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 这条线段上从O点到A点的电势逐渐降低
C．剩余电荷 SKIPIF 1 < 0 在B点处产生的场强大小为 SKIPIF 1 < 0
D．剩余电荷 SKIPIF 1 < 0 在球壳内部激发的电场的电场线为曲线
【答案】BC
【详解】A．球壳表面A处取下一面积足够小、带电量为q的曲面，相当于在球壳表面点A处放入等电荷密度、等面积的带负电荷 SKIPIF 1 < 0 的曲面。球壳上的剩余电荷 SKIPIF 1 < 0 在球壳内部激发的电场可以看作两部分电荷电场的叠加，一部分是原球壳上均匀分布的正电荷在内部激发的电场，处处为零；另一部分是球壳上位于A处的等量负点电荷 SKIPIF 1 < 0 激发的电场。球壳上的剩余电荷 SKIPIF 1 < 0 与B点处的点电荷q形成的电场，相当于位于B点处的点电荷q与位于A处的 SKIPIF 1 < 0 形成的电场，即两个等量异种电荷产生的电场，半径 SKIPIF 1 < 0 的中点的场强大小 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
B． SKIPIF 1 < 0 这条线段在同一条电场线上，电场线方向由O点指向A点，顺着电场线方向电势降低，B正确；
C．球壳剩余部分的电荷 SKIPIF 1 < 0 在B点处产生的场强，等效于原球壳上均匀分布的正电荷Q和在球壳表面点A处带负电荷 SKIPIF 1 < 0 一起产生的场强，所以B点处产生的场强大小为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
D．球壳剩余部分的电荷 SKIPIF 1 < 0 在球壳内部激发的电等同于只有A处的一个负点电荷激发的电场，其电场线为直线，D错误。故选BC。
7．两个相距很近的等量异种点电荷组成的系统称为电偶极子．某电偶极子由相距为l、电荷量分别为+q和-q的点电荷构成，如图所示。取二者连线方向为y轴方向，中点O为原点，建立如图所示的xOy坐标系，P点距坐标原点O的距离为r（r＞＞l），P、O两点间连线与y轴正方向的夹角为θ。下面给出P点的电场强度E的大小的四个表达式中，只有一个是合理的。你可能不会求解E，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性作出判断。根据你的判断，E的合理表达式应为（ ）
A．E SKIPIF 1 < 0 B．E SKIPIF 1 < 0 C．E SKIPIF 1 < 0 D．E SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】C．对比E SKIPIF 1 < 0 可知C选项表达式单位错误，故C错误：
ABD．取θ＝90°，在x轴上选取一点，则由场强决定式和矢量叠加可知E＝2 SKIPIF 1 < 0
故A正确，BD错误；故选A。
8．位于正方形四角上的四个等量点电荷的电场线分布如图所示，ab，cd分别是正方形两组对边的中垂线，O为中垂线的点，P，Q分别为ab，cd上的两点OP＞OQ，下列说法中正确的是（ ）
A．P、Q两点的电势关系为φP＜φQ
B．P、Q两点电场强度的大小关系为EQ＜EP
C．若在O点轻放一正点电荷，该正点电荷可能沿ab方向运动
D．带负电的试探电荷在Q点时的电势能比在M点时的电势能小
【答案】D
【详解】AB．电场线的疏密表示场强的大小，电场线越密，电场强度越大，根据图象知P点的电场强度比Q点的小．根据电场线与等势面垂直，可知ab与cd是两条等势线，则P与O的电势相等，Q与O的电势也相等，所以P、Q两点的电势相等．故AB两项错误．
C．四个点电荷在O点产生的电场相互抵消，场强为零，在O点放一正点电荷，该正点电荷受到的电场力为零，不会运动．故C项错误．
D．P、Q两点的电势相等，又根据电场线的方向知M点的电势比P点的低，则Q点的电势高于M点的电势．负电荷在电势高处电势能小，所以带负电的试探电荷在Q点的电势能比在M点小．故D项正确．
9．如图所示，在x轴上相距为3L的两点固定两个点电荷+Q、+2Q，虚线是以+Q所在点为圆心、L为半径的圆，a、b、、c、d是圆上的四个点，其中a、c两点在x轴上，b、d两点关于x轴对称。下列判断正确的是（ ）
A．b、d两点处电场强度相同
B．四点中c点处的电势最低
C．将一正试探电荷沿圆周由a点移至c点，电势能先减小后增大
D．将一正试探电荷沿直线从b点移到d点，电场力先做负功后做正功
【答案】D
【详解】A．根据对称性可知b、d两点处电场强度大小相同，方向不同，故A错误；
B．四点到+Q的距离相等，其中c点到+2Q的距离最近，根据电势的叠加可知c点处电势最高，故B错误；
C．将一正试探电荷沿圆周由a点移至c点，+Q对试探电荷的库仑力不做功，+2Q对试探电荷的库仑力始终做负功，试探电荷的电势能一直增大，故C错误；
D．易知在x轴上方的bd连线上，电场强度始终具有向上的分量，而在x轴下方的bd连线上，电场强度始终具有向下的分量，将一正试探电荷沿直线从b点移到d点，电场力先做负功后做正功，故D正确。
故选D。
10．如图所示，一绝缘且粗糙程度相同的竖直细杆处于两固定的等量异种点电荷+Q、-Q的连线的中垂线上，A、O、B为细杆上的三点，O为+Q、-Q连线的中点，AO=BO。现有电荷量为+q、质量为m的小球套在杆上，从A点起以初速度v0向B滑动，到达B点时速度恰好为0，则（ ）
A．在A点时小球加速度的方向向上
B．小球从A到B运动过程中先加速后减速
C．小球从A到O与从O到B的运动时间相等
D．从A到B小球受到的电场力的方向始终水平向右
【答案】AD
【详解】A．到达B点时速度恰好为0，可知到达B点时小球做减速运动，加速度方向向上，小球在AB两点受力相同，因此加速度相同，故A正确；
B．对小球受力分析可知 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 从A到B过程中r先减小后增大 SKIPIF 1 < 0 也是先减小后增大，故支持力先增大后减小，摩擦力先增大后减小，加速度先增大后减小，且方向一直向上，因此小球一直在做减速运动，故B错误；
C．根据 SKIPIF 1 < 0 因为AO段平均速度较大所以AO段时间较短，故C错误；
D．等量异种电荷在中垂线上合场强方向沿水平向右，正电荷受到电场力方向与场强方向相同，故D正确。
故选AD。
11．如图所示，真空中两个等量异种点电荷固定在A、B两点，O、P是AB的垂直平分线上的点。一带正电的试探电荷仅受电场力作用，运动轨迹如图中实线NPM所示，设P、M两点的电势分别为φp、φM，此试探电荷在P、M两点的动能分别为Ekp、EkM，下列说法中正确的是（ ）
A．A点的点电荷一定带正电
B．试探电荷在P点时受到的电场力沿OP方向
C．φp>φM
D．Ekp>EkM
【答案】AC
【详解】A．粒子做曲线运动，受到的电场力指向轨迹弯曲的内侧，大致向右，而该正电荷受到的电场力指向带负电的电荷，所以A点电荷一定带正电，故A正确；
B．P点的电场强度方向水平向右，试探电荷在P点所受电场力方向垂直OP向右，故B错误；
C．B点电荷应带负电，M点靠近负电荷，所以M点电势低于P点电势，故C正确；
D．由于φP＞φM，根据正电荷在电势高处电势能大，可知正点电荷在P处的电势能大于在M处的电势能，即有EPp＞EPM，电荷只受电场力作用，则电势能和动能的总量不变，则Ekp＜EkM，故D错误。故选AC。
导练目标
导练内容
目标1
库仑定律及库仑力作用下的平衡问题
目标2
电场强度的叠加与计算
目标3
有关电场线的综合问题
常见模型
几何三角形和力的矢量三角形
比例关系
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
比较
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线分布图
电荷连线上的
电场强度
沿连线先变小后变大
O点最小,但不为零
O点为零
中垂线上的
电场强度
O点最大,向外逐
渐减小
O点最小,向外先
变大后变小
关于O点对
称位置的电
场强度
A与A'、B与B'、C与C'
等大同向
等大反向
库仑定律及库仑力作用下的平衡问题
1.库仑定律
(1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
(2)表达式：F＝keq \f(q1q2,r2)，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫做静电力常量。
(3)适用条件：真空中的点电荷。
(4)当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能视为点电荷，它们之间的静电力不能认为趋于无限大。
(5)对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示。
①同种电荷：F＜k eq \f(q1q2,r2) ；②异种电荷：F＞k eq \f(q1q2,r2) 。
2.库仑力作用下的平衡问题
(1)四步解决库仑力作用下的平衡问题：
(2)三个自由点电荷的平衡问题：
①平衡条件：每个点电荷受另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷平衡的位置是另外两个点电荷的合场强为零的位置。
②平衡规律：
(3)利用三角形相似法处理带电小球的平衡问题：
【例1】如图所示，光滑绝缘的水平面上放着三个带电小球（可看成点电荷），三个小球处在同一条直线上，要使三个小球都处于静止状态，则它们的电荷量分别为（ ）
A．QA=4Q、QB=4Q、QC=4Q
B．QA=4Q、QB=-5Q、QC=3Q
C．QA=9Q、QB=-4Q、QC=36Q
D．QA=-4Q、QB=2Q、QC=-3Q
【答案】C
【详解】A．由“两同夹异”可知,小球A、C带同种电荷，小球B与A/C带异种电荷，A错误；
B．由“两大夹小”可知，B项错误；
CD．三个自由电荷位置如题图所示，根据平衡列出方程组，对于A有 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 对于B有 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 对于C有 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 解得AC=AB SKIPIF 1 < 0 ；BC=AB SKIPIF 1 < 0
由几何关系得AC=AB+BC，则 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 将数据代入可知C正确，D项错误。故选C。
【例2】如图所示，已知带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB，A球固定，B球用长为L的绝缘丝线悬挂在O点，静止时A、B相距为d。若A球电荷量保持不变，B球缓慢漏电，不计两小球半径，则下列说法正确的是（ ）
A．丝线对B球的拉力逐渐变小
B．A球对B球的库仑力逐渐变小
C．当AB间距离减为 SKIPIF 1 < 0 时，B球的电荷量减小为原来的 SKIPIF 1 < 0
D．当AB间距离减为 SKIPIF 1 < 0 时，B球的电荷量减小为原来的 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【详解】AB．对B受力分析如图
根据B受力平衡可得 SKIPIF 1 < 0 ，B球缓慢漏电， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均不变，则d逐渐减小，可知 SKIPIF 1 < 0 减小， SKIPIF 1 < 0 不变；故A错误，B正确；
CD．当AB间距离减为 SKIPIF 1 < 0 时，则库仑力减小到原来的 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 可知B球的电荷量减小为原来的 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误，D正确。故选BD。
【例3】如图所示，带正电的小球A用竖立在地面上的绝缘杆支撑，带正电的小球B用绕过A球正上方的定滑轮的绝缘细线拉着，开始时A、B在同一水平线上并处于静止，滑轮距小球A高度大于小球A和B的长度，不计两个小球的大小。现用手拉细线使小球B缓慢向上移动，小球B在向上移动过程中A、B两球的带电量保持不变，不计两球间的万有引力，则在B球缓慢移动的过程中（ ）
A．小球B初开始的运动轨迹是一段圆弧
B．细线上的张力一直变小
C．细线上的张力先变小后变大
D．A、B两球的库仑力的大小先不变再减小
【答案】ACD
【详解】AD．设小球B受到的重力为mg，A、B两球的带电量分别为q1、q2，两球间的距离为r，定滑轮距离A球为h，距离B球为d，对B球受力分析如图
根据相似三角形可知 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 在小球移动过程中，r不变，库仑力不变，因此小球的运动轨迹是一段圆弧，当B球到达A球正上方以后的过程中，两球间的距离在增大，库仑力开始减小，故AD正确；
BC．由上分析可知 SKIPIF 1 < 0 由于d在减小，因此F在减小，当B球到达A球正上方以后的过程中，两球间的距离在增大，库仑力开始减小，拉力在增大，故B错误，C正确。故选ACD。
【例4】如图所示，质量分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的两个带同种电荷的小球A、B，分别用长为L的绝缘细线悬挂在同一点O，两细线与竖直方向各成一定的角度 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，两小球用一绝缘轻质弹簧相接，A、B球连线与过O点竖直线交于C点，初始时刻弹簧处在压缩状态，现增加A球的电荷量，下列说法中正确的是（ ）
A．两细线的拉力之比不变B．两细线的夹角不变
C． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的长度之比不变D． SKIPIF 1 < 0 长度一定变大
【答案】AC
【详解】对两小球受力分析如图
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为A、B两小球之间的库仑力， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为两小球之间的弹簧弹力，满足 SKIPIF 1 < 0
对 SKIPIF 1 < 0 球受力分析， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、三力满足相似三角形，则有 SKIPIF 1 < 0 同理对B球亦有 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 球的电荷量增大时，由库仑定律可知两球距离会增大，夹角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 增大，但仍有 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
绳长不变， SKIPIF 1 < 0 点上移，则 SKIPIF 1 < 0 长度变小。故选AC。
电场强度的叠加与计算
1.电场强度的三个计算公式
电场强度的叠加与计算的方法
叠加法：多个点电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷在该处所产生的电场强度的矢量和。
【例5】如图所示，△ABC是边长为a的等边三角形，O点是三角形的中心，在三角形的三个顶点分别固定三个电荷量均为q的点电荷（电性已在图中标出），若要使放置在O点处的电荷不受电场力的作用，则可在三角形所在平面内加一匀强电场。静电力常量为k，对于所加匀强电场的电场强度的大小和方向，下列说法正确的是（ ）
A．大小为 SKIPIF 1 < 0 ，方向由B指向OB．大小为 SKIPIF 1 < 0 ，方向由O指向B
C．大小为 SKIPIF 1 < 0 ，方向由B指向OD．大小为 SKIPIF 1 < 0 ，方向由O指向B
【答案】B
【详解】有几何关系可得 SKIPIF 1 < 0 三个点电荷在O点的场强大小均为 SKIPIF 1 < 0
如图所示
三者的合场强大小为 SKIPIF 1 < 0 方向由O指向B，故B正确，ACD错误。故选B。
对称法：利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。
【例6】如图所示，一电荷量为＋Q的均匀带电细棒，在过中点c垂直于细棒的直线上有a、b、d三点，且ab=bc=cd=L，在a点处有一电荷量为＋ SKIPIF 1 < 0 的固定点电荷，已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为（k为静电力常量）（ ）
A．k SKIPIF 1 < 0 B．k SKIPIF 1 < 0 C．k SKIPIF 1 < 0 D．k SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】a点处的电荷量为＋ SKIPIF 1 < 0 的点电荷在b处产生的电场强度为 SKIPIF 1 < 0 ，方向向右，b点处的场强为零，根据电场的叠加原理可知细棒与a点处的点电荷在b处产生的电场强度大小相等，方向相反，则知细棒在b处产生的电场强度大小为 SKIPIF 1 < 0 方向向左．根据对称性可知细棒在d处产生的电场强度大小为
SKIPIF 1 < 0 方向向右；而电荷量为＋ SKIPIF 1 < 0 的点电荷在d处产生的电场强度为 SKIPIF 1 < 0 方向向右，所以d点处场强的大小为 SKIPIF 1 < 0 方向向右，故选项A正确。
补偿法：将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面，然后再应用对称的特点进行分析，有时还要用到微元思想。
【例7】均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为 SKIPIF 1 < 0 的球体上均匀分布着正电荷，在过球心 SKIPIF 1 < 0 的直线上有 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三个点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 。若以 SKIPIF 1 < 0 为直径在球内挖一球形空腔，球的体积公式为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点的电场强度大小之比为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】设原来半径为 SKIPIF 1 < 0 的整个均匀带电球体的电荷量为 SKIPIF 1 < 0 ，由于均匀带电，可知被挖的球形空腔部分的电荷量为 SKIPIF 1 < 0 可知以 SKIPIF 1 < 0 为直径在球内挖一球形空腔后， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点的电场强度等于整个均匀带电球体在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点的电场强度减去被挖的球形在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点的电场强度，则有
SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，C正确，ABD错误；
故选C。
微元法：将带电体分成许多电荷元，每个电荷元看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强。
【例8】如图所示，半径为R的金属圆环固定在竖直平面，金属环均匀带电，带电量为Q，一长为L=2R的绝缘细线一段固定在圆环最高点，另一端连接一质量为m、带电量为q（未知）的金属小球（可视为质点）。稳定时带电金属小球在过圆心且垂直圆环平面的轴上的P点处于平衡状态，点P'（图中未画出）是点P关于圆心O对称的点。已知静电常量为k，重力加速度为g，若取无穷远为零势面，下列说法正确的是（ ）
A．O点的场强一定为零
B．P'点场强大小为 SKIPIF 1 < 0
C．金属带电小球的电量为 SKIPIF 1 < 0
D．剪断细线瞬间，小球加速度水平向右
【答案】C
【详解】A．根据对称性可知，带电量Q的圆环，在圆心O点场强为0，带电金属小球在O点的场强不0，所以O 点的场强不为零，故A错误；
B．设细线与半径的夹角为θ，由几何关系 SKIPIF 1 < 0 ；θ=60°由微元法，无限划分，设每一极小段圆环带电量为Δq，则 SKIPIF 1 < 0 其中∑Δq=Q解得 SKIPIF 1 < 0 根据对称性可知，带电量为Q的圆环，在P、P′两点的场强大小相等，方向相反，即带电量为Q的圆环在P′点的场强大小为 SKIPIF 1 < 0 ，而P′点的场强大小是圆环与带电金属小球在P′的电场强度的叠加，所以 SKIPIF 1 < 0 故B错误；
C．对小球受力分析如图，则
SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 选项C正确；
D．剪断细线瞬间，小球受合外力沿细线方向斜向右下，则加速度方向斜向右下方，选项D错误。故选C。
有关电场线的综合问题
1.两种等量点电荷的电场强度及电场线的比较
2.“电场线+运动轨迹”组合模型
模型特点:当带电粒子在电场中的运动轨迹是一条与电场线不重合的曲线时,这种现象简称为“拐弯现象”,其实质为“运动与力”的关系。运用牛顿运动定律的知识分析:
(1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在某一位置的切线)与“力线”(在同一位置电场线的切线方向且指向轨迹的凹侧),从二者的夹角情况来分析带电粒子做曲线运动的情况。
(2)“三不知时要假设”——电荷的正负、电场的方向、电荷运动的方向,是题目中相互制约的三个方面。若已知其中一个,可分析判定各待求量;若三个都不知(三不知),则要用“假设法”进行分析。
3.电场线的应用(涉及电势部分将在下一节进一步研究)
【例9】如图所示，两等量异种电荷 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别位于 SKIPIF 1 < 0 轴上的 SKIPIF 1 < 0 两点，其位置关于坐标原点O对称，曲线 SKIPIF 1 < 0 是一个以O点为圆心的半圆， SKIPIF 1 < 0 点为半圆与y轴的交点， SKIPIF 1 < 0 两点为一平行于x轴的直线与半圆的交点，下列判断正确的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 三点中，c点的电势最高
B． SKIPIF 1 < 0 两点电场强度和电势均相同
C．将一个正电荷 SKIPIF 1 < 0 沿着圆弧从 SKIPIF 1 < 0 点经 SKIPIF 1 < 0 点移到 SKIPIF 1 < 0 点，电场力先做正功后做负功
D．将一个正电荷 SKIPIF 1 < 0 放在半圆上任一点，两电荷对 SKIPIF 1 < 0 的作用力大小分别是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 之和为定值
【答案】D
【详解】A.结合等量异号电荷的电场分布特点图可知，d、c、e三点中，d点的电势最高．故A不符合题意；
B.电场强度的方向沿电场线的切线方向，由图可知，d、e两点的电场强度的方向不同；同时由图可知，d点的电势高于e点的电势，故B不符合题意；
C.d、c、e三点中，d点的电势最高，e点的电势最低，所以将一个正电荷q沿着圆弧从d点经c点移到e点，电场力始终做正功，故C不符合题意；
D.将一个正电荷q放在半圆上任一点，设该点到a的距离为r1，到b的距离为r2，则由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0
两电荷对q的作用力大小分别是F1、F2，则由库仑定律得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；所以： SKIPIF 1 < 0 ，为定值．故D符合题意．
【例10】如图所示，空间有正方体ABCD— SKIPIF 1 < 0 。E、F、G、H分别是其中四条边的中点，两个带等量正电的点电荷分别固定于B、 SKIPIF 1 < 0 两点，则下列说法正确的为（ ）
A．A、C两点场强相同
B．E、F、G、H四点电势相同
C．将电子（不计重力）从H点静止释放，电子可能做变速曲线运动
D．将电子（不计重力）从G点向GH方向射出，电子可能做匀速圆周运动
【答案】D
【详解】A．正点电荷形成的电场由电荷指向无穷远处，结合矢量的叠加可知，A、C两点场强大小相同，但方向不同，故A错误；
B．两等量正电荷连线的中垂线上，连线中点处电势最大，故F点电势大于其他3点电势，故B错误；
C．两等量正电荷连线的中垂线上，电场方向由连线中点指向远端，故将电子（不计重力）从H点静止释放，电子将在电场力的作用下沿直线向F点运动，故C错误；
D．由上述分析可知，电子在中垂面上受到的电场力指向连线中点，故将电子（不计重力）从G点向GH方向射出，速度合适时，电场力可能恰好充当向心力，电子可能做匀速圆周运动，故D正确。故选D。
【例11】如图所示，真空中两个静止的点电荷电量的绝对值分别为q1、q2，激发的电场的电场线分布如图，图中P、Q两点关于点电荷q1水平对称，P、Q两点的电势分别为 SKIPIF 1 < 0 P、 SKIPIF 1 < 0 Q，一个带电粒子（仅在电场力作用下）沿虚线轨迹从M移动至N。下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．q1、q2连线的延长线上有一点电场强度为零，这一点在q1的左侧
D．在粒子从M移动至N的过程中它的电势能先变大后变小
【答案】D
【详解】A．根据电场线分布可知，q1处场强大，故q1>q2，A错误；
B．根据电场线与等势面垂直，可分别画出过P、Q两点的等势面，电场线越密的电势降落越快，故φQ<φp，B错误；
C．因为q1>q2，所以q1、q2连线的延长线上电场强度为零的点在q2的右侧，C错误；
D．根据带电粒子的运动轨迹可知，该粒子所受电场力的方向与电场方向相反，故带负电，电场力先做负功后做正功，故电势能先变大后变小，D正确。故选D。
【多维度分层专练】
1．如图所示，水平天花板下方固定一光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方C处固定一带正电的点电荷，不带电的小球A与带正电的小球B通过跨过定滑轮的绝缘轻绳相连。开始时系统在图示位置静止， SKIPIF 1 < 0 。若B球所带的电荷量缓慢减少（未减为零），在B球到达O点正下方前，下列说法正确的是（ ）
A．A球的质量小于B球的质量B．此过程中A球保持静止状态
C．此过程中点电荷对B球的库仑力逐渐增大D．此过程中滑轮受到轻绳的作用力逐渐减小
【答案】AB
【详解】A．开始时B球受力如图所示
由几何关系知 SKIPIF 1 < 0 而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
BC．假设此过程中A球保持静止状态，由于B球所带的电荷量缓慢减少，B球缓慢下摆，B球受力平衡，根据三角相似有 SKIPIF 1 < 0 由于 SKIPIF 1 < 0 、OB、OC均不变，BC逐渐减小，则轻绳拉力T不变，假设成立，库仑力F逐渐减小，B正确，C错误；
D．由于轻绳拉力T不变， SKIPIF 1 < 0 逐渐减小，轻绳OA、OB的拉力的合力逐渐增大，即滑轮受到轻绳的作用力逐渐增大，D错误。故选AB。
2．用两根等长的轻质绝缘细线，把两个带异种电荷的小球a、b悬挂起来，如图甲所示，小球a、b质量分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，带电量大小分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 。如果在该区间加一水平向右的匀强电场，且绳始终拉紧，最后达到的平衡状态如图乙所示，则关于两球质量大小及带电量多少（两球之间的作用力不考虑），下列组合符合要求的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【详解】设上端绳子拉力为T1，下端绳子拉力为T2，场强大小为E，乙图中上端绳子与竖直方向夹角为θ，下端绳子与竖直方向夹角为α。
对a、b整体受力分析，如图所示
利用平行四边形定则，可得 SKIPIF 1 < 0
对b受力分析，如图所示
利用平行四边形定则，可得 SKIPIF 1 < 0 因为两根绳子等长，由数学知识可知 SKIPIF 1 < 0
联立以上三式得 SKIPIF 1 < 0 代数分析可知，BCD均符合题意，A不符合题意。故选BCD。
3．在光滑的水平桌面上有三个点电荷 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，电荷量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若要保证三个点电荷在库仑力作用下保持静止，则它们电荷量应满足的关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 球之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 球之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则有对于A球 SKIPIF 1 < 0 ；对于C球 SKIPIF 1 < 0 整理后得 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
所以AC正确；BD错误；故选AC。
4．两半径相等的半球球壳I和Ⅱ彼此靠的很近，间距可忽略，两半球壳均匀带有正电荷，电荷量均为q，O为球心，A为球壳外一点，AO=d，如图所示，AO垂直于两半球截面。球壳I在A点形成的电场强度为E1，规定距O点无限远处电势为零，下列说法正确的是（ ）
A．O点电场强度为零
B．球壳I在O点形成的电场强度方向水平向右
C．球壳Ⅱ在A点形成的电场强度大小为 SKIPIF 1 < 0
D．球壳I和球壳Ⅱ在A点形成的电势相等
【答案】ABC
【详解】A．球売靠的很近，形成类静电屏蔽，内部场强为零，A正确；
B．根据对称性可以判断，球壳Ⅰ在O点形成的电场强度方向水平向右，B正确；
C．把两球壳看成整体，在A点形成的电场强度为 SKIPIF 1 < 0 方向沿OA从O指向A，两球壳在A点分别形成的电场强度方向均沿OA从O指向A，则 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
D．电势是标量，球壳Ⅰ和球壳Ⅱ电荷量相等，壳Ⅱ距A点距离近，形成的电势高，D错误。故选ABC。
5．如图所示，真空中有一正六边形ABCDFG，在A点和C点分别放置两相同的点电荷，此时正六边形的中心位置的电场强度大小为E0，方向指向B点。下列说法正确的是（ ）
A．两点电荷带正电
B．B点的电场强度大小也为E0
C．把一带正电的试探电荷从F点移至B点，其电势能变小
D．若在F点增加一个等量异种的点电荷，则中心位置电场强度大小为2E0
【答案】BCD
【详解】A．根据等量同种电荷电场线及等势面的分布图可知，正六边形的中心位置的电场强度大小为E0，方向指向B点，则两点电荷带负电，所以A错误；
B．由于B点与正六边形的中心位置在两点电荷连线的中垂直线上，并且到两点电荷连线的距离相等，由对称性可知，B点的电场强度大小也为E0，方向相反，所以B正确；
C．F点电势高于B点，正电荷从F点移至B点，其电势能变小，所以C正确；
D．若在F点增加一个等量异种的点电荷，由几何关系可知，F点到正六边形的中心位置的距离等于正六边形的边长，设正六边形的边长为a，点电荷的电荷量为q，则两相同的点电荷，在正六边形的中心位置的电场强度大小为 SKIPIF 1 < 0 ，F点的点电荷在正六边形的中心位置的电场强度大小为 SKIPIF 1 < 0
方向指向B则中心位置电场强度大小为 SKIPIF 1 < 0 所以D正确；
故选BCD。
6．如图，绝缘闭合薄壁球壳的半径为R，球心为O，球壳上均匀分布着正电荷量Q．已知均匀带电的球壳在其内部空腔激发的场强处处为零，外部空间激发的场强可等效为全部电荷集中在球心处所产生的电场场强．现在球壳表面A处取下一面积足够小、带电量为q的球壳，并将其沿半径 SKIPIF 1 < 0 延长线向上移动至B点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若球壳的其他部分的带电量与电荷分布保持不变，关于球壳上的剩余电荷 SKIPIF 1 < 0 与B点处的点电荷q形成的电场，下列说法正确的是（ ）
A．半径 SKIPIF 1 < 0 的中点的场强大小为 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 这条线段上从O点到A点的电势逐渐降低
C．剩余电荷 SKIPIF 1 < 0 在B点处产生的场强大小为 SKIPIF 1 < 0
D．剩余电荷 SKIPIF 1 < 0 在球壳内部激发的电场的电场线为曲线
【答案】BC
【详解】A．球壳表面A处取下一面积足够小、带电量为q的曲面，相当于在球壳表面点A处放入等电荷密度、等面积的带负电荷 SKIPIF 1 < 0 的曲面。球壳上的剩余电荷 SKIPIF 1 < 0 在球壳内部激发的电场可以看作两部分电荷电场的叠加，一部分是原球壳上均匀分布的正电荷在内部激发的电场，处处为零；另一部分是球壳上位于A处的等量负点电荷 SKIPIF 1 < 0 激发的电场。球壳上的剩余电荷 SKIPIF 1 < 0 与B点处的点电荷q形成的电场，相当于位于B点处的点电荷q与位于A处的 SKIPIF 1 < 0 形成的电场，即两个等量异种电荷产生的电场，半径 SKIPIF 1 < 0 的中点的场强大小 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
B． SKIPIF 1 < 0 这条线段在同一条电场线上，电场线方向由O点指向A点，顺着电场线方向电势降低，B正确；
C．球壳剩余部分的电荷 SKIPIF 1 < 0 在B点处产生的场强，等效于原球壳上均匀分布的正电荷Q和在球壳表面点A处带负电荷 SKIPIF 1 < 0 一起产生的场强，所以B点处产生的场强大小为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
D．球壳剩余部分的电荷 SKIPIF 1 < 0 在球壳内部激发的电等同于只有A处的一个负点电荷激发的电场，其电场线为直线，D错误。故选BC。
7．两个相距很近的等量异种点电荷组成的系统称为电偶极子．某电偶极子由相距为l、电荷量分别为+q和-q的点电荷构成，如图所示。取二者连线方向为y轴方向，中点O为原点，建立如图所示的xOy坐标系，P点距坐标原点O的距离为r（r＞＞l），P、O两点间连线与y轴正方向的夹角为θ。下面给出P点的电场强度E的大小的四个表达式中，只有一个是合理的。你可能不会求解E，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性作出判断。根据你的判断，E的合理表达式应为（ ）
A．E SKIPIF 1 < 0 B．E SKIPIF 1 < 0 C．E SKIPIF 1 < 0 D．E SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】C．对比E SKIPIF 1 < 0 可知C选项表达式单位错误，故C错误：
ABD．取θ＝90°，在x轴上选取一点，则由场强决定式和矢量叠加可知E＝2 SKIPIF 1 < 0
故A正确，BD错误；故选A。
8．位于正方形四角上的四个等量点电荷的电场线分布如图所示，ab，cd分别是正方形两组对边的中垂线，O为中垂线的点，P，Q分别为ab，cd上的两点OP＞OQ，下列说法中正确的是（ ）
A．P、Q两点的电势关系为φP＜φQ
B．P、Q两点电场强度的大小关系为EQ＜EP
C．若在O点轻放一正点电荷，该正点电荷可能沿ab方向运动
D．带负电的试探电荷在Q点时的电势能比在M点时的电势能小
【答案】D
【详解】AB．电场线的疏密表示场强的大小，电场线越密，电场强度越大，根据图象知P点的电场强度比Q点的小．根据电场线与等势面垂直，可知ab与cd是两条等势线，则P与O的电势相等，Q与O的电势也相等，所以P、Q两点的电势相等．故AB两项错误．
C．四个点电荷在O点产生的电场相互抵消，场强为零，在O点放一正点电荷，该正点电荷受到的电场力为零，不会运动．故C项错误．
D．P、Q两点的电势相等，又根据电场线的方向知M点的电势比P点的低，则Q点的电势高于M点的电势．负电荷在电势高处电势能小，所以带负电的试探电荷在Q点的电势能比在M点小．故D项正确．
9．如图所示，在x轴上相距为3L的两点固定两个点电荷+Q、+2Q，虚线是以+Q所在点为圆心、L为半径的圆，a、b、、c、d是圆上的四个点，其中a、c两点在x轴上，b、d两点关于x轴对称。下列判断正确的是（ ）
A．b、d两点处电场强度相同
B．四点中c点处的电势最低
C．将一正试探电荷沿圆周由a点移至c点，电势能先减小后增大
D．将一正试探电荷沿直线从b点移到d点，电场力先做负功后做正功
【答案】D
【详解】A．根据对称性可知b、d两点处电场强度大小相同，方向不同，故A错误；
B．四点到+Q的距离相等，其中c点到+2Q的距离最近，根据电势的叠加可知c点处电势最高，故B错误；
C．将一正试探电荷沿圆周由a点移至c点，+Q对试探电荷的库仑力不做功，+2Q对试探电荷的库仑力始终做负功，试探电荷的电势能一直增大，故C错误；
D．易知在x轴上方的bd连线上，电场强度始终具有向上的分量，而在x轴下方的bd连线上，电场强度始终具有向下的分量，将一正试探电荷沿直线从b点移到d点，电场力先做负功后做正功，故D正确。
故选D。
10．如图所示，一绝缘且粗糙程度相同的竖直细杆处于两固定的等量异种点电荷+Q、-Q的连线的中垂线上，A、O、B为细杆上的三点，O为+Q、-Q连线的中点，AO=BO。现有电荷量为+q、质量为m的小球套在杆上，从A点起以初速度v0向B滑动，到达B点时速度恰好为0，则（ ）
A．在A点时小球加速度的方向向上
B．小球从A到B运动过程中先加速后减速
C．小球从A到O与从O到B的运动时间相等
D．从A到B小球受到的电场力的方向始终水平向右
【答案】AD
【详解】A．到达B点时速度恰好为0，可知到达B点时小球做减速运动，加速度方向向上，小球在AB两点受力相同，因此加速度相同，故A正确；
B．对小球受力分析可知 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 从A到B过程中r先减小后增大 SKIPIF 1 < 0 也是先减小后增大，故支持力先增大后减小，摩擦力先增大后减小，加速度先增大后减小，且方向一直向上，因此小球一直在做减速运动，故B错误；
C．根据 SKIPIF 1 < 0 因为AO段平均速度较大所以AO段时间较短，故C错误；
D．等量异种电荷在中垂线上合场强方向沿水平向右，正电荷受到电场力方向与场强方向相同，故D正确。
故选AD。
11．如图所示，真空中两个等量异种点电荷固定在A、B两点，O、P是AB的垂直平分线上的点。一带正电的试探电荷仅受电场力作用，运动轨迹如图中实线NPM所示，设P、M两点的电势分别为φp、φM，此试探电荷在P、M两点的动能分别为Ekp、EkM，下列说法中正确的是（ ）
A．A点的点电荷一定带正电
B．试探电荷在P点时受到的电场力沿OP方向
C．φp>φM
D．Ekp>EkM
【答案】AC
【详解】A．粒子做曲线运动，受到的电场力指向轨迹弯曲的内侧，大致向右，而该正电荷受到的电场力指向带负电的电荷，所以A点电荷一定带正电，故A正确；
B．P点的电场强度方向水平向右，试探电荷在P点所受电场力方向垂直OP向右，故B错误；
C．B点电荷应带负电，M点靠近负电荷，所以M点电势低于P点电势，故C正确；
D．由于φP＞φM，根据正电荷在电势高处电势能大，可知正点电荷在P处的电势能大于在M处的电势能，即有EPp＞EPM，电荷只受电场力作用，则电势能和动能的总量不变，则Ekp＜EkM，故D错误。故选AC。
导练目标
导练内容
目标1
库仑定律及库仑力作用下的平衡问题
目标2
电场强度的叠加与计算
目标3
有关电场线的综合问题
常见模型
几何三角形和力的矢量三角形
比例关系
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
比较
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线分布图
电荷连线上的
电场强度
沿连线先变小后变大
O点最小,但不为零
O点为零
中垂线上的
电场强度
O点最大,向外逐
渐减小
O点最小,向外先
变大后变小
关于O点对
称位置的电
场强度
A与A'、B与B'、C与C'
等大同向
等大反向
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