高考数学高频考点题型归纳与方法(新高考通用)第15练导数与函数的单调性(精练：基础+重难点)(原卷版+解析)

这是一份高考数学高频考点题型归纳与方法(新高考通用)第15练导数与函数的单调性(精练：基础+重难点)(原卷版+解析)，共40页。试卷主要包含了解答题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
刷真题 明导向
一、解答题
1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
2．（2021·全国·统考高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
3．（2021·浙江·统考高考真题）设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
(注：是自然对数的底数)
4．（2021·全国·高考真题）设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
5．（2021·全国·统考高考真题）已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调减区间是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）函数，则（ ）
A．为偶函数，且在上单调递增
B．为偶函数，且在上单调递减
C．为奇函数，且在上单调递增
D．为奇函数，且在上单调递减
3．（2023·全国·高三专题练习）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A． B． C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对，，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）若为奇函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2023·北京朝阳·高三专题练习）游人游玩的湖边常设有如图所示的护栏柱与柱之间是一条均匀悬链．数学中把这种两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数，其中，则下列关于悬链线函数的性质判断中，正确的有（ ）.
A．为偶函数
B．为奇函数
C．的最小值为a
D．的单调递增区间为
12．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）已知,若,则（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023春·山西忻州·高三校联考开学考试）已知函数，则（ ）
A．恒成立B．是上的增函数
C．在取得极小值D．只有一个零点
三、填空题
14．（2023春·宁夏吴忠·高三统考开学考试）设函数，若函数的图象在点处的切线方程为，则函数的单调增区间为__________．
15．（2023·全国·高三专题练习）若正实数满足则________
16．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________.
17．（2023·安徽宣城·统考二模）已知函数，则不等式的解集是________．
四、解答题
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(a∈R且a≠0)，讨论函数的单调性．
【B组 在综合中考查能力】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.讨论函数的单调区间；
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，为函数的导函数，讨论的单调性.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数），讨论的单调性.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．当时，讨论函数的单调性；
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论函数的单调性．
二、单选题
6．（2023·四川宜宾·统考三模）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·江苏南京·统考二模）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为．若对任意有，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·全国·校联考三模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·四川内江·统考三模）若关于x的不等式有且只有一个整数解，则正实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是________ ．
12．（2023春·浙江·高三开学考试）已知定义在上可导函数，对于任意的实数x都有成立，且当时，都有成立，若，则实数m的取值范围是__________．
13．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______.
【C组 在创新中考查思维】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数讨论的单调性；
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.当时，求函数的单调区间；
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数,讨论的单调性;
二、单选题
4．（2023·河北·统考模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·湖北·校联考三模）已知函数图象上存在关于y轴对称的两点，则正数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·河南·校联考模拟预测）若函数在上单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
三、多选题
7．（2023·广东广州·统考模拟预测）函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若函数在上为减函数，则
B．若函数的对称中心为，则
C．当时，若有三个根，且，则
D．当时，若过点可作曲线的三条切线，则
四、填空题
8．（2023·河南·校联考模拟预测）若函数有且仅有两个零点，且，则_______.
9．（2023·山东济南·统考三模）已知函数，，当实数满足时，不等式恒成立，则实数的取值范围为______.
第15练 导数与函数的单调性（精练）
刷真题 明导向
一、解答题
1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
【答案】(1)的减区间为，增区间为.
【详解】（1），
当，；当，，
故的减区间为，的增区间为.
2．（2021·全国·统考高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
【详解】(1)由函数的解析式可得：，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
3．（2021·浙江·统考高考真题）设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
【答案】(1)时，在上单调递增；时，函数的单调减区间为，单调增区间为；
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；
【详解】(1)，
①若，则，所以在上单调递增；
②若，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
综上可得，时，在上单调递增；
时，函数的单调减区间为，单调增区间为.
4．（2021·全国·高考真题）设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
【答案】（1）的减区间为，增区间为；
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
5．（2021·全国·统考高考真题）已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
【答案】（1）上单调递增；上单调递减；
【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；
【详解】（1）当时，,
令得,当时，,当时，,
∴函数在上单调递增；上单调递减；
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调减区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由，可解得结果.
【详解】,
由，得，
所以的单调递减区间为.
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）函数，则（ ）
A．为偶函数，且在上单调递增
B．为偶函数，且在上单调递减
C．为奇函数，且在上单调递增
D．为奇函数，且在上单调递减
【答案】A
【分析】先用定义法判断函数的奇偶性，再求导得到函数的单调性，进而选出答案.
【详解】函数定义域为R，
且，所以为偶函数，故排除选项C，D；
又当时，，则在上单调递增，故选项A正确，选项B错误，
故选：A．
3．（2023·全国·高三专题练习）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的单调性与导函数的关系判断即可；
【详解】解：由的图象可知，当时函数单调递增，则，故排除C、D；
当时先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于，再大于，最后小于，故排除B；
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性与导数的关系进行求解即可.
【详解】由，
因为函数在区间内单调递增，
所以有在上恒成立，即在上恒成立，
因为，所以由，
因为，所以，于是有，
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得的取值范围.
【详解】由题意得，
在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
又函数在上单调递增，得，
所以，即实数的取值范围是.
故选：B
6．（2023·全国·高三专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先计算出,由存在单调递减区间知在 上有解即可得出结果.
【详解】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ．
故选:B．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对，，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先将题意转化为对，，都有，构造函数得到在为减函数，从而得到，恒成立，再利用导数求出最小值即可得到答案.
【详解】因为对，，都有成立，
所以对，，都有.
设，则在为减函数.
，
等价于，恒成立，
即，恒成立.
设，，
所以，，为减函数，
，，为增函数，
所以，所以，即.
故选：C
8．（2023·全国·高三专题练习）若为奇函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据奇函数的性质求出，再利用导数求出函数的单调性，最后即可求解不等式.
【详解】因为为奇函数，则，解得.则
即.，而.则，可得，，即在定义域内单调递减.那么根据单调性可得，即.
故选：D
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据已知，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小.
【详解】因为，，，所以构造函数，
因为，由有：，
由有：，所以在上单调递减，
因为，，,
因为，所以，故A，B，D错误.
故选：C.
10．（2023·全国·高三专题练习）对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将不等式等价变形，构造函数，再借助函数单调性、最值求解作答.
【详解】依题意，，令，，
则对任意的，当时，，即有函数在上单调递减，
因此，，，而，则，
所以实数的取值范围是.
故选：C
二、多选题
11．（2023·北京朝阳·高三专题练习）游人游玩的湖边常设有如图所示的护栏柱与柱之间是一条均匀悬链．数学中把这种两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数，其中，则下列关于悬链线函数的性质判断中，正确的有（ ）.
A．为偶函数
B．为奇函数
C．的最小值为a
D．的单调递增区间为
【答案】ACD
【分析】根据函数奇偶性的定义，结合导数的性质、基本不等式进行求解即可.
【详解】函数的定义域为R，且，为偶函数，故A正确，B错误；
∵，，∴，
当且仅当时取等号，即时取等号，故C正确；
，
当时，∵，∴，∴，
∴在上单调递增，由偶函数的性质可知，在上单调递减，故D正确．
故选：ACD．
12．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）已知,若,则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】将式子化为,即可得选项A的正误;构造,求导求单调性,即可得,再根据的单调性,即可得选项B的正误;根据,,再用基本不等式即可判断选项C正误;根据,可得,即可判断选项D正误.
【详解】解:由题知,,
所以,即,
则选项A正确;
令,则,
所以在上单调递增;
由选项A 结论:,
得,所以,
即,因为单调递减,
所以,故选项B错误;
由选项B中结论,
所以
,
所以,故选项C正确;
因为,
所以,
则选项D正确.
故选:ACD.
13．（2023春·山西忻州·高三校联考开学考试）已知函数，则（ ）
A．恒成立B．是上的增函数
C．在取得极小值D．只有一个零点
【答案】BCD
【分析】利用导数判断函数的单调性可知B正确；利用导数求出函数的极小值可知C正确；当时，，可知A错误；求出函数的零点，可知D正确．
【详解】因为，该函数的定义域为，，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，故B正确，C正确；
当时，，此时，A错误；
由，可得，解得，D正确．
故选：BCD
三、填空题
14．（2023春·宁夏吴忠·高三统考开学考试）设函数，若函数的图象在点处的切线方程为，则函数的单调增区间为__________．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，求出的值，然后根据导数与单调性的关系，令，即可求解.
【详解】解：因为，所以，
又因为函数的图象在点处的切线方程为，
所以，即，所以，
所以，
由，可得，
所以函数的单调增区间为.
故答案为：.
15．（2023·全国·高三专题练习）若正实数满足则________
【答案】
【分析】利用换元令，整理可得，构建函数，求导，利用导数判断其单调性，进而分析求解.
【详解】令，则
∴，则
构建，则当时恒成立
∴在上单调递增
∵，则，即
∴
故答案为：.
16．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据题意参变分离可得在上恒成立，构造新函数，求导求单调性，求出最值，即可得的取值范围.
【详解】解：因为在上恒成立，
即在上恒成立，
取，所以，
因为，所以，而，即，
所以在上，，单调递增，所以，
因为在上恒成立，所以.
故答案为：
17．（2023·安徽宣城·统考二模）已知函数，则不等式的解集是________．
【答案】
【分析】令，判断的奇偶性与单调性，则问题转化为，即，即可得到自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为，令，
则，
则函数为偶函数，
又，
当时，，，所以，所以在上单调递增，
又，
由可得，即，即，
所以，解得，即不等式的解集是.故答案为：
四、解答题
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性.
【答案】当在 上单调递增；
当在上单调递增，在上单调递减.
【分析】先求导，然后分和讨论即可.
【详解】的定义域为，.
当，则x∈时，，故在单调递增.
当a＜0，则x∈时，；x∈时，
故在单调递增，在单调递减.
综上所述, 当在上单调递增；
当在上单调递增，在上单调递减.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(a∈R且a≠0)，讨论函数的单调性．
【答案】答案见解析
【分析】由题设知定义域为(0,＋∞)、，讨论参数判断的符号，即可确定的单调性.
【详解】函数的定义域为(0,＋∞)，且.
①当时，，即在(0,＋∞)上单调递增．
②当时，令，解得x＝ (负值舍去)，
当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增．
综上，当时，在(0,＋∞)上递增；当时，在上递减，在上递增．
【B组 在综合中考查能力】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.讨论函数的单调区间；
【答案】答案见解析
【分析】先确定定义域，再求导，并把导数化成商的形式，决定导数符号的是二次三项式，且二次项的系数含有参数，是否为零不确定，先按二次项系数为零和不为零讨论，在不为零的情况下，再讨论二次项系数大于零和二次项系数小于零，而在二次项系数大于零的前提下，导函数的零点大小关系不确定还需分类讨论
【详解】解：定义域为，
所以
（1）当时，，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，有两根分别为，
①当时
（i）令，解得，
当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减.
（ii）令，解得，
当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
（iii）当时，
所以在上单调递增；
②当时，当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：
当时，的单调递增区间是，单调递减的区间是
当，的单调递增区间是，上单调递增，单调递减的区间是
当，的单调递增区间是，上单调递增，单调递减的区间是
当时，的单调递增区间是，无减区间
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，为函数的导函数，讨论的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】根据给定的函数，求出其导数，再分m值情况讨论正负作答.
【详解】函数的定义域为，
求导得，
当时，时，，时，，因此在 上单调递减，在上单调递增；
当时，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，，成立，在上单调递增；
当时，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，函数的递减区间为，递增区间为；
当时，函数的递增区间为，，递减区间为；
当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递增区间为，，递减区间为.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数），讨论的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】根据给定的函数，求出其导数，再分a值情况讨论正负作答.
【详解】函数的定义域为R，求导得，
当时，，当时，，当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减；
当时，由得，，，
若，即时，恒成立，即在R上单调递增，
若，即时，由得：或，由得：，
因此在和上单调递增，在上单调递减，
若，即时，由得：或，由得：，
因此在和上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，在R上单调递增；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．当时，讨论函数的单调性；
【答案】答案见解析
【分析】先求出的定义域以及，再分，两种情况解不等式和即可得函数的单调性.
【详解】解：易知的定义域为，
由可得且，
由可得或，
（1）当时，恒成立，此时恒成立，
所以在上是增函数；
（2）当时，由得，
记，，
当或时，，当时，，
所以在，上是增函数，在上是减函数.
综上所述，当时，在上是增函数；
当时，在和上是增函数，在上是减函数.
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法
（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；
（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论函数的单调性．
【答案】答案见解析.
【分析】求出函数的导数，讨论的取值范围，判断导数正负，从而确定函数的单调性.
【详解】因为，所以，
而 （当且仅当时取等号），
当时，，此时的增区间为，
当时，令，
则，
令，则或，时，则，
综上：当时，的增区间为；
当时，的增区间为和，减区间为.
二、单选题
6．（2023·四川宜宾·统考三模）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将原问题转化为恒成立的问题，然后求解实数a的取值范围即可.
【详解】由题意可得：，
因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
二次函数开口向下，对称轴为，则函数在区间上单调递减，
当时，，则该函数区间上的值域为，
综上可知：实数的取值范围是.
故选：A
7．（2023·江苏南京·统考二模）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为．若对任意有，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造，确定函数单调递增，计算，，转化得到，根据单调性得到答案.
【详解】设，则恒成立，故函数在上单调递增.
，则，即，
故.
，即，即，故，解得.
故选：D
8．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，确定在上单调递增，，得到，根据得到，得到，得到答案.
【详解】设，则在上恒成立，故在上单调递增，，故，即；
，故，故，故，故；
综上所述：.
故选：A
9．（2023·全国·校联考三模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】对变形得，构造函数，，分别求导确定函数单调性，根据单调性比较函数值大小即可得答案.
【详解】，
令，则，所以在上单调递增.
所以，即.
令，则，所以在上单调递增.
所以，即.
又当时，，所以当时，.
所以当时，，即.
故选：B.
10．（2023·四川内江·统考三模）若关于x的不等式有且只有一个整数解，则正实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】原不等式可化简为，设，，作出函数的图象，由图象可知函数的图象应介于直线与直线之间（可以为直线，进而求得答案．
【详解】原不等式可化简为，设，，
由得，，令可得，
时，，时，，
易知函数在单调递减，在单调递增，且，
作出的图象如下图所示，
而函数恒过点，要使关于的不等式有且只有一个整数解，则函数的图象应介于直线与直线之间（可以为直线），
又，，
∴，，
∴，
∴．
故选：A．
三、填空题
11．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是________ ．
【答案】
【分析】先求的导函数，再将函数在区间上存在单调递减区间转化为在区间上有解，再根据参数分离，构造函数，结合函数在区间的单调性即可求解实数的范围．
【详解】，则，
函数在区间上存在减区间，
只需在区间上有解，
又，则，所以在区间上有解，
所以，，
令，，则，
令，则在区间恒成立，
所以在上单调递增，所以，即，所以，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：通过求的导函数，再将题中条件转化为一元二次不等式（含参）在某区间上的有解问题，再根据参数分离，构造函数，结合函数在区间的单调性是解答此题的关键．
12．（2023春·浙江·高三开学考试）已知定义在上可导函数，对于任意的实数x都有成立，且当时，都有成立，若，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【分析】构造函数，讨论奇偶性和单调性，根据函数的单调性和奇偶性解不等式.
【详解】令，
则易得，
即为偶函数，
当时，有，
即函数在上单调递减，故在上单调递增，
由
得，
即，
由为偶函数得，
又在上单调递增，所以，
故答案为：．
13．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】求出函数的导数，结合题意可知在上恒成立，即在上恒成立，从而构造函数，将问题转化为求函数的最值问题即可.
【详解】因为函数在上单调递增，
故在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
当或时，，当时，，
由，得，
当或时，，当时，
作出函数的大致图象如图：
故为函数极小值点，此时函数也取得最小值，最小值为，
故，
经验证，当时，在上恒成立,仅在时取等号，适合题意，
故实数的取值范围是，
故答案为：
【C组 在创新中考查思维】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数讨论的单调性；
【答案】见详解
【分析】根据导数的形式是二次函数的形式，将二次函数图像与轴交点的个数为分类讨论的依据，进行分类讨论得到导数的正负，从而得到函数的单调性.
【详解】由，
求导得，
易知恒成立，故看的正负，即由判别式进行判断，
①当时，即，，则在上单调递增；
②当时，即或，
令时，解得或，
当时，，
则在上单调递减；
当或，，
则在和上单调递增；
综上所述，当时，在上单调递增；
当或时，在上单调递减，
在和上单调递增.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.当时，求函数的单调区间；
【答案】的单调递减区间为，单调递增区间为
【分析】求导后，再对导函数求导，根据导数的符号可得结果.
【详解】当时，得，
令，则，
当时，，当时，，当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
，即，
又当时，恒成立， 即，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
综上所述：当时，，为减函数﹔当时，，为增函数.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数,讨论的单调性;
【答案】答案见解析.
【分析】判断定义域并求导,化简为两个因式乘积的形式,分别对,,,四种情况进行讨论,求出单调性即可.
【详解】解:由题知的定义域为R,
所以,
当时,,
所以,
令,解得;
令,解得,
所以的单调增区间为,单调减区间为,
当时,令,
解得:或,
①当时,即,
,
所以在上单增.
②当时,即,
由解得:;
由解得:,
所以的单调增区间为,
的单调减区间为.
③当时,即,
由解得:;
由解得:,
所以的单调增区间为,
的单调减区间为.
综上: 当时,的单调增区间为,单调减区间为;
当时,的单调增区间为,
的单调减区间为;
当时,在上单增;
当时,的单调增区间为,
的单调减区间为.
二、单选题
4．（2023·河北·统考模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据所给数的结构特征，设函数，利用导数判断其单调性，利用单调性比较大小，可得答案.
【详解】设函数，则，
当时，，当时，，
故在单调递增，在上单调递减，
又，，，
因为，故，即，
故选：B
【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小.
5．（2023·湖北·校联考三模）已知函数图象上存在关于y轴对称的两点，则正数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先分析的单调性，可得对称点分别位于与的图象上，从而得到，进而利用同构法，构造函数得到，再构造函数，由此得解.
【详解】因为，
所以当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
又的图象上存在关于y轴对称的两点，
所以这两个对称点分别位于与的图象上；
设在的图象上，则在函数的图象上，且，
故有，即，
进而；
设，则，
又恒成立，故在上单调递增，
所以，即，
令，则在上恒成立，
故在上单调递减，
故，则，于是．
故选：B．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用同构法，将转化为，从而构造了函数，由此得解.
6．（2023·河南·校联考模拟预测）若函数在上单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得在上恒成立，构建，结合定点分析运算.
【详解】因为，则，
由题意可得在上恒成立，
构建，则，
注意到，则，解得，
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
若，因为，则，
可得；
若，因为，则，
可得；
综上所述：当时，在上恒成立，
则在上单调递增，可得，符合题意；
故实数m的取值范围为.
故选：D.
【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
三、多选题
7．（2023·广东广州·统考模拟预测）函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若函数在上为减函数，则
B．若函数的对称中心为，则
C．当时，若有三个根，且，则
D．当时，若过点可作曲线的三条切线，则
【答案】ACD
【分析】求导得到导函数，根据单调区间解得A正确，代入点计算得到，B错误，求导得到函数的单调区间，确定，，代入计算得到C正确，设出切点，计算切线方程，得到，构造函数，计算极值得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，，
函数在上为减函数，则，解得，正确；
对选项B：函数的对称中心为，则，，错误；
对选项C：，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
，，，故，，
要证，即，
整理得到，，不等式成立，正确；
对选项D：设切点为，则，，
则切线方程为，
将代入上式，整理得，方程有三个不同解，
设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
极小值，极大值，故，正确；
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间，函数的切线问题，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，将参数的范围转化为求函数的极值是解题的关键.
四、填空题
8．（2023·河南·校联考模拟预测）若函数有且仅有两个零点，且，则_______.
【答案】
【分析】由函数零点的意义等价变形等式，构造函数并求出零点，转化为新函数的零点问题作答.
【详解】函数的定义域为，由，得，
即，令，则，
，即函数为增函数，而，于是有唯一解，即有，
因此的两个解为，此时，，
即，，显然，则有，解得，
所以．
故答案为：
【点睛】关键点睛：涉及函数零点求参数问题，利用函数零点的意义等价变形等式，构造函数，利用导数探求新函数零点问题解决.
9．（2023·山东济南·统考三模）已知函数，，当实数满足时，不等式恒成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】同构，对函数多次求导，研究函数的单调性，根据求得，从而把不等式恒成立问题转化为在上恒成立，构造函数，利用导数求出函数最值即可求解.
【详解】，
令，易知函数在上单调递增，
则，有，记，则，
时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以函数单调递增，且，
由题意，所以，所以，
不等式恒成立即恒成立，
所以时，恒成立，即在上恒成立，
记，则，
因为，所以在上单调递增，
所以，故.
故答案为：
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.