2024-2025学年北京市平谷区名校九上数学开学综合测试模拟试题【含答案】

这是一份2024-2025学年北京市平谷区名校九上数学开学综合测试模拟试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若等腰的周长是，一腰长为，底边长为，则与的函数关系式及自变量的取值范围是
A．B．
C．D．
2、（4分）若分式有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
3、（4分）如图，双曲线的图象经过正方形对角线交点，则这条双曲线与正方形边交点的坐标为( )
A．B．C．D．
4、（4分）一名射击运动员连续打靶8次，命中的环数如图所示，则命中环数的众数与中位数分别为（ ）
A．9环与8环B．8环与9环C．8环与8.5环D．8.5环与9环
5、（4分）点P是△ABC内一点，且P到△ABC的三边距离相等，则P是△ABC哪三条线的交点（ ）
A．边的垂直平分线B．角平分线
C．高线D．中位线
6、（4分）如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）如图，分别是的边上的点，将四边形沿翻折，得到交于点则的周长为（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）当x＝______时，分式的值为0.
10、（4分）如图，小明在“4x5”的长方形内丢一粒花生（将花生看作一个点），则花生落在阴影的部分的概率是_________
11、（4分）在函数y=中，自变量x的取值范围是____．
12、（4分）要使代数式有意义，则的取值范围是________．
13、（4分）在五边形中，若，则__________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED．
（1）△BEC是否为等腰三角形？证明你的结论；
（2）若AB=2，∠DCE=22.5°，求BC长．
15、（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且OE=OF．
(1)求证：BE=DF；
(2)当线段OE=_____时，四边形BEDF为矩形，并说明理由．
16、（8分）哈市某专卖店销售某品牌服装，设服装进价为80元，当每件服装售价为240元时，月销售为200件，该专卖店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每件价格每下降10元时，月销售量就会增加20件，设每件服装售价为x(元)，该专卖店的月利润为y(元).
(1)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；
(2)该专卖店要获得最大月利润，售价应定为每件多少元？最大利润是多少？
17、（10分）一个二次函数的图象经过三点.求这个二次函数的解析式并写出图象的开口方向、对称轴和顶点.
18、（10分）在平面直角坐标系中，已知点，，，点与关于轴对称．
（1）写出点所在直线的函数解析式；
（2）连接，若线段能构成三角形，求的取值范围；
（3）若直线把四边形的面积分成相等的两部分，试求的值．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，点的坐标为，则线段的长度为_________.
20、（4分）已知的顶点坐标分别是，，．过点的直线与相交于点．若分的面积比为，则点的坐标为________．
21、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则点N的坐标为_____________．
22、（4分）抛掷一枚质地均匀的骰子1次，朝上一面的点数不小于3的概率是_____．
23、（4分）若，则=______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）随着“一带一路”的不断建设与深化，我国不少知名企业都积极拓展海外市场，参与投资经营．某著名手机公司在某国经销某种型号的手机，受该国政府经济政策与国民购买力双重影响，手机价格不断下降．分公司在该国某城市的一家手机销售门店，今年5月份的手机售价比去年同期每台降价1000元，若卖出同样多的手机，去年销售额可达10万元，今年销售额只有8万元．
(1)今年5月份每台手机售价多少元？
(2)为增加收入，分公司决定拓展产品线，增加经销某种新型笔记本电脑．已知手机每台成本为3500元，笔记本电脑每台成本为3000元，分公司预计用不少于4.8万元的成本资金少量试生产这两种产品共15台，但因资金所限不能超过5万元，共有几种生产方案？
(3)如果笔记本电脑每台售价3800元，现为打开笔记本电脑的销路，公司决定每售出1台笔记本电脑，就返还顾客现金a元，要使(2)中各方案获利最大，a的值应为多少？最大利润多少？
25、（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A，与轴交于点B，与直线OC：交于点C．
（1）若直线AB解析式为，
①求点C的坐标；
②求△OAC的面积．
（2）如图2，作的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E， OA＝4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连结AQ与PQ，试探索AQ＋PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．
26、（12分）小明到眼镜店调查了近视眼镜镜片的度数和镜片焦距的关系，发现镜片的度数（度）是镜片焦距（厘米）（）的反比例函数，调查数据如下表：
（1）求与的函数表达式；
（2）若小明所戴近视眼镜镜片的度数为度，求该镜片的焦距．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据题意，等腰三角形的两腰长相等，即可列出关系式.
【详解】
依题意，，
根据三角形的三边关系得，
，得，
，得，
得，，
故与的函数关系式及自变量的取值范围是：，
故选．
本题考查了一次函数的应用，涉及了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，做此类题型要注意利用三角形的三边关系要确定边长的取值范围．
2、A
【解析】
直接利用分式有意义的条件即分母不为零，进而得出答案．
【详解】
解：分式有意义，
，
解得：．
故选：．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
3、B
【解析】
由于双曲线的一支经过这个正方形的对角线的交点A，由正方形的性质求出A的坐标，进而根据正方形的性质表示出点C的坐标，又因B，C相同横坐标，再将点C的横坐标代入反比例函数即可求得B的坐标。
【详解】
设
点在反比例函数的图象上，，
，将的坐标代入反比例函数得
故的坐标为
故选B．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了正方形的性质．
4、C
【解析】
根据众数的定义找出出现次数最多的数；根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数即可．
【详解】
根据统计图可得：8出现了3次，出现的次数最多，则众数是8；
∵共有8个数，∴中位数是第4和1个数的平均数，∴中位数是（8+9）÷2=8.1．
故选C．
本题考查了众数和中位数，用到的知识点是众数和中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个．
5、B
【解析】
根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上解答．
【详解】
∵P到△ABC的三边距离相等，
∴点P在△ABC的三条角平分线上，
∴P是△ABC三条角平分线的交点，
故选：B．
本题考查的是角平分线的性质，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
6、C
【解析】
由勾股定理求出直角三角形的斜边长，再由长方形的面积公式即可得出结果．
【详解】
由勾股定理得：cm,
∴阴影部分的面积=5×1=5（cm2）；
故选：C．
考查了勾股定理、长方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
7、C
【解析】
根据平行四边形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF，根据折叠的性质得到∠GEF=∠DEF=60°，推出△EGF是等边三角形，于是得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEG=∠EGF，
∵将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，
∴∠GEF=∠DEF=60°，
∴∠AEG=60°，
∴∠EGF=60°，
∴△EGF是等边三角形，
∴EG=FG=EF=4，
∴△GEF的周长=4×3=12，
故选：C．
本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键．
8、B
【解析】
根据分式的基本性质进行变形即可.
【详解】
=.
故选B.
此题主要考查了分式的基本性质，正确利用分式的基本性质求出是解题关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1.
【解析】
直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零进而得出答案．
【详解】
解：∵分式的值为0，
∴1x-4=0且x-1≠0，
解得：x=1．
故答案为：1．
本题考查分式的值为零的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
10、
【解析】
根据题意，判断概率类型，分别算出长方形面积和阴影面积，再利用几何概型公式加以计算，即可得到所求概率．
【详解】
解：长方形面积=4×5=20，
阴影面积=，
∴这粒豆子落入阴影部分的概率为：P=，
故答案为：.
本题给出丢豆子的事件，求豆子落入指定区域的概率．着重考查了长方形、三角形面积公式和几何概型的计算等知识，属于基础题．
11、x≥-2且x≠1
【解析】
根据二次根式被开方数大于等于1，分式分母不等于1列式计算即可得解．
【详解】
解：由题意得，x+2≥1且2x≠1，
解得:x≥-2且x≠1．
故答案为：x≥-2且x≠1．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为1；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12、且
【解析】
分式的分母不等于零时分式有意义，且还需满足被开方数大于等于零的条件，根据要求列式计算即可.
【详解】
∵代数式有意义，
∴，且，
∴且，
故答案为：且.
此题考查分式有意义的条件，二次根式被开方数的取值范围的确定，正确理解题意列出不等式是解题的关键.
13、130°
【解析】
首先利用多边形的外角和定理求得正五边形的内角和，然后减去已知四个角的和即可．
【详解】
解：正五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=410°，
∴∠E=540°-410°=130°，
故答案为：130°．
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）△BEC是等腰三角形，见解析；（2）2
【解析】
（1）由矩形的性质和角平分线的定义得出∠DEC=∠ECB=∠BEC，推出BE=BC即可；
（2）证出AE=AB=2，根据勾股定理求出BE，即可得出BC的长．
【详解】
解：（1）△BEC是等腰三角形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵EC平分∠DEB，
∴∠DEC=∠BEC，
∴∠BEC=∠ECB，
∴BE=BC，即△BEC是等腰三角形．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵∠DCE=22.5°，
∴∠DEB=2×（90°-22.5°）=135°，
∴∠AEB=180°-∠DEB=45°，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AE=AB=2，
由勾股定理得：BC=BE===2，
答：BC的长是2．
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用；熟练掌握矩形的性质，证出∠BEC=∠ECB是解决问题的关键．
15、 (1)见解析；(2)OD.
【解析】
（1）运用平行四边形性质，对角线相互平分，即可确定BO=OD,然后运用线段的和差即可求得BE=DF.
（2）根据矩形对角线相等且相互平分，可确定OE=OD
【详解】
(1)证明：分别连接DE、BF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB=OD
又∵OE=OF
∴四边形DEBF是平行四边形
∴BE=DF
(2)当OE=OD时，四边形BEDF是矩形
∵OE=OF，OB=OD
∴四边形BEDF是平行四边形
又∵OE=OD，EF=2OE，BD=20D
∴EF=BD
∴四边形BEDF是矩形
本题主要考查了平行四边形额性质和矩形的判定，有一定难度，需要认真审题和分析.
16、（1）y=−2x2+840x−54400；（2）售价应定为每件210元，最大利润是33800元.
【解析】
（1）由题意得到每件服装的利润为 x−80 元，则可得月销售量为 200+，再根据月利润等于总销量乘以每件服装的利润即可得到；
（2） 由（1）得到y=−2x2+840x−54400经过变形得到y=−2(x−210)2+33800，即可得到答案.
【详解】
解：（1）每件服装的利润为 x−80 元，月销售量为 200+，所以月利润：
y=(x-80)⋅( 200+)=(x−80)(680−2x)=−2x2+840x−54400，所以函数关系式为y=−2x2+840x−54400；
（2） y=−2x2+840x−54400=−2(x−210)2+33800
所以，当x=210时,y最大=33800 .
即售价应定为每件210元，最大利润是33800元.
答：售价应定为每件210元，最大利润是33800元.
本题考查一元二次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，得到等式关系.
17、,图象开口向上，对称轴直线，顶点.
【解析】
首先根据待定系数法求解二次函数的解析式，再根据二次函数的系数确定抛物线的开口方向，对称轴，和公式法计算顶点坐标.
【详解】
设二次函数的解析式为.
由已知，函数的图象经过三点，可得
解这个方程组，得，，.
所求二次函数的解析式为,
图象开口向上，对称轴直线，顶点.
本题主要考查二次函数抛物线解析式的计算、抛物线的性质，这是考试的必考点，必须熟练掌握.
18、（1）；（2）时，线段能构成三角形；（3）当时，把四边形的面积分成相等的两部分．
【解析】
（1）根据题意可得点，可得的当横坐标为m时，纵坐标为-3m+22,因此可得点C的所在直线的解析式.
（2）首先利用待定系数法计算直线AB的解析式，再利用点C是否在直线上，来确定是否构成三角形，从而确定m的范围.
（3）首先计算D点坐标，设的中点为，过作轴于，轴于，进而确定E点的坐标，再计算DE所在直线的解析式，根据点C在直线DE上可求得m的值.
【详解】
解：（1）根据题意可得点，可得的当横坐标为m时，纵坐标为-3m+22,所以
（2）设所在直线的函数解析式为，将点，代入得
，解得，∴
当点在直线上时，线段不能构成三角形
将代入，得
解得，
∴时，线段能构成三角形；
（3）根据题意可得，
设的中点为，过作轴于，轴于，
根据三角形中位线性质可知，由三角形中线性质可知，当点在直线上时，把四边形的面积分成相等的两部分，
设直线的函数解析式为，将 ，代入，
得，解得，∴，
将代入，得
，解得，
∴当时，把四边形的面积分成相等的两部分．
本题主要考查一次函数的性质，本题难度系数较大，关键在于根据点在直线上来求参数的.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：∵点A坐标为（2，2），
∴AO＝，
故答案为：.
本题考查了勾股定理的运用和点到坐标轴的距离：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
20、（5，-）或（5，-）．
【解析】
由AE分△ABC的面积比为1：2，可得出BE：CE=1：2或BE：CE=2：1，由点B，C的坐标可得出线段BC的长度，再由BE：CE=1：2或BE：CE=2：1结合点B的坐标可得出点E的坐标，此题得解．
【详解】
∵AE分△ABC的面积比为1：2，点E在线段BC上，
∴BE：CE=1：2或BE：CE=2：1．
∵B（5，1），C（5，-6），
∴BC=1-（-6）=2．
当BE：CE=1：2时，点E的坐标为（5，1-×2），即（5，-）；
当BE：CE=2：1时，点E的坐标为（5，1-×2），即（5，-）．
故答案为：（5，-）或（5，-）．
本题考查了比例的性质以及三角形的面积，由三角形的面积比找出BE：CE的比值是解题的关键．
21、 (2，1)
【解析】
【分析】直接运用线段中点坐标的求法，易求N的坐标.
【详解】点N的坐标是：（），即（2，1）.
故答案为：(2，1)
【点睛】本题考核知识点：平面直角坐标系中求线段的中点. 解题关键点：理解线段中点的坐标求法.
22、
【解析】
由题意知共有6种等可能结果，朝上一面的点数不小于3的有4种结果，利用概率公式计算可得．
【详解】
解：∵抛掷一枚质地均匀的骰子1次共有6种等可能结果，朝上一面的点数不小于3的有4种结果，
所以朝上一面的点数不小于3的概率是=，
故答案为：．
此题考查了概率公式的应用．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．
23、1
【解析】
根据二次根式和偶次方根的非负性即可求出x，y的值，进而可求答案
【详解】
∵
∴
∴
∴
故答案为1.
本题考查的是二次根式偶次方根的非负性，能够据此解答出x、y的值是解题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1)今年5月份每台手机售价4000元；(2)5种生产方案；(3)a的值应为2元，最大利润为7500元.
【解析】
（1）设今年5月份手机每台售价为m元，则去年同期每台售价为（m+100）元，根据数量=总价÷单价结合今年5月份与去年同期的销售数量相同，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设生产手机x台，则生产笔记本电脑（15-x）台，根据总价=单价×数量结合总价不少于4.8万元不能超过高于5万元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，由该范围内整数的个数即可得出方案的种数；
（3）设总获利为w元，根据利润=销售收入-成本，即可得出w关于x的一次函数关系式，由w的值与x无关，即可得出a-2=0，解之即可求出a值．
【详解】
（1）设今年5月份手机每台售价为m元，则去年同期每台售价为（m+100）元，
根据题意得：，
解得：m=4000，
经检验，m=4000是原方程的根且符合题意．
答：今年5月份手机每台售价为4000元．
（2）设生产手机x台，则生产笔记本电脑（15-x）台，
根据题意得：，
解得：6≤x≤1，
∴x的正整数解为6、7、8、9、1．
答：共有5种生产方案．
（3）设总获利为w元，
根据题意得：w=（4000-3500）x+（3800-20-a）（15-x）=（a-2）x+12000-15a．
∵w的值与x值无关，
∴a-2=0，即a=2．
当a=2时，最大利润为12000-15×2=7500元．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据数量关系，找出w关于x的函数关系式．
25、（1）①C（4，4）；②12；（2）存在，1
【解析】
试题分析：（1）①联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的坐标；
②欲求△OAC的面积，结合图形，可知，只要得出点A和点C的坐标即可，点C的坐标已知，利用函数关系式即可求得点A的坐标，代入面积公式即可；
（2）在OC上取点M，使OM=OP，连接MQ，易证△POQ≌△MOQ，可推出AQ+PQ=AQ+MQ；若想使得AQ+PQ存在最小值，即使得A、Q、M三点共线，又AB⊥OP，可得∠AEO=∠CEO，即证△AEO≌△CEO（ASA），又OC=OA=4，利用△OAC的面积为6，即可得出AM=1，AQ+PQ存在最小值，最小值为1．
（1）①由题意，
解得所以C（4，4）；
②把代入得，，所以A点坐标为（6，0），
所以；
（2）由题意，在OC上截取OM＝OP，连结MQ
∵OQ平分∠AOC，
∴∠AOQ=∠COQ，
又OQ=OQ，
∴△POQ≌△MOQ（SAS），
∴PQ=MQ，
∴AQ+PQ=AQ+MQ，
当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ+MQ最小．
即AQ+PQ存在最小值．
∵AB⊥ON，所以∠AEO=∠CEO，
∴△AEO≌△CEO（ASA），
∴OC=OA=4，
∵△OAC的面积为12，所以AM=12÷4=1，
∴AQ+PQ存在最小值，最小值为1．
考点：一次函数的综合题
点评：本题知识点多，具有一定的综合性，要求学生具备一定的数学解题能力，有一定难度．
26、（1），；（2）该镜片的焦距为．
【解析】
（1）根据图表可以得到眼镜片的度数与焦距的积是一个常数，因而眼镜片度数与镜片焦距成反比例函数关系，即可求解；
（2）在解析式中，令y=500，求出x的值即可．
【详解】
（1）根据题意，设与的函数表达式为
把，代入中，得
∴与的函数表达式为．
（2）当时，
答：该镜片的焦距为．
考查了反比例函数的应用，正确理解反比例函数的特点，两个变量的乘积是常数，是解决本题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
眼镜片度数（度）
…
镜片焦距（厘米）
…