自招必备：华师大二附中高中物理自主招生内部讲义

这是一份自招必备：华师大二附中高中物理自主招生内部讲义，共141页。学案主要包含了高考部分，自招拓展题目，自招拓展版块，自招板块，知识要点，运动的合成与分解，相对运动，解题思路与技巧等内容，欢迎下载使用。
这部分内容虽然是第一章，但变化多端，不可轻视！
【高考部分】
A
B
C
F
1．如图，两长度均为5m的轻杆AB、BC，处在同一竖直平面内，A、B、C三处均用铰链连接，其中A、C两点在同一水平面上且相距6m。现在BC杆的中点处施加一水平作用力F＝36N，整个装置仍保持静止不动，则AB杆对B处铰链的作用力大小为________N。若持续增大力F，整个装置仍保持静止，则在此过程中，BC杆对C处铰链的作用力的方向的变化情况为_____________（选填“顺时针转动”、“保持不变”或“逆时针转动”）。
2．如图，OA是一根长为L＝0.3m的轻质硬杆，其一端通过光滑铰链与竖直光滑墙面连接，另一端A固定一质量均匀分布的球B，O′点为球心，O、A、O′三点在一条直线上，B球半径为r＝0.2m，质量为M＝3.0kg。矩形物块C的厚度为d＝0.1m，质量为m＝2.0kg，物块与球面间的动摩擦因数为μ＝0.4。现在物块下端施加一个竖直向上、大小为30N的力F，使物块保持静止。g＝10m/s2。求：
（1）B球对物块C的摩擦力和压力的大小；
（2）撤去力F后，B球对物块C的摩擦力大小。
3.在一些重型机械和起重设备上，常用双块式电磁制动器，它的简化示意图如图所示，O1和O2为固定铰链.在电源接通时，A杆被往下压，通过铰链C1、C2、C3使弹簧S被拉伸，制动块B1、B2与转动轮D脱离接触，机械得以正常运转.当电源被切断后，A杆不再有向下的压力(A杆及图中所有连杆及制动块所受重力皆忽略不计)，于是弹簧回缩，使制动块产生制动效果.此时O1C1和O2C2处于竖直位置.已知欲使正在匀速转动的D轮减速从而实现制动，至少需要M=1100N·m的制动力矩，制动块与转动轮之间的摩擦因数μ=0.40，弹簧不发生形变时的长度为L=0.300m，转动轮直径d=0.400m，图示尺寸a=0.065m，h1=0.245m，h2=0.340m，问选用的弹簧的劲度系数k最小要多大?(第十三届全国中学生物理竞赛预赛试题)
4.如图所示，均匀木板AB长12 m，重200 N，在距A端3 m处有一固定转动轴O，B端被绳拴住，绳与AB的夹角为30°，板AB水平.已知绳能承受的最大拉力为200 N，那么重为600 N的人在该板上安全行走，离A端的距离应在什么范围？
5.如图所示，梯与墙之间的摩擦因数为μ1，梯与地之间的摩擦因数为μ2，梯子重心在中央，梯长为L.当梯子靠在墙上而不倾倒时，梯与地面的最小夹角θ由下式决定：tanθ=，试证之.
整体法隔离体法
1．如图所示，光滑的金属球B放在纵截面为等腰三角形的物体A与竖直墙壁之间，恰好匀速下滑，已知物体A的重力是B的重力的6倍，不计球跟斜面和墙壁之间摩擦，问：物体A与水平面之间的动摩擦因数μ是多少？

2．用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图所示。今对小球a持续施加一个向左偏下30°角的恒力，并对小球b持续施加一个向右偏上300角的大小相等的恒力，最后达到平衡状态。表示平衡状态的图可能是右图中的（ ）

3.如图所示，水平放置的两固定光滑硬杆OA、OB成θ角，在两杆上各套一轻环P、Q，两环用细绳相连.现用一大小为F的恒力沿OB方向拉圆环Q，当两环处于平衡状态时，绳子的拉力大小为______.
光滑
粗糙
4．有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示，现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和细绳上的拉力F的变化情况是（ ）
A．FN不变，F变大 B．FN不变，F变小 C．FN变大，F变小 D．FN变大，F变大
5．如图所示，相互垂直的光滑挡板PO、OQ被竖直固定放置在重力场中，a、b为质量相同的小颗粒（可看成质点），相互间存在大小与距离平方成反比的斥力作用，方向沿a、b连线。当力F水平向左作用于b时，a、b处于静止状态。现若稍增大力F，且使b稍有移动，则当则a、b重新处于静止状态时重新（）
（A）a对b的作用力大小增大，
（B）a对b的作用力大小减小
（C）OQ面板对b的支持力大小不变
（D）OQ面板对b的支持力大小增大
6．如图，A
一容器两端是直径不同的两个圆筒，里面各有一个活塞，活塞横截面积分别是SA＝8cm2，SB＝24cm2，质量分别为MA＝8kg，MB＝12kg，它们之间用一轻杆相连并保持平衡，活塞与圆筒壁间无摩擦，活塞B的下面和大气相通，活塞A的上面是真空。若大气压强p0＝1×105Pa，重力加速度g＝10m/s2，则被封闭气体的压强为_____________Pa；若略微降低桶内气体的温度，重新平衡后，桶内气体压强将__________（选填“变大”、“不变”或“变小”）。
摩擦力压力相关的平衡
1．在水平地面上放一木板B，重力为G2=100N，再在木板上放一货箱A，重力为G1=500N，设货箱与木板、木板与地面的动摩擦因数μ均为0.5，先用绳子把货箱与墙拉紧，如图所示，已知tgθ=3/4，然后在木板上施一水平力F，想把木板从货箱下抽出来，F至少应为多大？（Fmin= 413.6N）
2．如图所示，细绳CO与竖直方向成30°角，A、B两物体用跨过滑轮的细绳相连，已知物体B所受到的重力为100N，地面对物体B的支持力为80N，试求：⑴物体A所受到的重力；⑵物体B与地面间的摩擦力；⑶细绳CO受到的拉力。
3．如图所示，在水平地面上放着两物体，质量分别为M与m，且M>m，它们与地面的动摩擦因数分别为μA与μB，一轻细线连接A和B。线与水平方向成α角，在物上加一水平力F，使它们做匀速直线运动，则（ ）
A．若μA=μB，则α角越大，F越大 B．若μAμB，则α越大，F越大
4 如图，半径为R的光滑球，重为G，光滑木块厚为h，重为G1，用至少多大的水平力F推木块才能使球离开地面？
【自招拓展题目】
1．重量为G的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？
2.如图所示，质量为m的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为，想用大小为F的力推动物体沿水平地面滑动，推力方向与水平面的夹角在什么范围内都是可能的?
答案:
3.如图所示，物块置于倾角为θ的斜面上，重为G，与斜面的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，与斜面的动摩擦因数为μ=/3，用水平外力F推物体，问当斜面的倾角变为多大时，无论外力怎样增大都不能使物体沿斜面向上运动?
4．有三个质量相等，半径为r的圆柱体，同置于一块光滑圆弧曲面上，为了使下面圆柱体不致分开，则圆弧曲面的半径R最大是多少？
5.在地面放置两个相互紧靠在一起的相同的圆柱形木头，在它们上面放置同样的圆木，如图所示。问圆木之间的摩擦因数μ最小值为多少时，它们才不会滚开?设圆木与地面间无滑动现象发生。
第二讲 物体的平衡（二）
高考部分
相似问题
1．光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图。现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A到B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小如何变化？
2．如图所示，竖直墙壁上固定一点电荷Q，一个带同种电荷q的小球P，用绝缘细线悬挂，由于两电荷之间的库仑斥力悬线偏离竖直方向θ角，现因小球所带电荷缓慢减少，试分析悬线拉力的大小如何变化?
3．如图所示，重为P和q的两个小圆环A和B，都套在一个竖直光滑的大圆环上，大圆环固定不动，长为L，质量不计的绳两端拴住A和B，然后挂在光滑的钉子′上，在圆环中心的正上方，整个系统平衡时，A和B到钉子距离分别为R和r，试证明：
4．一球重为G，固定的竖直大圆环半径为R，轻弹簧原长为L(L＜2R)，其劲度系数为，一端固定在圆环最高点，另一端与小球相连，小球套在环上，所有接触面均光滑，则小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角θ为多少？
滑轮绳子
1．如图所示，物体的质量为2kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=600的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围。
2.如图所示，跨过两个定滑轮的轻绳上系着三个质量分别为m1、m2和M的重物，两滑轮的悬挂点在同一高度，不计摩擦.求当整个系统处于平衡状态时，三个重物质量之间的关系.
3．如图所示，重为G的均匀链条。两端用等长的细线连接，挂在等高的地方，绳与水平方向成θ角。试求：⑴绳子的张力。⑵链条最低点的张力。
4．如图所示，一根柔软的轻绳两端分别固定在两竖直的直杆上，绳上用一光滑的挂钩悬挂一重物，AO段中张力大小为T1，BO段张力大小为T2。现将右固定端由B沿杆慢移到B′点的过程中，关于两绳中张力大小的变化情况为（ ）
A．T1变大，T2减小 B．T1减小，T2变大
C．T1、T2均变大 D．T1、T2均不变
力矩问题
1.如图所示，A、B是两个完全相同的长方形木块，长为l，叠放在一起，放在水平桌面上，端面与桌边平行.A木块放在B上，右端有伸出，为保证两木块不翻倒，木块B伸出桌边的长度不能超过().
(A)(B)(C)(D)
2.如图所示，一个质量为m、半径为R的球，用长为R的绳悬挂在L形的直角支架上，支架的重力不计，AB长为2R，BC长为，为使支架不会在水平桌面上绕B点翻倒，应在A端至少加多大的力？
答案:
3.棒AB的一端A固定于地面，可绕A点无摩擦地转动，B端靠在物C上，物C靠在光滑的竖直墙上，如图所示.若在C物上再放上一个小物体，整个装置仍保持平衡，则B端与C物之间的弹力大小将().
(A)变大(B)变小(C)不变(D)无法确定
答案:A
4.如图所示，质量为m的运动员站在质量为m的均匀长板AB的中点，板位于水平地面上，可绕通过A点的水平轴无摩擦转动.板的B端系有轻绳，轻绳的另一端绕过两个定滑轮后，握在运动员的手中.当运动员用力拉绳子时，滑轮两侧的绳子都保持在竖直方向，则要使板的B端离开地面，运动员作用于绳的最小拉力是______.
答案:
图3-3
5.如图3-3所示，长为L质量为m的均匀木棒，上端用绞链固定在物体上，另一端放在动摩擦因数为μ的小车平台上，小车置于光滑平面上，棒与平台的夹角为θ，当：
（1）小车静止时，求棒的下端受小车的支持力；
（2）小车向左运动时，求棒的下端受小车的支持力；
（3）小车向右运动时，求棒的下端受小车的支持力.
6.两个所受重力大小分别为GA和GB的小球A和B，用细杆连接起来，放置在光滑的半球形碗内.小球A、B与碗的球心O在同一竖直平面内，如图所示.若碗的半径为R，细杆的长度为，GA>GB，则连接两小球的AB细杆静止时与竖直方向的夹角为多大?
答案:
7.如图所示，一根重为G的均匀硬杆AB，杆的A端被细绳吊起，在杆的另一端B作用一水平力F，把杆拉向右边，整个系统平衡后，细线、杆与竖直方向的夹角分别为α、β求证:tanβ=2tanα.
答案:略
【自招拓展版块】
1如图所示，有一长为L，重为G0的粗细均匀杆AB，A端顶在竖直的粗糙的墙壁上，杆端和墙壁间的摩擦因数为μ，B端用一强度足够大且不可伸长的绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁C点，木杆处于水平，绳和杆夹角为θ。
（1）求杆能保持水平时，μ和θ应满足的条件；
θ
C
A
B
（2）若杆保持平衡状态时，在杆上某一范围内，悬挂任意重的重物，都不能破坏杆的平衡状态而在这个范围以外，则当重物足够重时，总可以使平衡破坏，求出这个范围来。
2如图所示，三个完全相同的圆柱体叠放在水平桌面上。将C柱体放上去之前，A、B两柱体接触，但无挤压。假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的动摩擦因数为μ。若系统处于平衡状态，μ0和μ必须满足什么条件？
A
B
C
A
B
F
h
h
3、如图所示，方桌重100N，前后脚与地面的动摩擦因数为0.20，桌的宽与高相等。求：（1）要使方桌匀速前进，则拉力F、地面对前、后脚的支持力和摩擦力各是多大？（2）若前、后脚与地面间的静摩擦因数为0.60。在方桌的前端用多大水平力拉桌子可使桌子以前脚为轴向前翻倒？
37°
C
A
O
B
4、如图所示，重30N的均匀球放在斜面上，球面上C点以绳系住，绳与地面平行，求绳的拉力，斜面对球的支持力和摩擦力。
5.两个所受重力大小分别为GA和GB的小球A和B，用细杆连接起来，放置在光滑的半球形碗内.小球A、B与碗的球心O在同一竖直平面内，如图所示.若碗的半径为R，细杆的长度为，GA>GB，则连接两小球的AB细杆静止时与竖直方向的夹角为多大?
6.如图所示，一根重为G的均匀硬杆AB，杆的A端被细绳吊起，在杆的另一端B作用一水平力F，把杆拉向右边，整个系统平衡后，细线、杆与竖直方向的夹角分别为α、β求证:tanβ=2tanα.
7. 三根重均为G、长均为a的相同均匀木杆（其直径d≪a）如图对称地靠在一起，三木杆底端间均相距a，求：（1）A杆顶端所受作用力的大小和方向，（2）若有一重为G的人坐在A杆中点处，则A杆顶端所受作用力的大小和方向又如何？
8、如图所示，半圆柱体重G，重心C到圆心O的距离a＝ EQ \F(4R,3π) ，其中R为圆柱体半径，如果半圆柱体与水平面间的摩擦因数为μ，求半圆柱体被拉动时所偏过的角度θ。
F
α
9、如图所示，对均匀细杆的一端施力F，力的方向垂直于杆．要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬起，试求杆与地面间的最小摩擦因数．
10、如图所示，一张桌子长为L＝1 m、高为H＝0.8 m，重为G＝200 N，重心在桌面正中之下方，离桌底高为h＝0.6 m，桌放在倾角为＝37°的斜面上，可绕过桌腿A端的水平轴转动，现在桌面上施一平行于桌面的力F，为使桌子能翻转，求力F的大小。
L
L
L
O
A
B
C
F
11、如图所示，┏型均匀杆总长为3L，在竖直平面内可绕水平轴O转动，若在杆的右端A点加一方向竖直向下的力F，使杆顺时针缓慢转动。在AB杆由水平转过90°的过程中，以下说法正确的是：（ ）
(A)力F不变
(B)力F变大
(C)力F的力矩变小
(D)力F的力矩先变大后变小。
12如图所示，重为G的圆盘与一轻杆相连，杆与盘恰相切，支于杆上的O点，用力F竖直向下拉杆的另一端，使该端缓慢向下转动，则杆转到竖直之前，拉力F及其力矩M的变化是（ ）。
（A）M变小，F不变
（B）M、F均变小
（C）M先变大再变小，F始终变大
（D）M变小，F变大
13、一均匀直角三角形木板a b c，可绕垂直纸面通过c点的水平轴无摩擦转动，如图2-4-10所示，现用一始终沿直角边ba且作用于a点的力F，使bc边缓慢地由水平位置转至竖直位置，在此过程中，力F的大小随a角变化的图线是（）。
14.图中是用电动砂轮打磨工件的装置，砂轮的转轴过图中O点垂直于纸面，AB是一长度l=0.60m、质量m1=0.50kg的均匀刚性细杆，可绕A端的固定轴在竖直面（图中纸面）内无摩擦地转动，工件C固定在AB杆上，其质量m2=1.50kg ，工件的重心、工件与
砂轮的接触点P以及O点都在过AB中点的竖直线上，P到AB杆的垂直距离d=0.10m，AB杆始终处于水平位置，砂轮与工件之间的动摩擦因数m=0.60。
（1）当砂轮静止时，要使工件对砂轮的压力F0=100N，则施于B端竖直向下的力FB应是多大？
（2）当砂轮逆时针转动时，要使工件对砂轮的压力仍为F0=100N ，则施于B端竖直向下的力FB应是多大？
15、有一质量为m=50kg的杆，竖立在水平地面上，杆与地面间的最大静摩擦因数为μ=0.3，杆的上端被固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角θ=30°。
①若以水平力F作用于杆上，作用点到地面的距离h为杆长L的2/5，要使杆不滑到，则力F最大不能超过多少？
②若将作用点移到h为杆长L的4/5处，情况又如何？
1.1.3第三讲 平衡问题总复习【自招板块】
F
θ
1．水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为μ。现对木箱施加一拉力F，使木箱沿地面做匀速直线运动。设F的方向与水平面夹角为θ，如图所示，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则（ ）
（A）F一直增大（B）F先减小后增大
（C）F的功率先减小后增大（D）F的功率一直减小
2．如图，楔形物A静置在水平地面上，其斜面粗糙，斜面上有小物块B。用平行于斜面的力F拉B，使之沿斜面匀速上滑。现把改变力F的方向至与斜面成一定的角度，仍使物体B沿斜面匀速上滑。在B运动的过程中，楔形物块A始终保持静止。关于相互间作用力的描述正确的有（ ）
(A) A给B摩擦力减小
(B)拉力F可能减小可能增大
(C)物体B对斜面的作用力不变
(D)地面受到的摩擦力大小可能变大
3.如图所示，有四块相同的滑块叠放起来置于水平桌面上，通过细绳和定滑轮相互联接起来.如果所有的接触面间的摩擦系数均为μ，每一滑块的质量均为m，不计滑轮的摩擦.那么要拉动最上面一块滑块至少需要多大的水平拉力?如果有n块这样的滑块叠放起来，那么要拉动最上面的滑块，至少需多大的拉力?
V0
F
4.如图所示，水平面上固定着带孔的两个挡板，一平板穿过挡板的孔匀速向右运动，槽中间有一木块置于平板上，质量为m，已知木板左、右两侧面光滑，底面与平板之间摩擦因数为μ0，当用力F沿槽方向匀速拉动物体时，拉力F与摩擦力μmg大小关系是（ ）
A、F＞μmg B、F=μmg C、F＜μmg D、无法确定
5.如图所示，一轻绳跨过两个等高的轻定滑轮（不计大小和摩擦），两端分别挂上质量为m1=4kg和m2=2kg的物体，如图，在滑轮间绳上悬挂物体m为了使三个物体能保持平衡，则m的取值范围多大？
θ2
θ1
m1
m
m2
θ
6.如图所示，直角斜槽间夹角为90°，对水平面的夹角为θ，一横截面为正方形的物块恰能沿此槽匀速下滑。假定两槽面的材料和表面情况相同，试求物块与槽面间的滑动摩擦因数μ多大？
A
B
7、如图所示，长为L=5m的细绳两端分别系于竖直地面上相距X=4m的两杆的顶端A、B，绳上挂一光滑的轻质挂钩，下端连着一个重为G=12N的重物，平衡时绳中张力T等于多少牛顿？
…
F
1
2
3
4
n
8、如图所示，n个完全相同的正方体木块一个紧挨一个排列成一条直线放在水平地面上，正方体木块与水平地面的滑动摩擦因数为μ，现用一水平力F推第一块木块，使这n块木块一起做匀速直线运动，则第k块木块对第k+1块木块的作用力为多大？
9、如图所示，物体m在与斜面平行的拉力F作用下，沿斜面匀速上滑，在这过程中斜面在水平地面上保持静止。已知物体、斜面的质量分别为m、M，斜面倾角为θ，试求：（1）斜面所受地面的支持力；（2）斜面所受地面的摩擦力。
m
M
F
θ
10、如图所示，一个重为G的小环，套在竖直放置的半径为R的光滑大圆环上．有一劲度系数为k，自然长度为L(L＜2R)的轻弹簧，其上端固定在大圆环的最高点A，下端与小环相连，不考虑一切摩擦，则小环静止时弹簧与竖直方向的夹角θ为多大？
11、如图所示，一光滑三角支架，顶角为θ=45°，在AB和AC两光滑杆上分别套有铜环，两铜环间有细线相连，释放两环，当两环平衡时，细线与杆AB夹角60°，试求两环质量比M/m．
12、如图所示，用细绳拴住两个质量为m1、m2（m1＜m2）的质点，放在表面光滑的圆柱面上，圆柱的轴是水平的，绳长为圆柱横截面周长的1/4．若绳的质量及摩擦均不计，系统静止时，m1处细绳与水平夹角α是多少？
13、三根不可伸长的相同细绳，一端系在半径为r0的环1上，彼此间距相等．绳穿过半径为r0的第3个圆环，另一端用同样方式系在半径为2r0的圆环2上，如图所示．环1固定在水平面上，整个系统处于平衡．试求第2个环中心与第3个环中心之距离（三个环用同种金属丝制作，摩擦不计）

14、如图所示，一长L、质量均匀为M的链条套在一表面光滑,顶角为的圆锥上，当链条在圆锥面上静止时，链条中的张力是多少?

b
a
15、如图所示，一台轧钢机的两个滚子，直径各为d=50cm,以相反方向旋转，滚子间距离为a=0.5cm，如果滚子和热钢间的动摩擦因数为0.1，试求进入滚子前钢板的最大厚度。
16、如图所示，光滑半球壳直径为a，与一光滑竖直墙面相切,一根均匀直棒AB与水平成60O角靠墙静止，求棒长.
A
C
B

17、如图所示，在墙角处有一根质量为m的均匀绳，一端悬于天花板上的A点，另一段悬于竖直墙上的B点，平衡后最低点为C，测得绳长AC＝2CB，且绳B点附近的切线与竖直成角，则绳在最低点C处的张力和在A处的张力各为多大？
18如图1—17所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点,B端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ。试求铁链A端受的拉力FT。
F
F
45°
45°
A
A＇
B
B＇
C
C＇
D
D＇
E
E＇
P
P＇
19、如右图所示，一吊桥由六对竖直钢杆悬吊着，六对钢杆在水平桥面上分列两排，其上端分别挂在两根钢缆上。已知图中相邻两钢杆间距离均为9m，靠近桥面中心的钢杆长度为2m（即AA＇＝DD＇＝2m），BB＇＝EE＇，CC＇＝PP＇。若钢缆两端与水平方向成45°角且钢杆自重不计，为使每根钢杆能承受相同负荷，试求：每根钢杆长度应各为多少米？

20、如图所示，将两个质量均为m的小球用细线相连悬挂于O点。
（1）若用力F拉小球a，使其悬线Oa向右偏离竖直方向θ=30°角，且整个装置处于平衡状态
求力F的最小值并说明其方向。
（2）若在a球上施加符合（1）题条件的力F后，仍保持悬线Oa竖直，且使整个装置处于平衡
求在 b小球上施加的最小力的大小，并说明其方向。
F1
O
A
B
θ
21、如图所示，木棒的一端用一根足够短的绳子拴住悬挂在天花板上，另一端搁在滑动摩擦因数为μ的水平木板上，木板放在光滑的水平面上，若向右匀速拉出木板时的水平拉力为F1，向左匀速拉出时的水平拉力为F2，两种情况下，木棒与木板间的夹角均保持为θ不变，试比较F1和F2的大小？
B
A
F
θ
m
22．如图所示，木块m放在木板AB上，开始θ=0，现在木板A端 用一个竖直向上的力F使木板绕B端逆时针缓慢转动（B端不滑动）．在m 相对AB保持静止的过程中
A．木块m对木板AB的作用力逐渐减小
B．木块m受到的静摩擦力随θ呈线性增大
C．竖直向上的拉力F保持不变
D．拉力F的力矩先逐渐增大再逐渐减小
23、（俄罗斯奥林匹克试题）如图所示，三根相同的轻杆用铰链连接并固定在同一水平线上的A、B两点，AB间的距离是杆长的2倍，铰链C上悬挂一质量为m的重物，问：为使杆CD保持水平，在铰链D上应施的最小力F为多大？
A
B
C
D
m
A1
A2
A3
A4
A5
A6
B1
B2
B3
B4
B5
B6
24、（第六届预赛）有6个完全相同的刚性长条薄片AiBi（i=1，2…），其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量均不计，现将此6个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起Bi恰在碗口上，另一端小突起Ai位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将质量为m的质点放在薄片A6B6上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A6的距离，则薄片A6B6中点所受的（由另一薄片的小突起A1所施的）压力。
。
25. 图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图。AB 和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当AB杆绕A轴以恒定的角速度转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置。BC杆与CD杆都与水平方向成45°角，已知AB杆的长度为，BC杆和CD杆的长度由图给定。求此时C点加速度的大小和方向（用与CD杆之间的夹角表示）
第四讲 运动的基本概念、运动的合成与分解
【自招板块】
【知识要点】
平均速度：
瞬时速度：
平均加速度：
瞬时加速度：
【运动的合成与分解】
一个物体同时参与几个运动时，各个分运动可以看作是独立进行的，它们互不影响，物体的实际运动可以看成是这几个运动迭加而成的，这一原理叫运动的独立性原理。它是运动的合成与分解的依据。在进行运动的分解时，理论上，只要遵从平行四边形法则，分解是任意的，而实际中既要注意分速度有无实际意义，又要注意某一分速度能否代表所要求解的分运动的速度。分运动与分运动、分运动与合运动之间除遵从矢量运动算法则外，运动的同时性也是联系各个方向上的分运动和合运动的桥梁。
【例题1】一物体以大小为v1的初速度竖直上抛，假设它受到大小不变的恒定的空气阻力的作用，上升的最大高度为H，到最高点所用时间为t，从抛出到回到抛出点所用时间为T，回到抛出点速度大小为v2，求下列两个过程中物体运动的平均速度、平均速率、平均加速度。 （1）在上升过程中。 （2）整个运动过程中。
H
h
x0
x
v
v0
O
【例题2】高为H的灯柱顶部有一小灯，灯下有一高为h的行人由灯柱所在位置出发，沿直线方向在水平面上背离灯柱而去。设某时刻该人的行走速度为v0，试求此时行人头顶在地面的投影的前进速度v。
m
B
A
v
【例题3】如图所示，绳AB拉着物体m在水平面上运动，A端以速度v做匀速运动，问m做什么运动？
A
B
C
v
v
60°
【例题4】如图所示，两个相同的小球A、B通过轻绳绕过定滑轮带动C球上升，某时刻连接C球的两绳夹角为60°，A、B速度均为v，求此时C球的速度。
θ
B
A
【例题5】如图所示，一刚性杆两端各拴一小球A、B，A球在水平地面上，B球靠在竖直墙上，在两球发生滑动过程中，当杆与竖直夹角为θ时，A球速度为v，求此时B球的速度。
【练习】1、如图所示，细绳绕过定滑轮将重物m和小车连在一起，车以恒定速度v向右运动，当细绳与水平方向间的夹为θ时，重物上升的速度是多大？重物上升的速度和加速度如何变化？
θ
v
2、甲乙两船在静水中划行速度分别为v甲、v乙，两船从同一渡口过河，若甲船以最短时间过河，乙船以最短航程过河，结果两船在同一地点到岸，求两船过河时间之比。
3、如图所示，一个不透光的球壳内有一发光点，球壳可绕垂直于纸面的水平轴以角速度ω匀速转动，由于球壳上开一小孔，因而有一细束光线在竖直面内转动，在离转轴距离为d处有一竖直墙，当光线与屏幕夹角为θ时，屏上光斑速度为多大？
θ
d
ω
1
2
3
4、如图所示，滑轮组中的小物体1、2向下的加速度分别为a1、a2，求物体3向上运动的加速度。
5、如图所示，有一河面宽L=1km，河水由北向南流动，流速v=2m/s，一人相对于河水以u=1m/s的速率将船从西岸划向东岸。
（1）若船头与正北方向成α=30°角，船到达对岸要用多少时间？到达对岸时，船在下游何处？
（2）若要使船到达对岸的时间最短，船头应与岸成多大的角度？最短时间等于多少？到达对岸时，船在下游何处？
L
北
东
（3）若要使船相对于岸划行的路程最短，船头应与岸成多大的角度？到达对岸时，船在下游何处？要用多少时间？
相对运动与相关速度
【相对运动】
运动的合成包括位移、速度和加速度的合成。一般情况下把质点对地面上静止的物体的运动称为绝对运动，质点对运动参照系的运动称为相对运动，而运动参照系对地的运动称为牵连运动，由坐标系的变换公式
可得到 。
位移、加速度也存在类似关系。
运动的合成与分解，一般来说包含两种类型，一类是质点只有绝对运动，如平抛物体的运动；另一类则是质点除了绝对运动外，还有牵连运动，如小船过河的运动。解题中难度较大的是后一类运动。求解这类运动，关键是列出联系各速度矢量的关系式，准确地作出速度矢量图。
【例题1】如图所示，两个边长相同的正方形线框相互叠放，且沿对角线方向，A有向左的速度v，B有向右的速度2v，求交点P的速度。
v
2v
A
B
P
【例题2】一人以7m/s的速度向北奔跑时，感觉风从正西北方向吹来，当他转弯向东以1m/s的速度行走时，感觉风从正西南方向吹来，求风速。
B
d
A
β
v1
【例题3】 一人站在到离平直公路距离为d=50m的B处，公路上有一汽车以v1=10m/s的速度行驶，如图所示。当汽车在与人相距L=200m的A处时，人立即以v2=3m/s的速率奔跑。为了使人跑到公路上时，能与车相遇。问：（1）人奔跑的方向与AB连线的夹角θ为多少？（2）经多长时间人赶上汽车？（3）若其它条件不变，人在原处开始匀速奔跑时要与车相遇，最小速度为多少？
【练习】1、一艘船在河中逆流而上，突然一只救生圈掉入水中顺流而下。经过t0时间后，船员发现救生圈掉了，立即掉转船头去寻找丢失的救生圈。问船掉头后要多长时间才能追上救生圈？
O
1
2
v2
v1
θ
2、平面上有两直线夹角为θ（θ0，β>0），求飞机上升到H高空的最小耗油量Q和所对应的加速度。
【练习】1、一物体做匀加速度直线运动，在某时刻的前t1（s）内的位移大小为s1（m），在此时刻的后t2（s）内的位移大小为s2（m），求物体加速度的大小。
2、一皮球自h高处自由落下，落地后立即又竖直跳起，若每次跳起的速度是落地速度的一半，皮球从开始下落到最后停止运动，行驶的路程和运动的时间各是多少？（不计空气阻力，不计与地面碰撞的时间）
3、一固定的直线轨道上A、B两点相距L，将L分成n等分，令质点从A点出发由静止开始以恒定的加速度a向B点运动，当质点到达每一等分段时它的加速度增加，试求质点到达B点时的速度vB
4、如图所示，在倾角为θ的光滑斜面顶端有一质点A自静止开始自由下滑，与此同时在斜面底部有一质点B自静止开始以加速度a背向斜面在光滑的水平面上向左运动。设A下滑到斜面底部能沿光滑的小弯曲部分平稳地向B追去，为使A不能追上A
B
θ
B，试求a的取值范围。
5、地面上一点有物体甲，在甲的正上方距地面H高处有物体乙，在从静止开始释放乙的同时，给甲一个初速度竖直上抛，问（1）为使甲在上升阶段与乙相遇，初速度v0为多大？（2）为使甲在下落阶段与乙相遇，初速度v0又为多大？
抛物的运动
【知识要点】
抛物运动——物体在地面附近不大的范围内仅在重力作用下的运动。
平抛运动——物体水平抛出后的运动。
斜抛运动——物体斜向上或斜向下抛出后的运动。
平抛和斜抛运动的物体只受恒定的重力作用，故物体作匀变速曲线运动，其加速度为重力加速度g。
抛体运动的求解必须将运动进行分解，一般情况下是分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的竖直上抛运动，则有：
在水平方向 ，
在竖直方向 ，
上式中，当θ=0°时，物体的运动为平抛运动。
求解抛物运动，还可以采用其它的分解方法，比如将斜抛运动分解为初速度方向的匀速运动和竖直方向上的自由落体运动。
抛物运动是一般匀变速曲线运动的一个特例，其求解方法也是求解一般匀变速曲线运动的基本方法。尽管物体速度方向是在不断变化的，但其速度变化的方向只能在合力即重力的方向上，因此其速度变化的方向总是竖直向下的。
抛物运动的共同特点是加速度相同，因此，当研究多个抛体的运动规律时，以自由落体为参照物，则各物体的运动均为匀速直线运动，这种选择参照物的方法，能大大简化各物体运动学量之间的联系，使许多看似复杂的问题简单、直观。
【例题1】如图所示，A、B两球之间用长L=6m的柔软细绳相连，将两绳相隔t0=0.8s先后从同一地点抛出，初速均为v0=4.5m/s，求A球抛出多长时间后，连线被拉直，在这段时间内A球离抛出点的水平距离多大？（g=10m/s2）
A
B
【例题2】在与水平成θ角的斜坡上的A点，以初速度v0水平抛出一物体，物体落在同一坡上的B点，如图所示，不计空气阻力，求：（1）物体的飞行时间及A、B间距离；
θ
v0
B
（2）抛出后经多长时间物体离开斜面的距离最大，最大距离多大？
【例题3】如图所示，树上有一只小猴子，远处一个猎人持枪瞄准猴子，当猎枪击发时猴子看到枪口的火光后立即落下，不考虑空气阻力，已知猴子开始离枪口的水平距离为s，竖直高度为h，试求当子弹初速度满足什么条件时，子弹总能击中猴子。
θ
s
v0
h
【练习】 1、飞机以恒定的速度沿水平方向飞行，距地面高度为H。在飞行过程中释放一个炸弹，经过时间t，飞行员听到炸弹着地后的爆炸声。设炸弹着地即刻爆炸，声速为v0，不计空气阻力，求飞机的飞行速度v。
20m
30m
2、如图所示，在离竖直墙壁30m的地面，向墙壁抛出一个皮球，皮球在高10m处刚好与墙壁垂直碰撞，反弹后落到离墙20m的地面，取g=10m/s2，求皮球斜抛初速度和落回地面时的速度。
3、某同学在平抛运动实验中，得出如图所示轨迹，并量出轨迹上a、b两点到实验开始前所画竖直线的距离，，以及ab间竖直高度h，求平抛小球的初速度。
X1
X2
a
b
a/
b/
h
4、地面上的水龙头按如图所示的方式向上喷水，所有水珠喷出的初速度v0的大小相同，但喷射角在0°到90°范围内不等。若喷出后水束的最高位置距地面5m，试求水束落地时的圆半径。
O
v
A
B
h
H
5、从高H的一点O先后平抛两个小球1和2，球1直接恰好越过竖直挡板A落到水平地面上的B点，球2与地面碰撞一次后，也恰好越过竖直挡板并落在B点，如图所示。设球2与地面碰撞遵循的规律类似反射定律，且反弹速度大小与碰撞前相同，求竖直挡板的高度h。
3m
18m
6、如图所示，排球场总长为18m，设球网高2m，运动员站在离网3m的线上（如图中虚线所示）正对网前跳起将球水平击出，球飞行中阻力不计，取g=10m/s2。（1）设击球点在3m线正上方且高度为2.5m，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？（2）若击球点在3m线正上方的高度小于某个值，那么无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度。
7、在掷铅球时，铅球出手时离地面高度为h，若出手时速度为v0，求以何角度掷铅球时，铅球水平射程最远，最远射程多少？
质点的圆周运动、刚体的定轴转动
【知识要点】
1、质点的圆周运动：
A
B
△v
△v2
△v1
做圆周运动的质点，速度不仅大小可以变化，方向也在不断变化，如图所示，质点在沿圆周由A到B的过程中，其速度的增量。其瞬时加速度：
上式中，为法向加速度，它描述速度方向的变化快慢，大小为；为切向加速度，它描述速度大小的变化快慢。对匀速圆周运动而言，=0，而对一般曲线运动，，式中为质点所在位置的曲线的曲率半径。
2、刚体的定轴转动
刚体定轴转动时，其上各点都绕转轴做圆周运动，且各点的角位移θ、角速度ω、角加速度β都相同。
，
当β为常量时，刚体做匀变速转动，其运动规律可类比于匀变速直线运动，因而有：
做定轴转动的刚体，其上一点（到转轴的距离为R）的线速度v、切向加速度、向心加速度与刚体的角速度ω和角加速度β的关系是：
， ，
匀速圆周运动是一种周期性运动，其规律的描述不同于匀变速运动。在圆周运动中，位移、速度与时间的关系再不是研究的重点，其重点是研究周期、角速度、速率、半径等物理量与加速度的联系。从而进一步研究运动和力的关系。在一般圆周运动中，要注意加速度一方面描述了速度大小的变化快慢，另一方面又描述了速度方向的变化快慢。
F
P
O
【例题1】如图所示，小球P与穿过光滑水平板中央小孔的轻绳相连，用手拉着绳子另一端使P在水平板内绕O作半径为a、角速度为ω的匀速圆周运动，求：（1）若将绳子从这个状态迅速放松，后又拉直，使P绕O作半径为b的圆周运动，从放松到拉直经过多少时间？（2）P作半径为b的圆周运动的角速度为多大？
【例题2】某飞轮转速为600r/min，制动后转过10圈而静止。设制动过程中飞轮做匀变速转动。试求制动过程中飞轮角加速度及经过的时间。
【例题3】O
v
R
如图所示，有一个绕着线的线轴放在水平桌面上，线轴可在桌面上做无滑动的滚动。线轴轮和轴的半径分别为R和r，如果以不变的速度v水平向右拉动线头，求线轴运动的速度。
【练习】
1、在平直轨道上匀速行驶的火车，机车主动轮的转速是车厢从动轮转速的3/5，主动轮轮缘上的各点的向心加速度与从动轮轮缘上各点的向心加速度分别为a1，a2，求a1/a2的值。
2、机械手表中分针与秒针可视为匀速转动，两针从重合到再次重合，中间经历的时间为多少分钟？
3、如图所示，定滑轮半径为r=2cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物的加速度a=2m/s2，在重物下落1m瞬间，滑轮边缘上的点角速度为多大？向心加速度为多大？
4、边长为a的正三角形板的水平面内朝一个方向不停地作无滑动的翻滚，每次翻滚都是绕着一个顶点（如图中的A点）转动，转动角速度为ω常量。当一条边（例如AB边）触地时又会立即绕着另一个顶点（如B点）继续作上述转动。
（1）写出（不必写推导过程，以下各问相同）三角板每顶点的平均速率；
（2）画出图中三角板的顶点C在T=2π/ω时间内的运动轨道。
A
B
C
ω
A
B
C
D
M
ω
ω
5、如图所示，AC、BD两杆以匀角速度ω分别绕相距为L的A、B两固定轴沿图示方向在同一竖直面上转动。小环M套在两杆上，t=0时图中α=β=60°，试求在以后的任意时刻（M未落地前的时刻）M运动的速度大小和加速度大小。
x
y
O
6、xy平面上有一圆心在坐标原点、半径为R的圆，在y轴上放有一细杆。从t=0开始，整根杆朝x轴正方向以v0的速度匀速运动，试求在细杆尚未离开圆周前它与圆周在第Ⅰ象限的交点沿圆周移动的向心加速度与时间的关系。
7、如图所示，细杆长为L，它的端点A被约束在竖垂轴y上运动，端点B被约束在水平轴x上运动。 （1）试求杆上与A端相距aL（0＜a＜1)的P点的运动轨迹；
vA
A
P
B
L
x
y
θ
O
（2）若AB杆处于圆中θ角方位时，A端竖直向下的速度为vA，试确定P点的分运动的速度vPx和vPy.
（a）
（b）
（c）
8、在暗室里，一台双叶电扇（如图A）绕O轴顺时针方向转动，转速为50r/min，在闪光照射下。 （1）出现了稳定的如图B所示的图象，则闪光灯的频率（每秒闪光次数）的最大值是 次/秒。 （2）若出现了如图C所示的图象，即双叶片缓慢地逆时针转动，这时闪光灯的频率略大于 次/秒。
第六讲 牛顿运动定律（动力学）
【知识要点】
1、牛顿运动定律的内容：
牛顿第一定律：内容（略）；它反映了物体不受力时的运动状态：静止或匀速直线运动
质量是惯性大小的唯一量度。
牛顿第二定律：内容（略）；数学表达式：F合=ma。
适用范围：惯性系。
三性：矢量性；瞬时性；独立性。
牛顿第三定律：内容（略）；表达式：；适用于惯性系，也适用于非惯性系。
牛顿运动定律只适用于宏观、低速的机械运动。
2、物体初始条件对物体运动情况的影响
在受力相同的情况下，物体的初始条件不同，物体的运动情况也不同。如抛体运动，均只受重力作用，但初速度方向不同，运动情况就不同（平抛、斜抛、竖直上抛）；受力情况只决定物体的加速度。物体的运动情况必须将物体的受力情况和初速度结合一起加以考虑。
3、联接体
联接体是指在某一种力的作用下一起运动的两个或两个以上的物体。解题中要根据它们的运动情况来找出它们的加速度的关系，寻找的方法一般有两种，一种方法是从相对运动的角度通过寻找各物体运动的制约条件，从而找出各物体运动的相对加速度间的关系；另一种方法是通过分析极短时间内的位移关系，利用做匀变速运动的物体在相同时间内位移正比于加速度这个结论，找到物体运动的加速度之间的关系。
【解题思路与技巧】
牛顿运动定律建立了物体的受力和物体运动的加速度之间的关系。因此，应用时分析物体的受力情况和运动情况尤为重要。同时，要注重矢量的合成和分解。相对运动等知识的灵活运用，从而找出各物体的受力与它的加速度之间的关系。
高考版块
Eg1.瞬时问题
如图所示，质量为M的木箱放在水平地面上，一轻质弹簧上端固定在木箱的顶板上，下端拴一个质量为m的小球，今使小球上下振动，振动过程中木箱始终未离开地面，当小球的加速度大小为时，木箱对地面的压力恰好为零。
练习1.如图所示，物块A、B、c质量分别为m、2m、3m，A与天花板间、B与C之间用轻弹簧相连，当系统平衡后，突然将AB间绳烧断，在绳断瞬间，A、B、C的加速度(以向下为正方向)分别为()。
(A)g，g，g(B)－5g，2.5g，0
(C)－5g，2g，0(D)－g，2g，3g
练习2.如图所示，一个轻弹簧，B端固定，另一端C与细绳一端共同拉着一个质量为m的小球，细绳的另一端A也固定，且AC、BC与竖直方向的夹角分别为θ1和θ2，则烧断细绳的瞬间，小球的加速度a1=______，弹簧在C处与小球脱开时小球的加速度a2=_____.
Eg2 整体局部问题
练习1.质量为m1、m2的两个物体用细绳相连，在力F作用下竖直向上加速提起，如图所示，则物体之间细绳受到的拉力大小为()
(A)F－m1g(B)F－(m1+m2)g
(C)(D)
练习2.质量为M的不光滑的三角形木块ABC放在水平粗糙地面上，∠BAC＝θ1，∠BCA＝θ2，在BA和BC上分别有质量为m1和m2的两个滑块，它们分别以加速度a1和a2滑下，而三角形木块保持静止不动，如图所示。求：(1)地面对三角形木块的静摩擦力的大小和方向。(2)地面对三角形木块的支持力的大小。
练习3.如图所示，两上下底面平行的滑块重叠在一起，置于固定的、倾角为θ的斜面上，滑块A、B的质量分别为M、m，A与斜面间的动摩擦因数为μ1，B与A之间的动摩擦因数为μ2.已知两滑块都从静止开始以相同的加速度从斜面滑下，滑块上B受到的摩擦力()
(A)等于零(B)方向沿斜面向上
(C)大小等于μ1mgcsθ(D)大小等于μ2mgcsθ
练习4.如图所示，在光滑水平而上有一质量为M的斜劈，其斜面倾角为α，一质量为m的物体放在其光滑斜面上，现用一水平力F推斜劈，恰使物体m与斜劈间无相对滑动，则斜劈对物块m的弹力大小为().
(A)mgcsα (B)
(C)(D)
练习5.如图所示，一条轻绳两端各系着质量为m1和m2的两个物体，通过定滑轮悬挂在车厢顶上，m1>m2，绳与滑轮的摩擦忽略不计.若车以加速度a向右运动,m1仍然与车厢地板相对静止，试问:(1)此时绳上的张力T.(2)m1与地板之间的摩擦因数μ至少要多大?
Eg3 传送带问题
练习1.如图所示，传送带与水平面夹角θ＝37°，并以v0＝10m/s速度运行，在传送带的A端轻轻地放一个小物体，若已知该物体和传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5，AB＝16m；则小物体从传送带A端到B端所需时间可能是(g取10m/s2)()。
(A)1.8s(B)2.0s(C)2.1s(D)4.0s
练习2.如图所示，倾角为α的传送带，以一定的速度将送料机送来的料——货物，传送到仓库里.送料漏斗出口P距传送带的竖直高度为H.送料管PQ的内壁光滑且有一定的伸缩性(即，在PQ管与竖直夹角θ取不同值时，通过伸缩其长度总能保持其出口Q很贴近传送带).为使被送料能尽快地从漏斗出口P点通过送料直管运送到管的出口Q点，送料直管与竖直方向夹角应取何值，料从P到Q所用时间最短，最短时间是多少?
练习3.如图所示，倾角为α=30°的传送带以恒定速率v=2m／s运动，皮带始终是绷紧的，皮带AB长为L=5m，将质量为m=1kg的物体放在A点，经t=2.9s到达B点，求物体和皮带间的摩擦力.
Eg4超重失重问题
如图所示，一密度为ρ0、重力为W1的铁块悬挂于弹簧秤S1上，并全部浸入密度为ρ的液体中，若液体及杯共重W2，全部置于磅秤S2上.(1)铁块平衡时，两秤示数各为多少?(2)若撤去弹簧秤，铁块在该液体中“自由下落”时，磅秤的示数是多少?
Eg5 临界问题
练习1.如图所示，光滑的圆球恰好放存木块的圆弧槽内，它们的左边接触点为A，槽半径为R，且OA与水平面成α角.球的质量为m，木块的质量为M，M所处的平面是水平的，各种摩擦及绳、滑轮的质量都不计.则释放悬挂物P后，要使球和木块保持相对静止，P物的质量的最大值是多少?
【自招拓展版块】
m
M
A
C
B
θ
【例题1】如图所示，质量为M=10kg的木楔ABC静止于粗糙的水平地面上，动摩擦因数μ=0.02。在木楔的倾角θ为30°的斜面上，有一质量m=1.0kg的物块由静止开始沿斜面下滑。当滑行路程s=1.4m时，其速度v=1.4m/s。在此过程中木楔没有动。求地面对木楔的摩擦力的大小和方向。（g=10m/s2）
m
m
A
B
2m
C
【例题2】如图所示，质量均为m的两物块A、B叠放水平桌面上，B与桌面之间的动摩擦因数为μ1，一根轻绳绕过一动滑轮和两个定滑轮水平拉动A、B。动滑轮下面挂一个质量为2m，的物体C，滑轮的质量和摩擦都可忽略。
（1）如果A、B之间的摩擦力足以保证它们不发生相对滑动，那么它们之间的摩擦力为多在？
（2）如果A、B之间的动摩擦因数为μ2，且μ2无法维持A、B相对静止，那A、B的加速度各为多大？
A
B
C
D
E
α
α
【例题3】如图所示，两斜面重合的木楔ABC和ADC的质量均为M，AD、BC两面成水平，E为质量等于m的小滑块，楔块的倾角为α，各接触面之间的摩擦均不计，系统放在水平台角上从静止开始释放，求两斜面未分离前小滑块E的加速度。
【练习】
m1
m2
1、如图所示，一轻绳两端各系重物m1和m2，挂在车厢内的定滑轮上，滑轮摩擦不计，m2＞m1，m2静止在车厢地板上，当车厢以加速度a向右作匀加速运动时，m2仍在原处不动。求此时m2对地板的压力为多大？这时m2与地板间的动摩擦因数至少为多大才能维持这种状态？
A
B
α
2、如图所示，尖劈A的质量为mA，一面靠在光滑的竖直墙上，另一面与质量为mB的光滑棱柱B接触，B可沿光滑水平面C滑动，求A、B的加速度aA和aB的大小及A对B的压力。
3、如图所示，A、B的质量分别为m1=1kg，m2=2kg，A与小车壁的静摩擦因数μ=0.5，B与小车间的摩擦不计，要使B与小车相对静止，小车的加速度应为多大？
A
B
A
B
C
45°
45°
4、如图所示，A、B两个楔子的质量都是8.0kg，C物体的质量为384kg，C和A、B的接触面与水平的夹角均为45°。水平推力F=2920N，所有摩擦均忽略不计。求：
（1）A和C的加速度。
（2）B对C的作用力的大小和方向。
m1
m2
5、如图所示，质量为M的光滑圆形滑块平放在桌面上，一细轻绳跨过此滑块后，两端各挂一个物体，物体质量分别为m1和 m2，绳子跨过桌边竖直向下，所有摩擦均不计，求滑块的加速度。
惯性力问题：
第七讲 力和直线运动【自招版块】
【知识要点】
1、直线运动的特点：
物体的s、v、a、在同一直线上，当与V同向时，V逐渐增大，物体做加速运动；当与V反向时，V逐渐减小，物体做减速运动。
2、恒力与直线运动：
（1）单个物体牛顿第二定律的分量式：
（2）物体系牛顿第二定律的分量式：
3、变力与直线运动：
（1）分段运动：
在实际问题中，有时由于制约物体运动的条件发生变化而导致物体在不同阶段的受力情况不同，这时我们可以将物体的运动分为几个阶段，虽然在物体运动的整个过程中受力的情况发生变化，但每一阶段的运动中物体却是受到恒力的作用，是做匀变速运动。
（2）变力作用下物体的运动情况分析：
将弹簧与物体相连时，在物体运动过程中，弹簧的弹力大小往往发生变化，这时我们要结合物体的受力及其速度来分析物体的运动情况，尤其要抓住合外力、速度的最小和最大的状态，及合外力、速度即将反向的状态进行分析。 （例题2）
（3）特殊变力作用下的直线运动：
中学阶段主要研究的特殊变力有：与时间成正比的变力；与位移成正比的变力。
4、临界状态分析法：
如果问题中涉及到临界状态，分析时要抓住物体运动状态变化的临界点，分析在临界点的规律和满足的条件。一般来说，当物体处于临界状态时，往往具有双重特征。如在某两个物体即将分离的临界状态，一方面相互作用的弹力为零（分离的特征），另一方面又具有相同的加速度（没有分离的特征）。 （练习2）
【解题思路和技巧】
物体做直线运动时，其速度、加速度、位移及物体所受到的合外力都在同一直线上。竞赛中经常出现物体运动过程中受力的变化，这时要抓住物体受力变化的特点，从而分析出物体运动情况的变化。同时，注重数学归纳法、数列等数学知识在物理解题中的应用。
v
【例题1】水平传送带长度为20m，以2m/s的速度作匀速运动，已知某物体与传送带间动摩擦因数为0.1，如图所示，求物体轻轻放到传送带一端开始到达另一端所需的时间（取g=10m/s2）
【例题2】如图所示，质量可以不计的弹簧，平行于水平面，左端固定，右端自由；物块停放在弹簧右端的位置O（接触但不相挤压）。现用水平力把物块从位置O推到位置A，然后由静止释放，物块滑到位置B静止。下列说法中正确的有（ ）
A、物块由A到B，速度先增大后减小，通过位置O的瞬时速度最大，加速度为零
A
O
B
B、物块由A到B，速度先增大后减小，通过A、O之间某个位置时速度最大，加速度为零
C、物块通过位置O以后作匀减速直线运动
D、物块通过A、O之间某个位置时，速度最大，随后作匀减速直线运动
【例题3】如图所示，A、B两木块质量分别为mA和mB紧挨着并排放在水平桌面上，A、B间的接触面是光滑的，且与水平面成θ角。A、B和水平桌面之间的静摩擦因数和动摩擦因数均为μ。开始时A、B均静止，现施一水平推力F作用于A，要使A、B向右加速运动且A、B之间不发生相对滑动，则（1）μ的数值应满足什么条件？
θ
A
B
F
（2）推力F的最大值不能超过多少？（不考虑转动）
【例题4】一固定的斜面，倾角θ=45°，斜面长L=2.00m。斜面下端有一与斜面垂直的挡板，一质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零。质点沿斜面下滑到斜面最低端与挡板发生弹性碰撞。已知质点与斜面间的动摩擦因数为μ=0.20。试求此质点从开始运动到与挡板发生第11次碰撞的过程中运动的总路程。
【练习】
A
B
C
D
h
1、有一个同学用如下方法测定动摩擦因数：用同种材料做成的AB、BD平面（如图所示），AB面为一斜面，高为h、长为L1。BD是一足够长的水平面，两面在B点接触良好且为弧形，现让质量为m的小物块从A点由静止下滑，到达B点后顺利进入水平面，最后滑到C点停止，并测量出BC=L2，小物块与两平面的动摩擦因数相同，由以上数据可以求出物块与平面间的动摩擦因数μ= 。
P
F
2、如图所示，一个弹簧台秤的秤盘和弹簧的质量都不计，盘内放一个质量m=12kg并处于静止的物体P，弹簧的劲度系数为k=300N/m，现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始始终向上作匀加速直线运动，在这过程中，头0.2s内F是变力，在0.2s以后的F是恒力，取g=10m/s2，则物体P做匀加速运动的加速度a的大小为 m/s2，F的最小值是 N，最大值是 N。
A
B
F
3、光滑水平桌面上的厚木板质量为M，它的上面有一个半径为R的球穴，如图所示，槽穴的深度为R/2；一个半径为R，质量为m的小球放在球穴中，A、B点是通过球心的竖直剖面中板面与球的接触点。试分析计算，沿水平方向作用于木板的力F至少多大，球才会从球穴中翻出来？
4、如图所示，质量M=8kg的小车放在水平光滑的平面上，在小车右端加一水平恒力F=8N。当小车向右运动的速度达到1.5m/s时，在小车前端轻轻地放上一个大小不计，质量为m=2kg的小物块，物块与小车间的动摩擦因数μ=0.2，小车足够长。求从小物块放上小车开始，经过t=1.5s小物块相对地通过的位移大小为多少？（g=10m/s2）
F
m
M
A
B
C
F
5、如图所示，小滑块A叠放在长为L=0.52m的平板B左端，B放在光滑水平桌面上。A、B两物体通过一个动滑轮和一个定滑轮和C物体相连，滑轮的摩擦和质量均不计。A、B、C三个物体的质量都是1kg，A、B之间的动摩擦因数为0.25。现用一个水平向左的恒力F拉B，经0.2s后A滑离B，求力F的大小。
v0
L
6、10个相同的扁木块一个紧挨一个地放在水平地面上，如图所示。每个木块的质量为m=0.4kg，长为L=0.50m。木块原来都静止，它们与地面间的静摩擦因数和动摩擦因数都为μ1=0.10。左边第一块木块的最左端放一块质量为M=1.0kg的小铅块，它与木块间的静摩擦因数和动摩擦因数都为μ2=0.20。现突然给铅块一个向右的速度v0=4.3m/s，使其在木块上滑行，试确定它最后是落在地面上还是停地哪一块木块上？（设铅块的大小可以忽略）
x
A
L0
B
v0
7、如图所示，物体A质量为m，吊索拖着A沿光滑的竖直杆上升，吊索跨过定滑轮B绕过定滑轮B绕在匀速转动的鼓轮上，吊索运动速度为v0，滑轮B到竖直杆的水平距离为L0，求当物体A到B所在水平面的距离为x时，绳子的张力大小是多少？
8、如图所示，一个厚度不计的圆环A，紧套在长度为L的圆柱体B的上端，A、B两者的质量均为m。A与B之间的最大静摩擦力与滑动摩擦力相同，其大小为kmg（k＞1）。B从离地H高处由静止开始落下，触地后能竖直向上弹起，触地时间极短，且无动能损失。B与地碰撞n次后，A与B分离。
（1）B与地第一次碰撞后，当A与B刚相对静止时，B下端离地面的高度为多少？
A
B
H
L
（2）如果H、n、k为已知，那么L应满足什么条件？
力和曲线运动
【知识要点】
1、物体做曲线运动的条件：
合外力F的方向与物体速度v的方向不在同一直线上。
2、恒力作用下的曲线运动
物体在恒力的作用下做曲线运动时，往往将这种曲线运动分解为两个方向上的直线运动。一种分解方法是沿初速度方向和合外力方向进行分解，可以分解为初速度方向的匀速直线运动和合外力方向的匀加速直线运动；另一种分解方法是沿着两个互相垂直的方向进行分解。
3、力和圆周运动
力是使物体的速度发生改变的原因，速度有大小和方向的变化，在速度方向上的外力改变速度的大小，而与速度方向垂直的外力改变速度的方向。在圆周运动中，是将物体所受的外力沿切向和法向进行分解，在切向上的外力改变速度的大小，而法向上的外力改变速度的方向（即向心力）。高中阶段对圆周运动的分析关键是找出向心力的来源。向心力是做圆周运动的物体在指向圆心方向外力的合力，它是以力的作用效果来命名的，可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或这些力的合力。匀速圆周运动的向
心力的计算公式是：
对于变速圆周运动，上述计算向心力的公式也适用，只是使用公式时必须用物体的瞬时速度代入计算。
4、天体运动
（1）天体的运动遵循开普勒三定律
第一定律：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个焦点上。
第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。即：
式中r为太阳和行星连线的距离，θ为行星的速度与太阳和行星连线之间的夹角。
第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相
等。即： 式中M为太阳质量，G为引力常量。
实际上，在某一中心天体的引力作用下，绕中心天体运动的物体，都遵循以上三定律，只需将太阳变为中心天体即可。
（2）天体运动的向心力是靠万有引力提供的
万有引力定律：①（内容略）；②公式：
注意：万有引力定律公式只适用于两个质点或者是两个质量均匀分布的球体之间的万有引力的计算。但当两个物体之间的距离远大于它们自身的线度时，可以将这两个物体当作两个质点。另外，质量均匀分布的球面对球面外质点的引力等同于把球面的质量集中于球心处的质点与球外质点的引力，而质量均匀分布的球面对球面内质点的引力等于零。
【例题1】 2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内，若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α=40°，已知地球半径为R，地球自转周期为T，地球表面重力加速度为g（视为常量）和光速c。试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）。
【例题2】 如图所示，一条不可伸长的轻绳长为L，一端用手握住，另一端系一质量为m的小球，今使手握的一端在水平桌面上做半径为R、角速度为ω的匀速圆周运动，且使绳始终与半径为R的圆相切，小球也将在同一水平面内做匀速圆周运动，小球和水平面之间有摩擦，求：（1）小球做匀速度圆周运动的线速度大小。（2）手对细绳做功的功率。（3）小球在运动过程中所受到的摩擦阻力的大小。
O
R
L
m
ω
A
B
【例题3】 某行星A自转周期为T，绕恒星B公转周期为3T，自转和公转方向如图所示，若在行星A表面看恒星B，看到B绕A转动的周期为多少？
【练习】1、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）。在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球质量为m1，B球质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度为v0。设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R，v0应满足什么关系？
A
B
O
2、长为L=0.4m的细绳，一端连接在O点的光滑轴上，另一端系一质量为m=0.5kg的小球，小球在竖直面内做圆周运动，如图所示，求：
（1）若球刚好能做圆周运动，在最高点A的速度为多大？
（2）将图中细绳换成不计重力的细杆，小球能做圆周运动，在A点的速度应满足什么条件？
（3）在上问中，小球在A点时，若杆对小球的作用力是拉力或推力，则在A点的速度分别满足什么条件？
（4）若小球以0.4m/s的速度绕O点做匀速圆周运动，那么小球在最高点A和最低点B时杆对小球的作用力各是多大？（取g=10m/s2）
O
x
y
P
A
F
v0
37°
3、在光滑的水平面内，一质量m=1kg的质点以速度v0=10m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向的恒力F=5N作用，直线OA与x轴成37°角，如图所示，求：（1）如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，则质点从O到P点所经历的时间以及P点的坐标。（2）质点经过P点时的速度。
4、如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面起动后，以加速度g/2竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为起动前压力的17/18，已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度。（g为地面附近的重力加速度）
5、一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ=30°，如图所示，一条长度为L的细绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可视为质点）。物体以速率v绕圆
锥体的轴线做水平面上的匀速圆周运动。（1）当时，求绳对物体的拉力。
O
L
θ
（2）当时，求绳对物体的拉力。
6、如图所示，在光滑水平面上放着一个质量为M=3kg的木块（可视为质点），在木块正上方1m处有一固定的悬点O，在悬点和木块之间用一根长2m，不可伸长的轻绳连接。现给木块一水平推力F=24N，作用0.5秒后撤去，最后木块将绕O点在竖直平面内做圆周运动。（g=10m/s2）求：（1）木块以多大速度脱离水平面？（2）当木块运动到最高点时，它对轻绳的拉力为多大？
O
A
B
C
v
α
7、长为2L的轻质杆AB，在其中点固定一个质量为m的小球C，现使A端不脱离墙面，B端在地面上以速度v向右匀速运动，如图所示，试求当杆与墙面成α角时，杆对小球的作用力。
第八讲 功和功率【自招板块】
【知识要点】
功的定义式：W=FScsθ
公式只适用于求恒力的功，且式中的F、S均指矢量的大小，S是力的作用点的位移，一般情况下力的作用点的位移与物体位移相同。如果F为变力，一般用微元法把变力的功转化为恒力的功处理，也可以根据F—S图像，利用图线与位移轴所围面积表示相应的力的功。
一个力始终与物体速度方向垂直，则该力不做功，物体做曲线运动时，若力的大小不变，且力的方向始终与速度共线，该力的功等于力乘以物体的路程，如机车牵引力的功和摩擦力的功。
在给定的运动过程中，由于位移与参照系的选择有关，因此在不同的参照系中，功可以有不同的数值，但一对作用力与反作用力做功之和却与参照系的选择无关。因为作用力与反作用力大小相等，方向相反，在计算作用力与反作用力的总功时，所用的相对位移是和参照系的选择无关的，故在计算一对作用力与反作用力做功之和时，可以选择一个方便的参照系来计算，即使是非惯性系也行。
功率（定义式）：
功率、力、速度的关系：
功率的定义式一般用于求t时间内的平均功率，只有当t→0时，求得的才是瞬时功率。而公式反映的是力F的功率P与F和速度v之间的关系。当F恒定时，若v为瞬时速度，求得的是瞬时功率，若v为平均速度时，求得的是平均功率；当F为变力时，该式只能用于求瞬时功率，实际中该式较多地用于确定机动车辆的发动机的功率与车辆的牵引力、速度之间的关系，要注意，F不是受到的合外力，它的变化不能反映加速度的变化特征。
30°
【例题1】如图所示，一斜面体倾角θ=30°、长为L，放在光滑的水平面上，一质量为m的木块，自斜面顶部匀速滑到底部，斜面体同时向右移动了的距离。求在这一过程中，作用在木块上的各个力所做的功。
【例题2】在航天飞机上，如图所示，有一长度为L的圆筒，绕着与筒的长度方向垂直的轴OO′以恒定的转速ω=100rad/min旋转。筒的近轴端离轴线OO′的距离为d=10cm，筒内装着非常粘稠、密度为ρ=1.2g/cm3的液体。有一质量为m′=1.0mg、密度为ρ′=1.5g/cm3的粒子从圆筒的正中部释放（释放时粒子相对于圆筒静止），试求该粒子在到达筒端的过程中克服液体的粘滞阻力所做的功。又问，如果这个粒子的密度是ρ″=1.0g/cm3，其他条件均不变，则粒子在到达筒端的过程中克服粘滞阻力所做的功又是多少？
d
L
ω
O′
O
F
O
α
【例题3】如图所示，绳一端固定于O点，另一端穿过物体A上的小动滑轮后，用竖直向上的恒力F拉着，在物体沿倾角为α的斜面上运动L位移的过程中，恒力F做了多少功？
【例题4】一架质量M=810kg的直升飞机，靠螺旋浆的转动使S=30m2面积的空气以速度v0向下运动，从而使飞机停在空中。已知空气的密度ρ=1.2kg/m3，求v0的大小和发动机的功率P.
A
B
C
【练习】1、如图所示，两个底边相同高度不同的斜面AC和BC，一物块P与两斜面摩擦因数相同，试比较在P分别由A滑到C和由B滑到C的过程中，两次克服摩擦力做的功的大小。
2、用锤将钉打入木板，若板对钉的阻力与钉进入板的深度成正比，第一次打击时，能将钉打入1cm，以相同速率第二次打击时，打入板的深度为多少？
3、如图所示，物体质量为10kg，动滑轮的质量不计，竖直向上拉动细绳，使物体从静止开始以5m/s2的加速度上升，则拉力在第4s末的瞬时功率为多少？（g=10m/s2）
m
F
甲
乙
4、如图所示，甲乙两容器形状不同，容积相同，现有两块完全相同的金属块用细线系着分别浸入同样深的水中，这时两容器的水面相平齐，如果将金属块匀速提出水面，试比较拉力做功的大小。
A
B
O
5、如图所示，细绳的一端固定，另一端拴一小球，拉起小球，使悬线沿水平方向伸直，将小球由静止释放，在小球运动到最低点过程中，小球所受的重力的功率怎样变化？
θ
6、如图所示，在一倾角为θ的光滑斜面上，放一质量为M，长为L的木板，一个质量为m的人由静止出发，从板上端跑到下端，在此过程中，板恰好静止在斜面上，求此过程中人做的功。
7、一风力发电机把风能变为电能的效率为η，其接收风的面积为S，空气的密度为ρ，风吹到风轮机上末速度设为0，当发电机发电的功率为P时，风速为多少？
8、汽车以某一初速驶上倾角为θ的一斜坡，且在坡上保持功率恒定，设斜坡较长，车运动时受到的空气和摩擦阻力恒为重力的k倍，试分析汽车在坡上运动时速度和加速度的变化情况。
9、汽车质量3×103kg，以恒定速率10m/s通过凸桥和凹桥，两桥半径为100m，车胎与桥面动摩擦因素μ= 0.1，汽车通过凸桥顶部时发动机功率比通过凹桥底部时少多少瓦？
10.如图所示，板长为L，板的B端静止放有质量为m的小物体，物体与板的动摩擦因数为μ.开始时板水平，在缓慢转过一个小角度α的过程中，小物体保持与板相对静止，则在这个过程中().
(A)摩擦力对小物体做功为μmgLcsα(1-csα) (B)摩擦力对小物体做功为mgLsinα(1-csα) (C)弹力对小物体做功为mgLcsαsinα
(D)板对小物体做功为mgLsinα
11.质量m=10kg的物体静止在光滑水平面上，先在水平推力F1=40N的作用下移动距离s1=5m，然后再给物体加上与F1反向、大小为F2=10N的水平阻力，物体继续向前移动s2=4m，此时物体的速度大小为______m／s.
12.如图所示，甲、乙两个容器形状不同，现有两块完全相同的金属块用细线系着分别浸没入同样深度，这时两容器的水面相平齐，如果将金属块匀速提升一段位移，但仍浸没在水面以下，不计水的阻力，
则().
(A)在甲容器中提升时，拉力做功较多
(B)在乙容器中提升时，拉力做功较多
(C)在两个容器中提升时，拉力做功相同
(D)做功多少无法比较
答案:C
13.如图所示，水平传送带正以v=2m／s的速度运行，两端的距离为l=10m.把一质量为m=1kg的物体轻轻放到传送带上，物体在传送带的带动下向右运动.如物体与传送带间的动摩擦因数μ=0.1，则把这个物体从传送带左端传送到右端的过程中，摩擦力对其做了多少
功?摩擦力做功的平均功率有多大?
答案:2J,
14.汽车发动机的功率为60kW，汽车的质量为4t，当它行驶在坡度为0.02的长直公路上时，所受阻力为车重的0.1倍(g取10m／s2)，问:
(1)汽车所能达到的最大速度多大?
(2)若汽车从静止开始以0.6m／s2的加速度作匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间?
(3)当汽车匀加速行驶的速度达到最大值时，汽车做功多少?
(4)在10s末汽车的即时功率为多大?
答案:(1)12.5m/s(2)14s(3)4.2×105J(4)43.2kW
15.跳绳是一种健身运动.设某运动员的质量是50kg，他1min跳绳180次，假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的，则该运动员跳绳时，克服重力做功的平均功率是多大?
答案:75W
16.如图所示，用恒力F通过光滑的定滑轮，将静止于水平面上的物体从位置A拉到位置B，物体可视为质点，定滑轮距水平面高为h，物体在位置A、B时，细绳与水平面的夹角分别为α和β，求绳的拉力F
对物体做的功.
答案:
17.长度为L的矩形板，以速度v沿光滑水平面上平动时，垂直滑向宽度为l的粗糙地带.板从开始受阻到停下来所经过路程为s，而la的光滑轻杆斜靠在木块右上侧上，轻杆上端固定一个质量为m2的小重物，下端O点用光滑小铰链连在地面上，铰链可自由转动。开始时系统静止，而后轻杆连同小重物一起绕O点开始转动并将木块推向左方运动，如图所示，试问木块是否会在未遇到小重物前便离开轻杆？为什么？
【练习】1、如图所示，半径为R的定滑轮（质量不计）上绕一质量均为L（L远大于R）的铁链，两边垂下相等的长度，滑轮与铁链间无相对滑动，由于某种轻微干扰，使滑轮转动，不计轴摩擦，求滑轮转过去90°时的角速度。
A
B
2、如图所示，A、B两物体用细绳相连，A质量为2m，B质量为3m，A放在半径为R的光滑半球面左端，半球固定在水平桌面上，由静止释放B。当A球到达球面顶端时，A球对半球面压力为多少？
A
E
F
P
B
3、如图所示，质量为m的小球用长为L的细线系住悬于A点，A、B是过A点的竖直线，AE=L/2，过E作水平线EF，在EF上钉一钉子P，将小球拉起使悬线伸直并水平，由静止释放小球，若小球能绕钉子P在竖直面内做圆周运动，且绳子承受的最大拉力为9mg。求钉子安放的范围EP。
M
m
v0
v0
4、如图所示，在光滑水平面上，质量为M的小车正以速度v0向右运动，一质量为m的木块以速度－v0冲上车面，为使小车继续保持v0速度匀速运动，须即时给车一水平力，当M与m速度相等时，撤去此力，求该水平力对小车做的功。（设车足够长）
A
B
C
D
E
O
H
h
v0
5、如图所示，AB和CD为两个斜面，其下端分别与一光滑圆弧面相切，EH为整个轨道的对称轴，圆弧所对圆心角为120°，半径为2m，某物体在离弧底H高h=4m处以v0=6m/s速度沿斜面运动，物体与斜面间的动摩擦因数μ=0.04。求物体在AB与CD两斜面上运动的总路程（g=10m/s2）
6、如图所示，两块质量分别为m1和m2的木块由一根轻质弹簧连在一起，至少需要多大的压力F加在m1上，才可能使F撤去后，m2刚好被弹簧提起？
F
m1
m2
7、倔强系数为k的水平轻质弹簧，左端固定，右端系一质量为m的物体。物体可在有摩擦的水平桌面上滑动（如图所示）。弹簧为原长时物体位于O点，现把物体沿弹簧长度方向向右拉到距离O点为A0的P点按住，放手后弹簧把物体拉动。设物体在第二次经过O点前，在O点左方停住，计算中可以认为滑动摩擦系数与静摩擦系数相等。
（1）讨论物体与桌面间的摩擦系数为μ的大小应在什么范围内。
P
m
O
（2）求出物体停住点离O点的距离的最大值，并回答：这是不是物体在运动过程中所能达到的左方最远值，为什么？
8. 如图，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为（m1＋m2）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。
第十二讲 动量和冲量[自招板块]
【知识要点】
一、动量和冲量
1．动量：动量是矢量，方向与该时刻速度的方向相同，即。
2．冲量：冲量是力对时间的积累效应。在无限小时间间隔内，冲量方向与力的方向
相同，即。恒力对物体作用时间t，则力的冲量，变力对物体作用时间t，则应将时间t分成无数个极小的时间△t，分别求出每个冲量，再求出矢量和，即为变力在时间t内的冲量。在—t图象中，冲量表示为图线与时间轴所围“面积”。
竞赛题中常用这种方法求变力的冲量，尤其是力随时间变化的关系在—t图象中是规
则形状的几何图形，如三角形、梯形、矩形、圆等容易计算面积的情况下，更为普遍。
二、动量定理
1．质点动量定理：合外力对质点的冲量∑等于质点动量的增量。即：
∑
2．质点组动量定理：质点组所受外力的总冲量等于质点组总动量的增量。即：
质点组中内力仅改变各质点的动量，但不改变质点组的总动量。
动量定理是矢量式，可通过正交分解后在某一方向上运用。
， ，
x
y
O
z
mg
Tz
T
Tr
θ
【例题1】有一锥面摆，物体的质量为m，物体在水平面内以匀速率v作圆周运动，圆周半径为R，摆线与竖直方向的夹角为θ，求运行一周过程中
（1）物体所受重力mg的冲量；
（2）摆线对物体的拉力T的冲量；
（3）物体所受合力的冲量。
【例题2】质量m=2kg的方木块，静止在水平地面上，木块与地面间的动摩擦因数μ=0.2。现使木块受到一向右的水平拉力F作用，已知F随时间t的变化关系是F=0.5t＋3(N)。求当外力F连续作用6秒钟后，木块的速度。（最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g=10m/s2）。
【例题3】质量为M的金属块和质量为m的木块用细线连在一起，从静止开始以加速度a在水中加速度下沉，经时间t1，细线断了，求：
（1）再经时间t2，木块刚好停止下沉，此时金属块下沉的速度v为多大？
（2）细线断后再经时间t3，金属块下沉速度为v1，木块此时的速度u为多大？（设在题目所求范围内，金属块与木块既没有沉入水底，也没有浮出水面，不计水的阻力）
【例题4】一枚质量为M的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v，求火箭发动机的功率是多少？
【练习1】汽锤质量m=1000kg自h=5m高处自由落下，打在锻件上，在△t=10－4s内完全停止，重力加速度g=10m/s2，求
（1）汽锤所受的合力的冲量； （2）锻件所受到的汽锤给与的平均冲力。
A
B
S
F
【练习2】质量M=4kg的物体静止于水平面上A点，在F=5N的水平恒力作用下开始运动，经过一段时间后撤去恒力F，物体运动到B点刚好静止。如图所示，A、B间距离S=10m，物体与水平地面间的动摩擦因数μ=0.1，重力加速度g=10m/s2。求恒力作用在物体上的时间t。
【练习3】在采煤方法中，有一种方法是用高压水流将煤层击碎而将煤采下。今有一采煤用水枪。由枪口射出的高压水流速度为v，设水的密度为ρ，水流垂直射向煤层表面，求煤层表面可能受到的最大压强。
【练习4】质量m=1kg的物块静止在地面上，从t=0时刻开始受到竖直向上的拉力作用，已知拉力F随时间的变化关系是F=40－10t（N），重力加速度g=10m/s2。求：
（1）t=5s时刻物块的速度； （2）经多长时间后，物块上升到最高点。
【练习5】物体以速度v0=10m/s竖直上抛，落回原处时速度vt=9m/s，如果空气阻力和物体速度成正比，重力加速度g=10m/s2，求物体运动的时间。
【练习6】质量为m=1500kg的吉普车，在静止的驳船上由静止开始做加速运动，5s内速度达到5m/s，如图所示，求缆绳作用于驳船的平均作用力有多大？
【练习7】质量分别为m1、m2和m3的三个质点A、B、C位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软细绳AB和BC连接，∠ABC为π－α，α为一锐角，如图所示。今有一冲量为的冲击力沿BC方向作用于C质点，求质点A开始运动时的速度。
A
B
C
m1
m2
m3
α
【练习8】如图所示，质量为m，长为L的均匀软铁绳用细绳悬在天花板上，下端刚好接触地面。某时刻悬绳断了，铁绳自由落下，求：
L
A
B
（1）从悬绳断开到铁绳全部落至地面过程中地面对铁绳的平均弹力。
（2）铁绳上端A点落到地面瞬间，地面对铁绳的支持力。
第十三讲 动量守恒[自招班块]
【知识要点】
1、量守恒定律
当质点组受到的外力总冲量为零时，质点组的总动量保持不变。即
当 时，
动量守恒定律是矢量守恒，正交分解后可得到它们的分量式：
当 时，；
当 时，；
当 时，；
2、动量守恒定律推广
如果质点组的质心原来是静止的，在无外力作用的条件下，质心始终静止不动；如果质点组的质心原来是运动的，那么在无外力作用的条件下，质心将保持原来的速度做匀速直线运动；质心在外力作用下做某种运动，内力不能改变质心的运动状态，但可以改变某一质点的运动状态。这一规律也称为质心运动定理。
【思考】：如图所示，光滑水平面上有质量均为m的A、B两小球，中间用一根细线将两小球连在一起，且夹着一根轻质弹簧，弹簧处于压缩状态，则：
A
B
（1）若系统原来静止，某时刻细线突然断了，则系统的质心将如何运动？
（2）若系统匀速向右运动，某时刻细线突然断了，则系统的质心将如何运动？
（3）若系统在水平恒力F作用下向右加速运动，某时刻细线断了，则系统质心将如何运动？（若水平面粗糙，情况又如何？）
竞赛中常用质心运动定理求动量守恒问题。尤其是在两个质点组成的质点系中求质心运动的位移的问题，运用这一方法更为简单。
v0
v0
【例题1】 甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏。甲和他的冰车质量共为M=30kg，乙和他的冰车质量也是M=30kg。游戏时，甲推着一个质量为m=15kg的箱子，和他一起以大小为v0=2.0m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，如图所示。为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住。若不考虑冰面的摩擦力，求：
（1）甲至少要以多大的速度（相对于地面）将箱子推出，才能避免与乙相撞。
（2）甲在推出箱子时对箱子做了多少功。（若甲后面为一光滑的足长的斜面呢？）
L
θ
M
m
【例题2】 如图所示，一质量为M，倾角为θ的光滑斜面，放置在光滑水平面上，另有一质量为m的小物块沿斜面下滑，斜面底边长为L。当物块从斜面顶端由静止开始下滑到底端时，求：
（1）斜面具有多大的速度；
（2）斜面沿水平面移动的距离。
【例题3】 如图所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为n（n=1、2、3……）。每人只有一个沙袋，x＞0一侧的每个沙袋质量都为m=14kg，x＜0一侧的每个沙袋质量为。一个质量为M=48kg的小车以某初速度从原点出发向正x轴方向滑行，不计轨道阻力。当车每经过一个人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速度相反的方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速度大小的2n倍（n是此人的序号数）
（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？
（2）车上最终有大小沙袋共多少个？
0
1
2
3
3
2
1
……
……
x
【例题4】如图所示装置，质量M=0.4kg的靶盒位于光滑水平的导轨上，连接靶盒的弹簧的一端与墙壁固定，弹簧的劲度系数k=200N/m，当弹簧处于自然长度时，靶盒位于O点。P处有一固定的发射器，它可根据需要瞄准靶盒，每次发射出一颗水平速度v0=50m/s，质量m=0.10kg的球形子弹。当子弹打入靶盒后，便留在盒内（假定子弹与靶盒发生完全非弹性碰撞）。开始时靶盒静止。今约定，每当靶盒停在或到达O点时，都有一颗子弹进入靶盒内。
（1）若相继有6颗子弹进入了靶盒，问每一颗子弹进入靶盒后，靶盒离开O点的最大距离各为多少？它从离开O点到回到O点经历的时间各为多少？
v0
m
P
M
O
（2）若P点到O点的距离s=0.25m，问至少应发射几颗子弹后停止射击，才能使靶盒来回运动而又不会碰到发射器。
\l "目录" 《动量守恒》练习题
1．N个人站在铁路上的静止的平板车上，每个人的质量均为m，平板车的质量为M。现在这N个人均将以相对于平板车的水平速度u跳离平板车的同一端，平板车则可沿相反的直线方向无摩擦地运动。
（1）若所有的人同时跳车，平板车的最终速度为多大？
（2）若他们一个接一个地跳车，平板车最终的速度为多大？
（3）比较上述两种结果的大小。
O
y
x
v0
v3
v1
v2
45°
2．如图所示，枚手榴弹投出方向与水平成45°角，投出时速率v0=25m/s。在刚要接触与发射点在同一水平面的目标时爆炸，分裂成质量相等的三块，一块以速度v3竖直向下，一块顺着爆炸处切线方向以v2=15m/s飞出，一块沿法线方向以v1飞出。求v1和v3的大小。不计空气阻力。
3．如图所示，在光滑水平面上有两个并排放置的木块A和B，已知mA=500g，mB=300g，有一质量为80g的小铜块C以25m/s的水平初速度开始在A表面滑动。由于C与A、B间有摩擦，铜块最后停在B上，B和C一起以2.5m/s的速度共同前进，求：
A
A
B
A
C
A
v0
A
（1）木块A的最后速度；（2）C在离开A时的速度
A
B
m
M
R
4．如图所示，质量为M的半圆型槽静止在光滑水平面，圆槽半径为R。将一质量为m的光滑小球从圆槽边缘由静止释放，不计一切摩擦，求圆槽在水平面上运动的最大位移。
5．质量为m1=200kg的气球，载着质量为m2=50kg的人（可视为质点），从地面开始以v=2.0m/s的速度匀速上升，气球下悬一根质量不计的长绳。当气球升至离地20m高时，此人想在10s内从气球上沿悬绳滑到地面，且到达地面时速度很小，问这根悬绳至少应有多长？（提示：可用质心运动定理求解）
6．如图所示，长为3m，质量为4kg的小车两端的护栏上各装有铁钉，车面光滑且车停在光滑的水平面上。小车内距右端1m处放着两个质量分别为mA=3kg，mB=2kg，宽度不计的物块A和B，A、B之间有质量不计、长度不计的压缩弹簧。弹簧释放后，B物块获得4m/s的速度向右运动，两物块碰到钉子后均被钉住，试求小车在整个过程中通过的位移。
L/2
B
A
v0
7．如图所示，质量为m的小球B放在光滑的水平槽内，现用一长为L的细绳连接另一质量m的小球A，开始细绳处于松驰状态，A与B相距为L/2，小球A以初速度v0在光滑的水平地面向右运动。当A运动到图示位置时，细绳被拉紧，求B球开始运动时速度的大小vB。
8．如图所示，两个同心圆代表一个环管，它的质量为m，内外半径几乎同为R。环管内A处与其对径点B处分别放有两个质量也同为m的小球，小球与管内壁无摩擦。现将系统置于光滑水平面上，设初始时刻环管处于静止状态，两小球朝图中右侧正方向同时有初速度v0，试求两小球第一次相距R时，环管中心速度大小。
A
B
R
O
v
v
9．一根质量为M的均匀干麦管放在无摩擦的水平桌面上。麦管与桌边垂直，且有一半伸在桌面外。开始时有一只质量为m的苍蝇（可视为质点）停在麦管在桌面内的末端上，然后从该端出发，顺着麦管爬到另一端，而后另一只苍蝇也停落在这一端上，但麦管并未倾覆，求第二只苍蝇的质量的取值范围。
第十四讲 碰撞[自招版块]
【知识要点】
1、碰撞的特点
（1）碰撞所经历时间极短，而碰撞前后物体运动状态的改变很显著。
（2）碰撞物体间的相互作用力很大，所以碰撞过程中常忽略其它外力的作用。
2、碰撞的规律
由于碰撞过程中忽略外力作用，只考虑相互作用的内力，所以碰撞过程中，碰撞系统的动量守恒。
3、两质点的正碰：
动量守恒：
分量式： （x方向）
（y方向）
（z方向）
4、碰撞类型：（各种碰撞动量均守恒）
（1）完全弹性碰撞：能量守恒：
（2）完全非弹性碰撞：碰后两质点速度相同，即
（3）一般碰撞：引入恢复系数e，定义为分离速度和接近速度的比值，即：
说明：e=1即为完全弹性碰撞，e=0为完全非弹性碰撞，0＜e＜1为非完全弹性碰撞。
竞赛中，解决碰撞问题的关键在于搞清楚碰撞的类型和碰撞中遵守的规律。
A
B
PA
PB
【例题1】如图所示，光滑水平面上有A、B两球，均以恒定速率向右运动，A球动量PA=10kg·m/s，B球动量PB=6kg·m/s，两球相撞后，A球动量增量为△PA= —4kg·m/s，则它们的质量之比MA：MB应满足什么条件。
1
2
3
4
N
……
v
【例题2】如图所示，在光滑水平面上沿同一直线以一定间隔按从左向右顺序1、2、3……N排列着N个大小相同的球，球1的质量为3m，其余球的质量均为m。沿球心连线向右给球1一个冲量使其得到速度v，则球1与球2先发生对心碰撞，接着便从左向右依次发生相邻球间的相互对心碰撞。若碰撞均为弹性正碰，求各球不能再碰时，球1、球2、……球N的速度各为多大？
【例题3】L
L
H
如图所示，弹性小球沿台阶逐级跳下。已知台阶宽和高均为L，小球每次相对本级台阶跳起的高度都为未知量H，下落点在各台阶同一位置。设小球与台阶间的碰撞恢复系数为e，试求小球的水平速度u和H。
O
x
y
z
C
B
L
L
【例题4】A、B、C、为三个完全相同的表面光滑的小球，B、C两球各被一长为L=2.00m的不可伸长的轻线悬挂在天花板上，两球刚好接触，以接触点O为原点作一直角坐标系Oxyz，z轴竖直向上，Ox轴与两球心的连线重合，如图所示。今让A球射向B、C两球，并与两球同时发生碰撞。碰撞前，A球速度方向沿y轴正方向，速度大小为vAO=4.00m/s，相碰后，A球沿y轴负方向反弹，速度为vA=0.40m/s。忽略空气阻力，取g=10m/s2。
（1）求B、C两球被碰后偏离O点的最大位移量。
（2）讨论长时间内B、C两球的运动情况。
\l "目录" 《碰撞》专题练习题
A
B
v
1．光滑的水平面上有两个质量分别为m1和m2的小球A和B，它们在一条与右侧竖直墙面垂直的直线上前后放置，如图所示。设开始时B球静止，A球以速率v对准B球运动。不计各种摩擦，所有碰撞都是完全弹性的。如果两球能且仅能发生两次碰撞，试确定质量比m1：m2的取值范围。
A
B
v0
2．如图所示，质量为m的长方形箱子，放在光滑的水平地面上。箱内有一质量也为m的小滑块，滑块与箱底间无摩擦。开始时箱子静止不动，滑块以恒定的速度v0从箱子的A壁向B壁滑动。假定滑块与箱子每碰撞一次，二者相对速度的大小变为该次碰撞前相对速度的e倍，
（1）要使滑块与箱子这一系统损耗的总动能不超过其初始动能的40%，滑块与箱子壁最多可碰撞几次？
（2）从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间，箱子的平均速度是多少？
60°
A
B
C
O
v
α
3．两块光滑竖直板OA与OB形成夹角α=2°的V字形，如图所示，固定在光滑的水平面上。一个小球（可视为质点）在OB板上的C点处以速度v=2m/s并与OB板成θ=60°角的方向开始运动，与OA板发生碰撞后又折回与OB板碰撞。已知OC=4m，所有碰撞都是完全弹性的。试求：
（1）小球经过几次碰撞后又回到C点？
（2）此过程所经历的时间；
（3）此过程中小球离O点最近的距离。
θ
v
u
4．一个质量为m的弹性小球由静止开始下落h米后与光滑水平面上的斜面楔发生完全弹性碰撞，斜面倾角θ=45°，质量为nm，如图所示。求碰后小球的速度v的大小和斜面楔的速度u
5．一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m，炮身质量为M，炮车可以自由地在铁轨上反冲，如炮身与地面成α角度，炮弹相对炮身速度为射出。求炮弹离开炮身时对地面的速度v和炮车反冲的速度u。
Ek
M
aM
(1—a)M
θ
θ
6．质量为M的物体具有平动动能Ek，但不转动。物体内的火药将它炸裂成质量分别为aM和（1－a）M的两块，都在原运动方向的两侧的等角度θ共面方向上平动，如图所示。试证明火药转化的机械能的能量至少为Ek·tg2θ。
O
P
v0
7．一个质量为M的大圆环静止在光滑的水平桌面上，另一个质量为m的质点以初速度v0自由穿过环上的小孔P，与圆环内壁发生n次弹性碰撞后，又从小孔P自由穿出，如图所示。此过程中，环中心O与质点连线刚好相对于环转过360°。试求质点穿出小孔后圆环中心O相对于桌面的速度。
第十五讲 动量和能量[自招版块]
【知识要点】
动量和能量都是描述质点运动的物理量，都与质点的一个运动状态相对应，但它们是从不同角度描述运动的。动量反映质点可以克服一定阻力运动多久；动能则反映质点可以克服一定阻力运动多远。
动量和能量的守恒规律是两条重要的普适规律，要注意运用规律的条件。
运用动量观点和能量观点解题是解决力学问题的两个重要途径，也是竞赛题中常用的解题方法之一。对一些复杂的运动或几个质点间作用过程较复杂及碰撞问题，通常运用这种方法解题。
O
M
m
θ
α
【例题一】如图所示，质量M半径R的光滑半球，放在光滑水平面上。质量m的小球沿半球表面下滑。小球初位置与铅垂线成α角，求该角度变为θ角时小球绕球心的角速度
【例题二】如图所示，质量M=2kg的长木板B静止于光滑水平面上。B的右边放有竖直挡板。现有一小物体A（可视为质点）质量为m=1kg，以初速度v0=6m/s从B的左端水平滑上B。已知A与B间的动摩擦因数μ=0.2，B与竖直挡板的碰撞时间极短，且碰撞时无机械能损失。
（1）若B的右端距离档板S=4m，要使A最终不脱离B，则木板B的长度至少要多长？
B
A
v0
S
（2）若B的右端距离档板S=0.5m，要使A最终不脱离B，则木板B的长度至少应多长？
【例题三】（2000年高考）在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似。两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直于轨道的固定档板P，右边有一小球C沿轨道以速度v0射向B球，如图所示。C与B发生碰撞并立即结成一个整体D。在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动。A与P接触而不粘连。过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失）。已知A、B、C三球质量均为m。
（1）求弹簧长度刚被锁定后A的速度；
（2）求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。
A
B
C
P
v0
\l "目录" 《动量与能量》专题练习题
M
m
θ
1．质量M、表面与底面均光滑的匀质半球体静止在光滑水平面上，半球顶端有一质量为m的小球从静止开始下滑，如图所示，在θ角位置时，小球飞离半球。已知csθ=0.70，试求M：m的值。
2．如图所示，质量为2m，长为L的木块静置于光滑水平桌面上。质量为m的子弹以初速度v0水平从左方射入木块，子弹穿出木块时速度变为v0/2。设木块对子弹的阻力恒定。
（1）求子弹穿越木块过程中，木块滑行的距离S；
m
v0
2m
v0/2
L
（2）若将此木块固定在一传送带上，木块始终以恒定速度u水平向右运动（u＜v0），求子弹以水平速度v0射入木块后，子弹的最终速度，以及子弹在木块中行进的过程中，木块移动的距离L。
m
M
B
C
v0
A
θ
h
3．如图所示，在水平光滑桌面上放有一质量为M的直角斜劈ABC，AB的倾角为θ，B点离桌面的高度为h。在斜面AB的底部A处有一质量为m的小滑块。某时刻劈静止，滑块有一个沿AB向上的速度v0，如果不计一切摩擦，那么v0至少要多大才能使滑块从B点滑出？
4．如图所示，长为L的光滑平台固定在地面上，平台中间放有小物体A和B，彼此接触。A的上表面是半径为R的半圆形轨道，且R＜＜ L，轨道顶端距台面高度为h处有一个小物体C，A、B、C的质量都为m。系统静止时释放C，已知在运动过程中，A、C始终保持接触，试求：
（1）物体A和B刚分离时，B的速度；
（2）物体A和B分离后，C所能达到的最大高度；
（3）试判断A从平台的哪边落地，并估算A从与B分离到落地所经历的时间。
A
L
h
R
C
B
5．如图所示，质量为M的长滑块静置在光滑水平面上，左侧固定一劲度系数为k，且足够长的水平轻质弹簧，右侧用一根不可伸长的细绳悬在墙上，细绳所能承受的最大拉力为T。让一质量为m、初速度为v0的小滑块在长滑块上无摩擦地对准弹簧向左运动。
（1）细绳被拉断的条件是什么？
（2）细绳拉断后，长滑块所能获得的最大加速度是多大？
m
v0
M
（3）小滑块最后离开长滑块时，相对地面速度恰为零的条件是什么？
A
B
C
α
6．质量为M、开始时静止于光滑水平面上的滑块内有二段长度为L，且互相连通的光滑直轨道AB和BC，连接处是光滑圆弧，AB与水平面成α=60°，BC为水平方向，如图所示，将一质量为m的光滑小球放入A端，让它由静止开始下滑。试求小球经过多长时间后从C点滑出？（设小球在B处拐弯时间可忽略）
7．如图所示，三个质量均为m的弹性小球用两根长均为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上．现给中间的小球B一个水平初速度v0，方向与绳垂直．小球相互碰撞时无机械能损失，轻绳不可伸长．求：
(1)当小球A、C第一次相碰时，小球B的速度．
(2)当三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度．
(3)运动过程中小球A的最大动能EKA和此时两根绳的夹角θ.
(4)当三个小球处在同一直线上时，绳中的拉力F的大小．
……
M
F
1
2
3
4
n
8．在一水平光滑的长直轨道上，等间距地放着足够多的完全相同的质量为m的正方体木块，编号依次为1、2、3……如图所示。在木块1前有一质量为M=4m的大木块，大木块与木块1之间的距离和相邻各木块间的距离都为L。现在，在所有木块都静止时，对M施加一沿轨道方向的恒力F，且一直作用在大木块上，使其与木块依次发生碰撞，假如所有碰撞都是完全非弹性的，问大木块与第几块小木块相碰之前，它的速度能达到极大值，此速度值vm等于多少？
9.（2010华约）A 、B、C三个物体（均可视为质点）与地球构成一个系统，三个物体分别受恒外力FA、FB、FC的作用。在一个与地面保持静止的参考系S中，观测到此系统在运动过程中动量守恒、机械能也守恒。S'系是另一个相对S系做匀速直线运动的参考系，讨论上述系统的动量和机械能在S'系中是否也守恒。（功的表达式可用WF =F.S的形式，式中F为某个恒力，S为在力F作用下的位移）
第十六讲 分子运动论、气体
【高考版块】
知识点：
（1）分子动理论（物质由大量分子组成、分子在做无规则热运动、分布及能量、分子力及能量）
（2）能的转化和守恒（热力学第一定律）
（3）气体的性质（描述气体的物理量、状态方程）
本章中重点：气体状态参量、气体实验定律、理想气体状态方程、气体图像
难点：气体压强的计算和理想气体状态方程
方法论：
气体压强的计算方法——静力学法和动力学法
静力学：与气体接触的物体为研究对象，受力平衡中包含有气体压强。（活塞、液柱等）
动力学法：与气体接触的物体为研究对象，由牛顿第二定律中包含有气体压强（如容器、活塞、液柱在封闭气体后有加速度，平动或者转动）
2.气体的状态和变化规律
物理量和微观解释
理想气体状态方程
典型例题
一气缸由活塞密封了一定质量的理想气体，我们向外拉活塞要用劲向里推也费力，这说明了向外拉增大分之间距离表现出分子引力，同理向内推表现分子斥力。
简述这句话正确与否？
2. 如图为竖直放置的上细下粗的密闭细管，水银柱将气体分隔成A、B两部分，初始温度相同。使A、B升高相同温度达到稳定后，体积变化量为VA、VB，压强变化量为pA、pB，对液面压力的变化量为FA、FB，则（）
（A）水银柱向上移动了一段距离 （B）VA＜VB
（C）pA＞pB（D）FA＝FB
3. 如图所示，一定质量的空气被水银封闭在静置于竖直平面的U型玻璃管内，右管上端开口且足够长，右管内水银面比左管内水银面高h，能使h变大的原因是
（A）环境温度升高。
（B）大气压强升高。
（C）沿管壁向右管内加水银。
（D）U型玻璃管自由下落。
4. 我们知道，气体分子的运动是无规则的，每个分子运动的速率一般是不同的，但大量分子的速率分布却有一定的统计规律。如图所示描绘了某种气体在不同温度下的分子速率分布曲线，则二条曲线分别对应的温度T1和T2的大小关系是（ ）
O
速率
分子数百分率
T1
T2
A．
B．
C．
5. 一定质量理想气体的状态经历了如图所示的ab、bc、cd、da四个过程，其中ab的反向延长线通过原点，da与横轴平行，bc垂直与纵轴平行，cd与ab平行，则气体压强在
（A）ab过程中保持不变
（B）bc过程中不断变大
（C）cd过程中不断变小
（D）da过程中不断变大
6.用分子动理论的观点看，下列表述正确的是
（A）物体的内能就是分子的平均动能和势能的总和
（B）一定质量100℃的水转变成100℃的水蒸汽，其分子的平均动能增加
（C）一定质量的理想气体，如果压强不变而体积增大，其分子的平均动能增加
（D）如果气体温度升高，物体中所有分子的速率都一定增大
7.一定质量的理想气体从状态A变化到状态B，其变化过程反映在p-T图中是一条直线，如图所示，则此过程中该气体
(A) 体积不变内能增加
(B) 对外界做功并放出热量
(C) 不吸热也不放热
(D) 吸收热量并对外界做功
8. 甲分子固定在坐标原点O，乙分子位于r轴上，甲、乙两分子间作用力与分子间距离关系图象如图中曲线所示，F＞0为斥力，F＜0为引力．a、b、c、d为r轴上四个特定的位置，现把乙分子从a处由静止释放，则 （ ）
（A）乙分子从a到c一直加速
（B）乙分子从a到b加速，从b到c减速
（C）乙分子从a到c过程中，两分子间的分子势能一直增大
（D）乙分子从a到c过程中，两分子间的分子势能先减小后增加
实验：（一）油膜法测分子直径
单分子油膜法是粗略地说明分子大小的一种方法。
原理：一滴油酸在水面上尽可能散开，在水面上形成单分子油膜，其特征是单层、球形、无空隙紧密排布，如图所示，其厚度d 即表示分子直接的大小。
计算：d=V/S。V表示一滴油的体积，S为一滴油酸在水面上散开的面积。
测量方法：1.算出这一滴油酸的体积V。
例：将1cm3的油酸溶于酒精，制成200cm3的油酸酒精溶液。取50滴这样的溶液正好是1cm3，则1滴这样的溶液中含有油酸的体积是
。
（当这一滴溶液滴在水面上时，酒精挥发掉，剩下的即为纯油酸）
2.算出这一滴油酸在水面上散开的面积S。
在水面上均匀撒上痱子粉，将这一油酸滴在水面上，会把痱子粉排开，形成一个轮廓。用制好的透明方格胶片盖在水面上，画出轮廓，数出对应的方格数，即可算出油膜的面积。
实验（二）验证玻意耳定律
9. 用DIS研究一定质量气体在温度不变时，压强与体积关系的实验装置如图Ⅰ所示，实验步骤如下：

①把注射器活塞移至注射器中间位置，将注射器与压强传感器、数据采集器、计算机逐一链接；
②移动活塞，记录注射器的刻度值V，同时记录对应的由计算机显示的气体压强值P；
③用图像处理实验数据，得出如图2所示图线，
（1）为了保持封闭气体的质量不变，实验中采取的主要措施是_______；
（2）为了保持封闭气体的温度不变，实验中采取的主要措施是_______和_____；
（3）如果实验操作规范正确，但如图所示的图线不过原点，则代表_____。
10.如图，粗细均匀的弯曲玻璃管A、B两端开口，管内有一段水银柱，右管内气体柱长为39cm，中管内水银面与管口A之间气体柱长为40cm。先将口B封闭，再将左管竖直插入水银槽中，设整个过程温度不变，稳定后右管内水银面比中管内水银面高2cm，求：
（1）稳定后右管内的气体压强p；
（2）左管A端插入水银槽的深度h。（大气压强p0＝76cmHg）
11.一粗细均匀的J型玻璃管竖直放置，短臂端封闭，长臂端（足够长）开口向上，短臂内封有一定质量的理想气体。初始状态时管内各段长度如图（a）所标，密闭气体的温度为27℃。大气压强为75cmHg，求：
（1）若沿长臂的管壁缓慢加入5cm的水银柱并与下方的水银合为一体，为使密闭气体保持原来的长度，应使气体的温度变为多少？
（2）在第（1）小题的情况下，再使玻璃管沿绕过O点的水平轴在竖直平面内逆时针转过180°，稳定后密闭气体的长度变为多大？
（3）在图（b）的p-T坐标系中画出以上两个过程中密闭气体的状态变化过程。
（a）
10cm
10cm
18cm
O
40
p/cmHg
T/K
290
310
330
50
90
60
70
80
（b）
【自招拓展版块】
分子动理论、内能
————————————————————————————————————————————
一、知识补充：
1、分子动理论
2、物质的内能
3、能量的转化与守恒定律
二、考试真题：
1、（交大08）我们夏天在大街上偶尔会看到平板卡车运输用于特殊场合降温的大型冰块，裸露在空气中的冰块上方不时看到“烟雾缭绕”。有人说这是因为冰块在热空气中运动时，冰块通过与大量空气接触，吸收了空气中的热量而蒸发形成的。你认为这种说法是否正确？请给出你对这一现象的解释。
3、（交大07）若分子间距离发生变化，两分子间的相互作用力和分子势能也会随之发生变化。下列表述正确的是
A. 若分子处于平衡位置，分子间没有引力和斥力；
B. 若分子间的距离减小，分子间的引力和斥力都增大；
C. 若分子间的距离增大，分子间的引力的大小将增大，而斥力大小将减小；
D. 若分子间的距离增大，分子势能一定增大。
3．（交大06）关于物体内能，下列说法中正确的是（）
A．l克0ºC水的内能比l克0ºC冰的内能大
B．电流通过电阻后电阻发热，它的内能增加是通过“热传递”方式实现的
C．汽体膨胀，它的内能一定减少
D．橡皮筋被拉伸时，分子间势能增加
7．（交大06）温度计所用测量温度的物质应具备的条件为
A．它必须是液体
B．它因冷热而改变的特性要有重复性
C．它因冷热而改变的特性要有单值性
D．它的热容量愈大愈好
157．（复旦08）下面说法正确的是( )
A．做功和热传递以不同的能量转换方式改变系统的内能
B．温度相同的物体具有相同的内能
C．质量相同的物体具有相同的内能
D．气缸内的气体被压缩，同时气缸发热，则缸内气体的内能一定变化
三、仿真训练：
1、下列关于分子运动和热现象的说法正确的是 （填入正确选项前的字母，每选错一个扣1分，最低得分为0分）．
A．气体如果失去了容器的约束就会散开，这是因为气体分子之间存在势能的缘故
B．一定量100℃的水变成100℃的水蒸汽，其分子之间的势能增加
C．对于一定量的气体，如果压强不变，体积增大，那么它一定从外界吸热
D．如果气体分子总数不变，而气体温度升高，气体分子的平均动能增大，因此压强必然增大
E．一定量气体的内能等于其所有分子热运动动能和分子之间势能的总和
F．如果气体温度升高，那么所有分子的速率都增加
O
V
P
A
O
T
P
B
O
T
V
C
1
1
2
2
1
2
2、若一定质量的理想气体分别按下图所示的三种不同过程变化，其中表示等压变化的是____ (填“A”、“B”或“C”)，该过程中气体的内能 (填“增加”、“减少”或“不变”)．
3、如图所示，由导热材料制成的气缸和活塞将一定质量的理想气体封闭在气缸内，活塞与气缸壁之间无摩擦，活塞上方存有少量液体。将一细管插入液体，由于虹吸现象，活塞上方液体逐渐流出。在此过程中，大气压强与外界的温度保持不变。关于这一过程，下列说法正确的是 。（填入选项前的字母，有填错的不得分）
A.气体分子的平均动能逐渐增大
B.单位时间气体分子对活塞撞击的次数增多
C.单位时间气体分子对活塞的冲量保持不变
D.气体对外界做功等于气体从外界吸收的热量
4、地面附近有一正在上升的空气团，它与外界的热交热忽略不计.已知大气压强随高度增加而降低，则该气团在此上升过程中（不计气团内分子间的势能）
A.体积减小，温度降低B.体积减小，温度不变
C.体积增大，温度降低D.体积增大，温度不变

5、如图所示，质量为m的活塞将一定质量的气体封闭在气缸内，活塞与气缸之间无摩擦，a态是气缸放在冰水混合物中气体达到的平衡状态，b态是气缸从容器中移出后，在室温（27℃）中达到的平衡状态，气体从a态变化到b态的过程中大气压强保持不变。若忽略气体分子之间的势能，下列说法中正确的是
A．与b态相比，a态的气体分子在单位时间内撞击活塞的个数较多
B．与a态相比，b态的气体分子在单位时间内对活塞的冲量较大
C．在相同时间内，a、b两态的气体分子对活塞的冲量相等
从a态到b态，气体的内能增加，外界对气体做功，气体向外界释放了热量
6、A、B两装置，均由一支一端封闭，一端开口且带有玻璃泡的管状容器和水银槽组成，除玻璃泡在管上的位置不同外，其他条件都相同。将两管抽成真空后，开口向下竖直插入水银槽中（插入过程没有空气进入管内），水银柱上升至图示位置停止。假设这一过程水银与外界没有热交换，则下列说法正确的是
A
B
A．A中水银的内能增量大于B中水银的内能增量
B．B中水银的内能增量大于A中水银的内能增量
C．A和B中水银体积保持不变，故内能增量相同
D．A和B中水银温度始终相同，故内能增量相同

第十七讲 理想气体状态方程
【高考版块】
1、如图所示,粗细均匀的U形管竖直放置,管内由水银柱封住一段空气柱.如果沿虚线所示的位置把开口一侧的部分截掉,保持弯曲部分管子位置不动,则封闭在管内的空气柱将
(A)体积变小；(B)体积变大；
(C)压强变小；(D)压强不变。
A
B
2．如图为竖直放置的粗细均匀的两端封闭的细管，水银柱将气体分隔成A、B两部分，A初始温度高于B的初始温度。使A、B升高相同温度达到稳定后，A、B两部分气体压强变化量分别为pA、pB，对液面压力的变化量分别为FA、FB，则（ ）
（A）水银柱一定向上移动了一段距离 （B）
（C） （D）
h
第21题
3、有一只小试管倒插在烧杯的水中，此时试管恰好浮于水面，试管内外水面的高度差为h，如图所示．如果改变温度或改变外界大气压强．
则试管（不考虑烧杯中水面的升降及试管壁的厚度）………（ ）
A．如仅升高温度，则试管位置上升，h不变
B．如仅升高温度，则试管位置下降，h增大
C．如仅升高外界压强，则试管位置下降，h不变
D．如仅升高外界压强，则试管位置下降，h减小
4. 如图所示，两端开口的弯折的玻璃管竖直放置，三段竖直管内各有一段水银柱，两段空气封闭在三段水银柱之间，若左、右两管内水银柱长度分别为h1、h2，则中间管内水银柱的长度为
A．B． C． D．
5．如图所示，用质量为m的活塞密封住质量为M的气缸，气缸有内一定质量的理想气体，活塞跟缸壁间的摩擦不计，大气压为p0，活塞横截面积为S，整个装置倒立在水平地面上．当封闭气体的热力学温度为T时，活塞与地面接触但无相互作用力，这时封闭气体的压强为__________．当温度升高到某一值时，发现气缸虽与地面接触但无相互作用力，这时封闭气体的温度为______________．
6．如图，A
一容器两端是直径不同的两个圆筒，里面各有一个活塞，活塞横截面积分别是SA＝8cm2，SB＝24cm2，质量分别为MA＝8kg，MB＝12kg，它们之间用一轻杆相连并保持平衡，活塞与圆筒壁间无摩擦，活塞B的下面和大气相通，活塞A的上面是真空。若大气压强p0＝1×105Pa，重力加速度g＝10m/s2，则被封闭气体的压强为_____________Pa；若略微降低桶内气体的温度，重新平衡后，桶内气体压强将__________（选填“变大”、“不变”或“变小”）。
7一根两端开口、粗细均匀的长直玻璃管横截面积为S＝2×10-3m2，竖直插入水面足够宽广的水中．管中有一个质量为m＝0．4kg的密闭活塞，封闭一段长度为L0＝66cm的气体，气体温度T0＝300K，如图所示．开始时，活塞处于静止状态，不计活塞与管壁间的摩擦．外界大气压强P0＝1.0×105Pa，水的密度ρ＝1.0×103kg/m3．试问：
（1）开始时封闭气体的压强多大？
（2）现保持管内封闭气体温度不变，用竖直向上的力F缓慢地拉动活塞．当活塞上升到某一位置时停止移动，此时F＝6．0N，则这时管内外水面高度差为多少？管内气柱长度多大？
（3）再将活塞固定住，改变管内气体的温度，使管内外水面相平，此时气体的温度是多少？
10cm
31cm
8．如图所示，长为31cm、内径均匀的细玻璃管开口向上竖直放置，管内水银柱的上端正好与管口齐平，封闭气体的长为10cm，温度为27℃，外界大气压强不变。若把玻璃管在竖直平面内缓慢转至开口竖直向下，这时留在管内的水银柱长为15cm，然后再缓慢转回到开口竖直向上，求：
（1）大气压强的值；
（2）玻璃管重新回到开口竖直向上时空气柱的长度；
（3）当管内气体温度升高到多少时，水银柱的上端恰好重新与管口齐平？
9一个内壁光滑的圆柱形气缸，质量为M，高度为L，、底面积为S．缸内有一个质量为m的活塞，封闭了一定质量的理想气体，不计活塞厚度．温度为t0时，用绳子系住活塞将气缸悬挂起来，气缸内气体高为L1，如图甲所示．如果用绳子系住气缸底，将气缸倒过来悬挂起来，气缸内气体高为L2，如图乙所示．设两种情况下气缸都处于竖直状态，求：
（1）当时的大气压强；
（2）图乙状态时温度升高到多少C时，活塞将与气缸脱离？
10．如图所示，某水银气压计的玻璃管顶端高出水银槽液面1m，因上部混有少量的空气使读数不准，当气温为27℃时标准气压计读数为76cmHg，该气压计读数为70cmHg，求：
1m
70cm
（1）若在气温为27℃时，用该气压计测得的气压读数为64cmHg，则实际气压应为多少cmHg？
（2）若在气温为7℃时，用该气压计测得的气压读数为68cmHg，则实际气压应为多少cmHg？
11.如图所示，开口处有卡口、内截面积为S的圆柱形气缸开口向上竖直放置在水平面上，缸内总体积为V0，大气压强为p0，一厚度不计、质量为m的活塞（m＝0.2p0S/g）封住一定量的理想气体，温度为T0时缸内气体体积为0.8V0，先在活塞上缓慢放上质量为2m的砂子，然后将缸内气体温度升高到2T0，求：
（1）初始时缸内气体的压强；
（2）最后缸内气体的压强；
（3）在右图中画出气体状态变化的p-V图像。
12．一粗细均匀的J型玻璃管竖直放置，短臂端封闭，长臂端（足够长）开口向上，短臂内封有一定质量的理想气体。初始状态时管内各段长度如图（a）所标，密闭气体的温度为27℃。大气压强为75cmHg，求：
（1）若沿长臂的管壁缓慢加入5cm的水银柱并与下方的水银合为一体，为使密闭气体保持原来的长度，应使气体的温度变为多少？
（2）在第（1）小题的情况下，再使玻璃管沿绕过O点的水平轴在竖直平面内逆时针转过180°，稳定后密闭气体的长度变为多大？
（3）在图（b）的p-T坐标系中画出以上两个过程中密闭气体的状态变化过程。
（a）
10cm
10cm
18cm
O
40
p/cmHg
T/K
290
310
330
50
90
60
70
80
（b）
13．如图所示，固定的竖直圆筒由上段细筒和下段粗筒组成，粗筒横截面积是细筒的4倍，细筒足够长，粗筒中A、B两轻质光滑活塞间封有空气，活塞A上方有水银。用外力向上托住活塞B，使之处于静止状态，活塞A上方的水银面与粗筒上端相平，当时气体温度为23℃水银深H=10cm，气柱长Ｌ=20cm，大气压强p0=75cmHg。现保持温度不变，使活塞B缓慢上移，直到水银的一半被推入细筒中，
（1）此时筒内气体的压强为多少？
（2）活塞B向上移动的距离。
（3）此时保持活塞B位置不变，改变气体温度，让A上方的水银刚好全部进入细筒内，则，气体的温度是多少？
14.麦克劳真空计是一种测量极稀薄气体压强的仪器，其基本部分是一个玻璃连通器，其上端玻璃管A与盛有待测气体的容器连接，其下端D经过橡皮软管与水银容器R相通，如图所示，图中K1、K2是互相平行的竖直毛细管，它们的内直径皆为d，K1顶端封闭，在玻璃泡B与管C相通处刻有标记m，测量时，先降低R使水银面低于m，如图甲所示，然后逐渐提升R，直到K2中水银面与K1顶端等高，这时K1中水银面比顶端低h，如图乙所示，待测容器较大，水银面升降不影响其中的压强，测量过程中温度保持不变，已知B（m以上）的容积为V，K1的容积远小于V，水银密度为r，
（1）试导出上述过程中计算待测压强p的表达式，
（2）（多选题）为了减少实验误差，提高测量的准确性，可采取的措施有（）
（A）适当增大B的容积为V（B）适当增大K1、K2的长度L
（C）适当减少K1、K2的直径d（D）适当减少R中的水银
（3）本实验中，如果大气压强发生变化___________（填“会”或“不会”）影响极稀薄气体压强的测量值。
15.如图所示，在一个空的铝制饮料罐的开口处，插入一根透明吸管，接口处用蜡密封，在吸管内引入一小段油柱（长度可以忽略）。如果不计大气压的变化，这就是一个简易“气温计”。已知铝罐的容积是360cm3，均匀吸管内部的横截面积为0.2cm2，吸管的有效长度为20cm，当温度为25℃时，油柱离管口10cm。
（1）吸管上标刻温度值时，刻度是____________的（选填“均匀”或“不均匀”）；
（2）估计这个气温计的测量范围约为____________（用热力学温度表示）
16.某实验小组利用如图所示的装置测量温度：A是容积较大的玻璃泡，A中封有一定量的空气，B是一根很细的与A连接的均匀玻璃管，管壁有温度刻度标志，管下端开口插入水银槽中，管内外水银面高度差为h．
A
h
（1）h越大，温度读数越______（填“大”或“小”）；
（2）试用相关物理规律证明此装置的温度刻度线间距是均匀的；

（3）利用此装置测温度时，如果大气压强增大△P（cmHg），读出的温度值变大还是变小？如何进行修正？
【自招拓展版块】
克拉珀龙方程、道尔顿分压定律
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一、知识补充：
1、克拉珀龙方程
2、道尔顿分压定律
3、液体的饱和蒸汽压
二、考试真题：
140．（复旦06）将实际气体当作理想气体来处理的最佳条件是______。
A．常温常压 B．高温常压 C．高温低压 D．低温高压
149．（复旦06）熔剂恒定车胎内捕气压维持恒定，则车胎内空气质量最多的季节是_______。
A．春季 B．夏季 C．秋季 D．冬季
4、（交大07）一个大气球的容积为2.1×104m3，气球本身和负载质量共4.5×103kg，若其外部空气温度为200C，要想使气球上升，其内部空气最低要加热到的温度为______0C
11．（交大06）两同体积之气室用一体积可忽略的细管相连通，两气室内盛有1大气压、27ºC之氦气，若将其中一气室加温至127ºC，另一气室降温至－73ºC，则气室中氮气之最终压强为 大气压。
16．（交大04）贮气罐的体积为V，罐内的气体压强为p。现将贮气罐经阀门与体积为v0的真空室相连，打开阀门为真空室充气，达到平衡后关闭阀门。然后换一个新的同样贮气罐继续为真空室（已非“真空”)充气，．．．．．．，如此连续不断充气，直到真空室中气体的压强达到p0（p0