2024年江西省吉安市青原区井冈山大学附属学校中考一模数学试题

这是一份2024年江西省吉安市青原区井冈山大学附属学校中考一模数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共18分）
1．（本题3分）若a与2互为相反数，则|a+2|等于（ ）
A．2B．﹣2C．0D．﹣1
2．（本题3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C． D．
3．（本题3分）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ）
A．B．C．D．2
4．（本题3分）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，则为（ ）
A．米B．米C．米D．米
5．（本题3分）如图，过的边上一点作．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．（本题3分）已知二次函数y=﹣x2+2x+3的图象过点M（﹣2，y1），N（﹣3，y2），K（6，y3），则y1，y2，y3的关系从小到大的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
二、填空题（共18分）
7．（本题3分）把多项式分解因式的结果是 ．
8．（本题3分）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2）关于原点对称，则m＝ ．
9．（本题3分）若，是方程的两个根，则的值为 ．
10．（本题3分）如图，F是矩形的边上一点，射线交的延长线于点E，已知，，则的长为 ．
11．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为 ．
12．（本题3分）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．

三、解答题（共84分）
13．（本题8分）（1）计算：
（2）解不等式组
14．（本题8分）如图是正方形网格，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．

(1)在图1中，作的垂直平分线；
(2)在图2中，作直线，使两平行线间的距离为．
15．（本题8分）如图，在中，，，请在边上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
16．（本题8分）（1）计算：|﹣|+（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1．
（2）已知正六边形ABCDEF的中心为O，半径OA＝6．
①求正六边形ABCDEF的边长；
②以A为圆心，AF为半径画弧BF，求弧BF的长．（结果保留π）
17．（本题8分）在某中学开展的读书活动中，为了解七年级400名学生暑期读书情况，随机调查了七年级部分学生暑期读书的册数．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受调查的学生人数为______，图①中m的值为______；
(2)这组数据的众数和中位数分别为______；求统计的这组数据的平均数；
(3)根据统计的样本数据，估计暑期该校七年级学生读书的总册数．
18．（本题8分）图1是笔记本电脑放在散热支架上的实物图，实物图的侧面可抽象成图2，结点B，C，D处可转动，支撑架AB＝BC＝CD＝28cm，面板DE＝28cm，若DE始终与AB平行．
(1)直接写出∠ABC，∠BCD，∠CDE之间的数量关系；
(2)若，电脑显示屏宽EF＝26cm．且，求笔记本电脑显示屏的端点F到AB的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据，，）
19．（本题8分）某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．
(1)“学生甲分到A班”的概率是______；
(2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率．
20．（本题8分）已知等腰三角形的顶点在等边三角形的边上，，．
图1 图2
（1）如图1，若，在的延长线上．
①求的长；
②延长，交于点，证明：；
（2）如图2，当、、三点不共线时，取的中点为，连接．
求证：．
21．（本题10分）春到人间，绿化争先．为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动．已知购买20棵树苗和30棵两种树苗需1200元，购买40棵树苗和50棵两种树苗需2200元．
(1)求两种树苗的单价；
(2)若现要购买两种树苗共100棵，且要求购买树苗的棵数不多于树苗的3倍，则购买这些树苗至少需要多少元?
22．（本题10分）课本再现
如图1，四边形是菱形，，．
（1）求，的长．
应用拓展
（2）如图2，为上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．
①直接写出点到距离的最小值；
②如图3，连接，，若的面积为6，求的长．
参考答案：
1．C
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，再根据绝对值解答即可．
【详解】解：因为a与2互为相反数，
可得：a＝﹣2，
所以|a+2|＝0，
故选：C．
【点睛】本题考查相反数的概念，掌握互为相反数的两个数和为0，0的绝对值是0，是本题的解题关键.
2．D
【分析】根合并同类项、同底数幂除法、完全平方公式、积的乘方分别进行计算即可得到答案．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了合并同类项、同底数幂除法、完全平方公式、积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．A
【分析】由题意知，，解得，然后判断求解即可．
【详解】解：由题意知，，解得，
∴实数m的值可以是，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式．解题的关键在于明确：当一元二次方程有两个不相等的实数根，．
4．C
【分析】证明，然后利用相似三角形的对应边成比例得，即可求出的长．
【详解】解：由题意可知，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解答本题的关键．
5．B
【分析】本题考查了垂线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理，先由垂线的定义得出，再由平行线的性质得出，最后由三角形内角和定理计算即可得出答案．
【详解】解：，
，
，，
，
，
故选：B．
6．B
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，根据x＜1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【详解】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，
∵K（6，y3）关于直线x＝1的对称点是（﹣4，y3），且﹣4＜﹣3＜﹣2，
∴y3＜y2＜y1，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基本题目，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：=．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了公式法因式分解，正确应用公式是解题关键．
8．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
【详解】解：根据、两点关于原点对称，则横、纵坐标均互为相反数，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键．
9．3
【分析】本题考查了求整式的值，一元二次方程根与系数的关系；由根与系数的关系得代入求解即可；掌握根与系数的关系：、是一元二次方程的两个根，则有及整体代换法是解题的关键．
【详解】解：，是方程的两个根，
，
；
故答案：．
10．2
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，根据矩形的性质，得到，进而得到，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
11．5
【分析】本题考查了90度圆周角所对的弦为直径，勾股定理，连接，通过题意判断出为直径，圆心P在上，根据勾股定理计算出的长，从而得出结果．
【详解】解：如图，连接，
为直角，且点都在圆上，
为直径，圆心P在上，
， ，
，，
，
，
故答案为：5．
12．或或
【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知，，
当时，，

由三角形的外角性质得，即，
此情况不存在；
当时，
，，
由三角形的外角性质得，
解得；
当时，，

∴，
由三角形的外角性质得，
解得；
当时，，

∴，
∴；
综上，的度数为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键．
13．（1）；（2）
【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的余弦值，再根据实数的混合运算法则计算即可；
（2）先求出每一个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可作答．
【详解】（1）
；
（2），
由①得，
由②得，
即不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了含负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的余弦值的实数的混合运算以及解不等式组的知识，掌握负整数指数幂、零指数幂的计算法则以及牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
14．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据正方形的判定和性质画出图形即可；
（2）根据平行分线段成比例定理画出图形即可.
【详解】（1）解：图1中，即为所求．
；
（2）解：如图，直线即为所求
.
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，正方形的判定和性质，平行分线段成比例定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
15．见解析
【分析】本题考查了角平分线性质，由，，故满足的点D到AB、的距离相等，故AD是角平分线，作出的平分线即可．
【详解】解：如图，
16．（1）5；（2）①6；②
【分析】（1）根据零指数幂，负整指数幂以及特殊角的三角函数值求解即可；
（2）①连接OB，可得△OAB是等边三角形，即可求解；
②根据弧长公式求解即可．
【详解】解：（1）解：原式；
（2）①连接OB，如图：
∵O是正六边形ABCDEF的中心
∴∠AOB＝60°，OA=OB
∴△OAB是等边三角形
∴AB=OA=6，
②∵六边形ABCDEF是正六边形
∴∠BAF＝120°
∴弧BF的长=
【点睛】此题考查了零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值，正六边形的性质，等边三角形的判定与性质以及弧长的计算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则以及相关几何性质．
17．(1)40，25
(2)3，3，3
(3)估计暑期该校七年级学生读书的总册数为1200册
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求中位数，众数和平均数，利用样本估计总体：
（1）利用条形图计算总人数，利用1减去其他百分数求出的值；
（2）根据众数，中位数和平均数的计算方法，进行求解即可．
（3）利用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：；
，
∴；
故答案为：40，25；
（2）3册的的人数最多，故众数为3，
将数据排序后，排在第20和第21位的数据均为3，故中位数为3，
平均数为：
（3）（册）．
18．(1)
(2)笔记本电脑显示屏的端点F到AB的距离约为
【分析】（1）过C作CTDE，根据平行线的性质即可得到解答；
（2）连接BD，过C点作于J，过点E作EHAB于点H，过点F作FTHE交HE的延长线于T，根据等腰三角形的性质证明四边形BDEH是矩形进而求出EH的值，最后根据题目已给的三角函数值得出解答即可．
【详解】（1）过C作CTDE，
∵ABDE，
∴CTABDE，
∴CDE+DCT=180°，ABC+BCT=180°，
∴ABC+BCD+CDE=ABC+BCT+DCT+CDE=360°；
（2）如下图，连接BD，过C点作于J，过点E作EHAB于点H，过点F作FTHE交HE的延长线于T，
由（1）知，∠ABC=∠BCD=∠CDE=120°，
∵CD=CB，BCD=120°，CJ⊥BD，
∴CDB=CBD=30°，DJ=BJ，
∵CDE=ABC=120°，
∴ABD=BDE=90°，
∵EHAB，
∴BHE=90°，
∴四边形BDEH是矩形，
∴EH=BD=2DJ=2=2848.44(cm)，
在RtEFT中，
FET=105°-90°=15°，
∴TE=EF=EF≈260.97=25.22(cm)，
∴TH=TE+EH=48.44+25.22，
∴笔记本电脑显示屏的端点F到AB的距离为．
【点睛】本题考查了平行线的性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数，解决本题的关键是掌握以上基本的性质并加以运用．
19．(1)
(2)甲、乙两位新生分到同一个班的概率为．
【分析】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示出总结果数是解答此类问题的关键．
（1）根据概率公式计算可得；
（2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得．
【详解】（1）解：有A，B，C三个班级，“学生甲分到A班”有一种情况，
则“学生甲分到A班”的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，甲、乙两位新生分到同一个班的有3种情况，
∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为．
20．（1）①1；②见解析；（2）见解析
【分析】（1）①证明利用的直角三角形的性质，求解 证明是等腰三角形即可得到答案；
②证明，利用相似三角形的性质可得结论；
（2）以为边向外作等边，连接，证明，再证明即可得到答案．
【详解】解：（1）①，，
，又是等边三角形，
，
，
在中，，
又，
，
；
②证明：，
又，
，
即；
（2）证明：以为边向外作等边，连接
，
，
、、三点共线，
又，，
，
为的中位线，
，
，，
在和中，
，，，
，
，
．
【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，三角形的中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
21．(1)30元，20元
(2)2250元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）设种树苗的单价为元，种树苗的单价为元，根据“购买20棵树苗和30棵两种树苗需1200元，购买40棵树苗和50棵两种树苗需2200元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案；
（2）设购买树苗的数量为棵，则购买，种树苗的熟练为棵，根据“购买树苗的棵数不多于树苗的3倍”列出一元一次不等式，求出的取值范围，设购买这些树苗需要花费元，由题意得出关于的关系式，再根据一次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：设种树苗的单价为元，种树苗的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
答：种树苗的单价为30元，种树苗的单价为20元；
（2）解：设购买树苗的数量为棵，则购买，种树苗的熟练为棵，
由题意可得，
解得，
设购买这些树苗需要花费元，
由题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，，
购买这些树苗至少需要2250元．
22．（1）
（2）①；②
【分析】（1）由菱形的性质可得，，，，再进一步的解答即可；
（2）①证明为等边三角形，可得，求解，如图，过作于，可得，当最小时，最小，可得当时，最小，再进一步解答即可；
②证明，可得，，证明，可得，再进一步解答可得答案．
【详解】解：（1）四边形是菱形，，．
，，，，
，
；
（2）①四边形是菱形，，
，，
为等边三角形，
，
由旋转可得：，，
，
如图2，过作于，
，
当最小时，最小，
当时，最小，
此时，
，
，
点到距离的最小值为；
②四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，，
，
，的面积为6，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，二次根式的除法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
C
D
A
C
B
B