2025高考数学一轮复习-7.4.3-二项式系数的性质【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-7.4.3-二项式系数的性质【课件】，共59页。PPT课件主要包含了学习目标，二项式系数表，内容索引，＝164，解得n＝8，二项式系数的和，n－1，随堂练习，对点练习，故n＝5等内容，欢迎下载使用。

1.了解二项式系数的性质.2.理解二项式系数性质的应用.3.掌握应用“赋值法”.
被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服.而数学上也有“金字塔”，这就是二项式(a＋b)n的展开式在n＝1，2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡整整早发现了500年左右.
二、二项式系数的对称性、增减性、最值
三、二项展开式的系数和问题
问题1　根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1,2,3,4,5,6)的二项式系数.可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？
提示　1,7,21,35,35,21,7,1.
此表的规律如下：(1)每一行中的二项式系数都是“ ”的.(2)每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的 .
(3)每行的二项式系数从两端向中间逐渐 .(4)第1行为1＝20，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为22……第7行的各数之和为26.
例1　如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值.
解　由题意及二项式系数表的特点可得S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)
跟踪训练1　如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于A.20 B.21 C.22 D.23
解析　由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11＋5，即16，所以b＝6＋16＝22.
问题2　怎样找二项展开式中的二项式系数的最大值？
二项式系数的对称性、增减性、最值
例2　(1＋2x)n展开式第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项.
跟踪训练2　(1－x)2n－1展开式中，二项式系数最大的项是A.第n－1项B.第n项C.第n－1项与第n＋1项D.第n项与第n＋1项
例3　已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；
解　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；
解　令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.
知a1，a3，a5为负值，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.
(3)a1＋a3＋a5.
解　由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，
延伸探究　在本例条件下，求下列各式的值：(1)a0＋a2＋a4；
解　因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；
解　因为a0是(2x－1)5的展开式中x5的系数，所以a0＝25＝32.又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.
(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.
解　因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，所以两边求导数得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.令x＝1，得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.
跟踪训练3　已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.(1)求a2的值；
解　∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，令x－1＝t，展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；
解　令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0.
(3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值.
解　由(2)得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.
1.观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是
A.8 B.6 C.4 D.2
解析　由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6.
2.在(a－b)20的展开式中，与第6项二项式系数相同的项是A.第15项 B.第16项C.第17项 D.第18项
A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项
4.(2x－1)6的展开式中各项系数的和为__；各项的二项式系数的和为___.
解析　令x＝1，得各项系数的和为1；各二项式系数之和为26＝64.
1.在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是A.第n－k项 B.第n－k－1项C.第n－k＋1项 D.第n－k＋2项
2.已知(1＋x)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系数之和为A.212 B.211 C.210 D.29
解析　∵展开式中只有第6项的二项式系数最大，∴n＝10，∵奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，
3.(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数之和为A.2n＋1 B.2n－1C.2n＋1－1 D.2n＋1－2
解析　令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.
4.在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是A.第6项 B.第5项 C.第5,6项 D.第6,7项
∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项.
5.(多选)关于(a－b)11的说法，正确的是A.展开式中的二项式系数之和为2 048B.展开式中只有第6项的二项式系数最大C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最大
解析　(a－b)11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，故A正确；因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大，故B不正确，C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，故D不正确.
6.(多选)已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则A.n＝7B.所有项的系数和为0C.偶数项的系数和为－64D.展开式的中间项为－35x3和35x4
令10－5r＝0，得r＝2.
8.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第____行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.
9.设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：(1)a1＋a2＋a3＋a4；
解　由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，令x＝0，得(0－3)4＝a0，所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝(2－3)4－81＝－80.
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2；
解　在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4. ①令x＝－1，得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4. ②所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.
(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.
解　由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负，由(2)中①＋②得2(a0＋a2＋a4)＝626，由(2)中①－②得2(a1＋a3)＝－624，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝－a1＋a2－a3＋a4＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)－a0＝313＋312－81＝544.
解　由题意可得2n＝256，解得n＝8，
解得m＝2或m＝－2(舍去).故m，n的值分别为2,8.
(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；
解　展开式中偶数项的二项式系数之和为
11.若x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为A.10 B.45 C.－9 D.－45
A.2 B.0 C.－2 D.－1
A.462 B.400 C.390 D.300
∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n－1＝1 024，
14.(多选)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形，设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若f(x)＝ ，则A.f(x)的展开式中的常数项是56B.f(x)的展开式中的各项系数之和为0C.f(x)的展开式中的二项式系数最大值是70D.f(i)＝－16，其中i为虚数单位
解析　设内切球的半径为r，则圆柱的高为2r，
对于A，f(x)展开式通项公式为
令24－4r＝0，解得r＝6，
对于B，f(1)＝0，即f(x)展开式的各项系数之和为0，B正确；
16.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：
(1)求第20行中从左到右的第4个数；
(2)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15，在第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数.试用含有m，k(m，k∈N*)的数字公式表示上述结论，并给予证明.